山西吕梁市方山县高级中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题

方山县高级中学2025-2026第二学年期中考试数学 总分150分时间(2小时) 命恩人薛梅南题人赵卫红 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.对变量x、y由观测数据得散点图1，对变量y、z由观测数据得散点图2由这两个散点图可以判断() 图1 图2 A.变量x与y负相关，x与z正相关B.变量x与y负相关，x与z负相关 C.变量x与y正相关，x与z正相关D.变量x与y正相关，x与z负相关 2.若随机变量5~N(3,9),P(1<5<3)=0.35,则P(5>5)=() A.0.15 B.0.3 C.0.35 D.0.7 3.已知随机变量X~B5,0<P<1),若Px=2)+PX=3)=言且Y=2X+1,则D()=() A号 B.2 C.5 D.6 4.(2x-3)(x-1)的展开式中含x3项的系数为) A.-90 B.90 C.30 D.-30 s等() A.24 B.60 C.48 D.72 6从装有3个黑球和3个白球（大小、形状相同）的盒子中随机摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数，则 P(X≥2)的值为() A品 B号 c D号 7.一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，则下列结论不正确的是() A从中任取3球，怡有一个白球的概率是号 且从中有放回地取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为器 C.从中不放回地取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为号 D.从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为号 第1页，共4页 &已知P)=专P(B)=立P(BA)=是则PAD)=() A 8音 c D芳 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知(x-2)8=a0+a1x+a2x2+…+agx3,则下列结论正确的是（) A.a0=28 B.da=1 C.a1+a2+…+ag=1 D.ao-a1+az -...a8=38 10.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先 从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A,和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球：再从乙箱中随 机取出两球，用粤件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则() A.PA)=号 B.P(a)=0 CP(BA,)=务 D.P(AD)=品 11.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法 错误的是() A.若任意选择三门课程，选法总数为A号 B,若物理和化学至少选一门，选法总数为CC C.若物理和历史不能同时选，迭法总数为C号-C D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CCC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(1+2x)5的展开式中x2的系数为 13.某工厂从甲、乙两个分厂定制配件，其中甲厂获得40%的订单，次品率为9%：乙厂获得60%的订单， 次品率为4%这批配件的次品率为一 14从甲、乙、丙3名同学中选出2人担任正、副班长两个职位，共有种方法，则(2x-)”的展开式中的 常数项为一（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或渍算步骤。 15.(本小题13分) 电影夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼拇、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起 去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起， (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (③)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 第2页，共4页 16.(本小题15分) 假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品：第二箱内装有20件，其中有3件次品。现从两 箱中随意桃选一箱，然后从该箱中随机取1个零件， (1)求取出的零件是次品的概率： (2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率. 17.(本小题15分) 五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力叠，展现劳动 者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神征文筛选由A,B,C三名老师负责首先由A,B两位老师对征文进 行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选：若均审核不通过，则征文落选若只有一名老师审核通过， 则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选.已知每篇征文通过A,B,C三位老师审核的概率分别为专 多且各老师审核通过与否互不影响 (1)已知某篇征文通过了筛选，求它经过了复审的概率： (②)从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X,求X的分布列和数学期望。 18.(本小题17分) 人 已如(2x+》”展开式前三项的二项式系数和为2。 (1)求n的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项， 第3页，共4页 19.(本小题17分) 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的 市场份额，计划加大广告投入该公司近5年的年广告费x(单位：百万元)和年销售量y(单位：百万辆)关系 如图所示令v=lnx(i=1,2,,5),数据经过初步处理得： 年销售量/百万辆 420 0 12345 年广告费/百万元 5 (x-习2 (y1-习 ∑(- 2400-可 (y1-刀(-可 1=1 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有)=bx+a和②=nx+命两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a,b,m, n均为常数. (1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据(1)的分析选取拟合程度更好的回归分析模型，由表中数据，求出y关李x的经验回归方程，并预测年 广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大 研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受 随机变量影响，设随机变量服从正态分布N(600,),且满足P(《>800)=0.3.在(2)的条件下，求该公 司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随 机变量) 附：⑦样本相关系数r=一 (x-0-习 1(-习21(y4-刃2 经验回归直线)=a+ix中公式分别为5=路习，a=了-b匠， 1(x-网2 ②惨考数据：√40.3×1.612=8.06，√403≈20.1，ln5≈1.6，ln6≈1.8. 第4页，共4页 方山县高级中学2025-2026第二学年期中考试数学 分值150分，时间（ 2小时） 命题人：薛梅：审题人：赵卫红 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.对变量、由观测数据得散点图，对变量、由观测数据得散点图由这两个散点图可以判断(    ) A. 变量与负相关，与正相关 B. 变量与负相关，与负相关 C. 变量与正相关，与正相关 D. 变量与正相关，与负相关 【答案】B  【解析】【分析】根据散点图直接判断可得出结论． 【详解】由散点图可知，变量与负相关，变量与正相关，所以，与负相关． 故选：． 2.若随机变量，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查正态分布的性质，属于基础题． 根据随机变量服从正态分布，知正态分布曲线关于直线对称，再根据曲线的对称性，即求解答案． 【解答】 解：由随机变量服从正态分布，知正态分布曲线关于直线对称， ， ， ． 故选：． 3.已知随机变量，若，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查次独立重复试验及其概率计算，二项分布的方差或标准差，方差的性质，属于基础题． 利用二项分布概率公式求出，从而可得方差，再根据与的关系，求出． 【解答】 解：由题意，随机变量，  且， 可得， 解得， 所以， 因为，所以． 故选：． 4.的展开式中含项的系数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 5.等于(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】，故选A． 6.从装有个黑球和个白球大小、形状相同的盒子中随机摸出个球，用表示摸出的黑球个数，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据条件，摸出个黑球的概率为，摸出个黑球的概率为，故． 7.一口袋中有除颜色外完全相同的个红球和个白球，则下列结论不正确的是(    ) A. 从中任取3球,恰有一个白球的概率是 B. 从中有放回地取球6次,每次任取一球,恰好有两个白球的概率为 C. 从中不放回地取球2次,每次任取1球,若第一次已取到了红球,则第二次再次取到红球的概率为 D. 从中有放回地取球3次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为 【答案】C  【解析】对于A,从中任取3球,恰有一个白球的概率是==,故A正确; 对于B,从中有放回地取球6次,每次任取一球,则取到白球的个数X~B(6,),故恰好有两个白球的概率为=,故B正确; 对于C,从中不放回地取球2次,每次任取1球,记A为“第一次取到红球”,B为“第二次取到红球”,则所求概率为P(B|A)===,故C错误; 对于D,从中有放回地取球3次,每次任取一球,则取到红球的个数Y~B(3,),至少有一次取到红球的概率为1-=,故D正确. 故选C. 8.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了条件概率的计算，属于基础题． 由条件概率先求出，再求即可． 【解答】 解：， 则． 故选C． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，则下列结论正确的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】ABD  【解析】令，得，故A正确；因为的展开式的通项为，令，得，所以，故 B正确；令，得，又，所以，故C错误；令，得，故D正确．故选ABD． 10.甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球两箱中的球除颜色外没有其他区别，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则(    ) A. B. C. D. 【答案】ABD  【解析】略 11.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是(    ) A. 若任意选择三门课程，选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 【答案】ABD  【解析】【分析】利用组合的概念进行计算即可判断；分类讨论物理和化学只选一门，物理化学都选然后进行计算判断；利用间接法进行分析判断即可判断，将问题分三类讨论：只选物理，只选化学，同时选物理和化学，由此进行计算和判断． 【详解】解：由题意得： 对于选项A：若任意选择三门课程，选法总数为， A错误； 对于选项B：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选，有种选法； 若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法，所以总数为，故 B错误； 对于选项C：若物理和历史不能同时选，选法总数为，故 C正确； 对于选项D：有种情况：选物理，不选化学，有种选法； 选化学，不选物理，有种选法； 物理与化学都选，有种选法． 故总数，故 D错误． 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的展开式中的系数为______． 【答案】  【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得的系数． 【详解】解：由于的展开式的通项公式为， 令求得的系数等于 ． 故答案为 ． 13.某工厂从甲、乙两个分厂定制配件．其中甲厂获得的订单，次品率为；乙厂获得的订单，次品率为这批配件的次品率为          ． 【答案】  【解析】提示：设事件表示甲厂中的配件，则，事件表示乙厂中的配件，则，事件表示次品的配件，则，，所以 14.从甲、乙、丙名同学中选出人担任正、副班长两个职位，共有种方法，则的展开式中的常数项为          用数字作答 【答案】  【解析】由已知，得，所以二项式展开式的通项为，令，得，所以二项式的展开式中的常数项为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 电影夺冠讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有名男生和名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起． 女生必须坐在一起的坐法有多少种？ 女生互不相邻的坐法有多少种？ 甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【答案】先将个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有种排法； 先将个男生排好，有种排法，再在这个男生之间及两头的个空挡中插入个女生有种方法，故符合条件的排法共有种； 先排甲、乙、丙以外的其他人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的人的个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有种．   【解析】【解题思路】 采用捆绑法即可求解； 采用插空法即可求解； 先排甲、乙、丙以外的其他人，再把甲、乙排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的人的个空挡中即可； 16.本小题分 假设有两箱零件，第一箱内装有件，其中有件次品；第二箱内装有件，其中有件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取个零件． 求取出的零件是次品的概率； 已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率． 【答案】；．  【解析】取出的零件是次品的概率为； 设取出的是次品的事件为 ，此次品是从第一箱取出的事件为 ， 则，， 所以已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率为． 17.本小题分 五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神征文筛选由，，三名老师负责首先由，两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选若均审核不通过，则征文落选若只有一名老师审核通过，则由老师进行复审，复审合格才能通过筛选已知每篇征文通过，，三位老师审核的概率分别为，，，且各老师审核通过与否互不影响． 已知某篇征文通过了筛选，求它经过了复审的概率 从投稿的征文中抽出篇，设其中通过筛选的篇数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)设事件A=“A老师审核通过”,事件B=“B老师审核通过”,事件C=“C老师审核通过”,事件D=“征文通过筛选”,事件E=“征文经过复审”,则P(A)=,P(B)=,P(C)=, P(D)=P(AB)+P(BC)+P(AC)=++=, P(DE)=+=,因此P(E|D)==, 所以它经过了复审的概率为. (2)依题意,X的所有可能取值为,显然X~B(4,), 则P(X=0)==,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)===,P(X=4)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 数学期望E(X)=4=.   【解析】略 18.本小题分 已知展开式前三项的二项式系数和为． 求的值； 求展开式中的常数项； 求展开式中二项式系数最大的项． 【答案】 问【解答】 由题意得，二项式展开式的前三项二项式系数分别为、、。 根据二项式系数和为，可得： 因为，，，代入上式得： 等式两边同乘去分母： 化简得： 因式分解：，解得舍去，因为为正整数。 问【解答】 由知，二项展开式的通项公式为： 令，解得。 将代入通项公式，常数项为： 问【解答】 因为为偶数，所以二项式系数最大的项为中间项，即第项。 将代入通项公式：   【解析】略 19.本小题分 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入该公司近年的年广告费单位：百万元和年销售量单位：百万辆关系如图所示令，数据经过初步处理得： 现有和两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数． 请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好 根据的分析选取拟合程度更好的回归分析模型，由表中数据，求出关于的经验回归方程，并预测年广告费为百万元时，产品的年销售量是多少 该公司生产的电动车毛利润为每辆元不含广告费、研发经费该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的倍电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足在的条件下，求该公司年净利润的最大值大于百万元的概率年净利润毛利润年销售量年广告费年研发经费随机变量 附：样本相关系数， 经验回归直线中公式分别为， 参考数据：，，，． 【答案】解：设模型和的样本相关系数分别为，． 由题意可得：， ． 所以，由样本相关系数的相关性质可得，模型的拟合程度更好． 因为， 又由，， 得， 所以，即经验回归方程为． 当时，， 因此当年广告费为百万元时，产品的年销售量约是百万辆． 年净利润为， 令， 所以． 可得在上单调递增，在上单调递减． 所以， 由题意得：，即，， 即该公司年净利润大于百万元的概率为．   【解析】略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $