2026年广东省深圳中考数学压轴冲刺题

一．选择题 1 1.如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E，F在BD上，已知∠BAD=120°，∠EAF=30°，则 的值为( ____ ) A. B. C. D 2 D. 【解析】解：过点E作EN⊥AB于点N，连接AC， ∵四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E、F在BD上，∠BAD=120°，∠EAF=30°， ∴∠ABD=30°，∠EAC=15°，则∠BAE=45°， 设AN=x,则NE=x, ∴AE= x,BN= NE= x, 3 ∴ = = ， 故选：D． 4 2.春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为1：2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26米至坡底C处，并继续沿平地向前跑16米到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是37°，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E处．已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝E、A、B、C、D五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离AE约为(　　)米．( 5 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) A.34.2 B.32.7 C.31.2 D.22.7 【解析】解：设小明在B处视线的点为N，延长NB交CD于点S，过点G作GM平行于地面交AE于点M，如图， 6 _____ 坡度为1：2.4，BC=26，则SC=24，BS=10， ∵AN∥SC，∴ ， 即： ，解得：AN=3.6=RS， AR=NS=BS+NB=10+1.5=11.5，则AM=10， 7 RD=RS+SC+CD=3.6+24+16=43.6=MG， EM=MGtan37°=32.7， AE=EM-AM=32.7-10=22.7(米)， 故选：D． 8 3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，D为劣弧AC的中点，过点D作⊙O的切线DE交BA的延长线于点E，连接BD．若BE=4AE=4，则⊙O的半径为( ____ ) A.5 B. C.2 D.1 【解析】解：如图，连接OD， B 9 ∵DE为⊙O的切线， ∴OD⊥DE． ∵D为 的中点， ∴∠ABD=∠CBD． ∵OB=OD， ∴∠BDO=∠CBD． ∴∠BDO=∠ABD， ∴AB∥OD． ∵OD⊥DE， ∴DE⊥AB； 10 如图，过点D作DF⊥BC于点F， ___ ∵DF⊥BC，DE⊥AB， ∴∠BED=∠BFD=90°． 在△BDE和△BDF中， 11 ， ∴△BDE≌△BDF(AAS)， ∴BE=BF，DE=DF． ∵D为 的中点， ∴ ， ∴AD=CD． ∵在Rt△ADE和Rt△CDF中， 12 ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)， ∴AE=CF． ∵BE=4AE=4， ∴AE=1， ∴BC=BF+CF=BE+AE=4+1=5， ∴⊙O的半径为 ， 故选：B． 13 二．填空题 14 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以AB、BC、AC为边向上作正方形AGFB、正方形BCDE、正方形ACMN，点E在FG上，若AC=3，BC=5，则图中阴影的面积为 ____ ． 【解析】解：∵∠BAC=90°，AC=3，BC=5， ∴AB2+AC2=BC2，AB= =4， ∴S△ABC= AC•AB= ×3×4=6， ∵四边形BCDE是正方形， 12 15 ∴BC=CD，∠BCP=∠D=90°， ∵∠BAC=∠CAP=90°， ∴∠DCQ+∠CQD=∠DCA+∠BPC=90°， ∴∠CQD=∠BPC， ∴△BCP≌△CDQ(ASA)， ∴S△BCP=S△CDQ， ∴S△CDQ-S△CAP=S△BCP-S△CAP， 即S四边形APDQ=S△ABC=6， ∴图中阴影部分面积之和=AB2+AC2+S△ABC+S四边形APDQ-BC2=6+6=12， 故答案为：12． 16 5.如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF．经过点E的反比例函数 的图象交边AC于点G．若OA=4，AB=2FG，则k的值为 ____ ． 【解析】解：设正方形ABEF的边长为2m, ∵AB=2FG， ∴FG=m, ∵点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，OA=4， 12 17 ∴G(4，3m)，E(4+2m,2m)， ∵反比例函数 的图象交点G、E， ∴4×3m=2m(4+2m)， 整理得m2-m=0， 解得m=1或m=0(舍去)， ∴G(4，3)， ∴k=4×3=12， 故答案为：12． 18 6.足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得∠CQA=∠ABQ(此时也有∠DQB=∠QAB)时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB于点D，AB=6米，BD=2米．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．tan∠AQB=　　． 19 ___ 【解析】解：如图，过点B作BH⊥AQ于点H． 20 __ ∵CD⊥AD， ∴∠ADQ=90°， 由题意，∠BQD=∠QAD， ∵∠BDQ=∠QDA， 21 ∴△BDQ∽△QDA， ∴ ， ∴QD2=DB•DA， ∵AB=6，BD=2， ∴DA=8， ∴QD=4， ∴ ， ∵ ， 22 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 23 ； 故答案为： ． 24 7.如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC=12，∠A=60°，则 的长为 ____ ． 【解析】解：令半圆的圆心为O，连接BE，OD，OE， ___ ∵BC是半圆的直径， ∴∠BEC=90°． 2π 25 又∵∠A=60°， ∴∠ABE=30°， ∴∠DOE=2∠ABE=60°． ∵BC=12， ∴半圆O的半径为6， ∴ ． 故答案为：2π． 26 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积是 　　． 【解析】解：∵∠C=90°，∠ABC=30°， ∴∠CAB=60°，AB=2AC=4，BC= AC=2 ， ∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB'C'， ∴AC'=AC=2，B′C′=BC=2 ，∠B'AB=30°， ∴∠C'AD=∠C'AB'-∠BAB'=30°， 在Rt△AC'D中，∵∠C'AD=30°， 27 ∴C′D= AC′= ， ∴B′D=B′C′-DC′= ， ∴图中阴影部分的面积=S扇形BAB′-S△ADB′ = - × ×2 = π- ． 28 故答案为 π- ． 29 9.如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P处)的高度OP是 ，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为M，则OM=　　m. 【解析】解：设抛物线解析式为：y=a(x-5)2+4， 把点 代入得： ， 30 ∴ ， ∴ ； 当y=0时， ， 解得， (舍去)， ， 即此次实心球被推出的水平距离OM为 31 ． 故答案为： ． 32 10.如图，将正方形ABCD的边AB绕点A旋转到AP的位置，连接BP并延长，交边CD于点E，过点P作PF⊥BE，交边BC于点F，若 ，则 的值为 　　． 【解析】解：作AH⊥BE于点L，交BC于点H， ∵四边形ABCD是正方形，点E在CD边上， ∴AB=BC=CD，∠ALB=∠ABH=∠C=90°， ∴∠BAH=∠CBE=90°-∠ABE， 在△ABH和△BCE中， 33 ， ∴△ABH≌△BCE(ASA)， ∴BH=CE， 由旋转得AP=AB， ∴BL=PL， ∵AH⊥BE，PF⊥BE， ∴AH∥PF， 34 ∴ = =1， ∴BH=FH， 设BF=6m,则BH=CE= BF=3m, ∵ = ， ∴CF= BF=2m, ∴CD=CB=CF+BF=8m, 35 ∴DE=CD-CE=5m, ∴ = = ， 故答案为： ． 36 11.筒车(图1)是我国古代一种水利灌溉工具，利用水流的动力进行灌溉，工作原理基于圆周运动和重力作用．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，D是其中之一，DC是⊙O的直径，连接DA、DB，点M在AB的延长线上，若∠ADC=16°，则∠DBM的度数为 ______ ． _____ 106° 37 【解析】解：如图，连接OA． ___ ∵∠ADC=16°， ∴∠AOC=2∠ADC=32°， ∴∠AOD=180°-∠AOC=148°， ∴∠ABD= ∠AOD=74°， 38 ∴∠DBM=180°-∠ABD=106°． 故答案为：106°． 39 12.如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′，AB′，AC′分别交对角线BD于点E，F，若AE=2 ，则EF•ED的值为 ____ ． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠ADB=45°， ∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'， ∴∠EAF=∠BAC=45°， ∵∠AEF=∠DEA， ∴△AEF∽△DEA， 12 40 ∴ ， ∴EF•ED=AE2， ∵AE=2 ， ∴EF•ED的值为12， 故答案为：12． 41 三．解答题 42 13.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G． (1)求证：AG∥CD； (2)求证：PA2=PG•PB； (3)若sin∠APD= ，PG=6．求tan∠AGB的值． 43 【解析】(1)证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD， ∴AB⊥CD， ∵AB为⊙O的直径，AG是切线， ∴AG⊥AB， ∴AG∥CD； (2)证明：∵AG是切线， ∴AG⊥AB， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=90°-∠DAB=∠GAD， ∵由折叠可得∠ABD=∠ABC， 44 ∴∠CBD=2∠ABD， ∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形， ∴∠PAD=180°-∠CAD=∠DBC=2∠ABD， ∴∠PAG=∠PAD-∠GAD=2∠ABD-∠ABD=∠ABD， 又∵∠APG=∠BPA， ∴△APG∽△BPA， ∵ ，即PA2=PG•PB； (3)解：∵sin∠ ， 45 设AD=a,则AP=3a, ∴ ， ∴ ， ∵由折叠可得AC=AD=a, ∴PC=PA+AC=3a+a=4a, ∵在Rt△PCB中， ， 46 ∴BD=CB= PC= a, ∵AD⊥BD，GA⊥AB， ∴∠AGB=90°-∠GAD=∠DAB， ∴ ． 47 14.综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 (1)如图1，在“双垂四边形ABCD”中，若∠A=60°，则∠CBD=　　， 的值为　　． 【问题解决】 48 (2)如图2，在“双垂四边形ABCD”中，∠ADB=∠ABC=90°，∠A=45°，E为线段AB上一点，且CD⊥DE，求 的值． 【拓展应用】 (3)如图3，在“双垂四边形ABCD”中，∠A=45°，AD=6，E为线段AB上一动点，且CD⊥DE，连接CE，将△CDE沿CE翻折，得到△CFE，连接BF，若BF=2，请直接写出△BDE的面积． 49 ________ 【解析】解：(1)∵∠A=60°，∠ADB=90°， ∴∠ABD=90°-∠A=90°-60°=30°， ∴∠CBD=90°-∠ABD=90°-30°=60°， ∵∠ABD=30°，∠ADB=90°， ∴ 50 ， 故答案为：60°， ； (2)∵∠ADB=90°，∠A=45°， ∴∠ABD=90°-∠A=90°-45°=45°， ∴∠CBD=∠ABC-∠ABC=90°-45°=45°，∠A=∠ABD， ∴∠A=∠CBD，AD=BD， ∵CD⊥DE， ∴∠CDE=90°， ∴∠BDC+∠BDE=90°， 51 ∵∠ADE+∠BDE=90°， ∴∠ADE=∠BDC， ∴△ADE≌△BDC(ASA)， ∴AE=BC， ∴ ； (3)如图，过点D作DP⊥AB于点P， ____ 52 由(2)知，AD=BD=6， ∴ ， ∵∠A=45°， ∴ ， 同理(2)可得，△ADE≌△BDC， ∴CD=DE， 由折叠的性质可知四边形CDEF为正方形， 53 连接DF，则 ，∠EDF=∠BDP=45°， 分两种情况：①如图1，当点D的对应点F在AB的上方时， ∵∠EDF=∠BDP=45°， ∴ ，∠BDF=∠PDE， ∴△BDF∽△PDE， ∴ ， 54 ∵BF=2， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ②如图，当点D的对应点F在AB的下方时， 55 ___ 同理可得 ， ∴ ； 综上可得，△BDE的面积为6或12． 56 15.我们不妨约定：如果抛物线的顶点在直线y=2x上，那么我们把这样的抛物线叫做“完美抛物线”，根据约定，解答下列问题： 【概念理解】(1)下列抛物线是“完美抛物线”的是 ____ ； ①y=x2；②y=x2-4x+6；③y=-(x+h)2-2h. 【拓展应用】如图，已知“完美抛物线”y=-(x-1)2+k的顶点为A，将该抛物线沿直线y=2x向上平移，点A平移到点B，两条“完美抛物线”相交于点C，设点B、点C的横坐标分别为m,n(m＞1)． ①③ 57 (2)若 ，求平移后的抛物线的解析式； (3)在平移的过程中，若 ，求m+n的值． 【解析】解：(1)①y=x2的顶点坐标为(0，0)，其在直线y=2x上， ②y=x2-4x+6=(x-2)2+2的顶点坐标为(2，2)，不在直线y=2x上； ③y=-(x+h)2-2h的顶点坐标为(-h,-2h)，其在直线y=2x上， 故答案为：①③； (2)∵完美抛物线y=-(x-1)2+k的顶点为点A， ∴点A的坐标为(1，2)， 该抛物线的解析式为y=-(x-1)2+2， 58 ∵点B的横坐标为m, ∴点B的坐标为(m,2m)(m＞1)． ∵ ， ∴ ， 解得m1=3，m2=-1(舍去)， ∴平移后的抛物线的解析式为y=-(x-3)2+6， 即y=-x2+6x-3． (3)∵点B的坐标为(m,2m)， ∴平移后的抛物线的解析式为y=-(x-m)2+2m(m＞1)， 59 联立方程得 ， 解得 ， ∵点C的横坐标为n, ∴ ， 即m=2n+1， 如图，过点C作CD∥y轴交AB于点D， 60 ___ ∵ ， ∴∠ADC=∠ACB且∠DAC=∠CAB， ∴△ADC∽△ACB， 61 ∴ ， 即AC2=AD•AB， ∵点C的横坐标为n, ∴C(n,-(n-1)2+2)，D(n,2n)， ∴AC2=(n-1)2+(n-1)4， ， ， ∴ ， 得n3-3n2-6n-2=0， 62 即(n+1)(n2-4n-2)=0， ∴n2-4n-2=0， 解得 (舍负)， ∴ ． 63 16.如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的弦，cos∠BAC= ，∠BAC的平分线AD交⊙O于D． (1)尺规作图：过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F； (2)求证：DE是⊙O的切线； (3)若AF=8，求DF的长． 【解析】(1)解：作法：1．延长AC； 2．以点D为圆心， 64 以适当长度为半径作弧交射线AC于点M、N； 3．分别以点M、N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点P； 4．作射线DP交AC的延长线于点D； 5．连接OE交AD于点F， 线段DE、OE、点F就是所求的图形． (2)证明：连接OD，则OD=OA， ∴∠ODA=∠BAD， ∵∠BAC的平分线AD交⊙O于D， 65 ∴∠DAC=∠BAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC交AC的延长线于点E， ∴∠ODE=∠AEP=90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． (3)解：作DQ⊥AB于点Q，则∠AQD=∠AED=90° ∵AD平分∠BAC，作DQ⊥AB于点Q，DE⊥AC交AC的延长线于点E， ∴DQ=DE， ∵AD=AD， 66 ∴Rt△ADQ≌Rt△ADE(HL)， 设OA=OD=5m, ∵∠QOD=∠BAC， ∴ =cos∠QOD=cos∠BAC= ， ∴OQ= OD= ×5m=3m, ∴EA=QA=OA+OQ=5m+3m=8m, ∵OD∥EA，AF=8， ∴△DOF∽△AEF， 67 ∴ = = = ， ∴DF= AF= ×8=5， ∴DF的长是5． 68 17.如图，抛物线y=a(x-2)2+3(a为常数且a≠0)与y轴交于点A(0， )． (1)求该抛物线的解析式； (2)若直线y=kx+ (k≠0)与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22=10时，求k的值； (3)当-4＜x≤m时，y有最大值 ，求m的值． 69 【解析】解：(1)∵抛物线y=a(x-2)2+3与y轴交于点A(0， )， ∴4a+3= ， ∴a=- ， ∴y=- (x-2)2+3； 70 (2)∵直线y=kx+ 与抛物线有两个交点， ∴kx+ =- (x-2)2+3， 整理得x2+(3k-4)x-3=0， ∴Δ=(3k-4)2+12＞0， ∵x1+x2=4-3k,x1•x2=-3， ∴x12+x22=(4-3k)2+6=10， ∴k= 或k=2， 71 ∴k的值为2或 ； (3)∵函数的对称轴为直线x=2， 当m＜2时，当x=m时，y有最大值， =- (m-2)2+3， 解得m= ， ∴m=- ， 当m≥2时，当x=2时，y有最大值， 72 ∴ =3， ∴m= ， 综上所述，m的值为- 或 ． 73 18.【模型建构】 如图1，已知线段AB，CD所在直线交于点O，其所夹锐角为α． 小明在学习了平移之后，将图1中的线段AB，CD其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到以点A，B，C，D其中三个点为顶点(另一个顶点E在平面内)的多个平行四边形．例如：图2是将线段AB沿A→D方向平移线段AD的长度得到▱ADEB，图3是将线段CD沿C→A方向平移线段CA的长度得到▱ACDE． ____________ 【模型应用】 74 (1)小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在CA、AB延长线上，且AD=BE，∠DEA=15°，求证：DE=BC． 方法一：过点E作EF∥BC，且EF=BC，连接CF，DF，将证明DE=BC，转化为证明DE=EF； 方法二：过点C作CF∥DE，且CF=DE，连接BF，EF，将证明DE=BC，转化为正明BC=CF． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程； 75 _______ (2)小明又尝试将(1)中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己放思路解答下面问题： 如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AC上一点，D为CB延长线上一点，且AE=BC，AC=BD，连接DE交AB于点G，求∠AGE的度数； 【学以致用】 (3)如图6，在△ABC中，∠C=45°，D，E分别是边BC，AC上的点，且AD⊥BE于点H，若 76 ，求BE的长． 【解析】(1)证明：∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， 方法一：如图1，过点E作EF∥BC，且EF=BC，连接CF，DF， ___ ∴四边形BCFE是平行四边形． ∴CF=BE=AD，BE∥CF， 77 ∴∠DCF=180°-∠BAC=90°， ∵AB=AC，AD=BE， ∴AB+BE=AC+AD，即AE=CD， ∵∠DAE=∠FCD=90°， ∴△DAE≌△FCD(SAS)， ∴DE=DF， ∵EF∥BC， ∴∠BEF=∠ABC=45°， ∴∠DEF=∠AED+∠BEF=60°， ∴△DEF是等边三角形． ∴DE=EF=BC； 78 方法二：如图2，过点C作CF∥DE，且CF=DE， __ 连接BF，EF， ∴四边形CDEF是平行四边形． ∴CD=EF，CD∥EF． 79 ∴∠BEF=180°-∠BAC=90°． ∵AB=AC，AD=BE， ∴AB+BE=AC+AD，即AE=CD． ∴AE=EF． ∵∠BEF=∠DAE=90°， ∴△DAE≌△BEF(SAS)． ∴DE=BF，∠BFE=∠DEA=15°． ∴BF=CF，∠ABF=∠BEF+∠BFE=105°． ∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=60°． ∴△BCF是等边三角形． ∴BC=CF=DE． 80 (2)方法一：如图3，过点D作DH∥AB，且DH=AB，连接AH，EH， ___ ∴四边形ABDH是平行四边形． ∴AH=BD，AH∥BD， ∴∠EAH=180°-∠C=90°． ∴∠CAB+∠FAH=90°． ∵AC=BD， ∴AC=AH． 81 ∵AE=BC，∠EAH=∠C=90°， ∴△AEH≌△CBA(SAS)． ∴AB=EH，∠AHE=∠CAB． ∴EH=DH，∠AHE+∠FAH=90°． ∴∠AFH=90°． ∴∠EHD=∠AFH=90°． ∴∠HDE=45°． ∴∠AGE=∠HDE=45°． 方法二：如图4，过点A作AH∥ED，且AH=ED，连接BH，DH， 82 ___ ∴四边形AEDH是平行四边形． ∴AE=DH，AE∥DH， ∴∠BDH=180°-∠C=90°． ∴∠HBD+∠BHD=90°． ∵AE=BC． ∴BC=DH． ∵AC=BD，∠BDH=∠C=90°， 83 ∴△ABC≌△BHD(SAS)． ∴AB=BH，∠ABC=∠BHD． ∴∠ABC+∠HBD=90°． ∴∠ABH=90°． ∴∠BAH=45°． ∴∠AGE=∠BAH=45°． (3)如图5，过点B作BF∥AD，且 ． 84 ____ 连接AF，EF，作EM⊥AF于点M， ∴四边形ADBF是平行四边形． ∴AF=BD=5，AF∥BD， ∴∠MAE=∠C=45° ∴ ． 85 ∴在Rt△EFM中，由勾股定理，得 ． ∵AD⊥BE于点H， ∴∠AHE=∠FBE=90°． 在Rt△EBF中，由勾股定理得： ． 86 19.新定义：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx(a＜0)交x轴于O，A两点，交点之间的部分(含交点)记为w1，w1绕点A旋转180°得到w2，w2与x轴交于A，B两点，将w1与w2合称为S形抛物线，对应的函数称为S形函数．如图1，w1的表达式为y=-x2+4x(0≤x≤4)． (1)求w2的表达式(不需要写出x的范围)； (2)如图2，过点A的直线与S形抛物线交于M，N(M在N的左边)两点，直线x=-2交直线MN于点C，交x轴于点D，若E是D关于A的对称点，连接EN，若CM=EN．求M点的横坐标； (3)若点E(m,0)，C(8-m,n)，存在过A的直线与S形抛物线交于M，N，使得CM=EN，求n的取值范围． 87 ______ 【解析】解：(1)y=-x2+4x=-(x-2)2+4， ∴抛物线的顶点为(2，4)， 点(2，4)关于点(4，0)的对称点为(6，-4)， ∴w2的表达式为y=(x-6)2-4=x2-12x+32； (2)设直线MN为y=kx-4k, 88 当kx-4k=-x2+4x时，解得x=4或x=-k, ∴M(-k,-k2-4k)， ∵M、N关于点A对称， ∴N(8+k,k2+4k)， ∵CM=EN， ∴(k-2)2+(-k2+2k)2=(k-2)2+(k2+4k)2， 解得k=-1， ∴M点横坐标为1； (3)由(2)可知M(-k,-k2-4k)，N(8+k,k2+4k)， ∵CM=EN， ∴(8-m-k)2+(n+k2+4k)2=(8-m-k)2+(k2+4k)2， 89 ∴n=-2k2-8k=-2(k+2)2+8≤8， ∴n≤8时存在过A的直线与S形抛物线交于M，N，使得CM=EN． 90 20.【问题发现】 (1)如图1，老师将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，延长DG交BE的延长线于点H，求BE与DG的数量关系和位置关系； ___ 【类比探究】 (2)若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，AE=3，AG=4，如图，点E、D、G三点共线， 91 点G在线段DE上时，若 ，求BE的长． ____ 【拓展延伸】 (3)若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG如图 3，AD=5，AC=6，AG平分∠DAC，点P在射线AG上，在射线AF上截取AQ，使得 92 ，连接PQ，QC，当 时，直接写出AP的长． ______ 【解析】解：(1)如图1， 93 ___ 设DG和BE的延长线交于H，DH和AB交于O， ∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AD=AB，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90°， ∴∠BAE=∠DAG， ∴△BAE≌△DAG(SAS)， ∴BE=DG，∠ADG=∠ABE， 94 ∵∠AOD=∠BOH， ∴∠BHO=∠DAO=90°， ∴BE⊥DG； (2)如图2， ___ 作AH⊥DE于H， ∵四边形AEFG是矩形， 95 ∴∠EAC=90°， ∵AE=3，AG=4， ∴EG=5， 由S△EAG= EG•AH= 得， 5AH=12， ∴AH= ， ∴GH= = 96 = ， 在Rt△ADH中， ，AH= ， ∴DH= = ， ∴DG=DH-CH= =4， 97 ∵矩形ABCD∽矩形AEFG， ∴∠EAG=∠BAD， ， ∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE∽△ADC， ∴ ， ∴BE= ； (3)如图3， 98 __ 当Q在AF上时， 连接BD，交AC于T，作CH⊥AF，交AF的延长线于H，作CR∥AC，交AF于R， ∵四边形ABCD是菱形， 99 ∴BD⊥AC，AT= AC=3， ∵菱形ABCD∽菱形AEFG， ∴∠DAB=∠GAE，∠DAC= ，∠GAF= ， ∴∠DAC=∠GAF， ∴∠DAG=∠CAF， ∵AG平分∠DAC， ∴∠DAG= ， 100 ∴∠CAF= ， ∴∠DAC=∠GAF， ∵ ， ∴△DAT∽△PAQ， ∴∠PQA=∠ATD=90°， ∴tan∠PAQ= = ，∠PAQ+∠APQ=90°， 101 ∵tan∠PQC= ， ∴∠PAQ=∠PQC， ∴∠CQH=∠APQ， ∴tan∠CQH=tan∠APQ， ∴ ， 设CH=3x,QH=4x, 如图4， 102 ____ ∵tan∠CAH= ， ∴ ， ∴AH=2CH=6x, 103 ∴(6x)2+(3x)2=62， ∴x= ， ∴AQ=2x= ， ∴AP= ， 如图5， 104 ___ 当Q在AF的延长线上时， 由上可知：AQ=4x+6x=10x, ∴AQ=10× =4 ， 105 ∴AP= ， 综上所述：AQ= 或 ． 106 $ 2026年深圳中考压轴冲刺题 一．选择题（共3小题） 1．如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E，F在BD上，已知∠BAD＝120°，∠EAF＝30°，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为1：2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26米至坡底C处，并继续沿平地向前跑16米到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是37°，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E处．已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝E、A、B、C、D五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离AE约为（　　）米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） A．34.2 B．32.7 C．31.2 D．22.7 3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，D为劣弧AC的中点，过点D作⊙O的切线DE交BA的延长线于点E，连接BD．若BE＝4AE＝4，则⊙O的半径为（　　） A．5 B． C．2 D．1 二．填空题（共9小题） 4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向上作正方形AGFB、正方形BCDE、正方形ACMN，点E在FG上，若AC＝3，BC＝5，则图中阴影的面积为 　 　 ． 5．如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF．经过点E的反比例函数的图象交边AC于点G．若OA＝4，AB＝2FG，则k的值为 　 　 ． 6．足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得∠CQA＝∠ABQ（此时也有∠DQB＝∠QAB）时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB于点D，AB＝6米，BD＝2米．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．tan∠AQB＝　 　 ． 7．如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝12，∠A＝60°，则的长为　 　 ． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积是 　 　 ． 9．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　 　 m． 10．如图，将正方形ABCD的边AB绕点A旋转到AP的位置，连接BP并延长，交边CD于点E，过点P作PF⊥BE，交边BC于点F，若，则的值为 　 　 ． 11．筒车（图1）是我国古代一种水利灌溉工具，利用水流的动力进行灌溉，工作原理基于圆周运动和重力作用．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，D是其中之一，DC是⊙O的直径，连接DA、DB，点M在AB的延长线上，若∠ADC＝16°，则∠DBM的度数为 　 　 ． 12．如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′，AB′，AC′分别交对角线BD于点E，F，若AE＝2，则EF•ED的值为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 13．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G． （1）求证：AG∥CD； （2）求证：PA2＝PG•PB； （3）若sin∠APD，PG＝6．求tan∠AGB的值． 14．综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图1，在“双垂四边形ABCD”中，若∠A＝60°，则∠CBD＝　 　 ，的值为　 　 ． 【问题解决】 （2）如图2，在“双垂四边形ABCD”中，∠ADB＝∠ABC＝90°，∠A＝45°，E为线段AB上一点，且CD⊥DE，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在“双垂四边形ABCD”中，∠A＝45°，AD＝6，E为线段AB上一动点，且CD⊥DE，连接CE，将△CDE沿CE翻折，得到△CFE，连接BF，若BF＝2，请直接写出△BDE的面积． 15．我们不妨约定：如果抛物线的顶点在直线y＝2x上，那么我们把这样的抛物线叫做“完美抛物线”，根据约定，解答下列问题： 【概念理解】（1）下列抛物线是“完美抛物线”的是 　 　 ； ①y＝x2；②y＝x2﹣4x+6；③y＝﹣（x+h）2﹣2h． 【拓展应用】如图，已知“完美抛物线”y＝﹣（x﹣1）2+k的顶点为A，将该抛物线沿直线y＝2x向上平移，点A平移到点B，两条“完美抛物线”相交于点C，设点B、点C的横坐标分别为m，n（m＞1）． （2）若，求平移后的抛物线的解析式； （3）在平移的过程中，若，求m+n的值． 16．如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的弦，cos∠BAC，∠BAC的平分线AD交⊙O于D． （1）尺规作图：过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F； （2）求证：DE是⊙O的切线； （3）若AF＝8，求DF的长． 17．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值； （3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值． 18．【模型建构】 如图1，已知线段AB，CD所在直线交于点O，其所夹锐角为α． 小明在学习了平移之后，将图1中的线段AB，CD其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到以点A，B，C，D其中三个点为顶点（另一个顶点E在平面内）的多个平行四边形．例如：图2是将线段AB沿A→D方向平移线段AD的长度得到▱ADEB，图3是将线段CD沿C→A方向平移线段CA的长度得到▱ACDE． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在CA、AB延长线上，且AD＝BE，∠DEA＝15°，求证：DE＝BC． 方法一：过点E作EF∥BC，且EF＝BC，连接CF，DF，将证明DE＝BC，转化为证明DE＝EF； 方法二：过点C作CF∥DE，且CF＝DE，连接BF，EF，将证明DE＝BC，转化为正明BC＝CF． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程； （2）小明又尝试将（1）中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己放思路解答下面问题： 如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AC上一点，D为CB延长线上一点，且AE＝BC，AC＝BD，连接DE交AB于点G，求∠AGE的度数； 【学以致用】 （3）如图6，在△ABC中，∠C＝45°，D，E分别是边BC，AC上的点，且AD⊥BE于点H，若，求BE的长． 19．新定义：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）交x轴于O，A两点，交点之间的部分（含交点）记为w1，w1绕点A旋转180°得到w2，w2与x轴交于A，B两点，将w1与w2合称为S形抛物线，对应的函数称为S形函数．如图1，w1的表达式为y＝﹣x2+4x（0≤x≤4）． （1）求w2的表达式（不需要写出x的范围）； （2）如图2，过点A的直线与S形抛物线交于M，N（M在N的左边）两点，直线x＝﹣2交直线MN于点C，交x轴于点D，若E是D关于A的对称点，连接EN，若CM＝EN．求M点的横坐标； （3）若点E（m，0），C（8﹣m，n），存在过A的直线与S形抛物线交于M，N，使得CM＝EN，求n的取值范围． 20．【问题发现】 （1）如图1，老师将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，延长DG交BE的延长线于点H，求BE与DG的数量关系和位置关系； 【类比探究】 （2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，AE＝3，AG＝4，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若，求BE的长． 【拓展延伸】 （3）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG如图 3，AD＝5，AC＝6，AG平分∠DAC，点P在射线AG上，在射线AF上截取AQ，使得，连接PQ，QC，当时，直接写出AP的长． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/30 8:38:54；用户：罗帅；邮箱：17729846990；学号：37340701 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $