2026年广东省深圳市中考数学压轴提升训练 三

**基本信息** 聚焦中考压轴题，融合几何变换与函数思想，构建“问题情境-模型转化-多解验证”的解题体系，强化知识间的逻辑关联与方法迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|12题（如1、4、20）|辅助线构造、相似转化、动态轨迹分析|从特殊图形性质到一般几何关系，渗透转化与数形结合思想| |函数应用|8题（如2、21、28）|待定系数法、分段函数建模、参数分类讨论|函数图像与性质→实际问题抽象→数学模型求解| |动态问题|5题（如19、31、37）|运动过程分段、临界点分析、方程思想|静动态转化，以不变量为核心建立等量关系|

2026年深圳中考压轴提升训练三 一．选择题（共6小题） 1．如图，菱形ABCD中，∠A＝45°，DH⊥AB，垂足为H，点P在线段DH上，过点P作MN∥AB，S△DMP＝S△HNP，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 2．如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：1+3+32+33+⋯+32024＝（　　） A． B． C． D． 3．如图，在四个相同的4×4正方形网格中，分别作一个顶点均在格点上的平行四边形ABCD，其中边CD上的高最小的是（　　） A． B． C． D． 4．边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，当CG长最小时，BE的长是（　　） A．2 B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，其中A、C的坐标分别为（﹣3，2）、（﹣6，8）．反比例函数0）的图象经过点A，将矩形ABCD向右平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为（　　） A． B． C． D． 6．如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　） 方案一： ①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置． 方案二： ①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 二．填空题（共13小题） 7．如图，矩形护栏ABCD中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接AC交第一根钢条于点E，连接DE并延长交AB于点F，若AB＝60cm，则AF的长度为　 　 cm． 8．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，，，则AD＝ 　 　 ． 9．如图，矩形ABCD绕点A顺时针旋转使得CD的对应边C′D′刚好经过点B，连接DD′，若AB＝5，AD＝4，则DD′＝　 　 ． 10．等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD：DC＝5：3，将△ABD沿AD翻折，得到△AB′D，B′D与AC交于F点，则 　 　 ． 11．如图，已知Rt△ABO中，AO＝6，，△ABC与△ABO 关于AB所在直线对称，反比例函数恰好经过点C，则k＝ 　 　 ． 12．如图，在菱形ABCD中，点E是边CD的中点，点F是BE的中点，AF的延长线交边BC于点H，若CF⊥DF，则的值为 　 　 ． 13．如图，已知点A（1，0），点B（0，3）分别在x轴和y轴上；将线段AB绕点A顺时针旋转90°至线段AC，连BC，将△ABC沿x轴正方向平移至△DEF；当双曲线恰好同时经过点E，F时，k的值等于 　 　 ． 14．如图，△ABC中，，点D是BC上一点，，连接AD，沿着AD翻折得到△AED，AE交BC于点F，延长ED交AC于点G，若EG∥AB，DF＝3，则AD＝ 　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为平行四边形，点A落在反比例函数图象上，点B落在反比例函数y图象上，延长BA交y轴于点D，若四边形ACOD的面积为3，则k的值为 　 　 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是12，则k的值为 　 　 ． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝BC，点E在线段CD上且满足CE＝4ED，AE与BD交于点F，若∠EAC＝∠DBC，则tan∠DBC＝　 　 ． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，连接BD并延长至点E，使得BD＝DE，连接AE，恰好有AE⊥DE．若，则　 　 ． 19．如图，已知△ABC中三边长分别为AB＝2，AC＝3，，动点D在边BC上运动，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则EF的最小值为　 　 ． 三．解答题（共24小题） 20．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，过点D作直线DE⊥AC，垂足为点E，DE交AB的延长线于点F．以AB为直径作⊙O，⊙O恰好经过点D． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，，求△CDE的面积． 21．如图1，一个小球以v0＝10cm/s的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度v（cm/s）与时间t（s）之间的关系如图2所示，其路程s（cm）与时间t（s）之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线的一部分）． （1）轨道初段AC的总长为　 　 cm；并求出小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时，v（cm/s）与t（s）之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）． （2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，求抛物线的函数关系式． ②延长线段OP，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与抛物线对称轴平行，则称线段OP与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？ （3）在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为9cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由． 22．如图，A，B，C，D是圆O上的四个点，AB是直径，连接AC，直线BF是圆O的切线，CB＝CD． （1）求证：∠DAB＝2∠CBF； （2）尺规作图：过点C作圆O的切线l． （保留作图痕迹，不写作法） 23．在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段AB分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段AB被点C、D白银分割，点C、D叫做线段AB的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割﹣当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割﹣当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． （1）以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设AB＝1，AC＝BD＝x．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． （2）如图3，点C为线段AB靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段AN靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 24．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D在⊙O外，延长DC，AB相交于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，DG＝DC． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE＝8，求DF的长． 25．【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 　 　 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存在最大值．若PE＝8，PF＝5，当∠DAP最大时，求AD的长； （4）如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若AC+CD＝5，BC+CE＝8，求AE+BD的最小值． 26．综合与实践 深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究： 把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线OAB、曲线BCD、曲线EFG和曲线GHI，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线OAB平移得到，OE的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线OAB最高点A点坐标为（4，4）． （1）求曲线OAB所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）． （2）如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，如图所示，其中PQ∥y轴，求矩形花园周长的最大值． （3）如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线EFG和曲线GHI的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即RS＝0.6，请问至少需要安装垂直灯具 　 　 个． 27．如图1，已知等腰三角形ABC的外接圆圆心为点O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD交BC于点E，AE＝3，DE＝6； （1）求AB的长； （2）连OC，求证：四边形ABOC为菱形； （3）直接写出图2中阴影部分的面积． 28．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点P在第一象限内，连接PA交直线BC于点D，设△PCD的面积为S1，△ACD面积为S2，若，求点P坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC点F，点Q是对称轴上的一个动点，是否存在以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标．若不存在，请说明理由． 29．在平面直角坐标系中，对于一次函数y＝kx+b（k≠0），若g＝y﹣tx（t为常数，t≠0），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数y＝2x+1的“2.5型相关量”为g＝（2x+1）﹣2.5x＝﹣0.5x+1． 【理解】（1）一次函数y＝3x的“t型相关量”为g＝5x，则t＝　 　 ； 【探究】（2）已知g是y＝kx+2（k≠0）的“t型相关量”， ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而增大，试比较t与k的大小关系； 【迁移】（3）类似的，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），若g＝y﹣tx，亦称g为y的“t型相关量”．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣x2+3tx+t2﹣3的“t型相关量”g的最大值为2，请直接写出t的值． 30．古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下． 1．如图1，建立平面直角坐标系，将已知∠AOB的顶点与原点重合，角的一边OB与x轴正方向重合； 2．绘制函数（x＞0）的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P； 3．以P为圆心，以2OP为半径作弧，交函数的图象于点R； 4．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线交于点M； 5．连接OM，得到∠MOB，这时． 【探究】小明在探究该方法时发现，先以P，R，M为顶点作矩形，再证明矩形的另一顶点Q与O，M共线后，即可推导出请你根据以上思路帮助小明完成证明过程． 证明：如图1，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q， ∵PM∥QR，PQ∥MR，∠PMR＝90°， ∴四边形PQRM为矩形． 设点，，则，Q（　 　 ）， 于是直线OM的解析式为y＝　 　 ， ∵， ∴点Q在直线OM上； 连接PR交OM于点N，则N为PR和QM的中点， ∴PN＝MN＝PO，∴∠PON＝∠PNO＝2∠PMN， 又∵PM∥OB， ∴∠PMO＝∠MOB，∴∠POM＝2　 　 ， ∴． 【拓展】小明进一步发现也可以将任意锐角三等分，请证明． 【应用】如图2，在平面直角坐标系中，∠AOB的顶点与原点重合，角的一边OB与x轴正方向重合，另一边与函数交于点A，以A为圆心，2OA为半径作弧，交函数图象于点C，点P为线段AC中点，连接OP，其中，∠OAC＝120°，那么k＝　 　 ． 31．四边形ABCD为正方形，以点A为旋转中心，将线段AD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接线段DE，BE． （1）如图1，当旋转角α＝30°时，∠DEB的度数为 　 　 度； （2）如图2，当旋转角α由小变大时，∠DEB的度数 　 　 （填“变大”，“变小”，或“不变”），请说明理由； （3）如图3，延长DE，过点B作BF⊥DE的延长线于点F，连接CF．求线段DE与CF的数量关系，并证明你的结论； （4）如图4，正方形的边长为2，在（3）的条件下，当旋转角α从0°旋转到90°，请直接写出线段CF扫过的面积． 32．数学兴趣小组在学习二次函数后，发现二次函数中字母系数与其图象有直接联系，他们借助学习函数的经验，对二次函数y＝x2﹣2mx+m（m为常数）进行研究． 【特例分析】 （1）数学兴趣小组分别取m＝1，2，3三个特殊值进行特例研究． ①确定表达式： 当m＝1时，y1＝x2﹣2x+1，当m＝2时，y2＝x2﹣4x+2，当m＝3时，y3＝　 　 ； ②画函数图象： 平面直角坐标系中已画出y1和y2的图象，请你在同一坐标系中画出y3的图象； 【性质探究】 （2）数学兴趣小组通过观察图象得到猜想：不论m为何值，二次函数y＝x2﹣2mx+m图象经过点．请问这个猜想是否正确？请说明理由． 【性质应用】 （3）已知点A（﹣2，﹣5），B（2，﹣1），若二次函数y＝x2﹣2mx+m图象与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围． 33．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点O，A． （1）线段OA的长度为 　 　 ； （2）将函数y1的图象沿x轴正方向平移m（m＞0）个单位得到函数y2的图象，平移后点O，A的对应点为B，C．当点A在点B的左边时，函数y1，y2的图象交于点P，若AB＝2，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，过y1的图象顶点作x轴的平行线l，将直线l向下平移，当直线l与函数y1，y2的图象有四个不同的交点时，假设这四个交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，x4，请判断x4﹣x3+x2﹣x1是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 34．太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具．目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的．若抛物线的表达式为y＝ax2，则抛物线的焦点为． （1）已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为，则焦点的坐标是　 　 ； （2）如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与y轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径AB为1.5米，凹面深度CD为0.25米，求抛物线的表达式　 　 ； （3）如图4，在（2）的条件下，MN为平行于y轴的入射光线，NF为反射光线，N为切点，F为焦点，当∠MNG＝∠FNG＝22.5°时，求点N的横坐标； （4）如图5，在（1）的条件下，点E是焦点，α表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当α为45°时，求点B的坐标． 35．（1）如图1，在矩形ABCD中，AD＝10，将AD沿DF折叠，A的对应点E恰好落在BC边上．若，求BE． （2）如图2，在矩形ABCD中，E为BC边上的一点，∠ADE＝2∠BAE，，BE＝2，求AB． （3）如图3，在（2）的条件下，F是射线EA上的一点，且，求． 36．【定义】若平行四边形的一条内角平分线平分它的一条边，则该平行四边形称为“角分平行四边形”，该角平分线称为“角分线”． 例如：如图1，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线AE交BC于点E，若E为BC边的中点，则称▱ABCD是“角分平行四边形”，AE是“角分线”． 【性质】（1）如图1，从定义上我们可以得到“角分平行四边形ABCD”具有“平行四边形，AE平分∠BAD，BE＝CE”的基本性质，除此之外，还有其它性质吗？请写出其中一条性质，并说明理由． 【判定】（2）如图2，在▱ABCD中，AD＝2AB．求证：四边形ABCD是“角分平行四边形”． 【应用】（3）现计划在如图3所示的“角分平行四边形”ABCD绿地上进行景观美化，其中小路AE是它的“角分线”，另一条小路CM与边AB交于点M，且BM＝2AM，在△AMN和△CEN区域种植同品种的花卉，若△AMN区域的花卉种植费用为a元，求△CEN区域的花卉种植费用（用含有a的式子表示）． 37．在菱形ABCD中，点E为射线BC（不与B点重合）上一动点，连接AE，点F为AE中点，连接BF，将△ABF沿BF翻折得到△GBF，连接GE． （1）如图1，连接AG，GE与AG的位置关系是　 　 ；GE与BF的位置关系是　 　 ； （2）如图2，若∠D＝60°，当点E运动到BC中点时，求的值； （3）已知AB＝6，∠D＝60°，若∠AEG＝60°，则CE的长为　 　 ． 38．如图1，点P是▱ABCD（AD＞AB）对角线BD上的一点（BP＞PD），且使得∠ABP＝∠APB，连接AP并延长，交CD于点E． （1）若，求的值． （2）如图2，将△ADP沿AB方向平移到△BCM，求证：∠ADB＝∠MDB． （3）如图3，连接PC，取PC的中点M，连接DM交AE于点F，若，求的值． 39．综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的A4纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类A4矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类A4矩形？ 【分析并解决问题】 （1）学习小组利用一张A4纸ABCD对折一次，使AB与DC重合，折叠过程如图1所示，其中AB＝a，．求证：四边形CDMN是类A4矩形； （2）学习小组利用一张正方形纸片ABCD折叠2次，展开后得折痕BD，DE，再将其沿FG折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形CDFG是类A4矩形； 【拓展】 （3）如图3，四边形ABCD纸片中，AC垂直平分BD，，BD＝10，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上，再沿FG，GH折叠，使得点C，D的对应点分别落在AC，BD上，若四边形EFGH是类A4矩形，请直接写出EF的值． 40．将线段AB绕点A逆时针旋转两次，分别得到线段AC和线段AD，连接BC，CD，过点D作DH⊥BC交射线BC于点H． （1）如图1，若∠DAB＝90°，∠CAB＝50°．求∠HDC的度数； （2）如图2，若∠DAB＝90°，90°＜∠CAB＜180°，将线段DA绕点D逆时针旋转90°至线段DE，连接EH，请探究EH与BC的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若∠DAB＝60°，0°＜∠CAB＜180°，AB＝6，请延长射线BC与射线AD交于点F，当B时，求HC的长度． 41．综合与实践 【问题情境】 求方程x2+12x﹣15＝0的解，就是求二次函数y＝x2+12x﹣15的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，小亮取了自变量x的4个值，再分别算出相应的y值，列表得： x的值 0 1 2 3 y＝x2+12x﹣15的值 ﹣15 ﹣2 13 30 小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为x，即1＜x＜2． 进一步取值，得到如表： x的值 1.0 1.1 1.2 1.3 y＝x2+12x﹣15的值 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 得出结论：1.1＜x＜1.2． 【操作判断】 （1）若方程ax2+bx+c＝0（a＜0）在实数范围内有两个解x1、x2（其中x1＜x2） 根据下列表格 x的值 1 1.5 2 2.5 ax2+bx+c的值 ﹣5 ﹣1 4 10 你能得出 　 　 的大致范围（填“x1”或“x2”）；请你写出这个解的取值范围：　 　 ； 【实践探究】 已知二次函数y＝x2﹣（3+n）x+3n+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． （2）若其中一个交点的横坐标x满足5＜x＜6，求出n的取值范围． （3）不论n为何值，二次函数y＝x2﹣（3+n）x+3n+4必过定点E． ①求E点坐标； ②连结AE、BE，若∠AEB＝45°，请求出n的值． 42．定义：在▱ABCD中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“N字平行四边形”． （1）下面的图形中是“N字平行四边形”的有：　 　 ； A．正方形 B．矩形 C．有一个角是60°的菱形 D．有一个角是60°的平行四边形 E．有一个角是45°的平行四边形 （2）在“N字平行四边形”中，∠A＝45°，AB＞BC，则 　 　 ； （3）如图1，在“N字平行四边形ABCD”中，∠B＝75°，AB＝AC＝8，点F是AB边上一点，FG∥AC，FG与DC的延长线交于点G，若▱AFGC为“N字平行四边形”，求AF的值； （4）如图2，在矩形ABCD中，点E、F分别是BC边和AD边上的点，四边形BEDF为“N字平行四边形”，若AB＝2AF，求的值． 43．民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人“是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点F处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台AB上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网MN，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知；点A的坐标为（0，8），OC＝11.4m，CE＝2.1m，，∠FEC＝135°，AB＝1m． （1）当抛物线过点B，且与y轴交于点H（0，6）时，点F的坐标为 　 　 ，抛物线的解析式为 　 　 ； （2）在（1）的条件下，若点N的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网MN（线段MN）的长度至少为多少米； （3）设该抛物线的表达式为y＝ax2﹣8ax+c，若抛射点F不变，为保证演员表演时落在平台AB上（即抛物线与线段AB有交点），请直接写出a的取值范围． 2026年深圳中考压轴提升训练三 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．如图，菱形ABCD中，∠A＝45°，DH⊥AB，垂足为H，点P在线段DH上，过点P作MN∥AB，S△DMP＝S△HNP，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 【分析】设DP＝m，PH＝n，由DH⊥AB于点H，MN∥AB，得∠MPD＝∠AHD＝90°，由四边形ABCD是菱形，∠A＝45°，得∠PMD＝∠A＝45°，则∠PDM＝∠HDA＝∠A＝45°，所以MP＝DP＝m，MN＝AB＝ADmn，所以PNm﹣mn，由S△DMP＝S△HNP，得m2n（m﹣mn），则mn，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：设DP＝m，PH＝n，则DH＝m+n， ∵DH⊥AB于点H，点P在线段DH上，过点P作MN∥AB， ∴∠MPD＝∠AHD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，∠A＝45°， ∴∠PMD＝∠A＝45°，AD∥BC，AB＝AD， ∴∠PDM＝∠HDA＝∠A＝45°，四边形ABNM是平行四边形， ∴MP＝DP＝m，AH＝DH， ∴MN＝AB＝ADmn， ∴PN＝MN﹣MPm﹣mn， ∵S△DMPMP•DPm2，S△HNPPH•PNn（m﹣mn），且S△DMP＝S△HNP， ∴m2n（m﹣mn）， 整理得（mm）（m+n）＝0， ∴mn或m＝﹣n（不符合题意，舍去）， ∴， 故选：D． 【点评】此题重点考查菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，推导出MN＝AB＝AD是解题的关键． 2．如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：1+3+32+33+⋯+32024＝（　　） A． B． C． D． 【分析】令S＝1+3+32+33+⋯+32024，求出3S＝3+32+33+⋯+32025，两式求差求出2S＝32025﹣1，求出S． 【解答】解：令S＝1+3+32+33+⋯+32024， 3S＝3+32+33+⋯+32025， 3S﹣S＝32025﹣1， 所以2S＝32025﹣1， 所以S． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是按照示例计算即可． 3．如图，在四个相同的4×4正方形网格中，分别作一个顶点均在格点上的平行四边形ABCD，其中边CD上的高最小的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出CD边上的高判断即可． 【解答】解：A、平行四边形ABCD的面积＝6，CD边上的高； B、平行四边形ABCD的面积＝8，CD边上的高； C、正方形ABCD，CD边上的高为， D、平行四边形ABCD的面积＝8，CD边上的高． ∵， 故选：A． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解题意，正确计算． 4．边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，当CG长最小时，BE的长是（　　） A．2 B． C． D． 【分析】根据SAS证明△ABE≌△BCF得∠AGB＝90°，取AB的中点G，连接HG，CG，首先证明G点的运动轨迹为以AB为直径，AB中点为圆心的圆，当C，G，H共线时，CG的值最小． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠ABF+∠CBF＝90°， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠AGB＝90°， 取AB的中点H，连接GH，CG． ∵A、B为定点， ∴G点的运动轨迹为以AB为直径，AB中点H为圆心的圆，当C，G，H共线时，CG的值最小， ∵AB＝BC＝4， ∴BH＝GH2， 由勾股定理得，CH2， ∴CG＝CH﹣GH＝22， ∵GH＝BH， ∴∠HGB＝∠HBG， ∵CD∥AB， ∴∠CFG＝∠HBG， ∵∠CGF＝∠HBG， ∴∠CFG＝∠CGF， ∴CF＝CG＝22， ∵BE＝CF， ∴BE＝22． 故选：C． 【点评】22． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，其中A、C的坐标分别为（﹣3，2）、（﹣6，8）．反比例函数0）的图象经过点A，将矩形ABCD向右平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用中点坐标公式先求出点E的坐标，再根据平移性质求出平移后点E的横坐标，根据两点间的距离公式求出平移的距离即可． 【解答】解：∵点A（﹣3，2）在反比例函数图象上， ∴反比例函数的解析式为y， ∵A、C的坐标分别为（﹣3，2）、（﹣6，8）， ∴E（，5）， ∵将矩形ABCD向右平移，点E落在这个反比例函数的图象上， ∴平移后点E的纵坐标不变， 当y＝5时，x， ∴平移后点E的横坐标为， ∴矩形平移的距离为（）． 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 6．如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　） 方案一： ①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置． 方案二： ①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 【分析】因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可，可利用平移解决问题． 【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可． ∵AA'垂直于河岸l2，AA′＝d， 连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线l1， 由平移的性质，知MN∥AA′，且MN＝AA′＝d，MA′＝NA， 根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM最短． 故方案一符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查两点之间线段最短，平移的性质，能够将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题是解题的关键． 二．填空题（共13小题） 7．如图，矩形护栏ABCD中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接AC交第一根钢条于点E，连接DE并延长交AB于点F，若AB＝60cm，则AF的长度为　15　 cm． 【分析】首先利用矩形性质可以证明△AEH∽△CGE，△AEF∽△CED，CD＝AB＝60cm，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：如图，矩形护栏ABCD中，AB＝60cm， ∴AB∥CD， ∴△AEH∽△CGE，△AEF∽△CED，CD＝AB＝60cm， ∴AE：EC＝AH：GC＝1：4， ∴AF：CD＝AE：CE＝1：4， ∴AFCD＝15cm． 故答案为：15． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，同时也利用了相似三角形的性质与判定，解题的关键是灵活运用题目已知条件得出结论． 8．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，，，则AD＝ 　　 ． 【分析】如图，过C作CH⊥AB交AB的延长线于点H，过D作DG⊥AB交AB的延长线于点G，则DG∥CH，∠H＝∠BGD＝90°，根据，AC＝5，求出CH＝3，勾股定理求出AH，结合AB＝3，求出BH，证明△BGD∽△BHC，得出，求出BG，DG，AG，再根据勾股定理即可求出AD． 【解答】解：过C作CH⊥AB交AB的延长线于点H，过D作DG⊥AB交AB的延长线于点G， ∵，AC＝5， ∴CH＝3， ∴， ∵AB＝3， ∴BH＝AH﹣AB＝4﹣3＝1， ∵DG∥CH， ∴△BGD∽△BHC， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，平行线的判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 9．如图，矩形ABCD绕点A顺时针旋转使得CD的对应边C′D′刚好经过点B，连接DD′，若AB＝5，AD＝4，则DD′＝　　 ． 【分析】由旋转的性质可得AD＝AD'＝4，∠AD'B＝∠ADC＝90°，由勾股定理可得D'B的长，由面积法可求D'F的长，通过证明四边形ADEF是矩形，可得DE＝AF，AD＝EF＝4，即可求解． 【解答】解：如图，过点D'作EF⊥AB于F，交CD于E， ∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转使得CD的对应边C′D′刚好经过点B， ∴AD＝AD'＝4，∠AD'B＝∠ADC＝90°， ∴D'B3， ∵S△ABD'AB•D'FAD'•D'B， ∴5D'F＝4×3， ∴D'F， ∴AF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵EF⊥AB， ∴四边形ADEF是矩形， ∴DE＝AF，AD＝EF＝4， ∴D'E， ∴DD'， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 10．等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD：DC＝5：3，将△ABD沿AD翻折，得到△AB′D，B′D与AC交于F点，则 　　 ． 【分析】根据等边三角形的性质、折叠的性质推出△AFB′∽△DFC，从而求出对应边的比，然后设CD＝3a，DF＝x，表示出AF与CF的长，再根据B′FCF，求出xa，最后进行计算即可解答． 【解答】解：∵BD：DC＝5：3，BC＝BD+CD， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠B＝∠C＝60°， 由折叠得：∠B＝∠B′＝60°，AB＝AB′，BD＝B′D， ∴∠C＝∠B′，， ∵∠AFB′＝∠DFC， ∴△AFB′∽△DFC， ∴， 设CD＝3a，则B′D＝BD＝5a， ∴AB′＝8a， ∴AB＝AC＝AB′＝8a， 设DF＝x， ∴AFx， ∴CF＝AC﹣AF＝8ax，B′F＝DB′﹣DF＝5a﹣x， ∵B′FCF， ∴5a﹣x（8ax）， ∴xa， ∴AFxa，CFa， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，翻折变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 11．如图，已知Rt△ABO中，AO＝6，，△ABC与△ABO 关于AB所在直线对称，反比例函数恰好经过点C，则k＝ 　　 ． 【分析】在Rt△ABO中，根据AO＝6，，求出，勾股定理求出AB，连接OC，交AB于点D，过点C作CH⊥x轴，根据对称可得AB⊥OC，OD＝CD，得出∠BAO＝∠BOC＝90°﹣∠OBA，等面积法求出OD，求出OC，根据sin∠BAO＝sin∠BOC，求出CH，根据tan∠BAO＝tan∠BOC，求出OH，求出点C，根据反比例函数的图象经过点C，即可求解． 【解答】解：∵Rt△ABO中，AO＝6，， ∴，， 连接OC，交AB于点D，过点C作CH⊥x轴， 根据对称可得AB⊥OC，OD＝CD， ∴，∠BAO＝∠BOC＝90°﹣∠OBA， ∴， 由条件可知， 解得：CH＝4， ∵tan∠BAO＝tan∠BOC，则， 解得：， ∴， 由条件可知， 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 12．如图，在菱形ABCD中，点E是边CD的中点，点F是BE的中点，AF的延长线交边BC于点H，若CF⊥DF，则的值为 　　 ． 【分析】根据题意，结合图形，得到DE＝EC＝EF＝BF，利用△CBE≌△DME，得到BC＝MD＝2，BE＝ME＝2，利用△BFG∽△MFD，得到，利用△HFG∽△AFD，得到，从而得到结果． 【解答】解：如图，延长AD交BE的延长线于点M，延长DF交BC于G点， ∵CF⊥DF，点E是边CD的中点， ∴EF＝DE＝EC， ∵点F是BE的中点， ∴DE＝EC＝EF＝BF， 令DE＝EC＝EF＝BF＝1， 则DC＝2，BE＝2， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AM∥BC， ∴∠MDE＝∠BCE， 又∵DE＝EC，∠DEM＝∠CEB， ∴△CBE≌△DME（ASA）， ∴BC＝MD＝2，BE＝ME＝2， ∵MD∥BG， ∴△BFG∽△MFD， ∴， ∴BGMD， 同理△HFG∽△AFD， ∴， ∴HGAD， ∴CH＝BC﹣BG﹣HG＝2， ∴CH＝GH， ∴FH是Rt△CFG的中线， ∴FH＝GH＝CH， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形，相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 13．如图，已知点A（1，0），点B（0，3）分别在x轴和y轴上；将线段AB绕点A顺时针旋转90°至线段AC，连BC，将△ABC沿x轴正方向平移至△DEF；当双曲线恰好同时经过点E，F时，k的值等于 　6　 ． 【分析】作CG⊥x轴，垂足为G，先证明△AOB≌△CGA得到OA＝CG＝1，OB＝AG＝3，C（4，1），设向右平移的距离为m，则E（m，3），F（4+m，1），利用反比例函数图形上点的坐标特征列出方程求出m值，继而得到反比例函数解析式中的k值即可． 【解答】解：如图，作CG⊥x轴，垂足为G， 在△AOB和△CGA中， ， ∴△AOB≌△CGA（AAS）， ∴OA＝CG＝1，OB＝AG＝3， ∴C（4，1）， 设向右平移的距离为m，则E（m，3），F（4+m，1）， ∵点E、F都在反比例函数y图象上， ∴3m＝4+m，解得m＝2， ∴E（2，3）， ∴k＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化﹣平移，熟练掌握以上知识点是关键． 14．如图，△ABC中，，点D是BC上一点，，连接AD，沿着AD翻折得到△AED，AE交BC于点F，延长ED交AC于点G，若EG∥AB，DF＝3，则AD＝ 　　 ． 【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H．由tanB，可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k，构建方程求解即可． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H． ∵tanB， ∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k， 由翻折变换的性质可知∠ADG＝∠ADB，CD＝DE， ∵AB∥DG， ∴∠BAD＝∠ADG， ∴∠BAD＝∠BDA， ∴BA＝ BD＝5k， ∵BD：CD＝2：3， ∴CD＝DE＝7.5k， ∵DE∥AB， ∴， ∴， 解得k＝1， ∴AH＝3，BH＝4，BD＝5， ∴DH＝5﹣4＝1， ∴AD． 故答案为：． 【点评】本题考查翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为平行四边形，点A落在反比例函数图象上，点B落在反比例函数y图象上，延长BA交y轴于点D，若四边形ACOD的面积为3，则k的值为 　6　 ． 【分析】作BE⊥x轴，垂足为E，由条件可知Rt△ADO≌Rt△CEB，可得S△ADO＝S△CEB1，利用条件，根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【解答】解：如图，作BE⊥x轴，垂足为E， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴AO＝BC， ∵四边形BDOE是矩形， ∴OD＝BE， ∴Rt△ADO≌Rt△CEB（HL）， ∴S△ADO＝S△CEB1， ∵S四边形ACOD＝3， ∴S矩形ODBE＝2S四边形ACOD＝6， ∴k＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，平行四边形性质、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是12，则k的值为 　8　 ． 【分析】连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G，根据平行线分线段成比例定理得到CG＝HG，求得AH＝2BG，设BB（a，），得到A（，），由OD∥AB，得到S△AOC＝S△ADC＝12，根据三角形的面积和梯形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G， ∴AH∥BG， ∵AB＝BC， ∴CG＝HG， ∴AH＝2BG， ∵A、B两点在反比例函数的图象上， ∴设B（a，）， ∴A（，）， ∵OD∥AB， ∴S△AOC＝S△ADC＝12， ∴S△AOBS△AOC＝6， ∵S△AOH＝S△OBGk， ∴S△AOH﹣S△EOH+S△AEB＝S△OBG﹣S△EOH+S△AEB，即S四边形AHGB＝S△AOB＝6， ∴（AH+BG）•HG（）×（a）＝6， ∴k＝8， 故k的值为8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝BC，点E在线段CD上且满足CE＝4ED，AE与BD交于点F，若∠EAC＝∠DBC，则tan∠DBC＝　　 ． 【分析】由∠EAC＝∠DBC可知点A、B、C、F四点共圆，进而利用圆周角定理导角可得∠AFB＝∠ACB＝45°，∠BFC＝∠BAC＝90°，所以∠CFE＝∠DFE，进而利用角平分线性质定理可得，据此设参，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：∵∠EAC＝∠DBC，即∠FAC＝∠FBC， ∴点A、B、C、F四点共圆， ∴∠AFB＝∠ACB＝45°，∠BFC＝∠BAC＝90°， ∴∠DFE＝∠AFB＝45°， ∴∠CFE＝180°﹣∠BFC﹣∠DFE＝45°＝∠DFE， ∴EF平分∠DFC， ∴， 设DF＝1，则CF＝4， 设BF＝x，则BD＝BC＝x+1， 在Rt△BFC中，CF2+BF2＝BC2， 即x2+42＝（x+1）2， 解得x， ∴tan∠DBC； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了四点共圆、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，连接BD并延长至点E，使得BD＝DE，连接AE，恰好有AE⊥DE．若，则　　 ． 【分析】延长AD交BC于点H，连接CE，易得AH垂直平分BC，所以BD＝CD＝DE，进而可得∠BCE＝90°，设BC＝4x，则BD＝CD＝DE＝3x，分别求出DH、CE，利用cos∠ADE＝cos求出AD，最后利用AD∥CE可得． 【解答】解：延长AD交BC于点H，连接CE， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BH＝CH，AH⊥BC，即AH垂直平分BC， ∴BD＝CD＝DE， ∴∠DBC＝∠DCB，∠DEC＝∠DCE， ∵∠DBC+∠DCB+∠DEC+∠DCE＝180°， ∴∠DCB+∠DCE＝90°，即∠BCE＝90°， ∵， ∴可设BC＝4x，则BD＝CD＝DE＝3x， ∴BH＝CHBC＝2x， 在Rt△BDH中，DHx， 在Rt△BCE中，CE2x， ∵， ∴cos∠ADE， ∴AD， ∵AD⊥BC，CE⊥BC， ∴AD∥CE， ∴； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．如图，已知△ABC中三边长分别为AB＝2，AC＝3，，动点D在边BC上运动，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则EF的最小值为　　 ． 【分析】先解△ABC可得∠BAC＝60°，再由题易得点A、E、D、F四点共圆，且AD为直径，进而可得∠EOF＝120°，所以EFOErAD，当AD最小时，则EF最小，而AD⊥BC时最小，据此求解即可． 【解答】解：过B作BH⊥AC于点H， 设AH＝x，则CH＝3﹣x， 在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2＝4﹣x2， 在Rt△BCH中，BH2＝BC2﹣CH2＝7﹣（3﹣x）2， ∴4﹣x2＝7﹣（3﹣x）2， 解得x＝1，即AH＝1，CH＝2， ∴cos∠BAH， ∴∠BAH＝60°； ∵∠AED+∠AFD＝180°， ∴点A、E、D、F四点共圆，且AD为直径， 取AD中点为O，连接OE、OF，过O作OM⊥EF于点M， ∴∠EOF＝2∠BAH＝120°， ∴EFOErAD， ∴当AD最小时，则EF最小，而AD⊥BC时最小， 根据等面积可得此时AD， ∴EFAD，即EF最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、圆周角定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三．解答题（共24小题） 20．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，过点D作直线DE⊥AC，垂足为点E，DE交AB的延长线于点F．以AB为直径作⊙O，⊙O恰好经过点D． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，，求△CDE的面积． 【分析】（1）连接AD、OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠ABC，因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB＝90°，而点D是BC边的中点，则AD垂直平分BC，所以AC＝AB，则∠C＝∠ABC，推导出∠ODB＝∠C，则OD∥AC，所以∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE是⊙O的切线； （2）由⊙O的半径为5，得AC＝AB＝10，由sinC，求得ADAC＝8，则CD＝6，所以DECD，求得CE，则S△CDEDE•CE． 【解答】（1）证明：连接AD、OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵点D是BC边的中点， ∴AD垂直平分BC， ∴AC＝AB， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC，垂足为点E， ∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD于D， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径， ∴AC＝AB＝10，∠ADB＝90°， ∵∠DEC＝∠ADC＝90°， ∴sinC， ∴ADAC10＝8， ∴CD6， ∴DECD6， ∴CE， ∴S△CDEDE•CE， ∴△CDE的面积是． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 21．如图1，一个小球以v0＝10cm/s的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度v（cm/s）与时间t（s）之间的关系如图2所示，其路程s（cm）与时间t（s）之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线的一部分）． （1）轨道初段AC的总长为　40　 cm；并求出小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时，v（cm/s）与t（s）之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）． （2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，求抛物线的函数关系式． ②延长线段OP，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与抛物线对称轴平行，则称线段OP与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？ （3）在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为9cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由图3可以得出轨道初段AC的总长，再用待定系数法求出v与t的函数解析式； （2）①设出抛物线的顶点式，再把点P（4，40）代入解析式求解即可； ②求出OP解析式，再联立直线OP和抛物线所组成的方程组，根据判别式Δ＝0得出结论； （3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第 （m+1）秒行驶至轨道终点，由小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s，求出m的值，再把m的值代入抛物线解析式求出轨道的起点与点A之间的距离． 【解答】解：（1）由图3可知，轨道初段AC的总长为40cm； 设v＝kt+b， 则， 解得， 故， 故答案为：40；v与t之间的关系式为vt+12； （2）①由题意，Q为顶点，设Q（h，140）， 则， 把P（4，40）代入解析式得：， 解得h＝24（舍去 h＝﹣16）， ∴t2+12t﹣4； ②设直线OP表达式：s＝k1t，代入P（4，40），有k1＝10， 即s＝10t， 联立， 得， ∵， ∴直线OP与抛物线有且只有一个交点P，且直线OP不与抛物线对称轴平行，故线段OP与抛物线光滑连接； （3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第 （m+1）秒行驶至轨道终点， 由题意得：， 解得：m＝5.5， 当m＝5.5时，， ∴轨道起点与点A之间的距离为． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式． 22．如图，A，B，C，D是圆O上的四个点，AB是直径，连接AC，直线BF是圆O的切线，CB＝CD． （1）求证：∠DAB＝2∠CBF； （2）尺规作图：过点C作圆O的切线l． （保留作图痕迹，不写作法） 【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB＝90°，可得∠BAC+∠ABC＝90°．由切线的性质可得∠OBF＝90°，则∠ABC+∠CBF＝90°，可得∠BAC＝∠CBF．由已知条件可得∠DAC＝∠BAC，则可得∠DAC＝∠BAC＝∠CBF，进而可得∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝2∠CBF． （2）结合切线的判定与性质，过点C作OC的垂线l即可． 【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°． ∵直线BF是圆O的切线， ∴∠OBF＝90°， ∴∠ABC+∠CBF＝90°， ∴∠BAC＝∠CBF． ∵CB＝CD， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAC＝∠CBF． ∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝2∠CBF． （2）解：如图，过点C作OC的垂线l， 则直线l即为所求． 【点评】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段AB分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段AB被点C、D白银分割，点C、D叫做线段AB的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割﹣当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割﹣当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． （1）以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设AB＝1，AC＝BD＝x．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． （2）如图3，点C为线段AB靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段AN靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 【分析】（1）构建方程求解即可； （2）如图3中，连接BN，过点C作CP∥BN，射线CP交AN于点P，点P即为所求． 【解答】解：（1）由题意，， 解得x＝﹣1（负根已经舍去）， 经检验x＝﹣1是分式方程的解； （2）如图3中，点P即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，黄金分割，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D在⊙O外，延长DC，AB相交于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，DG＝DC． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE＝8，求DF的长． 【分析】（1）连接OC，根据等边对等角和对顶角相等可推出∠OAC＝∠OCA，∠DGC＝∠DCG＝∠AGF，结合DF⊥AB和三角形内角和，从而推出∠OCD＝∠OAC+∠AGF＝90°，得证； （2）由（1）可知∠OCE＝90°，可证△DFE∽△OCE，推出，再由勾股定理可得OE＝10，利用点F为线段OA的中点，可得OF＝3，从而得到EF＝13，从而得到，即可得到答案． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵OA＝OC，DG＝DC， ∴∠OAC＝∠OCA，∠DGC＝∠DCG， ∵∠AGF＝∠DGC， ∴∠AGF＝∠DCG， 又∵DF⊥AB， ∴∠AFG＝90°， ∴∠OAC+∠AGF＝180°﹣∠AFG＝180°﹣90°＝90°， ∴∠OCD＝∠OCA+∠DCG＝∠OAC+∠AGF＝90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：如（1）图，∠OCE＝90°， 又∵∠DFE＝90°，∠OEC＝∠DEF， ∴△DFE∽△OCE， ∴， ∵⊙O的半径为6，CE＝8， ∴OC＝OB＝OA＝6， ∴OE2＝OC2+CE2，即， 又∵点F为线段OA的中点， ∴， ∴EF＝OF+OE＝3+10＝13， ∴， ∴． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 25．【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 　2　 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存在最大值．若PE＝8，PF＝5，当∠DAP最大时，求AD的长； （4）如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若AC+CD＝5，BC+CE＝8，求AE+BD的最小值． 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）由 EG⊥FH，证明 a2+c2＝b2+d2，再结合图形变换可得答案； （3）将△PDC绕点P逆时针旋转，可得点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动，可得当AD与⊙P相切时，∠DAP最大，再进一步解答即可； （4）将△BDC 沿BC对折，D的对应点为 D1，将△AEC 沿AC 对折，E的对应点为 E1，连接 D1E1，再将△ABE1 沿AC方向平移，使A与 D1 重合，得△B1D1E2，由（2）可得：AE+BD＝D1E2+BD1，当 E2，D1，B三点共线时，AE+BD＝D1E2+BD1 最短，再进一步解答即可． 【解答】解：（1）如图， ∵正方形ABCD，EFGH及圆为正方形ABCD的内切圆，为正方形EFGH的外接正方形， ∴设AE＝DE＝DH＝CH＝CG＝BG＝AF＝BF＝m，∠A＝90°， ∴AB＝AD＝2m，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍， 故答案为：2； （2）如图， ∵EG⊥FH， ∴a2＝OF2+OE2，c2＝OG2+OH2，d2＝OE2+OH2，b2＝OF2+OG2， ∴a2+c2＝b2+d2，结合图形变换可得：PA2+PC2＝PB2+PD2； （3）如图，∵将△PDC绕点P逆时针旋转， ∴点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动， ∵A为圆外一个定点， ∴当AD与⊙P相切时，∠DAP最大， ∴PD⊥AD， ∴AD2＝AP2﹣PD2， 由（2）可得：AE＝DF， ∵PE＝8，PF＝5， ∴AD2＝AP2﹣PD2＝PE2+AE2﹣PF2﹣DF2＝82﹣52＝39， ∴； （4）如图，将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1，将△AEC沿AC对折，E的对应点为E1，连接D1E1， ∴CD＝CD1，CE＝CE1， 再将△ABE1沿AC方向平移，使A与D1重合，如图，得△B1D1E2， 由（2）可得：AE+BD＝D1E2+BD1， ∴当E2，D1，B三点共线时，AE+BD＝D1E2+BD1最短， ∵AC+CD＝5，BC+CE＝8， ∴E1E2＝5，BE1＝8， ∴， ∴AE+BD的最小值为． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26．综合与实践 深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究： 把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线OAB、曲线BCD、曲线EFG和曲线GHI，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线OAB平移得到，OE的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线OAB最高点A点坐标为（4，4）． （1）求曲线OAB所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）． （2）如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，如图所示，其中PQ∥y轴，求矩形花园周长的最大值． （3）如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线EFG和曲线GHI的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即RS＝0.6，请问至少需要安装垂直灯具 　26　 个． 【分析】（1）由题意设顶点式，再将（0，0）代入求解即可； （2）先求出曲线EFG的解析式，进而设出Q、P坐标，继而求解即可； （3）先求出一条曲线的最大宽度，进而可知安装数量． 【解答】解：（1）设曲线OAB所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4， 将（0，0）代入二次函数表达式得0＝a•（0﹣4）2+4， 解得：， ∴曲线OAB所在抛物线的解析式为； （2）由题意可知，曲线EFG可看作曲线OAB向上平移6个单位长度得到， ∴曲线EFG所在抛物线的解析式为， 设，则，QN＝8﹣2m， ∴花园周长为： C＝2（PQ+QN） ， ∴当m＝0时，矩形花园的周长最大，为20； （3）由（2）可知曲线EFG所在抛物线的解析式为， 所以该曲线的水平最大宽度为4×2＝8， ∵8÷0.6＝13.33， ∴曲线EFG可以装13个，则13×2＝26， 即至少需要安装垂直灯具26个； 故答案为：26． 【点评】本题主要考查了二次函数实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 27．如图1，已知等腰三角形ABC的外接圆圆心为点O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD交BC于点E，AE＝3，DE＝6； （1）求AB的长； （2）连OC，求证：四边形ABOC为菱形； （3）直接写出图2中阴影部分的面积． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）连接OA，利用直角三角形的边角关系定理求得∠ABE＝30°，利用垂径定理，直角三角形的性质得到∠BAO＝90°﹣∠ABE＝60°，利用等边三角形的判定与性质和菱形的定义解答即可； （3）连接OA，OC，过点O作OE⊥AC于点E，利用（2）的结论，菱形的性质，等边三角形的判定与性质求得∠AOD＝120°，∠BOC＝180°﹣∠ABC＝120°，利用直角三角形的边角关系定理求得OE，再利用扇形与三角形的面积公式解答即可得出结论． 【解答】（1）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠D＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠D． ∵∠BAE＝∠DAB， ∴△ABE∽△ADB， ∴． ∵AD＝AE+DE＝9， ∴， ∴AB2＝27． ∵AB＞0， ∴AB＝3； （2）证明：连接OA，如图， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∵tan∠ABE， ∴∠ABE＝30°． ∵AB＝AC， ∴， ∴OA⊥BC， ∴∠BAO＝90°﹣∠ABE＝60°， ∵OB＝OA， ∴△OBA为等边三角形， ∴OB＝OA＝AB， ∵OB＝OC， ∴OB＝AB＝AC＝OC， ∴四边形ABOC为菱形； （3）解：连接OA，OC，过点O作OE⊥AC于点E，如图， 由（2）知：△OAB为等边三角形， ∴∠ABO＝∠AOB＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∵四边形ABOC为菱形， ∴OB＝OC＝AC＝OD＝3，∠BOC＝180°﹣∠ABC＝120°， ∴∠AOC＝60°， ∵OA＝OC， ∴△OAC为等边三角形， ∵OE⊥AC， ∴OE＝OA•sin60°＝3． ∴阴影部分的面积 ＝S扇形OAD﹣S△OAD﹣（S扇形OAC﹣S△OAC） （） ＝9π ． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，扇形与三角形的面积公式，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 28．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点P在第一象限内，连接PA交直线BC于点D，设△PCD的面积为S1，△ACD面积为S2，若，求点P坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC点F，点Q是对称轴上的一个动点，是否存在以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标．若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意可得A（﹣1，0），B（3，0），代入即可求得抛物线的表达式； （2）①求出直线BC的表达式为y＝﹣x+3，过P和A作x轴垂线与直线BC交于M和N点，可以证得△PMD∽△AND，即可解决问题； ②根据等腰直角三角形的性质求得的点F坐标为（2，1），分EF为边和EF为对角线两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 则﹣3a＝3，则a＝﹣1， 则抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）①∵y＝﹣x2+2x+3， ∴点C坐标为（0，3）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3． 过P作PM⊥x轴交BC于M，过A作AN⊥x轴交BC于N，如图1， ∵AN∥PM， ∴△PMD∽△AND， ∴PD：AD＝PM：AN，即S1：S2＝PD：AD＝MP：AN＝1：2， 设P（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m+3）， ∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∵A（﹣1，0）， ∴N（﹣1，4）， ∴AN＝4， ∴（﹣m2+3m）：4＝1：2， ∴m＝1或2， ∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）； ②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2， ∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1， ∴OE＝1， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OC＝OB＝3， 又∵∠COB＝90°， ∴△OCB是等腰直角三角形， ∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2， ∴△EFB是等腰直角三角形， ∴FG＝GB＝EG＝1， ∴点F的坐标为（2，1）， 当EF为边时， ∵四边形EFPQ为平行四边形， ∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴， ∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2， 当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3， ∴点P的坐标为（2，3）， ∴QE＝PF＝3﹣1＝2， 点Q的坐标为（1，2）， 根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形． 当EF为对角线时，如图3： ∵四边形PEQF为平行四边形， ∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴， 同理求得：点P的坐标为（2，3）， ∴QE＝PF＝3﹣1＝2， 点Q的坐标为（1，﹣2）； 综上，点Q的坐标为：（1，2）或（1，﹣2）或（1，4）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及平行四边形的性质，（3）注意要分EF是对角线与边两种情况讨论． 29．在平面直角坐标系中，对于一次函数y＝kx+b（k≠0），若g＝y﹣tx（t为常数，t≠0），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数y＝2x+1的“2.5型相关量”为g＝（2x+1）﹣2.5x＝﹣0.5x+1． 【理解】（1）一次函数y＝3x的“t型相关量”为g＝5x，则t＝　﹣2　 ； 【探究】（2）已知g是y＝kx+2（k≠0）的“t型相关量”， ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而增大，试比较t与k的大小关系； 【迁移】（3）类似的，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），若g＝y﹣tx，亦称g为y的“t型相关量”．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣x2+3tx+t2﹣3的“t型相关量”g的最大值为2，请直接写出t的值． 【分析】（1）g＝y﹣tx＝3x﹣tx＝5x，即可求解； （2）①由题意得：g＝kx﹣tx+2＝（k﹣t）x+2，即可求解；②g＝kx﹣tx+2＝（k﹣t）x+2，根据函数的增减性即可求解； （3）当x＝﹣2时，g＝﹣x2+3tx+t2﹣3﹣tx＝t2﹣4t﹣7，即可求解；当t≥1时、t≤﹣2时，同理可解． 【解答】解：（1）g＝y﹣tx＝3x﹣tx＝5x，则t＝﹣2， 故答案为：﹣2； （2）①由题意得：g＝kx﹣tx+2＝（k﹣t）x+2， 当k＝t时，g为定值2； ②g＝kx﹣tx+2＝（k﹣t）x+2， 若g随x的增大而增大，则k＞t； （3）由题意得：g＝﹣x2+3tx+t2﹣3﹣tx， 函数g的对称轴为直线x＝t，顶点为（t，2t2﹣3）， 当x＝﹣2时，g＝﹣x2+3tx+t2﹣3﹣tx＝t2﹣4t﹣7，同理可得：当x＝1时，g＝t2+2t﹣4， 当t≥1时，x＝1时，ymax＝t2+2t﹣4＝2，则t＝﹣1（不合题意的值已舍去）； 当t≤﹣2时，当x＝﹣2时，ymax＝t2﹣4t﹣7＝2，则t＝2±（舍去）； 当﹣2＜t＜1时，顶点处取得最大值，即2t2﹣3＝2，则t， 综上，t＝﹣1或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、二次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键． 30．古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下． 1．如图1，建立平面直角坐标系，将已知∠AOB的顶点与原点重合，角的一边OB与x轴正方向重合； 2．绘制函数（x＞0）的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P； 3．以P为圆心，以2OP为半径作弧，交函数的图象于点R； 4．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线交于点M； 5．连接OM，得到∠MOB，这时． 【探究】小明在探究该方法时发现，先以P，R，M为顶点作矩形，再证明矩形的另一顶点Q与O，M共线后，即可推导出请你根据以上思路帮助小明完成证明过程． 证明：如图1，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q， ∵PM∥QR，PQ∥MR，∠PMR＝90°， ∴四边形PQRM为矩形． 设点，，则，Q（a，　 ）， 于是直线OM的解析式为y＝　x ， ∵， ∴点Q在直线OM上； 连接PR交OM于点N，则N为PR和QM的中点， ∴PN＝MN＝PO，∴∠PON＝∠PNO＝2∠PMN， 又∵PM∥OB， ∴∠PMO＝∠MOB，∴∠POM＝2　∠MOB ， ∴． 【拓展】小明进一步发现也可以将任意锐角三等分，请证明． 【应用】如图2，在平面直角坐标系中，∠AOB的顶点与原点重合，角的一边OB与x轴正方向重合，另一边与函数交于点A，以A为圆心，2OA为半径作弧，交函数图象于点C，点P为线段AC中点，连接OP，其中，∠OAC＝120°，那么k＝　8　 ． 【分析】【探究】根据小明的探究思路完成填空即可； 【拓展】类似[探究]方法进行证明即可； 【应用】根据等边对等角和三角形内角和定理，可求出∠AOP＝∠APO＝30°，由[拓展]可求：，则∠AOB＝45°，过A作AM⊥OP于M，AN⊥OB于N，根据三线合一的性质求出，在Rt△AOM中，根据余弦的定义可求出 AO＝4，在Rt△AON中，根据正弦的定义可求出，根据余弦的定义可求出，则求出点A的坐标，最后根据待定系数法求解即可． 【解答】【探究】解：根据小明思路可得Q（a，），直线OM的解析式为yx，∠POM＝2∠MOB； 故答案为：，，∠MOB； 【拓展】证明：如图，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q， ∵PM∥QR，PQ∥MR，∠PMR＝90°， ∴四边形PQRM为矩形； 设点， 则点，Q， 于是直线的解析式为 ∴点Q在直线OM上； 连接PR交OM于点N，则N为PR中点， ∴PN＝MN＝PO， ∴∠PON＝∠PNO＝2∠PMN， 又∵PM∥OB， ∴∠PMO＝∠MOB， ∴∠POM＝2∠MOB， ∴． 【应用】解：∵P为AC中点，AC＝2OA， ∴AP＝AO， ∴∠AOP＝∠APO， 又∠BAC＝120°， ∴∠AOP＝∠APO＝30°， 由【拓展】知：， ∴∠POC＝15°， ∴∠AOB＝45°， 过A作AM⊥OP于M，AN⊥OB于N， ∵AP＝AO，， ∴， ∴在Rt△AOM中，AO4， ∴在Rt△AON中，，ON， ∴A， ∵函数经过点A， ∴， 故答案为：8． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，待定系数法，解直角三角形等知识，明确题意，运用类比的方法求解是解题的关键． 31．四边形ABCD为正方形，以点A为旋转中心，将线段AD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接线段DE，BE． （1）如图1，当旋转角α＝30°时，∠DEB的度数为 　135　 度； （2）如图2，当旋转角α由小变大时，∠DEB的度数 　不变　 （填“变大”，“变小”，或“不变”），请说明理由； （3）如图3，延长DE，过点B作BF⊥DE的延长线于点F，连接CF．求线段DE与CF的数量关系，并证明你的结论； （4）如图4，正方形的边长为2，在（3）的条件下，当旋转角α从0°旋转到90°，请直接写出线段CF扫过的面积． 【分析】（1）由正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝90°，由旋转得AE＝AD，∠EAD＝30°，则AB＝AE，∠BAE＝60°，求得∠AED＝∠ADE＝75°，∠AEB＝∠ABE＝60°，则∠DEB＝135°，于是得到问题的答案； （2）因为AE＝AD＝AB，∠BAD＝90°，所以∠AED＝∠ADE（180°﹣∠EAD），∠AEB＝∠ABE（180°﹣∠BAE），则∠DEB（180°﹣∠EAD+180°﹣∠BAE）（360°﹣∠BAD）＝135°，所以当旋转角α由小变大时，∠DEB的度数不变，于是得到问题的答案； （3）设BC交DF于点L，连接BD，作AI⊥DF于点I，CH⊥BF交BF的延长线于点H，而BF⊥DE交BD的延长线于点F，所以∠H＝∠AID＝∠BFD＝∠DFH＝∠ADC＝90°，推导出∠CBH＝∠DAI＝∠LDC，可证明△CBH≌△DAI，再证明△LBF∽△LDC，进而证明△CLF∽△DLB，推导出∠HCF＝∠HFC＝45°，则CH＝FH，由CHCF，DI＝EIDE，且CH＝DI，推导出DECF； （4）连接BD，取BD的中点P，连接PF，PC，则PC⊥BD，因为CB＝CD＝2，所以BD＝2，则PFBD，可知点F在以点P为圆心，半径长为的圆弧上运动，且∠BPC＝90°，求得S弓形BFC1，所以线段CF扫过的面积为1． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵将线段AD绕点A顺时针旋转α，得到线段AE，且α＝30°， ∴AE＝AD，∠EAD＝30°， ∴AB＝AE，∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD＝60°， ∴∠AED＝∠ADE（180°﹣∠EAD）＝75°，∠AEB＝∠ABE（180°﹣∠BAE）＝60°， ∴∠DEB＝∠AED+∠AEB＝135°， 故答案为：135． （2）不变， 理由：∵AE＝AD＝AB，∠BAD＝90°， ∴∠AED＝∠ADE（180°﹣∠EAD），∠AEB＝∠ABE（180°﹣∠BAE）， ∴∠DEB＝∠AED+∠AEB（180°﹣∠EAD+180°﹣∠BAE）（360°﹣∠BAD）＝135°， ∴当旋转角α由小变大时，∠DEB的度数不变， 故答案为：不变． （3）DECF， 证明：如图3，设BC交DF于点L，连接BD，作AI⊥DF于点I，CH⊥BF交BF的延长线于点H， ∵过点B作BF⊥DE的延长线于点F， ∴∠H＝∠AID＝∠BFD＝∠DFH＝∠ADC＝90°， ∵BC∥AD，BC＝AD， ∴∠BLF＝∠ADF， ∴∠CBH＝90°﹣∠BLF＝90°﹣∠ADF＝∠DAI＝∠LDC， 在△CBH和△DAI中， ， ∴△CBH≌△DAI（AAS）， ∵CB＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠LBD＝∠CDB＝45°， ∵∠LBF＝∠LDC，∠BLF＝∠DLC， ∴△LBF∽△LDC， ∴， ∴， ∵∠CLF＝∠DLB， ∴△CLF∽△DLB， ∴∠LFC＝∠LBD＝45°， ∴∠HCF＝∠HFC＝45°， ∴CH＝FH， ∵CFCH， ∴CHCF， ∵DI＝EIDE，且CH＝DI， ∴DECF， ∴DECF． （4）线段CF扫过的面积为1， 理由：如图4，连接BD，取BD的中点P，连接PF，PC，则PC⊥BD， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴CB＝CD＝2， ∴BDCB＝2， ∵∠BFD＝90°， ∴PFBD， ∴点F在以点P为圆心，半径长为的圆弧上运动， ∵旋转角α从0°旋转到90°，则点F从点B运动到点C，且∠BPC＝90°， ∴S弓形BFC1， ∴线段CF扫过的面积为1． 【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，正确地添加辅助线是解题的关键． 32．数学兴趣小组在学习二次函数后，发现二次函数中字母系数与其图象有直接联系，他们借助学习函数的经验，对二次函数y＝x2﹣2mx+m（m为常数）进行研究． 【特例分析】 （1）数学兴趣小组分别取m＝1，2，3三个特殊值进行特例研究． ①确定表达式： 当m＝1时，y1＝x2﹣2x+1，当m＝2时，y2＝x2﹣4x+2，当m＝3时，y3＝x2﹣6x+3　 ； ②画函数图象： 平面直角坐标系中已画出y1和y2的图象，请你在同一坐标系中画出y3的图象； 【性质探究】 （2）数学兴趣小组通过观察图象得到猜想：不论m为何值，二次函数y＝x2﹣2mx+m图象经过点．请问这个猜想是否正确？请说明理由． 【性质应用】 （3）已知点A（﹣2，﹣5），B（2，﹣1），若二次函数y＝x2﹣2mx+m图象与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围． 【分析】（1）①把m＝3代入得解析式即可； ②化为顶点式，得到顶点坐标，找到图象与y轴的交点坐标，最后找两个关键坐标点即可描绘图象； （2）将解析式中m作公因式提取后整理，令含m的项前面系数为0，即可得到定点坐标； （3）分m＞0、m＜0、以及直线AB与y＝x2﹣2mx+m相切时三种情况列式计算即可． 【解答】（1）解：①把m＝3代入得y3＝x2﹣6x+3， 故答案为：x2﹣6x+3； ②∵y3＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6， 故顶点坐标为（3，﹣6），与y轴交于点（0，3）， 当x＝2或4时，y＝﹣5， 画出图象如图所示： （2）证明：猜想正确，理由如下： ∵y＝x2﹣2mx+m＝x2﹣m（2x﹣1）， ∴令2x﹣1＝0，得x，此时y， 故二次函数y＝x2﹣2mx+m图象经过点． （3）解：∵点A（﹣2，﹣5），B（2，﹣1）， 故由待定系数法可知直线AB的解析式为y＝x﹣3． 当m＞0时，二次函数y＝x2﹣2mx+m图象与线段AB有且只有一个交点， 则必须满足当x＝2时，函数值y≤﹣1， 即4﹣4m+m≤﹣1，可解得m； 当m＜0时，二次函数y＝x2﹣2mx+m图象与线段AB有且只有一个交点， 则必须满足当x＝﹣2时，函数值y＜﹣5，且当x＝2时，函数值y≥﹣1， 即，解得m； 当y＝x﹣3与y＝x2﹣2mx+m相切时，二次函数y＝x2﹣2mx+m图象与线段AB有且只有一个交点， 联立x﹣3＝x2﹣2mx+m，整理得x2﹣（2m+1）x+m+3＝0， 令Δ＝0，即（2m+1）2﹣4（m+3）＝0，解得m（舍去正根）， 故m， 综上，m的取值范围为m或m或m． 【点评】本题考查了二次函数的图角和性质，包括二次函数图象的画法，二次函数过定点问题，二次函数与线段的交点问题，以及分类讨论、数形结合的数学思想，掌握以上知识点是解题关键． 33．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点O，A． （1）线段OA的长度为 　4　 ； （2）将函数y1的图象沿x轴正方向平移m（m＞0）个单位得到函数y2的图象，平移后点O，A的对应点为B，C．当点A在点B的左边时，函数y1，y2的图象交于点P，若AB＝2，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，过y1的图象顶点作x轴的平行线l，将直线l向下平移，当直线l与函数y1，y2的图象有四个不同的交点时，假设这四个交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，x4，请判断x4﹣x3+x2﹣x1是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据解析式求出点A坐标即可得解； （2）法一：由轴对称图形可得平移后图象为轴对称图形，且对称轴经过点P，据此求解即可； 法二：求出平移后的点B和点C坐标，进而求出解析式，再联立原解析式即可求出点P坐标； （3）分类讨论，当直线l在点P上方或者下方，然后根据平移距离为6，建立等式或不等式求解即可． 【解答】解：（1）令y＝0得，x＝0或4， ∴A（4，0）， ∴OA＝4； 故答案为：4； （2）解法一：∵平移前后图象均是轴对称图形， ∴整体为轴对称图形，对称轴经过点P， ∵OA＝4，AB＝2， ∴， ∵点P在的图象上， ∴， ∴P（5，﹣5）． 解法二：∵， 当y1＝0时，﹣x2+4x＝0， 解得x1＝0，x2＝4， ∴O（0，0）A（4，0）， ∵AB＝2， ∴B（6，0），C（10，0）， ∴平移后函数为y2＝﹣（x﹣6）（x﹣10）＝﹣x2+16x﹣60， ∴， 解得， ∴P（5，﹣5）． （3）存在，最大值为12； 当直线位于点P上方时，根据平移的性质可得x3﹣x1＝6，x4﹣x2＝6， ∵x1＜x2＜x3＜x4， ∴x2﹣x1＜x3﹣x1，x4﹣x3＜x4﹣x2， ∴x2﹣x1＜6，x4﹣x3＜6， ∴x4﹣x3+x2﹣x1＜12； 当直线位于点P下方时，根据平移的性质可得x2﹣x1＝6，x4﹣x3＝6， ∴x4﹣x3+x2﹣x1＝12； 综上，x4﹣x3+x2﹣x1≤12， 所以x4﹣x3+x2﹣x1存在最大值12． 【点评】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数与x轴及直线交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 34．太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具．目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的．若抛物线的表达式为y＝ax2，则抛物线的焦点为． （1）已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为，则焦点的坐标是　（0，1）　 ； （2）如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与y轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径AB为1.5米，凹面深度CD为0.25米，求抛物线的表达式　　 ； （3）如图4，在（2）的条件下，MN为平行于y轴的入射光线，NF为反射光线，N为切点，F为焦点，当∠MNG＝∠FNG＝22.5°时，求点N的横坐标； （4）如图5，在（1）的条件下，点E是焦点，α表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当α为45°时，求点B的坐标． 【分析】（1）根据题意即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）过点N作NE⊥y轴交于点E，利用等腰直角三角形的性质表示出点N的坐标，代入抛物线即可解答； （4）设DB＝ED＝b，利用等腰直角三角形的性质表示出点B的坐标，代入抛物线即可解答． 【解答】解：（1）∵抛物线的表达式为，焦点为． ∴， ∴焦点的坐标是（0，1）， 故答案为：（0，1）； （2）∵太阳灶采光面的直径AB为1.5米， ∴， ∵CD为0.25米， ∴， 设抛物线的表达式的表达式为y＝ax2，将点A的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式的表达式为， 故答案为：； （3）MN为平行于y轴的入射光线，NF为反射光线，N为切点，F为焦点，当∠MNG＝∠FNG＝22.5°，如图4，过点N作NE⊥y轴交于点E， 根据题意可得点F为焦点，坐标为， ∵MN∥y轴，NE⊥y轴， ∴∠MMNE＝90°， ∵∠MNG＝∠FNG＝22.5°， ∴∠FNE＝45°， ∴△FNE为等腰直角三角形， 设EN＝FE＝a， ∴， 当点N在y轴右边时，设，将N点坐标代入得： ， 解得：（负值舍去）， 当点N在y轴左边时，点N的横坐标为﹣a，即， 综上所述，点N的横坐标为或； （4）∵∠α＝45°， ∴△EDB为等腰直角三角形， 设DB＝ED＝b， ∴DC＝EC﹣ED＝1﹣b， ∴B（b，1﹣b）， 把B（b，1﹣b）代入抛物线表达式为， 解得：（负值舍去）， ∴． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的应用，理解题意，熟练进行计算是解题的关键． 35．（1）如图1，在矩形ABCD中，AD＝10，将AD沿DF折叠，A的对应点E恰好落在BC边上．若，求BE． （2）如图2，在矩形ABCD中，E为BC边上的一点，∠ADE＝2∠BAE，，BE＝2，求AB． （3）如图3，在（2）的条件下，F是射线EA上的一点，且，求． 【分析】（1）根据折叠和矩形的性质可得AD＝DE＝CB＝10，再解直角三角形可得DC，即可解答； （2）根据角度转换得到∠DAE＝∠DEA，可得AD＝ED，设DC＝8x，DE＝17x，再用x表示BE即可解答； （3）分两种情况，即点F在线段AE上和点F在线段EA的延长线上，逐一解答即可． 【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AD＝10，将AD沿DF折叠，A的对应点E恰好落在BC边上， ∴DE＝AD＝10， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝10，∠C＝90°， ∵DC＝DE•sin∠DEC＝6， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：， ∴BE＝CB﹣CE＝2； （2）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝∠BAD＝90°，AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EAD＝90°﹣∠BAE，∠AEB＝90°﹣∠BAE，∠ADE＝∠DEC， ∴∠DEC＝2∠BAE， ∴∠AED＝180﹣∠AEB﹣∠DEC＝90°﹣∠BAE， ∴∠AED＝∠EAD， ∴AD＝ED， ∵， 设DC＝8x，DE＝17x， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：， ∴DE﹣EC＝BC﹣EC＝17x﹣15x＝2， 解得x＝1， ∴AB＝DC＝8； （3）如图3，当点F在线段AE上，过点F作FM∥AD交ED于点M， ∵FM∥AD， ∴△EFM∽△EAD， ∵ ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∵FM∥BC， ∴△FPM∽△CPE， ∴； 当点F在线段EA延长线上，如图4，过点F作FN∥AD交ED的延长线于点N， ∵FM∥AD， ∴△EFN∽△EAD， ∵ ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∵FN∥BC， ∴△FPN∽△CPE， ∴． 综上所述，的值为或． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，解直角三角形，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确利用分类讨论的思想是解题的关键． 36．【定义】若平行四边形的一条内角平分线平分它的一条边，则该平行四边形称为“角分平行四边形”，该角平分线称为“角分线”． 例如：如图1，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线AE交BC于点E，若E为BC边的中点，则称▱ABCD是“角分平行四边形”，AE是“角分线”． 【性质】（1）如图1，从定义上我们可以得到“角分平行四边形ABCD”具有“平行四边形，AE平分∠BAD，BE＝CE”的基本性质，除此之外，还有其它性质吗？请写出其中一条性质，并说明理由． 【判定】（2）如图2，在▱ABCD中，AD＝2AB．求证：四边形ABCD是“角分平行四边形”． 【应用】（3）现计划在如图3所示的“角分平行四边形”ABCD绿地上进行景观美化，其中小路AE是它的“角分线”，另一条小路CM与边AB交于点M，且BM＝2AM，在△AMN和△CEN区域种植同品种的花卉，若△AMN区域的花卉种植费用为a元，求△CEN区域的花卉种植费用（用含有a的式子表示）． 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质得：∠BAE＝∠AEB，则AB＝BE，可知ABBC； （2）如图2，作∠BAD的平分线AE，交BC于点E，证明∠BAE＝∠AEB，则AB＝BE＝CE，即可得结论； （3）如图3，过点E作EF∥AB，交CM于点F，设MA＝a，则BM＝2a，先证明△CEF∽△CBM，再证明△AMN≌△EFN（ASA），则S△AMN＝S△EFN，MN＝FNFMCF，再由三角形面积的关系即可解答． 【解答】（1）解：如图1，ABBC，理由如下： ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∵BE＝CE， ∴AB＝BE＝CE， ∴ABBC； （2）证明：如图2，作∠BAD的平分线AE，交BC于点E， ∴∠DAE＝∠BAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∵AD＝2AB， ∴BC＝2AB， ∴BE＝CE， ∴四边形ABCD是“角分平行四边形”； （3）解：如图3，过点E作EF∥AB，交CM于点F， 设MA＝a，则BM＝2a， 由（1）可得：AB＝BE＝CE＝3a， ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CBM， ∴， ∴， ∴EF＝a，CF＝FM， ∴EF＝AM， ∵EF∥AM， ∴∠AMN＝∠NFE，∠MAN＝∠NEF， ∴△AMN≌△EFN（ASA）， ∴S△AMN＝S△EFN，MN＝FNFMCF， ∴S△EFC＝2S△EFN＝2S△AMN， ∵△AMN区域的花卉种植费用为a元， ∴△CEN区域的花卉种植费用为3a元． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了新定义“角分平行四边形”，等腰三角形的性质和判定，三角形的面积，平行线的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的定义等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 37．在菱形ABCD中，点E为射线BC（不与B点重合）上一动点，连接AE，点F为AE中点，连接BF，将△ABF沿BF翻折得到△GBF，连接GE． （1）如图1，连接AG，GE与AG的位置关系是GE⊥AG ；GE与BF的位置关系是GE∥BF ； （2）如图2，若∠D＝60°，当点E运动到BC中点时，求的值； （3）已知AB＝6，∠D＝60°，若∠AEG＝60°，则CE的长为　9或3　 ． 【分析】（1）由折叠的性质可知BF垂直平分AG，进而利用中位线求解即可； （2）参考（1）中思路，将EG转化为2FK，设BE＝a，则AB＝2a，AEa，AF＝EFa，BF，再利用∠FAK＝∠FBE可得，解△AFK求出FK即可得解； （3）分类讨论，当点E在BC上时，设EG＝2x，进而利用特殊角和中点表示出EF、FK、AK，再证△BFE∽△ABE，可得EB和FB，然后在Rt△ABK中利用勾股定理建立方程求解即可；当点E在BC延长线上时，同理可得△AFB∽△ABE，求出x值，进而解△ABE即可； 【解答】解：（1）连接AG，延长BF交AG于K． 由折叠的性质可知BF垂直平分AG， ∴K是AG中点， ∵F是AE中点， ∴FK是△AEG的中位线， ∴FK∥GE，即GE∥BF， ∵BF⊥AG， ∴GE⊥AG， 故答案为：GE⊥AG，GE∥BF， （2）延长BF交AG于K． 设BE＝a，则AB＝2a， ∴，， ∴， 由（1）可知，GE⊥AG，GE∥BF， ∴∠AKF＝90°＝∠AEB， 又∵∠AFK＝∠BFE， ∴∠FAK＝∠FBE， ∵， ∴， 设FK＝3x，AK＝2x， 在Rt△AFK中，， 解得， 由题意，FK为△AEG的中位线， ∴； （3）1°当点E在BC上时，延长BF交AG于K． ∵∠AGE＝90°，∠AEG＝60°， ∴∠EAG＝30°， 在Rt△AEG中，设EG＝2x，则AE＝4x， ∴EF＝2x，AG＝2x，FKx， ∴AK， ∵BF∥EG， ∴∠BFE＝∠EFG＝60°， ∵∠D＝60°， ∴∠ABE＝60°＝∠BFE， ∵∠BEF＝∠AEB， ∴△BFE∽△ABE， ∴，即， ∴EB＝2x，FB＝3， 在Rt△ABK中，BK2+AK2＝AB2， ∴（3x）2+（x）2＝62， 整理得：2x2+3x﹣9＝0， 解得x（负值舍去）， ∴BE＝2x＝3， ∴CE＝AB﹣BE＝6﹣（3）＝9﹣3； 2°当点E在BC延长线上时， 同理可得△AFB∽△ABE， 设EG＝2x，则AE＝4x， ∴AF＝EF2x， ∴，即， 解得x ∴AE＝4x＝6， 过A作AH⊥BC于点H，则BH，AH， ∴EH3， ∴CE＝BE﹣BC＝BH+EH﹣BC＝3+36＝33； 综上，CE的长为或3； 故答案为：或3． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、中位线的性质定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 38．如图1，点P是▱ABCD（AD＞AB）对角线BD上的一点（BP＞PD），且使得∠ABP＝∠APB，连接AP并延长，交CD于点E． （1）若，求的值． （2）如图2，将△ADP沿AB方向平移到△BCM，求证：∠ADB＝∠MDB． （3）如图3，连接PC，取PC的中点M，连接DM交AE于点F，若，求的值． 【分析】（1）证△BAP∽△DEP，即可得解； （2）由平移易得AP＝MB，AP∥MB，进而导角可证△ABD≌△MBD（SAS），从而得证； （3）取CE的中点G，连接MG，构造中位线，可得，由（2）知，进而得解． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵▱ABCD中AB∥CD， ∴∠BAP＝∠DEP，∠ABP＝∠EDP， ∴△BAP∽△DEP， ∴， ∵▱ABCD中AB＝CD， ∴， ∵CE＝CD﹣DE， ∴； （2）证明：方法一：如图， ∵平移， ∴AP＝MB，AP∥MB， ∴∠APB＝∠PBM， ∵∠ABP＝∠APB， ∴AP＝AB，∠ABP＝∠PBM， ∵AP＝MB，AP＝AB， ∴AB＝MB， 又∵BD＝BD， ∴△ABD≌△MBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠MDB； 方法二：如图，连接AM，交BD于点O， ∵平移， ∴AP＝MB，AP∥MB， ∴∠APB＝∠PBM， ∵∠ABP＝∠APB， ∴AP＝AB，∠ABP＝∠PBM， 又∵AP＝MB，AP＝AB， ∴AB＝MB， ∴BO⊥AM，AO＝MO，即BD垂直平分AM， ∴DA＝DM， ∵BD⊥AM， ∴∠ADB＝∠MDB； 方法三：连接PM，如图， ∵平移， ∴AP＝MB，AP∥MB， ∴四边形APMB是平行四边形， ∵∠ABP＝∠APB， ∴AP＝AB， ∴平行四边形APMB是菱形， ∴AP＝PM，∠APB＝∠MPB， ∴180°﹣∠APB＝180°﹣∠MPB， ∴∠APD＝∠MPD， 又∵PD＝PD， ∴△APD≌△MPD（SAS）， ∴∠ADB＝∠MDB； （3）解：法1：如图所示，取CE的中点G，连接MG． 设CE＝2t，则CD＝8t， 于是，CG＝GE＝t，DE＝6t，DG＝7t， ∵MG是△CPE 的中位线， ∴MG∥EF， ∴， 由（2）中，方法二知，， ∴.； 法2：如图所示，延长DM至点Q，使得QM＝DM，连接PQ，CQ，设∠ABP＝α， ∵M为PC的中点， ∴PM＝CM， ∴四边形CDPQ是平行四边形， ∴PQ＝CD， ∵▱ABCD中AB＝CD， ∴PQ＝AB， ∵AP＝AB， ∴PQ＝PA，∠APB＝∠ABP＝α， ∴∠APD＝180°﹣∠APB＝180°﹣α， 又∵▱ABCD，AB∥CD， ∴∠BDC＝∠ABP＝α， ∵▱CDPQ中，PQ∥CD， ∴∠QPD+∠BDC＝180°， ∴∠QPD＝180°﹣α， ∴∠QPD＝∠APD， 又∵PQ＝PA，PD＝PD， ∴△ADP≌△QDP（SAS）， ∴AD＝DQ， 又∵PQ∥CD， ∴∠CDM＝∠PQM，∠QPF＝∠DEF， ∴△FQP∽△FDE， ∴， ∵DE＝CD＝CE，， ∴， 又∵PQ＝CD， ∴， ∴， ∵AD＝DQ， ∴； 法3：如图，所示延长DM至点Q，使得QM＝DM，连接PQ，CQ，BQ， ∵M为PC的中点 ∴PM＝CM， ∴四边形CDPQ是平行四边形， ∴CD∥PQ，CD＝PQ， ∵▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD， ∴AB∥PQ，AB＝PQ， ∴四边形ABQP是平行四边形， ∵∠ABP＝∠APB， ∴AP＝AB， ∴▱ABQP是菱形， ∴AB＝BQ，∠ABP＝∠QBP， ∴∠ABD＝∠QBD， 在△ABD和△QBD中， ， ∴△ABD≌△QBD， ∴∠ADB＝∠QDB， ∵AB∥CD， ∴∠ABP＝∠EDP， ∵∠ABP＝∠APB，∠EPD＝∠APB， ∴∠EPD＝∠EDP， ∵∠ADP+∠DAP＝∠EPD， ∴∠ADP+∠DAP＝∠QDP+∠CDF， ∴∠DAE＝∠EDF， ∵∠AED＝∠DEF， ∴△DAE∽△FDE， ∴， 设CE＝a，由知CD＝4a，则DE＝3a， ∵∠EPD＝∠EDP， ∴DE＝PE＝3a， ∵AP＝AB，AB＝CD＝4a， ∴AP＝4a， ∴AE＝7a， ∴． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 39．综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的A4纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类A4矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类A4矩形？ 【分析并解决问题】 （1）学习小组利用一张A4纸ABCD对折一次，使AB与DC重合，折叠过程如图1所示，其中AB＝a，．求证：四边形CDMN是类A4矩形； （2）学习小组利用一张正方形纸片ABCD折叠2次，展开后得折痕BD，DE，再将其沿FG折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形CDFG是类A4矩形； 【拓展】 （3）如图3，四边形ABCD纸片中，AC垂直平分BD，，BD＝10，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上，再沿FG，GH折叠，使得点C，D的对应点分别落在AC，BD上，若四边形EFGH是类A4矩形，请直接写出EF的值． 【分析】（1）先证明，再证明四边形CDMN是矩形，即可得结论； （2）如图2，由折叠得：∠AFG＝∠DFG＝90°，先证明四边形CDFG是矩形，如图3，设CE＝x，CD＝y，则EM＝x，根据折叠的性质和等腰直角三角形的性质表示CD，CG的长，即可解答； （3）设AC与BD交于点O，分两种情况：或，①如图4，当时，EFFG，根据△BEF∽△BAC，△CFG∽△CBD，列比例式即可得结论；②如图5，当时，FGEF，同理可得结论． 【解答】（1）证明：如图1，由折叠得：AM＝DMAD，∠AMN＝∠DMN＝90°， ∵AB＝a，四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝a，∠C＝∠D＝90°， ∴， ∵∠DMN＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴四边形CDMN是类A4矩形； （2）证明：如图2，由折叠得：∠AFG＝∠DFG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD， ∴∠DFG＝∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴四边形CDFG是矩形， 如图3，设CE＝x，CD＝y，则EM＝x， 由折叠得：∠DME＝∠C＝90°＝∠EMB，BG＝EG， ∵∠CBD＝45°， ∴△BEM是等腰直角三角形， ∴BEx， ∴x+x＝y， ∵BG＝EG，BEx， ∴EGx， ∴， ∴四边形CDFG是类A4矩形； （3）设AC与BD交于点O， ∵AC垂直平分BD， ∴AC⊥BD， ∵四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上， ∴EF∥AC， 同理得：FG∥BD，GH∥AC， ∵四边形EFGH是类A4矩形， ∴或， ①如图4，当时，EFFG， ∵EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， ∴， ∵AC＝10， ∴， ∵FG∥BD， ∴△CFG∽△CBD， ∴， ∴， ∴， ∴BF＝CF， ∴， ∴EFAC＝5； ②如图5，当时，FGEF， 由①同理得：△BEF∽△BAC， ∴，即， ∴EF， ∵∴△CFG∽△CBD， ∴，即， ∴EF， ∴， ∴CF＝2BF， ∴， ∴EF； 综上，EF的长为5或． 【点评】本题是四边形的综合题，解题的关键是掌握折叠的性质，矩形的性质和判定，新定义类A4矩形的理解和运用，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握折叠的性质和新定义的运用是解本题的关键． 40．将线段AB绕点A逆时针旋转两次，分别得到线段AC和线段AD，连接BC，CD，过点D作DH⊥BC交射线BC于点H． （1）如图1，若∠DAB＝90°，∠CAB＝50°．求∠HDC的度数； （2）如图2，若∠DAB＝90°，90°＜∠CAB＜180°，将线段DA绕点D逆时针旋转90°至线段DE，连接EH，请探究EH与BC的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若∠DAB＝60°，0°＜∠CAB＜180°，AB＝6，请延长射线BC与射线AD交于点F，当B时，求HC的长度． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质﹣等边对等角导角，再利用四边形的内角和为360°，即可推导出答案； （2）连接BD，可得B、D、C三点均在以A为圆心、AB长为半径的圆弧上，继而得到∠DCH＝45°，再证明△CDB∽△HDE，可得，即BC； （3）当0°＜∠CAB＜60°时，如图3所示，作BJ⊥AD于点J，可得△ABD为等边三角形，则AJ＝DJ＝3，BJ＝AB•sin60°，运用勾股定理可得BF，再根据sin∠JFB＝sin∠HFD，可得，即，可得DH，又D、C、B在以A为圆心、AB长为半径的圆弧上，从而可得∠DCB＝150°，∠DCH＝30°，故CH； 当60°＜∠CAB＜180°时，如图4所示，作BJ⊥AD于点J，同理可证得∠DCH＝30°，BJ，由勾股定理可得BF，根据cos∠FBJ＝cos∠FDH，可得，即，可得DH，所以HC，综上，HC的长为或． 【解答】解：（1）由题意可知AB＝AC＝AD，∠DAB＝90°，∠CAB＝50°， ∴∠DAC＝40°， ∴∠B65°，∠ADC70°， 根据四边形ABHD内角和为360°可得∠HDC＝360°﹣180°﹣65°﹣70°＝45°． （利用B、C、D在以A为圆心，AB长为半径的圆上，根据圆内接四边形性质亦可证）． （2）证明：BC，理由如下： 连接BD，如图2所示， 由题可得DE＝AD＝AB＝AC，∠ADE＝90°，∠BDE＝45°． ∵AB＝AD＝AC，∠DAB＝90°， ∴B、D、C三点均在以A为圆心、AB长为半径的圆弧上，如图2所示， ∴∠DCH＝45°， ∵DH⊥BC， ∴∠CDH＝45°， ∴∠CDH+∠HDB＝∠BDE+∠HDB，即∠CDB＝∠HDE， 又∵，， ∴， 故△CDB∽△HDE， ∴，即BC． （3）当0°＜∠CAB＜60°时，如图3所示， 作BJ⊥AD于点J， ∵△ABD为等边三角形， 则AJ＝DJ＝3，BJ＝AB•sin60°， ∵， ∴JF＝3+2＝5，BF， ∵sin∠JFB＝sin∠HFD， ∴，即， 解得DH， ∵AD＝AC＝AB，∠DAB＝60°，故D、C、B在以A为圆心、AB长为半径的圆弧上， 从而可得∠DCB＝150°，∠DCH＝30°， 故CH． 当60°＜∠CAB＜180°时，如图4所示， 作BJ⊥AD于点J，同理可证得∠DCH＝30°，BJ， ∴JF＝3﹣2＝1，BF． ∵cos∠FBJ＝cos∠FDH， ∴，即， 解得DH， ∴HC． 综上，HC的长为或． 【点评】本题考查了旋转变换的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理推论，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数，综合性强，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键． 41．综合与实践 【问题情境】 求方程x2+12x﹣15＝0的解，就是求二次函数y＝x2+12x﹣15的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，小亮取了自变量x的4个值，再分别算出相应的y值，列表得： x的值 0 1 2 3 y＝x2+12x﹣15的值 ﹣15 ﹣2 13 30 小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为x，即1＜x＜2． 进一步取值，得到如表： x的值 1.0 1.1 1.2 1.3 y＝x2+12x﹣15的值 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 得出结论：1.1＜x＜1.2． 【操作判断】 （1）若方程ax2+bx+c＝0（a＜0）在实数范围内有两个解x1、x2（其中x1＜x2） 根据下列表格 x的值 1 1.5 2 2.5 ax2+bx+c的值 ﹣5 ﹣1 4 10 你能得出 x1 的大致范围（填“x1”或“x2”）；请你写出这个解的取值范围：　1.5＜x1＜2　 ； 【实践探究】 已知二次函数y＝x2﹣（3+n）x+3n+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． （2）若其中一个交点的横坐标x满足5＜x＜6，求出n的取值范围． （3）不论n为何值，二次函数y＝x2﹣（3+n）x+3n+4必过定点E． ①求E点坐标； ②连结AE、BE，若∠AEB＝45°，请求出n的值． 【分析】（1）根据a＜0得到图象开口向上，再根据表格即可求出结果； （2）根据题意得到①或②，计算求解即可； （3）①将函数变形为y＝（x﹣3）n+x2﹣3x+4，根据当x＝3时，不论n取何值，y恒等于4，即可求出结果； ②过点A作AD⊥AE交BE于点D，分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F，证出△EHA≌△AFD，设A（x1，0），B（x2，0），得到∠DBF＝∠EBH，∠DFB＝∠EHB，得到△BDF∽△BEH，，整理得到4（x2﹣x1）＝x1•x2﹣3（x1+x2）+25，对于函数y＝x2﹣（3+n）x+3n+4令y＝0，得到方程x2﹣（3+n）x+3n+4＝0，由求根公式得到，，并代入4（x2﹣x1）＝x1•x2﹣3（x1+x2）+25中，计算即可求出． 【解答】解：（1）∵a＜0， ∴当x时，y随x增大而增大， 根据表格可发现，表格给的数据是y随x增大而增大， ∴可得出x1的大致范围， ∵﹣1＜ax2+bx+c＝0＜4， ∴1.5＜x1＜2， 故答案为：x1，1.5＜x1＜2； （2）当x＝5时，y＝﹣2n+14； 当x＝6时，y＝﹣3n+22． ∵仅有一个交点的横坐标x满足5＜x＜6， ∴①或 ②， 解①得：， 解②得：无解， 综上，n的取值范围为：； （3）①将函数变形为y＝（x﹣3）n+x2﹣3x+4， 由上式可知，当 x＝3 时，不论n取何值，y恒等于4， 故E点的坐标为（3，4）； ②如图1，过点A作AD⊥AE交BE 于点D，由∠AEB＝45°可得△AED 为等腰直角三角形．分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F ， ∴∠EHA＝∠DFA，∠AEH＝∠DAF＝90°﹣∠EAH，AE＝AD， ∴△EHA≌△AFD（AAS）， 设A（x1，0），B（x2，0），由题意可知，x1＜x2， ∵E（3，4）， ∴EH＝AF＝4，HA＝DF＝x1﹣3，BF＝x2﹣x1﹣4， ∵∠DBF＝∠EBH，∠DFB＝∠EHB， ∴△BDF∽△BEH， ∴，即， 整理得：4（x2﹣x1）＝x1•x2﹣3（x1+x2）+25（★）， 对于函数y＝x2﹣（3+n）x+3n+4， 令y＝0，得到方程x2﹣（3+n）x+3n+4＝0， 方程的判别式Δ＝（n+3）2﹣4（3n+4）＝n2﹣6n﹣7， 据题意，△＞0． 由求根公式，得，， 代入（★）式，得n2﹣6n﹣32＝0， 解得，此时满足△＞0． 其中，当时，情况如图2所示． 故． 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合运用； 42．定义：在▱ABCD中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“N字平行四边形”． （1）下面的图形中是“N字平行四边形”的有：C ； A．正方形 B．矩形 C．有一个角是60°的菱形 D．有一个角是60°的平行四边形 E．有一个角是45°的平行四边形 （2）在“N字平行四边形”中，∠A＝45°，AB＞BC，则 　　 ； （3）如图1，在“N字平行四边形ABCD”中，∠B＝75°，AB＝AC＝8，点F是AB边上一点，FG∥AC，FG与DC的延长线交于点G，若▱AFGC为“N字平行四边形”，求AF的值； （4）如图2，在矩形ABCD中，点E、F分别是BC边和AD边上的点，四边形BEDF为“N字平行四边形”，若AB＝2AF，求的值． 【分析】（1）根据选项逐一判断即可； （2）画出图形，证明△ABD是等腰直角三角形即可得解； （3）由题易得∠ACG＝∠ACB+∠BCG＝150°，则▱AFGC为“N字平行四边形”，只能分为两种情况：①当CF＝AF时，∠FCA＝∠FAC＝30°，②当CF＝AC时，∠CAF＝∠AFC＝30°，再分别求解即可； （4）过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N，分两种情况：①当FB＝FE时，②当EB＝EF时，分别画出图形求解即可． 【解答】（1）解：正方形的对角线是边长的倍，故A选项不是； 矩形的对角线是直角三角形的斜边比边长大，故B选项不是； 有一个角是60°的菱形必定包含等边三角形， 会有一条对角线等于边长，故C选项是； 有一个角是60°的平行四边形和有一个角是45°的平行四边形并不必然出现对角线等于边长，故D、E选项均不是； 故选：C； （2）解：如图， ∵▱ABCD是“N字平行四边形”， ∴DA＝DB， ∵∠A＝45°， ∴∠ABD＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：连接AG，CF， ∵在N字▱ABCD中，∠B＝75°，AB＝AC＝8， ∴∠B＝∠ACB＝75°，∠BAC＝30°． ∵AB∥DG， ∴∠B＝∠BCG＝75°， ∴∠ACG＝∠ACB+∠BCG＝150°， 由大角对大边可得AG＞AC，AG＞GC， 若▱AFGC为“N字平行四边形”，只能分为以下几种情况： ①当CF＝AF时，∠FCA＝∠FAC＝30°， 过点F作FH⊥AC于点H，可得点H为AC的中点，AF＝2HF，， 又∵AC＝8， ∴， ∴，； ②当CF＝AC时，∠CAF＝∠AFC＝30°，此时，∠ACF＝120°＞∠ACB矛盾． 综上，若▱AFGC为N字平行四边形，； （4）过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，AB＝DC＝FN， ∵四边形BEDF为平行四边形， ∴FD＝BE，FB＝DE， ∴AF＝AD﹣FD，CE＝BC﹣BE，即AF＝CE． ∵四边形BEDF为N字平行四边形， 又∵BD＞BE，BD＞DE， ∴有以下两种情况： ①当FB＝FE时， ∵FN⊥BE， ∴N为BE的中点， ∴BN＝NE． 在矩形ABNF中，AF＝BN， 又∵AF＝CE， ∴BN＝NE＝CE＝AF， ∴BC＝BN+NE+CE＝3AF， ∵AB＝2AF， ∴； ②当EB＝EF时， ∵EM⊥BF， ∴M为BF的中点，， 设AF＝t，则AB＝2t，，， ∵EM⊥BF， ∴∠EMB＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠MBE， ∴Rt△BAF∽Rt△EMB， ∴AF：AB：BF＝MB：ME：BE＝1：2：， 由可得， ∴， ∴； 综上，或． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 43．民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人“是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点F处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台AB上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网MN，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知；点A的坐标为（0，8），OC＝11.4m，CE＝2.1m，，∠FEC＝135°，AB＝1m． （1）当抛物线过点B，且与y轴交于点H（0，6）时，点F的坐标为 　（10，3.5）　 ，抛物线的解析式为 yx2x+6　 ； （2）在（1）的条件下，若点N的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网MN（线段MN）的长度至少为多少米； （3）设该抛物线的表达式为y＝ax2﹣8ax+c，若抛射点F不变，为保证演员表演时落在平台AB上（即抛物线与线段AB有交点），请直接写出a的取值范围． 【分析】（1）作辅助线构建等腰直角△EFL，确定点B，F的坐标，利用待定系数法即可解答； （2）为使演员在演出时不受伤害，抛物线要经过点M，可得点M的坐标，计算MN的长即可解答； （3）分别计算边界点时a的值，即将点A和点B的坐标代入y＝ax2﹣8ax+c中即可解答． 【解答】解：（1）∵A（0，8），AB＝1， ∴B（1，8）， 如图1，过点F作FK⊥x轴于K，过点E作EL⊥FK于L， ∴∠ELF＝90°， ∵∠FEC＝135°，∠LEC＝90°， ∴∠FEL＝45°， ∴△LEF是等腰直角三角形， ∴FL＝LE， ∵EF， ∴EL＝FL1.4， ∵EC＝LK＝2.1， ∴FK＝LF+LK＝1.4+2.1＝3.5， ∵OC＝11.4，KC＝LE＝1.4， ∴OK＝10， ∴点F的坐标为（10，3.5）， 设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c， 把点B（1，8），H（0，6），F（10，3.5）分别代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：yx2x+6； 故答案为：（10，3.5），yx2x+6； （2）∵MN∥x轴，N（8，）， ∴点M的纵坐标为， 当y时，x2x+6， 解得：x1＝10（舍），x2＝﹣1， ∴MN＝8﹣（﹣1）＝9， ∴保护网MN（线段MN）的长度至少为9米； （3）将点F（10，3.5）代入y＝ax2﹣8ax+c中， 100a﹣80a+c＝3.5， ∴20a+c＝3.5①， 当抛物线经过点A（0，8）时，c＝8， 代入①中，20a+8＝3.5， ∴a， 当抛物线y＝ax2﹣8ax+c中经过点B（1，8）时，8＝a﹣8a+c②， 联立①②得：a， 综上，a的取值范围是a． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等等知识，掌握二次函数的性质，理解题意是解本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/8 20:18:36；用户：罗帅；邮箱：17729846990；学号：37340701 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $