精品解析：2026年四川省宜宾市第二中学校九年级第二次诊断性考试数学试题

宜宾市二中2026年春期九年级第二次诊断性考试 数学试卷 （考试时间：120分钟；全卷满分：150分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上． 1. 下列各数中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴最小的数为 ． 2. 如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据几何体，确定其三视图，进行判断即可． 【详解】解：圆锥的主视图和左视图相同且均为三角形，俯视图为圆； 故选：A． 3. 使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得，求出，从而可判断出正确答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， 在数轴上表示为： 4. 如图， 的半径长为1， ， 分别与 相切于A，B两点， ，则劣弧的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，多边形内角与外角及切线的性质，熟知切线的性质及弧长的计算公式是解题的关键． 根据切线的性质，求出和的度数，再结合 的度数，得出的度数，最后借助于弧长公式即可解决问题． 【详解】解：∵分别与 相切于 两点， ， 又， ， 又∵ 的半径长为1， ∴劣弧的长度为：． 故选：B． 5. 如图，一束光线 从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知 ，延长 交 于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角、根据对顶角相等，角的和差关系计算的度数，再应用平行线的性质得到的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 6. 《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理．设门高 尺，则宽为尺，而对角线长为10尺，利用勾股定理可得关于x的一元二次方程． 【详解】解：设门高 尺，则宽为尺，而对角线长为10尺， ∴由勾股定理得， 故选：D． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据 ， ，，，这组数据的中位数是 B. 了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查 C. 小明的三次数学成绩是 分， 分， 分，则小明这三次成绩的平均数是 分 D. 甲、乙两人射中环数的方差分别为，，说明甲的射击成绩比乙好 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A：这组数的第 个数为 ，第个数为， ∴中位数为，故A错误； 对于选项B：调查灯泡使用寿命具有破坏性，无法进行全面调查， ∴适合抽样调查，故B正确； 对于选项C：小明三次成绩的平均数为，故C错误； 对于选项D：方差越小数据波动越小，成绩越稳定，，只能说明甲成绩比乙稳定，不能说明甲的整体射击成绩比乙好，故D错误． 8. 如图，为了测量池塘A、B两端的距离，在线段 的一侧取点C作 ．并延长至D，使；延长 至E，使．连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键．根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：， ∴点A是 中点，点B是 中点， ∴ 是的中位线， ∴， ∵， ． 故选：． 9. 如图，在菱形中， ，点A在反比例函数的图象上，点B在x 轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，三角函数的定义，勾股定理，菱形的性质，过点A作轴于点D，根据，得出，设，则 ，得出，根据点A在反比例函数的图象上，求出 ，根据勾股定理求出，根据菱形性质得出，求出k的值即可． 【详解】解：过点A作轴于点D，如图所示： ∵ ， ∴， ∴， 设，则 ， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 解得： ，负值舍去， 经检验 是方程的解， ∴， ∴， ∵菱形中 ， ∴， ∵顶点 落在反比例函数的图象上， ∴． 故选：C． 10. 如图，正方形中，点E、F分别在 上，，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握“半角模型” 的辅助线构造是解题的关键． 延长 至点 ，使得，连接 ，先证明，再证明，则，设，则 ，，设 ，则，，在中，由勾股定理得，解得，即可求解比值． 【详解】解：延长 至点 ，使得，连接 ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，∵， ∴， 设 ，则，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 11. 如图，锐角三角形中，， 边上的中线，则 的面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】通过倍长中线法构造全等三角形，将 的面积转化为的面积，利用勾股定理和完全平方公式建立边长关系，结合基本不等式求出面积最大值． 【详解】解：如图，延长至点E，使，连接 ， ∵是 边上的中线， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 过点A作交 的延长线于点H， 设 ，， 在 中，， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，当且仅当时取等号， ∴， 即， ∴， 当时， 为等边三角形，也是锐角三角形，符合题意． 12. 若 时，二次函数的最小值为，则 的值是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先判断二次函数开口方向，求出对称轴，根据对称轴与给定区间的位置关系分三种情况讨论，舍去不符合条件的解，即可得到正确结果． 【详解】∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 此时分三种情况讨论： ①当，即时， 在 范围内，y随x的增大而增大，当时，y取得最小值， ∴， 解得， ∵，不符合条件，舍去； ②当，即时， 二次函数最小值在对称轴处取得，将代入得： ， 解得，均不在范围内，舍去； ③ 当，即时， 在 范围内，y随x的增大而减小，当时，y取得最小值， ， 解得，符合的条件， ∴． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将答案直接填在答题卡对应题目中横线上． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解： . 14. 在一次函数的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，， 时，函数图象经过第一、二、四象限，则有即可求解； 【详解】解∶的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；熟练掌握一次函数，k与b对函数图象的影响是解题的关 键． 15. 若是方程的两个根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据方程的解的定义可得，根据根与系数的关系可得，再由计算求解即可． 【详解】解：∵， 是方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16. 已知a、b是整数，；且，，，则m的值是_____． 【答案】 5 【解析】 【分析】根据已知等量关系得到与相等，结合不等式确定b的取值范围，利用b为整数确定b的值，再求出对应a的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴ 解不等式，得， 解不等式，得， ∵b是整数， ∴， 把代入得：， 解得 ， 将 ，代入得：． 17. 如图，在 中，，，，P是直线 上方的一个动点，且，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意确定点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆上的劣弧，利用相似三角形在射线 上构造点E，使得，将转化为，利用两点之间线段最短求解． 【详解】解：∵，，  ∴点A，B在以C为圆心，2为半径的圆上， ∵ ， ∴点P在以C为圆心，2为半径的圆的劣弧 上， ∴， 如图，在射线 上取一点E，使得，连接， ， ∵，， ， ∴，， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， 当A，P，E三点共线时，的值最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， ∴， ∴ 的最小值为 ． 18. 如图，在 中，，点分别是边上的动点，满足，，且四边形的面积为，则 面积的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等，过点 作于 ，于 ，可证，可得 ，即得点 在的角平分线上，可知当时， 最短，此时 的面积最小，由全等三角形的性质可得，又由得，再证明，可得 为等边三角形，，解直角三角形求出可得，即可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点 作于 ，于 ，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴ ， ∵于 ，于 ， ∴点 在的角平分线上， 当时， 最短，此时 的面积最小， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴，， ∴ 为等边三角形，， ∴， 设，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 面积的最小值是， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答中应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算及解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 变形，得， 两边同乘以，得， 移项，得， 合并同类项，得 ， 经检验， 是原方程的解． 20. 已知：如图，点E、F在 上，与交于点G，．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴为等腰三角形， ∴ ∵在和 中， ∴ 在和 中， ， ∴， ∴ 又∵ ∴ 即 ． 【解析】 【分析】由 得出为等腰三角形，即再判定，根据，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是能判定出． 21. 2026年4月23日是第31个世界读书日，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用 表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按 ， ， ， 分为四个等级，并依次用 ，，，表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题： （1）求本次调查的学生人数； （2）求扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整； （3）甲、乙、丙三位同学都是等级的同学，现从他们3人中选2人参加读书分享，请用画树状图或列表法表示所有可能情况，并求甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】（1） （2），补全条形统计图如下： ； （3） 【解析】 【分析】（1）由扇形统计图和条形统计图中A等级占比及人数情况计算即可； （2）先求出D等级人数，进而得到B等级人数，求出B等级人数占比即可求出扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数；补全条形统计图即可； （3）运用列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数为 （人）； 【小问2详解】 解：D等级人数为 （人）， B等级人数为 （人）， 则扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为 ； 补全条形统计图略 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 甲 — 甲乙 甲丙 乙 乙甲 — 乙丙 丙 丙甲 丙乙 — 由表可知共有6种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的有2种，则甲、乙两人同时被选中的概率为． 22. 小晨所在数学兴趣小组开展实践活动，记录如下： 项目 测量建筑物 的高度 工具 卷尺，测角仪等 测量示意图 测量数据 ， 说明 水平地面上方有一水平的平台 ， ，所有点均在同一竖直平面内 问题 求出建筑物 的高度．（结果保留两位小数；参考数据：） 【答案】建筑物 的高度约是 【解析】 【分析】延长 交于点 ，设，则．再解 ，得；解，得．根据，得，求出x值，然后由求解即可． 【详解】解：如图，延长 交于点 ， 由题意得：，，设，则． 在 中，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴，解得：， ∴， 故建筑物 的高度约是． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以 为底边的等腰三角形，求的面积； （3）点P为反比例函数图象上一点，连接 ，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）8 （3）点P坐标为 【解析】 【分析】（1）先求出一次函数的解析式，然后可得点B坐标，进而问题可求解； （2）设点M坐标为，则点N坐标为，过点B作 于点H，然后可得，进而问题可求解； （3）取 中点C，过点C作 交x轴于点D，连接，则与反比例函数图象交点即为点P，过点B作轴于点H，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：将代入，得， 把点代入一次函数得：， ， ； 【小问2详解】 解：设点M坐标为，则点N坐标为， 过点B作 于点H， ， ， 由（1）可知， ， 解得： ， （舍）， ； 【小问3详解】 解：取 中点C，过点C作 交x轴于点D 连接，则与反比例函数图象交点即为点P 过点B作轴于点H ， ∵，，且点C为 的中点 ∴，， 直线的函数表达式为 联立，解得或（舍） 点P坐标为． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24. 如图，四边形内接于 ，连接 、交于点 ，，过点作 交 的延长线于点 ． （1）求证：是 的切线； （2）求证：； （3）若 ，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接并延长交 于点 ， ∵， ∴，即点为的中点， ∴， ∵ ， ∴， ∴是 的切线； （2） 证明：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交 于点 ，由可知，点为的中点，根据垂径定理的推论可知，结合 可得，，因此命题得证； （2）由 可得，由圆周角定理可得，，从而证明，则，结合即可证明命题； （3）容易证明，则．设，则，由勾股定理可得，从而求出，，在中，使用勾股定理构造方程，求出，进而得到，，，．先利用（2）的结论计算出 ，再使用勾股定理计算出 ，最后作差求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵ ， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴，，，， 由（2）可知，， ∴， 在中，， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴相交于、两点；与 轴交于点 ，，点为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式； （2）点 为该抛物线上一动点，过点 且与 轴垂直的直线交线段 于 ，交 轴于点 ．若，求点 的横坐标； （3）点 是 轴上一动点，将顶点绕点 旋转 后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点 的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）先求出 ，解直角三角形得到，则；再利用待定系数法求解即可； （2）求出直线 的表达式为 ；设，则，则，，根据t的取值范围和，建立方程求解即可； （3）求出，设，由旋转得，当 时，过点 作 轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入 ，得，解方程即可；当 时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； ∵在 中，， ， ∴， ∴， ∴； ∵抛物线 与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为 ； 【小问2详解】 解：设直线 的表达式为， ∴， ∴， ∴直线 的表达式为 ； 设，则， ∴，， 当时，， ∵， ∴， 解得或（舍去）； ∴点M的横坐标为； 【小问3详解】 解：∵ ， ∴； 设， 由旋转得， 当 时， 过点 作 轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入 得， 整理得， 解得， ∴或； 当 时，过点 作 轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入 ， 得， 整理得， 解得， ∴或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市二中2026年春期九年级第二次诊断性考试 数学试卷 （考试时间：120分钟；全卷满分：150分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上． 1. 下列各数中最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图， 的半径长为1， ， 分别与 相切于A，B两点， ，则劣弧的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一束光线 从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知 ，延长 交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据，，，，这组数据的中位数是 B. 了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查 C. 小明的三次数学成绩是 分， 分， 分，则小明这三次成绩的平均数是 分 D. 甲、乙两人射中环数的方差分别为，，说明甲的射击成绩比乙好 8. 如图，为了测量池塘A、B两端的距离，在线段 的一侧取点C作．并延长至D，使；延长 至E，使．连接，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中， ，点A在反比例函数的图象上，点B在x 轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. 3 C. D. 10. 如图，正方形中，点E、F分别在 上，，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，锐角三角形中，，边上的中线，则的面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 5 12. 若 时，二次函数的最小值为，则 的值是（ ） A. B. C. D. 5 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将答案直接填在答题卡对应题目中横线上． 13. 分解因式：______． 14. 在一次函数的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围为___________． 15. 若是方程的两个根，则的值为_________． 16. 已知a、b是整数，；且，，，则m的值是_____． 17. 如图，在中，，，，P是直线 上方的一个动点，且，则的最小值为_____． 18. 如图，在中，，点分别是边上的动点，满足，，且四边形的面积为，则面积的最小值是______． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答中应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算及解方程： （1）； （2）． 20. 已知：如图，点E、F在上，与交于点G，．求证：． 21. 2026年4月23日是第31个世界读书日，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用 表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按 ， ， ， 分为四个等级，并依次用 ， ，，表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题： （1）求本次调查的学生人数； （2）求扇形统计图中等级 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整； （3）甲、乙、丙三位同学都是等级的同学，现从他们3人中选2人参加读书分享，请用画树状图或列表法表示所有可能情况，并求甲、乙两人同时被选中的概率． 22. 小晨所在数学兴趣小组开展实践活动，记录如下： 项目 测量建筑物 的高度 工具 卷尺，测角仪等 测量示意图 测量数据 ， 说明 水平地面上方有一水平的平台， ，所有点均在同一竖直平面内 问题 求出建筑物 的高度．（结果保留两位小数；参考数据：） 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以 为底边的等腰三角形，求的面积； （3）点P为反比例函数图象上一点，连接 ，若，求点P的坐标． 24. 如图，四边形内接于 ，连接、交于点 ，，过点作 交的延长线于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）求证：； （3）若 ，， ，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴相交于、两点；与 轴交于点 ，，点为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式； （2）点 为该抛物线上一动点，过点 且与 轴垂直的直线交线段于 ，交 轴于点 ．若，求点 的横坐标； （3）点 是 轴上一动点，将顶点绕点 旋转后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $