提分小卷限时练03（解答ABC三组，综合训练）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦代数、几何、统计跨模块整合，通过12道解答题实现知识网络构建与综合应用能力训练，体现数学眼光、思维与语言的融合。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|3题|计算、化简求值、不等式组|从数与式运算到不等式求解，形成代数推理链| |几何综合|4题|平行四边形、矩形、圆、旋转证明与计算|以图形性质为核心，串联全等、勾股定理等推理方法| |统计应用|2题|图表分析、数据推断|从数据收集到统计量计算，培养数据意识与分析能力| |函数与方程|2题|一次函数、抛物线综合|函数图象与性质结合方程思想，构建代数模型| |动态探究|1题|动点与图形变换|通过动态情境考查空间观念与创新意识|

限时训练03（A组+B组+C组） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 2．按要求完成下列计算： (1)计算：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2)不等式组的解集为 【分析】（1）分别化简二次根式、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂各项，再合并计算得出结果； （2）分别求解不等式组的两个不等式，取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：解不等式①得， 解不等式②得， ∴该不等式组的解集为． 3．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据题意可得，再根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 4．如图，点在一条直线上，，，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用四边形是平行四边形，推出，再根据等腰三角形的三线合一的性质推出，即可证得四边形是矩形； （）过点作于，利用的长度及，求得各段线段长；结合矩形的性质，根据中位线定理，求出与的长度，进而得到的长；最后在中，通过勾股定理算出的长度． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， . ∴ ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：取的中点，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理：． 5．某公园计划用一块宽为13米的矩形空地（）规划50个停车位，为了尽量少占用土地面积，其中一侧停车位设置为垂直式（图中矩形等），另一侧设置为倾斜式（图中等），两侧停车区总长度相等，并在中间设置宽为4米的行车区以保证车辆正常出入，规划方案如图所示在不考虑停车位间隔线和车道间隔线的宽度情况下，求这块空地的长度．（图中）应该至少设计为多少米（精确到）．（） 【答案】86m 【分析】利用几何图形中的边角关系，求出倾斜式停车位的水平间距以及单个倾斜车位的水平投影长度，再通过“两侧停车区总长度相等”这一条件建立方程，求出倾斜车位和垂直车位的数量，进而计算出空地的总长度，最后根据“至少”的要求进行取整． 【详解】解：如图，过点作于点T， 由，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 设倾斜车位有x个，则垂直车位有个， 由两侧停车区总长度相等，得：， 解得：， ∴垂直停车位有34个，停车区长度为：， 倾斜停车区长度为：， ∴空地长度应至少设计为． 6．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围或． 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）根据题意求得，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 将点代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，，其中， ∴， 情况1：当即， 此时随的增大而增大， 在时取得最小值，最小值为， 由，得， 解得； 情况2：当即，此时， 不满足，舍去； 情况3：当即， 此时随的增大而减小， 在时取得最大值， 最大值为， 由，得，解得； 综上，的取值范围或． 7．财政支出的结构关系到国家的发展前景和老百姓的生活质量．近年来，各级政府注重民生问题，加大了对教育社会保障和就业、交通运输方面的投入．某数学兴趣小组为了解近几年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输方面财政支出的情况，该组成员通过查阅资料，将这三个领域财政支出的数据进行收集、整理描述，下面给出部分信息： 信息一：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出统计图 信息二：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出的统计量如表： 统计量类别 平均数 中位数 方差 教育支出 520.7 m 社会保障和就业支出 448.3 466.5 交通运输支出 292.3 282.0 （以上数据来源于《中国统计年鉴》） 根据以上信息解决下列问题： (1) ； （填＞，＜号）； (2)根据以上信息，判断下列结论正确的是 ；（只填序号） ①与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出有所增长； ②2014﹣2019年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长； ③2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的2倍还多． (3)该数学兴趣小组成员又计算了连续5年教育支出的平均数，发现计算的平均数比信息二中6年的平均数大，你认为该小组去掉的年份是 年． 【答案】(1)562.7， (2)② (3)2014 【分析】本题考查的是折线统计图与统计表的运用．读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了平均数、极差与中位数． （1）根据信息一即可解答； （2）根据折线统计图即可解答； （3）根据5年教育支出的平均数大于520.7亿元，可知该小组去掉的年份教育支出费用小于520.7亿元，又因为计算的是连续5年教育支出的平均数，即可得到该小组去掉的年份． 【详解】（1）根据折线统计图可知，， ，， ， ， 故答案为：562.7，； （2）由折线图可知， 2015年与2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出分别是278.2亿元，219.2亿元，所以与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出下降了，故结论①错误，不符合题意； 年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长，故结论②正确，符合题意； 2019年甘肃省在社会保障和就业的支出为529.1亿元，交通运输的支出为360.4亿元，所以2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的1倍还多168.7亿元，故结论③错误，不符合题意． 故答案为：②； （3）年这6年中甘肃省在教育支出的平均数为520.7亿元，高于2014与2015年的平均数， 又连续5年教育支出的平均数大于520.7亿元， 不是去掉的2015年的教育支出， 该小组去掉的年份是2014年． 故答案为：2014． 8．如图，以为直径作，过点A作的切线，连接，交于点D，点E是边的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了圆周角定理，切线的性质，三角函数的应用，关键是根据切线性质和三角函数的定义解答． （1）根据切线的性质证明即可； （2）连接，根据三角函数解答即可． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴． ∵点E是边的中点， ∴． ∴， ∵， ∴； （2）解：连接．    ∵为直径， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∵点E是边的中点， ∴． ∴． 9．依据《国家纺织产品基本安全技术规范》规定，服装标签上标示着A、B、C三个类别． A类：婴幼儿用品，是指年龄在36个月以内的婴幼儿使用的纺织产品，同时也包括指身高以下的儿童．包括了婴幼使用的相关服装产品等，其代表着服装最高的安全级别．其甲醛含量必须低于． B类：直接接触皮肤的产品，是正常人的衣服标准，也就是适中的安全级别，同时也是指将会与身体直接接触的服装，包括大部面积与人体接触的衣服等．其甲醛含量高于，但必须低于． C类：非直接接触皮肤的产品，是安全级别最低的纺织产品，是指将不会与人体的皮肤有直接的接触，或者是仅仅只有很小面积的接触，这类衣服的安全级别是最低的，包括了外套、窗帘、裙子等．其甲醛含量高于，但必须低于． 为了去除衣物上的甲醛（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：h）的关系．该小组选取甲、乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量．所得数据如下： 浸泡时长（h） 甲类衣物中P的含量（） 乙类衣物中P的含量（） 0 79 80 2 32 37 4 25 31 6 21 29 8 18 28 10 17 27 12 16 27 (1)设浸泡时间为x，甲，乙两类衣物中P的含量分别为，，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，，并画出，的图象；    (2)结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲，乙两类衣物中P的含量的差约为_________（精确到1）： (3)若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A类标准的衣物为_________（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A类标准至少需要浸泡_________h（精确到1）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)甲； 【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息： （1）先描点，再连线画出对应的函数图象即可； （2）根据函数图象求解即可； （3）根据表格中的数据可知当浸泡时长不超过，只有乙的P含量可能低于20，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙，再结合函数图象求出浸泡时间即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求    （2）解：由函数图象可知：当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为， 故答案为：； （3）解：由表格中的数据结合函数图象可知，当浸泡时长不超过时，乙含P的最低量大于20，甲的最低含量可以小于20， ∴经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为甲， 观察函数图象可知，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡， 故答案为：甲；． 10．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交轴于点，该直线交于点，交抛物线于点． ①若，求与的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；②或． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）把点，点，代入抛物线，即可 （2）①根据题意，得到；，，把代入，求出点、、、的坐标，即可；②，；，，得到，，求出的取值；分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴． （2）解：①∵过点作轴的垂线，交轴于点， ∴； ∵该直线交于点，交抛物线于点， ∴，， ∵， ∴点的纵坐标为， 当， ∴点，，，， ∴，． ②由①可得，；，， ∴，， ∵恒成立， ∴， ∴， 当时， ， 解得：， ∴； ∴，不符合题意； 当时， ， 解得：， ∴； ∴， ∴， 当时，， 解得：或， ∴或； ∴或，不符合题意，舍去； 综上，或． 11．在中，过点A作于点D，且． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，以点C为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，过点E作的垂线，交直线于点F，M是的中点，N在线段上，且． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，见解析 【分析】在内构造等腰直角，根据题意可得为等腰三角形，进而得出，然后由求出的长度． ①根据题干描述作图即可； ②先通过构造得出，再构造结合平行线分线段成比例得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， 过A作交于E， ，是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 故线段长度为 （2）①根据题意作图如下所示： ②延长使，过点M作的垂线交于点H，连接和 根据旋转的性质，， ，， 在和中，根据勾股定理 又，， ≌ ， 在四边形中，， ，， 在和中，，，， ， 在中，根据作法可知为边上的垂直平分线，则， ，， 根据两点关于对称，则， 又， 在和中，， ， ， 故的数量关系为： 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等和相似三角形的判定和性质，直角三角形和等腰三角形的性质、平行线分线段成比例等知识点，构造和是解答本题的关键． 12．在平面直角坐标系中，的半径为，对于点和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点的关联弦． (1)如图1，已知点，，，，，在上，在弦，，中，点的关联弦是______； (2)如图2，已知点，在上，弦是点的关联弦，直接写出长度的取值范围______； (3)直线分别与轴和轴交于点，对于线段上一点，存在的弦，使得弦是点的关联弦；对于点，将其对应的关联弦的长度的最大值记为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围______． 【答案】(1)和； (2)或 (3) 【分析】本题为圆的新定义题型，考查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，特殊角三角函数的计算等知识点，对新定义的准确理解及找出定点最大关联弦的方法是解答本题的关键． （1）分别计算三条弦的端点和点A的距离，然后依据勾股定理的逆定理进行判定是否为直角三角形的斜边即可． （2）根据定弦定角模型确定点A的轨迹是在以为直径的部分圆弧上，由，可得的取值范围． （3）首先根据点S的关联弦BC的定义，得出其点S的关联弦最大值是以为斜边且为直角平分线的等腰直角三角形的斜边长度，然后由点S到原点O的距离远近判定出d的最大值为直径，d的最小值为，最后确定d的取值范围． 【详解】（1）解：从图中可以看出，， ， 弦，都是点A的关联弦． 对于弦，，， ，， ， 弦不是点A的关联弦． 故答案为：和 （2）如图，连接，当弦是点A的关联弦时，， 故点A在以为直径的圆上， 由于，所以点A的轨迹不包括、两个端点． 弦的中点为E，作直线交于F、G两点，则弦，是等腰直角三角形． 当点A在圆上运动时，或，即或 由于， ， 故答案为：或 （3）对于直线， 令，；令， 故点M坐标为，点N坐标为 ， 如图，直线与的另一个交点为L，与x轴交于于点P和点Q，点D为点S的关联弦的中点，连接 当点S在线段上运动时，， ∴ 由于，最大值取，此时D、O、S三点共线， ∴，即是的垂直平分线． 点S的关联弦最大值为以S顶点的等腰直角三角形的斜边的长度，而且点S离圆心O越近，越小，的也越小． ①当点S在点N处时，点S的关联弦的最大值为的长度，此时为的直径，则d最大值为：； ②当点S位于点K时，此时，为的最小值，为d的最小值． ∵， ∴ ∴ ∵ 当时取得等于号，此时是等腰直角三角形， 设，则， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 的最小值为 综合①②可知d的取值范围为： （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算与化简求值： (1)计算：； (2)先化简再求值：，其中x是从0，1，2当中选一个合适的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用实数的运算法则进行计算即可； （2）先对分式进行化简，再代入求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵且， ∴，，， ∴， 当时，代入上式得， 原式． 2．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示为： 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 4．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作，且，连接、、，其中交于点F． (1)求证：四边形为矩形； (2)若菱形的边长为4，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，即可证明是矩形； （2）根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：在菱形中，，，， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴在矩形中，， ∵在矩形中，， ∴在中，． 5．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于y轴的直线交于点C． (1)求该函数的表达式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，一次函数与不等式之间的关系： （1）先利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出当时，，即可求出点C的坐标； （2）解不等式组得到，再根据不等式组有解，以及当时，不等式组一定成立可得，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和， ∴， ∴， ∴该函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：当时， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3， ∴， ∴． 6．某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量． 【答案】千瓦·时 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列出分式方程求解即可． 【详解】解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时， 则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时 整理得 解得 经检验：是原分式方程的解． 答：一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时. 7．光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在至气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 光合作用产氧速率（） 呼吸作用耗氧速率（） (1)通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数；建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象； (2)结合函数图象，解决问题：（结果取整） ①最适合草莓生长的温度约为______℃； ②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】本题考查了函数的应用，描点并作出函数图象是解题的关键． （1）描点并用光滑的曲线连接起来即可； （2）①根据图象，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大时对应的温度最适合草莓生长；②根据图象作答即可． 【详解】（1）解：描点及图象如图所示： （2）①由图象可知，当时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大， 故答案为：； ②由图象可知，当或时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率． 8．如图，是的直径，，与交于点E，的切线交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接并延长，交的延长线于点G．若E为的中点，的半径为4，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，垂径定理的推论，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定： （1）由垂径定理的推论可得，再由切线的性质得到，据此可证明结论； （2）连接，先解直角三角形得到，则可求出，则由垂径定理的推论可得；证明是等边三角形，得到，可求出，证明，求出，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵的切线交的延长线于点F， ∴， ∵是的直径， ∴三点共线， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵E为的中点，的半径为4， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 9．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分：                                      .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 【答案】(1)①，；② (2)甲， 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【详解】（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 10．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线上任意一点，其横坐标为m，过点M作轴，点P的横坐标为． (1)求b的值； (2)当线段与抛物线有两个公共点时，求出m的取值范围； (3)过点P作轴交抛物线于点Q，点M在抛物线上运动的过程中，若线段的长随m的增大而增大，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点代入即可求出的值； （2）分两种情况：当时；当时，分别画图求解即可； （3）先求出，分两种情况：当或时，当时，分别根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为， ∴该抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵点为抛物线上任意一点，其横坐标为，轴，点的横坐标为， 设，，并设与抛物线的另一个交点为，则，， ∵线段与抛物线有两个公共点， ∴， ∴， 当时，如图所示： ∵线段与抛物线有两个公共点， ∴， ∴， 此时； 当时，如图所示： ∵线段与抛物线有两个公共点， ∴， ∴， 此时； 综上所述，当线段与抛物线有两个公共点时，的取值范围为或； （3）解： 由（2）的解答可知：，，， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵轴交抛物线于点， 设， ∴， ∴， 当时， 解得：或， 当或时，， ∴， ∴当时，随m的增大而增大， ∴时，随m的增大而增大； 当时，， ∴， ∴当时，随m的增大而增大， ∴时，随m的增大而增大； 综上所述，点在抛物线上运动的过程中，若线段的长随的增大而增大， 的取值范围为或． 11．如图，等边中，是边上一点，且，点关于直线的对称点为连接，，在线段上取一点，使得，直线与直线交于点． (1)①依题意补全图形； ②若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)；证明见解析 【分析】（1）①根据题意作图即可； ②根据等边三角形性质得，则，再根据可得出的度数； （2）连接，，延长，交于点，根据对称性得，，，，进而得，，则，，，由此可证，，进而可依据“”判定和全等，则，由此得，则，据此可得线段与的数量关系． 【详解】（1）解：①如图所示， ②∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ； （2）线段与的数量关系是：， 证明如下： 连接，，延长，交于点，如图所示： ∵点关于直线的对称点为， ∴，，，， ，， ∴，，， ，， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又∵， ∴， ∴ ， ． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，理解等边三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 12．如图，在平面直角坐标系中，点， ，将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α．    (1)点R在线段ST上，则在点，，， 中，有可能是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点是_________； (2)x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q． ①当时， ________； ②当时，若轴，求点P的坐标； (3)以点O为圆心作半径为1的圆．若在上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围． 【答案】(1)B，C； (2)①2；②； (3)或． 【分析】本题主要考查了新定义，旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，正确理解题目所给“对称旋转”的定义，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． （1）根据“α对称旋转”新定义即可判断; （2）①由旋转可得和均为等边三角形，进而推出即可证得结论;②根据“α对称旋转”新定义得点Q的坐标为，，，进而得出，再利用勾股定理即可求得答案; (3) 点M在上，则M绕S顺时针旋转α度以后的的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的上，关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在关于T逆时针旋转α度以后的上，只需与x轴有交点在粉弧上，且,则与x轴相切，再证得，即可求得答案； 【详解】（1）解：由一次“对称旋转”定义，将先绕点T顺时针旋转得，再绕点S逆时针旋转得，如图所示：   不是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点； 同理可得，是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；不是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点； 故答案为： B，C； （2）①当时，如图，   x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q， 和均为等边三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为：2； ②当时，设点P绕点S顺时针旋转30°得到点，则, 如图，将x轴作一次“α对称旋转”后得到直线，   轴，点P经过一次“α对称旋转”得到点Q， 点Q的坐标为， 点绕点T逆时针旋转30°得到点Q， ，， ， ， ， ， ， ， , 点P的坐标为． （3）点M在上，则M绕S顺时针旋转α度以后的的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的上，关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在关于T逆时针旋转α度以后的上，只需与x轴有交点在粉弧上，且, 如图，与x轴相切，则，在x轴上取点R,连接，使， ″   ， ，，， ， ， 故； 如图，与x轴相切，则，在x轴上取点R,连接，使，   ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，理解特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质是解答关键． 根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质来计算求解． 【详解】计算： ． 2．已知实数是的根，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的化简求值，一元二次方程的解，由实数是的根，得到，再将整式化简后即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵实数是的根， ∴，即， ∴ ． 3．解不等式组：. 【答案】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再求出其公共部分即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为． 4．如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为； 【分析】（1）在中，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，结合的性质和是角平分线的条件，推出，进而得到，由此证得且，先判定四边形是平行四边形，再结合邻边相等，证得平行四边形是菱形； （2）在中，由求出，进而得到，，结合证得是等边三角形，求出，再由角平分线的性质得，结合菱形的性质，证得是等边三角形，得到、，再结合、求出，由三角形内角和定理证得是直角三角形，最后利用勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：∵在中，，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵在中，，， ∴， ∴，， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 由（1）知四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴为直角三角形， ∵在中，，， ∴， 由勾股定理得． 5．列方程（组）解实际问题 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，、两类物质排放量之和不超过． 已知该型号某汽车的、两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进后，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了60%，、两类物质排放量之和为．判断这一次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 【答案】不合标准，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 根据等量关系列出二元一次方程组，求出解，再判断即可． 【详解】解：设A类物质排放量原为，B类物质排放量原为，根据题意，得， 解得， 这一次技术改进后，A类物质排放量为， 因为， 所以不符合“标准”． 6．在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 【答案】(1) (2)的最小值是； 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）将点代入一次函数解析式即可解决问题． （2）求得时，，代入求得，求得时，，把代入，求得，然后根据图象即可求得． 【详解】（1）解：将点代入，得， ； （2）解：如图， 当时，， 把代入，求得， 当时，， 把代入，求得， ∵当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值， ∴的最小值为的取值范围是． 7．青少年的健康素质是全民族健康素质的基础． 某校为了解学生寒假参加体育锻炼的情况，从七、八、九年级学生中各随机抽取了该年级学生人数的，调查了他们平均每周参加体育锻炼的时长，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． a．七、八年级学生平均每周参加体育锻炼时长数据的折线图如下：    b．九年级学生平均每周参加体育锻炼的时长： 7，8，8，11，9，7，6，8 c．七、八、九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数、中位数、众数： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 7．1 7 6，10 八年级 7 m n 九年级 p 8 8 根据所给信息，回答下列问题： (1)表中m的值是___________，n的值是___________，p的值是___________； (2)设七、八、九三个年级学生参加体育锻炼时长的方差分别是，，，直接写出，，之间的大小关系___________（用“<”连接）； (3)估计全校九年级所有学生中，共有___________名学生参加体育锻炼的时长不少于9小时． 【答案】(1)，9，8 (2) (3)40 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可； （2）根据各数据的波动大小即可解答； （3）先求得全校九年级的学生总人数，再利用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：八年级学生平均每周参加体育锻炼时长的数据为：4，5，5，6，6，7，9，9，9，10； ∴中位数，众数， 九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数， 故答案为：，9，8； （2）解：七年级学生平均每周参加体育锻炼时长的数据波动最大， 九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的数据波动最小， ∴； （3）解：全校九年级的学生总人数为（人）， （人）， 答：估计全校九年级所有学生中，共有40名学生参加体育锻炼的时长不少于9小时． 故答案为：40． 【点睛】本题考查拆统计图，统计图表的综合，考查了平均数、中位数及众数，方差，样本估计总体等知识，读懂图表是解题的关键． 8．如图，过外一点作的两条切线，切点分别为，连接并延长，交的延长线于点，点是的中点，过点作的垂线，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据为的切线得到，而，结合对顶角以及三角形内角和定理即可求证； （2）连接，由切线长定理得，则，，可求，再导角证明，则，可证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵是的两条切线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，切线长定理，圆周角定理，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识点，掌握切线的性质是解题的关键． 9．如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F．    小明根据学习函数的经验对线段，，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在，，的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； (2)①确定表格中m的值约为____________（结果精确到0.1）； ②在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；    (3)结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，_____（结果精确到0.1）． 【答案】(1)，，； (2)①2.2；②见解析； (3)1.9． 【分析】（1）由函数的定义可得答案； （2）①如图，当时，则是的中点，此时重合，过作交于，交于，证明，，，再进一步解答可得答案；②先描点，再用光滑的曲线连接即可； （3）结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：在，，的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数； （2）①如图，当时，而，， ∴是的中点， ∴， 此时重合， 过作交于，交于，    ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②描点画图如下：    （3）由函数图象可得：当时，； 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平行线分线段成比例的应用，三角形的中位线的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 10．在平面直角坐标系中，，是抛物线两点． (1)当时，比较的大小，并说明理由； (2)当时，记抛物线在点之间的部分（含点）为图形，若在图形上存在两点（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 【分析】（1）先将代入抛物线解析式，求解并比较即可； （2）在图形上存在两点（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而增大，即在图形上必存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大，首先求出抛物线的对称轴为，再对a的大小进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ，， ， ； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， ∵在图形上存在两点（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而增大， ∴在图形上必存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大， ①当时，抛物线开口向上时， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 当，即时， 则， 则点M在对称轴右侧，点N在对称轴左侧，此时在图形上必存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大， ∵点N关于对称轴的对称点的坐标为 ，， ， 解得， 则当时满足题意； 当，即时， 若，则，即此时点M、N都在对称轴左侧，不存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大； 若，则，即此时点M在对称轴左侧，点N在对称轴上，不存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大； 若，则，即此时点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧，则存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大， ∵点N关于对称轴的对称点的坐标为 ，， ， 解得，故不存在； ②当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ， ，， 即点M在对称轴右侧，点N在对称轴左侧，则存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大， ∵点N关于对称轴的对称点的坐标为 ，， ， 解得， 则时满足题意； 综上所述，或． 11．在中，，，点D为平面内任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，取的中点F，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，点E恰好落在上，求证：； (2)如图2，当点D在内部时， ①依题意补全图2； ②用等式表示的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析，②，证明见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由直角三角形斜边中线定理即可得解； （2）①依据题意补全图形即可； ②先理解题意，证明，得故，又因为，得，即，， 进而可求出，又根据为中点，得． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵为中点， ∴在中， ， 在中， ， ∴； （2）解：①补全图如图所示； ②，证明如下： 延长至点，使得，连接，延长与交于点， ∵为中点， ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， 又∵为中点， ∴． 12．在平面直角坐标系中，对于点，直线（点不在上）和，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上，则称点是关于直线的映像点，称线段的长度为点与的映像距离． (1)如图，的半径为，直线， ①在点，，中，点______是关于直线的映像点，该点与的映像距离为______； ②点是关于直线的映像点，当点与的映像距离最小时，点的坐标为______； (2)已知点，，点在轴的正半轴上且为等边三角形．点，的半径为．若上存在关于直线的映像点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；；② (2)或 【分析】（1）①作关于直线的对称，则点必定在，由此作出判断，并计算距离即可； ②连接，与的交点即为所求的点，作，垂足为，容易证明，使用三角函数求出点的坐标即可； （2）设点为的映像点，同理①可得，点在的对称上．观察可得，直线过定点，根据对称性可知，结合的半径为1可得点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上．当外圆与相切时，最小；当内圆过点时，最大，分别计算对应的的值，求出的取值范围． 【详解】（1）解：①如图，作关于直线的对称，设直线与轴的交点为点，与轴交于点， ∵点关于直线的对称点在上， ∴点必定在上，即， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 判断题干的点： 对于，与点重合，不符合题意； 对于，由勾股定理可得，不符合题意； 对于，，符合题意， ∴点是关于直线的映像点， 由图可知，点关于直线的对称点的坐标为， ∴映像距离； ②由①可知，点在上，点在上， ∴， ∴， ∴当、、、四点共线时，最小， 如图，作，垂足为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，，， ∴， ， ∴点的坐标为； （2）解：点为关于直线的映像点，关于直线的对称圆为， 由①可知，点在上， 对于直线，当时，， ∴直线过定点， 设这个定点为点，由轴对称的性质可得，即点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵半径为，点在上， ∴点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上， ①当外圆与相切时，圆最小，即最小， 如图，设切点为，连接，， ∵圆与相切于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴轴，轴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴，即， ②当内圆过点时，圆最大，即最大，如图， 由勾股定理可得， ∴，即， 综上所述，， ∵，， ∴， ∴， 解得或． 【点睛】本题在新定义的基础上，考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系和轴对称的性质，运用逆向思维将圆反对称回去是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时训练03（A组+B组+C组） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算：． 2．按要求完成下列计算： (1)计算：； (2)解不等式组：． 3．已知，求代数式的值． 4．如图，点在一条直线上，，，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， 5．某公园计划用一块宽为13米的矩形空地（）规划50个停车位，为了尽量少占用土地面积，其中一侧停车位设置为垂直式（图中矩形等），另一侧设置为倾斜式（图中等），两侧停车区总长度相等，并在中间设置宽为4米的行车区以保证车辆正常出入，规划方案如图所示在不考虑停车位间隔线和车道间隔线的宽度情况下，求这块空地的长度．（图中）应该至少设计为多少米（精确到）．（） 6．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 7．财政支出的结构关系到国家的发展前景和老百姓的生活质量．近年来，各级政府注重民生问题，加大了对教育社会保障和就业、交通运输方面的投入．某数学兴趣小组为了解近几年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输方面财政支出的情况，该组成员通过查阅资料，将这三个领域财政支出的数据进行收集、整理描述，下面给出部分信息： 信息一：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出统计图 信息二：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出的统计量如表： 统计量类别 平均数 中位数 方差 教育支出 520.7 m 社会保障和就业支出 448.3 466.5 交通运输支出 292.3 282.0 （以上数据来源于《中国统计年鉴》） 根据以上信息解决下列问题： (1) ； （填＞，＜号）； (2)根据以上信息，判断下列结论正确的是 ；（只填序号） ①与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出有所增长； ②2014﹣2019年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长； ③2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的2倍还多． (3)该数学兴趣小组成员又计算了连续5年教育支出的平均数，发现计算的平均数比信息二中6年的平均数大，你认为该小组去掉的年份是 年． 8．如图，以为直径作，过点A作的切线，连接，交于点D，点E是边的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．依据《国家纺织产品基本安全技术规范》规定，服装标签上标示着A、B、C三个类别． A类：婴幼儿用品，是指年龄在36个月以内的婴幼儿使用的纺织产品，同时也包括指身高以下的儿童．包括了婴幼使用的相关服装产品等，其代表着服装最高的安全级别．其甲醛含量必须低于． B类：直接接触皮肤的产品，是正常人的衣服标准，也就是适中的安全级别，同时也是指将会与身体直接接触的服装，包括大部面积与人体接触的衣服等．其甲醛含量高于，但必须低于． C类：非直接接触皮肤的产品，是安全级别最低的纺织产品，是指将不会与人体的皮肤有直接的接触，或者是仅仅只有很小面积的接触，这类衣服的安全级别是最低的，包括了外套、窗帘、裙子等．其甲醛含量高于，但必须低于． 为了去除衣物上的甲醛（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：h）的关系．该小组选取甲、乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量．所得数据如下： 浸泡时长（h） 甲类衣物中P的含量（） 乙类衣物中P的含量（） 0 79 80 2 32 37 4 25 31 6 21 29 8 18 28 10 17 27 12 16 27 (1)设浸泡时间为x，甲，乙两类衣物中P的含量分别为，，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，，并画出，的图象；    (2)结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲，乙两类衣物中P的含量的差约为_________（精确到1）： (3)若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A类标准的衣物为_________（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A类标准至少需要浸泡_________h（精确到1）． 10．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交轴于点，该直线交于点，交抛物线于点． ①若，求与的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，恒成立，求的取值范围． 11．在中，过点A作于点D，且． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，以点C为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，过点E作的垂线，交直线于点F，M是的中点，N在线段上，且． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段的数量关系，并证明． 12．在平面直角坐标系中，的半径为，对于点和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点的关联弦． (1)如图1，已知点，，，，，在上，在弦，，中，点的关联弦是______； (2)如图2，已知点，在上，弦是点的关联弦，直接写出长度的取值范围______； (3)直线分别与轴和轴交于点，对于线段上一点，存在的弦，使得弦是点的关联弦；对于点，将其对应的关联弦的长度的最大值记为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围______． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算与化简求值： (1)计算：； (2)先化简再求值：，其中x是从0，1，2当中选一个合适的值． 2．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 3．先化简，再求值：，其中． 4．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作，且，连接、、，其中交于点F． (1)求证：四边形为矩形； (2)若菱形的边长为4，，求线段的长度． 5．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于y轴的直线交于点C． (1)求该函数的表达式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出n的取值范围． 6．某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量． 7．光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在至气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 光合作用产氧速率（） 呼吸作用耗氧速率（） (1)通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数；建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象； (2)结合函数图象，解决问题：（结果取整） ①最适合草莓生长的温度约为______℃； ②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢． 8．如图，是的直径，，与交于点E，的切线交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接并延长，交的延长线于点G．若E为的中点，的半径为4，求的长． 9．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分：                                      .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 10．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线上任意一点，其横坐标为m，过点M作轴，点P的横坐标为． (1)求b的值； (2)当线段与抛物线有两个公共点时，求出m的取值范围； (3)过点P作轴交抛物线于点Q，点M在抛物线上运动的过程中，若线段的长随m的增大而增大，直接写出m的取值范围． 11．如图，等边中，是边上一点，且，点关于直线的对称点为连接，，在线段上取一点，使得，直线与直线交于点． (1)①依题意补全图形； ②若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 12．如图，在平面直角坐标系中，点， ，将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α．    (1)点R在线段ST上，则在点，，， 中，有可能是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点是_________； (2)x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q． ①当时， ________； ②当时，若轴，求点P的坐标； (3)以点O为圆心作半径为1的圆．若在上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算：． 2．已知实数是的根，求的值． 3．解不等式组：. 4．如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 5．列方程（组）解实际问题 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，、两类物质排放量之和不超过． 已知该型号某汽车的、两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进后，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了60%，、两类物质排放量之和为．判断这一次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 6．在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 7．青少年的健康素质是全民族健康素质的基础． 某校为了解学生寒假参加体育锻炼的情况，从七、八、九年级学生中各随机抽取了该年级学生人数的，调查了他们平均每周参加体育锻炼的时长，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． a．七、八年级学生平均每周参加体育锻炼时长数据的折线图如下：    b．九年级学生平均每周参加体育锻炼的时长： 7，8，8，11，9，7，6，8 c．七、八、九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数、中位数、众数： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 7．1 7 6，10 八年级 7 m n 九年级 p 8 8 根据所给信息，回答下列问题： (1)表中m的值是___________，n的值是___________，p的值是___________； (2)设七、八、九三个年级学生参加体育锻炼时长的方差分别是，，，直接写出，，之间的大小关系___________（用“<”连接）； (3)估计全校九年级所有学生中，共有___________名学生参加体育锻炼的时长不少于9小时． 8．如图，过外一点作的两条切线，切点分别为，连接并延长，交的延长线于点，点是的中点，过点作的垂线，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F．    小明根据学习函数的经验对线段，，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在，，的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； (2)①确定表格中m的值约为____________（结果精确到0.1）； ②在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；    (3)结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，_____（结果精确到0.1）． 10．在平面直角坐标系中，，是抛物线两点． (1)当时，比较的大小，并说明理由； (2)当时，记抛物线在点之间的部分（含点）为图形，若在图形上存在两点（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而增大，求的取值范围． 11．在中，，，点D为平面内任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，取的中点F，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，点E恰好落在上，求证：； (2)如图2，当点D在内部时， ①依题意补全图2； ②用等式表示的数量关系，并证明． 12．在平面直角坐标系中，对于点，直线（点不在上）和，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上，则称点是关于直线的映像点，称线段的长度为点与的映像距离． (1)如图，的半径为，直线， ①在点，，中，点______是关于直线的映像点，该点与的映像距离为______； ②点是关于直线的映像点，当点与的映像距离最小时，点的坐标为______； (2)已知点，，点在轴的正半轴上且为等边三角形．点，的半径为．若上存在关于直线的映像点，直接写出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $