考点18 直线与直线垂直&直线与平面垂直（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

考点18 直线与直线垂直&直线与平面垂直 考点一：异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 考点二：直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 考点三：直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 考点四：直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 题型一：求异面直线所成的角 求异面直线所成角时，先利用平移法将两条异面直线平移到同一个点，使其成为相交直线，再根据定义取所成的锐角或直角，角的范围为。一般通过中位线、平行四边形进行平移，再在三角形中用勾股定理或三角函数计算角度，最后验证是否符合锐角或直角要求。 【例1】已知在正方体中，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以即为直线与所成的角， 设正方体的棱长为， 则，， 在中，， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 【例2】如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，将直四棱柱补成正六棱柱， 连接，，显然， 则即为直线与所成的角或其补角． 设，则， 又， 则， 解得， 又， ， 则为正三角形，从而， 则直线与所成的角为． 【变式1-1】在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】 如图，正方体中，为线段的中点，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形，， 异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，， ，即是直角三角形，， 即异面直线与所成角的余弦值为. 【变式1-2】在正四棱锥中，为棱上的点，且，设平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的正切值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 连接并延长交的延长线于点，则点为平面与平面的公共点， 所以即为直线，因为，所以（或其补角）为异面直线与所成的角． 取的中点，连接，则， 设，则，，， 所以，所以异面直线与所成角的正切值为. 【变式1-3】如图所示，三棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】 【详解】（1）证明 假设与共面，设平面为， 因为，，，所以平面即为平面，所以平面， 这与平面矛盾， 所以与是异面直线． （2）取的中点，连接，，则，所以（或其补角）就是异面直线与所成的角． 因为，，平面， 所以，，，， 故异面直线与所成角的余弦值为． 题型二：已知异面直线的夹角求其他量 【例3】在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】 如图所示，分别取，中点，，连接，，，，， 则，，，，且，， 所以四边形为平行四边形， 又异面直线，夹角为， 或， 当时，在中由余弦定理得 ， 即； 当时，在中由余弦定理得 ， 即， 故选：D. 【例4】在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. (1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小. 【答案】(1)60° (2)或 【详解】（1）如图，取AD的中点为P，连接PM､PN. 因为点M､N分别为BD､AC的中点，所以，，且，， 所以，为直线AB与CD所成的角（或补角），为直线AB与MN所成的角（或补角）. 又，所以，即为等腰三角形. 直线AB与MN所成角为60°，即，则. 所以，直线AB与CD所成的角为60°. （2）（2）若直线AB与CD所成的角为，则或. 若，则，即直线AB与MN所成角为； 若，则，即直线AB与MN所成角为. 综上所述，直线AB与MN所成的角为或. 【变式2-1】如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 【答案】C 【详解】过作直线，使得，在直线上取，连接，如下图： 因为，且，所以， 因为，，设，所以， 因为，且，所以，，则， 由图可知，则， 因为异面直线所成的角为，且，所以或， 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得； 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得. 故选：C. 【变式2-2】如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    【答案】或 【详解】因为分别是三棱锥的棱的中点， 所以为的中位线，故且， 同理GH为的中位线，故且， 所以，所以四边形是平行四边形且． 同理且． 因为与所成的角为，所以或， 当时，为等边三角形，故； 当时，为等腰三角形，故． 【变式2-3】如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为_____. 【答案】2 【详解】连接，如图， 在直三棱柱中，， 则（或其补角）是异面直线与所成的角，所以， 设三棱柱的高为，在和中，， 所以是等腰三角形. 因为，所以， 所以，所以该三棱柱的高为2. 故答案为：2. 题型三：证明异面直线垂直 通过异面直线所成角为来判断垂直。也可结合平行线的传递性，若一条直线垂直于某直线，它也垂直于与该直线平行的直线。 【例5】在空间四边形中，互相垂直的边最多有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【详解】如图2，考虑正方体中空间四边形CBAM，垂直于的平面一定与直线BC有交点， 故只有3个直角． 故选：C 【例6】在直三棱柱中，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】如图，连接，设，，， 由直三棱柱性质得，， 因为，所以由勾股定理得， 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 由勾股定理得，， 故，则，即． 由直三棱柱性质得，故就是直线与所成的角， 所以得证． 【变式3-1】在正方体中，连接，，则直线，位置关系是（    ） A．异面且垂直 B．异面但不垂直 C．相交且垂直 D．平行 【答案】A 【详解】如图，易知与互为异面直线. 连接，则， 又面，面， 所以，又面， 所以面，又面， 所以. 故选：A 【变式3-2】如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，将展开图重新组合成正方体. 显然. 因此A选项正确.    由图易得，显然与所成角非直角，因此异面直线与所成角也非直角，所以不成立. 因此B、C选项不正确. 由图易得，显然与相交，因此不成立. 因此D选项不正确. 故选：A 【变式3-3】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 【答案】(1)60° (2)90° 【分析】 【详解】（1）如图所示，连接AC，AB1. 由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形， ∴ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角. 在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°. （2）如图所示，连接BD.由（1）知ACA1C1， ∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角. ∵EF是△ABD的中位线，∴EFBD. 又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF， ∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°. 题型四：线面垂直的性质定理与判定定理的命题的判断 判定定理是线线垂直→线面垂直，条件是直线垂直平面内两条相交直线；性质定理是线面垂直→线线平行，条件是两条直线垂直于同一个平面。做题时要分清已知和结论：已知线线垂直证线面垂直用判定，已知线面垂直证线线平行用性质，不可混用。 【例7】已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】对于A，若，，则两直线可以平行，可以垂直，可以异面，因此A错误； 对于B，若，，则，因此B正确； 对于C，当时，若，可以满足，但不成立，即C错误； 对于D，若，，也可能满足，所以D错误. 【例8】在正方体中，下列结论错误的是（   ） A．∥平面 B．平面 C．存在过的平面，使得 D．存在过的平面，使得 【答案】D 【详解】对于A，因为，平面，平面， 所以平面，故A项正确； 对于B，易证平面，又平面，所以， 同理可得，又，平面，， 所以平面，故B项正确； 对于C，由，平面，平面，得平面， 所以平面即为平面，故C项正确； 对于D，假设，因为，所以， 又，，平面，， 所以平面，这明显错误，所以假设不成立，故D项错误. 故选：D. 【变式4-1】已知直线，及平面，有下列命题：①；②；③；④.则其中正确命题的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】①或，故错误； ②，或与相交，故错误； ③或，故错误； ④由直线与平面垂直的性质知，正确， 故选：C. 【变式4-2】给出下列两个命题：：设直线a不在平面上，若直线a与平面不平行，则平面上不存在与a平行的直线；：设l，m，n均为直线，其中m，n在平面上，则“”是“且”的充分不必要条件.则（   ） A．是真命题，是假命题 B．是真命题，是真命题 C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题 【答案】B 【详解】：由条件知，，即“平面上不存在与平行的直线”，则真命题； ：由条件知，且，反之，时不成立，即充分不必要条件，则真命题. 故选：B 【变式4-3】设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题： ①若，，则.②若，，则. ③若，，则.④若，，则. 其中正确命题的序号是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【详解】对于①，若，过作平面，使得， 因为，，，则，因为，，则，故，①对； 对于②，若，，则或或、相交（不一定垂直），②错； 对于③，若，，则，③对； 对于④，若，，则，④对. 故选：A. 题型五：线线垂直↔线面垂直 由线线垂直到线面垂直，必须严格满足判定定理：一条直线垂直于一个平面内两条相交的直线，缺一不可。证明时先找到平面内两条相交直线，分别证明已知直线与它们垂直，再直接得出线面垂直，注意不能用两条平行直线代替相交直线。 【例9】（多选）如图，四面体中，平面，，垂足为，，垂足为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则平面 D．若，则 【答案】BC 【详解】选项A：与异面，则与不平行，故选项A不正确； 选项B：若，易得， 又，，则，所以，故选项B正确； 选项C与选项D： 因为平面，平面，所以， 又，，是平面内两条相交直线， 所以平面，又平面，故． 又，且，是平面内两条相交直线，所以平面． 又平面，故． 又，且，是平面内两条相交直线，所以平面．故选项C正确； 又平面，故． 若与也垂直，由、与共面，则与重合，故选项D不正确． 【例10】如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 【变式5-1】（多选）如图，已知直四棱柱的侧面为正方形，底面为长方形，，，分别为，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABC 【详解】选项A：平面与平面为同一平面，故平面，故A错误； 选项B：易知，与不垂直，故与不垂直，故与平面不垂直，故B错误. 选项C：如图，连接，平面与平面为同一平面，因为与平面相交，所以与平面相交，故C错误. 选项D：因为直四棱柱的底面为长方形，所以，，，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以， 如图，连接，，易知，，故， 因为四边形为正方形，所以，则， 又平面，所以平面，故D正确. 【变式5-2】已知正方体，求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】在正方体中，连接， 因为平面，平面，所以， 由正方形得， 而，平面，因此平面， 而平面，则， 同理，又，平面， 所以平面． 【变式5-3】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】取的中点，连接， 在中，因为点是棱的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，所以， 由底面为菱形，且，可得为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 题型六：求直线与平面所成的角 求线面角先找到直线在平面内的射影，斜线与射影所成锐角即为线面角，范围是。若直线垂直平面，角为；直线平行或在平面内，角为。解题步骤为：作射影→证垂直→找角→算角，通常在直角三角形中计算角度。 【例11】如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【例12】如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面， 又平面，所以. 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，所以，可得， 因平面，故平面. （3）由（2）得平面，所以为直线与平面所成的角. 又，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 【变式6-1】在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______． 【答案】/ 【详解】设的中点为，在底面的投影为，如图， 由对称性可知在上， 就是与底面所成角， 又 ，， 又是等腰直角三角形，， ，， ． 【变式6-2】如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】 【详解】（1）因为，且，所以，. 又为的中线，所以. 因为，所以，所以. 由题意知，为的中线，所以. 而是沿折叠到点的位置，所以 因为，，且，且平面， 所以平面. （2）因为，，，所以平面. 又，所以平面，所以与平面所成的角为. 在中，，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值. 【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，点满足. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与底面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为底面是边长为2的菱形，，所以， 因为底面，底面， 所以， 所以， 因为，所以异面直线与所成角为， 在中，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为点满足，所以点为的四等分点且靠近点C， 所以点到平面的距离为， 在中，，又， 所以， 所以， 所以直线与底面所成角的正弦值为. 题型七：补全线面垂直的条件 补全线面垂直条件要紧扣判定定理，必须补齐平面内两条相交直线，并证明已知直线与这两条直线都垂直。题目常缺少“相交”“另一条垂线”或“线在面内”等条件，根据已有信息补充中点、平行线、垂直关系，使判定定理三个条件完整即可。 【例13】如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线. (1)求证：； (2)若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 分别为的中点， ， 为的中点，且为矩形， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平面平面， 平面， 又平面，平面平面， . （2）底面， 为与底面所成角， 当时，由（1）有， ， 且，平面， 平面， 因为平面， ， ，面，面， 由（1）有， 平面. 【例14】如图，已知正方体的棱长为2，点，分别在棱和上. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积是，平面，试确定点的位置，并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)当点是棱靠近点的三等分点，即时平面，证明见解析 【分析】 【详解】（1） 连接、，因为正方体， 所以平面，又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以； （2）当点是棱靠近点的三等分点，即时平面，证明如下： 因为三棱锥的体积是， 所以， 即， 解得，所以，即， 过点在平面内作交于点， 连接，交于点， 因为，所以， 当时， 所以，所以， 又，所以， 所以，即， 又平面，所以平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 由（1）可知，，平面， 所以平面. 【变式7-1】如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点M，N分别为和的中点.    (1)若，求三棱柱的体积； (2)证明：平面； (3)请问当为何值时，平面，试证明你的结论. 【答案】(1) (2)见解析 (3)时，平面，证明见解析. 【分析】 【详解】（1）∵三棱柱的侧棱垂直于底面， 且，，， ∴由三棱柱体积公式得：； （2）证明：取的中点，连接，，    ∵，分别为和的中点， ∴，， ∵平面，平面， 平面，平面， ∴平面，平面， 又，∴平面平面， ∵平面，∴平面； （3）连接，设， 则由题意知，， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面，则平面， 因为平面，∴平面平面，平面平面， ∵，∴，又点是的中点，则平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，由线面垂直的判定定理只需即可， 又∵，∴， ∴，即， ∴，则时，平面. 【变式7-2】如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：因为，，，所以，， 所以，，则， 因为平面，平面，所以，， 又因为，、平面，所以，平面. （2）解：因为平面，平面，所以，， 若面，平面，则， 因为，， 由余弦定理可得， 因为平面，、平面，则， 所以，，， 在中，，，， 所以，， 所以，， 所以，，则， 因此，若满足面，则. 【变式7-3】如图，在棱长为1的正方体中，是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）连结，交于点，连结． 因为四边形是正方形，所以是的中点，又是的中点， 所以．因为平面，平面，所以平面． （2）因为正方体的棱长为1，是的中点， 所以,所以边上的高为，所以. 因为，所以，解得：，即点到平面的距离为． （3）在对角线上存在点，且，使得平面． 证明如下：因为四边形是正方形，所以． 因为平面，平面，所以．因为，所以平面． 因为平面，所以平面平面．作于，因为，所以． 因为平面，平面平面，所以平面． 由,得．所以当时，平面． 一、单选题 1．三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 取BC中点F，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 2．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示： 正四棱锥中，正方形的对角线相交于点O，连接， 则平面，则为与底面所成角，且， 所以，且，所以， 所以该四棱锥的体积为. 故选：C. 3．已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ） A．， B．， C．，， D．，，， 【答案】C 【详解】对于A：由，，则，两个平面相交于一条直线，而不是一个点，故A错误； 对于B：由，，则可能有，或，故B错误； 对于C：由，，，则，故C正确；     对于D：由，，，，则可能有，或，或，故D错误． 故选：C 4．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接交于点，连接， 由正四棱锥的性质可知，平面， 所以直线与平面所成角为， 又因为为正方形，， 所以， 则， 在中，， 故选：B． 5．在工业级3D打印与航天精密构件设计中，圆锥结构常作为支撑部件．现有一个高为3的圆锥，其顶点为，底面圆的圆心为，半径为2，若、两点在底面圆周上，，为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，连接，因为为的中点，所以， 所以或其补角即为直线与直线所成的角， 因为，，，平面，所以平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在中，，， 所以. 6．如图所示，在正三棱柱中，，D，E分别为线段，的中点，点F在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，取AC的中点G，连接BG，EG，DG． 为线段的中点，， 平面，平面，． ，BG，平面， 平面平面． 平面， 平面，平面，． 三棱柱的棱长为2，， ． 二、多选题 7．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列结论正确的是（    ）    A．与平行 B． C． D．直线中，任意两条都是异面直线 【答案】BCD 【详解】根据展开图还原正方体,如图所示：与不平行，所以A错误； 正方形中有，所以B正确； 正方体中易得，所以是等边三角形，所以，所以C正确； 由图可得，，三条直线中任意两条既不相交也不平行，所以任意两条都是异面直线，所以D正确. 故选：BCD      8．在正三棱台中，为的中点，则（   ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【详解】如图，将三棱台补足为三棱锥， 对于A，由于，而与相交，则与相交，故A错误； 对于B，由于平面平面，且平面，则平面，故B正确； 对于C，由于，且，则，又因为在平面内，所以与不垂直，故C错误； 对于D，由于，，且，，平面，则平面，故D正确. 三、填空题 9．已知平面和直线m，n，给出下列三个论断： ①     ②       ③ 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：如果______，______，则______．（只填写序号） 【答案】 ② ③ ① 【详解】若以①②为条件,③为结论, 即已知,,则直线可能在平面内，也可能与平面平行， 所以不能得出，该情况不成立. 若以①③为条件,②为结论, 即已知, 则直线与平面可能相交，平行或者直线在平面内， 所以不能得出，该情况不成立. 若以②③为条件,①为结论, 即已知, 因为，所以平面内一定存在一条直线，使得， 又，依据直线与平面垂直的性质可知, 如果一条直线垂直于一个平面,那么该直线与平面内任意一条直线垂直, 所以，又因此,该情况成立. 10．在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】/ 【详解】在三棱柱中，， 所以异面直线与所成的角即或其补角， 因为，，所以， 因为，，，平面，平面， 所以平面，又，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为异面直线所成角的范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 11．如图，平面，点为垂足，平面若，则_____________. 【答案】 【详解】设，因，则， 因平面，平面，则， 又平面，故平面，因平面，则. 在中，则， 在中，，故. 故答案为：. 四、解答题 12．如图，在四面体中，，，､分别为､的中点 (1)求证：直线和为异面直线. (2)求直线和所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）由平面，故平面，而平面，， 又平面，故平面，故直线和为异面直线； （2）取中点，连接、，由于、分别为、的中点， 所以，且， 故直线和所成角，即或其补角， 因为，故，因为，故，故， 所以直线和所成角为. 13．在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，是的中点； 是的中点，为的中位线，则； 平面，平面，平面. （2）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，； ,，，即; 六棱柱是正六棱柱，底面； 底面，； ，平面； 平面，； 底面是正六边形，，，； 底面，底面，； ，； ，，，，四边形为正方形； ，为正方形的对角线，； ，，平面，平面，且， 平面. 14．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 15．在如图的空间几何体中，，，四边形为直角梯形，，，，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）如图取中点，连接, 是中点，是的中位线，故, 平面，平面，所以平面， 由，得，且， 故四边形是平行四边形，得， 同理可得平面， 又，因此平面平面, 平面，故平面； （2）由，得，又，故， 已知，由勾股定理得， 已知，故， 由勾股定理逆定理得，即， 又平面，故平面； （3）如图建立空间直角坐标系：， 由已知，设，， 则，解得 故， 由且，得，故， 因此， 平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，故， 所以平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点18 直线与直线垂直&直线与平面垂直 考点一：异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 考点二：直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 考点三：直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 考点四：直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 题型一：求异面直线所成的角 求异面直线所成角时，先利用平移法将两条异面直线平移到同一个点，使其成为相交直线，再根据定义取所成的锐角或直角，角的范围为。一般通过中位线、平行四边形进行平移，再在三角形中用勾股定理或三角函数计算角度，最后验证是否符合锐角或直角要求。 【例1】已知在正方体中，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【变式1-2】在正四棱锥中，为棱上的点，且，设平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的正切值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图所示，三棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 题型二：已知异面直线的夹角求其他量 【例3】在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 【例4】在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. (1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小. 【变式2-1】如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 【变式2-2】如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    【变式2-3】如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为_____. 题型三：证明异面直线垂直 通过异面直线所成角为来判断垂直。也可结合平行线的传递性，若一条直线垂直于某直线，它也垂直于与该直线平行的直线。 【例5】在空间四边形中，互相垂直的边最多有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【例6】在直三棱柱中，，求证：． 【变式3-1】在正方体中，连接，，则直线，位置关系是（    ） A．异面且垂直 B．异面但不垂直 C．相交且垂直 D．平行 【变式3-2】如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 题型四：线面垂直的性质定理与判定定理的命题的判断 判定定理是线线垂直→线面垂直，条件是直线垂直平面内两条相交直线；性质定理是线面垂直→线线平行，条件是两条直线垂直于同一个平面。做题时要分清已知和结论：已知线线垂直证线面垂直用判定，已知线面垂直证线线平行用性质，不可混用。 【例7】已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【例8】在正方体中，下列结论错误的是（   ） A．∥平面 B．平面 C．存在过的平面，使得 D．存在过的平面，使得 【变式4-1】已知直线，及平面，有下列命题：①；②；③；④.则其中正确命题的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式4-2】给出下列两个命题：：设直线a不在平面上，若直线a与平面不平行，则平面上不存在与a平行的直线；：设l，m，n均为直线，其中m，n在平面上，则“”是“且”的充分不必要条件.则（   ） A．是真命题，是假命题 B．是真命题，是真命题 C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题 【变式4-3】设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题： ①若，，则.②若，，则. ③若，，则.④若，，则. 其中正确命题的序号是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 题型五：线线垂直↔线面垂直 由线线垂直到线面垂直，必须严格满足判定定理：一条直线垂直于一个平面内两条相交的直线，缺一不可。证明时先找到平面内两条相交直线，分别证明已知直线与它们垂直，再直接得出线面垂直，注意不能用两条平行直线代替相交直线。 【例9】（多选）如图，四面体中，平面，，垂足为，，垂足为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则平面 D．若，则 【例10】如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【变式5-1】（多选）如图，已知直四棱柱的侧面为正方形，底面为长方形，，，分别为，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【变式5-2】已知正方体，求证：平面． 【变式5-3】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点．求证：． 题型六：求直线与平面所成的角 求线面角先找到直线在平面内的射影，斜线与射影所成锐角即为线面角，范围是。若直线垂直平面，角为；直线平行或在平面内，角为。解题步骤为：作射影→证垂直→找角→算角，通常在直角三角形中计算角度。 【例11】如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【例12】如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式6-1】在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______． 【变式6-2】如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，点满足. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与底面所成角的正弦值. 题型七：补全线面垂直的条件 补全线面垂直条件要紧扣判定定理，必须补齐平面内两条相交直线，并证明已知直线与这两条直线都垂直。题目常缺少“相交”“另一条垂线”或“线在面内”等条件，根据已有信息补充中点、平行线、垂直关系，使判定定理三个条件完整即可。 【例13】如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线. (1)求证：； (2)若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面. 【例14】如图，已知正方体的棱长为2，点，分别在棱和上. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积是，平面，试确定点的位置，并证明你的结论. 【变式7-1】如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点M，N分别为和的中点.    (1)若，求三棱柱的体积； (2)证明：平面； (3)请问当为何值时，平面，试证明你的结论. 【变式7-2】如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 【变式7-3】如图，在棱长为1的正方体中，是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 2．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ） A．， B．， C．，， D．，，， 4．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 5．在工业级3D打印与航天精密构件设计中，圆锥结构常作为支撑部件．现有一个高为3的圆锥，其顶点为，底面圆的圆心为，半径为2，若、两点在底面圆周上，，为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，在正三棱柱中，，D，E分别为线段，的中点，点F在上，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列结论正确的是（    ）    A．与平行 B． C． D．直线中，任意两条都是异面直线 8．在正三棱台中，为的中点，则（   ） A． B．平面 C． D．平面 三、填空题 9．已知平面和直线m，n，给出下列三个论断： ①     ②       ③ 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：如果______，______，则______．（只填写序号） 10．在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 11．如图，平面，点为垂足，平面若，则_____________. 四、解答题 12．如图，在四面体中，，，､分别为､的中点 (1)求证：直线和为异面直线. (2)求直线和所成角的大小. 13．在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 14．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 15．在如图的空间几何体中，，，四边形为直角梯形，，，，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求与平面所成角的正弦值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $