第一章《空间向量与立体几何》备课研讨：聚焦核心素养，深耕课堂教学 课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

聚焦核心素养，深耕课堂教学 ——湘教版选择性必修二第一章《空间向量与立体几何》备课研讨 高二数学组 2026年4月22日 1 向量与夹角(3课时) 空间向量在立体几何中的应用(2课时) 一、本单元内容及课时划分 2 1.会用向量法求线线角、线面角、面面角. 2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系，体会向量在解决几何问题中的重要作用. 3.理解空间向量在立体几何中的工具性作用，能结合面面垂直、线面垂直等性质在四面体、三棱柱等其他几何体中建立适当的空间直角坐标系，求解线面角，面面角. 4.让学生学会根据空间角逆向求参数的综合问题，掌握由空间角反推参数的解题步骤。 二、教学目标 3 （一）教学重点 1. 利用向量法求线线角、线面角、面面角问题。 2. 能结合面面垂直、线面垂直等性质在四面体、三棱柱等几何体中建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量解决已知空间角求参数的综合问题。 （二）教学难点 1. 能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系。 2.空间直角坐标系的合理建立，准确写出点，向量的坐标。 3.综合问题的思路梳理与规范表达。 三、教学重难点 4 一）核心教学方法 1. 讲练结合法 遵循“例题示范→变式训练→错题复盘”的节奏，新授课侧重公式推导与解题过程规范步骤（如建系、求法向量、代入公式）；培优课聚焦综合题型（如四面体、三棱柱等几何体中空间直角坐标系建立，已知空间角逆向求参数的值）。 2. 分层教学法 针对不同层次学生设计任务：基础层聚焦公式直接套用，巩固在正方体、长方体中利用向量法求解线线角、线面角、面面角；提升层侧重在四面体、三棱柱中建立适当空间直角坐标系，利用向量法求解空间角；培优层拓展实际应用（根据空间角逆向求参数的综合问题），兼顾全体学生与拔尖学生的发展。 四、教学建议 5 五、各节详细备课建议 6 1.会用向量法求线线角. 2.能正确区分向量夹角与所求线线角的关系. 学习目标 向量与夹角（第1课时） 直线与直线的夹角 一 如何求两条异面直线所成的角？ 问题1 例如：如图所示，在三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，E为OC的中点，且OB＝OC＝2OA＝2，求直线AE与BC所成角的大小. 两条异面直线所成的角与其方向向量的夹角有什么关系？ 问题2 提示　两条异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等或互补. 设两条异面直线a与b所成的角为θ，它们的方向向量分别是v1，v2，设v1与v2所成的角为φ，则cos θ＝_______＝|cos〈v1，v2〉|＝ _______. |cos φ| 两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系. 注 意 点 <<< 12 例 1 (1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为  A. B. C. D. √ 13 例 1 (2)(人A)在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则异面直线BD1与AF1所成角的余弦值是 A. B. C. D. √ 14 求异面直线夹角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量. (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值. (3)得出两条异面直线所成的角. 反 思 感 悟 15 跟踪训练 1 (课本例11)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点，求直线AD1与EF所成的角. 16 (3)(人B)如图所示，在三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，E为OC的中点，且OB＝OC＝2OA＝2，求直线AE与BC所成角的大小. 是否复习几何法求异面直线所成的角？复习时间不够 17 作业设计 课本105页 习题2.4 10、17；题卡作业9 2、6、9 18 1.会用向量法求线面角. 2.能正确区分向量夹角与所求线面角的关系. 学习目标 向量与夹角（第2课时） 二 直线与平面所成的角 直线与平面所成的角是如何定义？如何求直线与平面所成的角？ 问题2 提示　图形演示 直线方向向量和平面法向量的夹角与直线和平面所成的角有什么关系？ 问题2 提示　通过作图可以看出，直线方向向量和平面法向量的夹角与直线和平面所成的角有时候互余，有时候向量夹角比线面角大. 当直线l与平面α相交且不垂直时，设它们所成的角为θ，v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，v与n所成的角为φ，则sin θ＝______ ＝|cos〈v，n〉|＝______. |cos φ| (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角. (2)线面角的范围为. (3)若〈v，n〉是一个锐角，则θ＝－〈v，n〉；若〈v，n〉是一个钝角，则θ＝〈v，n〉－. 注 意 点 <<< 24 例 2 (2)(北师)如图，在正三棱柱ABC－A'B'C'中，底面边长为2，AA'＝，求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值. 25 利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. (4)设线面角为θ，则sin θ＝ . 反 思 感 悟 26 （1）(课本例12)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求直线AB与平面A1BD所成角θ的正弦值. 跟踪训练 2 (2)(人A)PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是 A. B. C. D. 跟踪训练 2 √ 28 作业设计 题卡作业9 1、4、8、11（普通班选做） 29 1.会用向量法求线面角. 2.能正确区分向量夹角与所求线面角的关系. 学习目标 向量与夹角（第3课时） 三 两个平面所成的角 二面角是如何定义？如何求二面角的平面角？ 问题3 两个平面所成的角与两平面的法向量的夹角有何关系？ 问题3 提示　两平面的夹角是两平面的法向量的夹角或其补角. 图形演示，引导学生得出结论 1.两平面所成的角：两个平面相交会形成四个二面角，一般规定较小的二面角 为两平面所成的角，由此可知两个平面所成角的取值范围为______. 2.两平面所成角的计算：设两个平面α1和α2所成的角为θ，平面α1，α2的法向量分别为n1和n2，记〈n1，n2〉＝φ，则cos θ＝______＝|cos〈n1，n2〉|.  |cos φ| (1)两平面所成角的问题转化为两平面法向量的夹角问题. (2)两个平面所成角的范围是. (3)二面角与两平面所成的角是不同的概念，若要求的是二面角，则需根据图形判断是钝角还是锐角. 注 意 点 <<< 35 例 3 (1)(苏教)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角A1－BD－C1的大小. 36 (2)(课本P98练习T3)如图，在四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD＝AD＝AB，E是SA的中点.分别求平面BED与平面SAB、平面BED与平面SBC所成角的大小. 老师 领着做一个，学生独立做一个 求两平面所成的角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面所成的角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同. (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面 所成的角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉. 反 思 感 悟 38 (课本例13)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点坐标为A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，求二面角D－BC1－C的余弦值. 跟踪训练 3 39 作业设计 题卡作业9 3、5、7、12（普通班选做） 40 1.进一步理解空间向量在立体几何中的工具性作用，能结合面面垂直、线面垂直等性质建立空间直角坐标系，求解线面角，面面角. 学习目标 空间向量在立体几何中的综合应用（1） 利用空间向量求空间角 例 1 43 作业设计 课本106页 习题2.4 11题；课本111页 12题 46 1.让学生学会根据空间角逆向求参数的综合问题； 2.让学生掌握由空间角反推参数的解题步骤. 学习目标 空间向量在立体几何中的综合应用（2） 利用空间向量求解已知空间角求参数 尖子班用，普通班删掉 作业设计 课本106页 题卡作业11 11、 12（普通班做） 尖子班补充做 52 （2025年新课标Ⅱ卷17）.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB=3AD，CD=2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A'，使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.(1)证明：A'B∥平面CD'F；(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值. 请各位老师批评指正！ 55 $