考点17 平面与平面平行（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

考点17 平面与平面平行 考点一：平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 利用判定定理证明两平面平行的步骤： ①在一个平面内找出两条相交直线； ②证明着两条相交直线分别平行于另一个平面； ③利用平面与平面平行的判定定理得出结论。 考点二：平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 考点三：其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 题型一：有关面面平行命题的判断 判断面面平行相关命题时，要严格对照判定定理与性质定理的条件，重点核对两条直线必须相交、直线必须在同一个平面内、平面不能重合这几个关键点，不能只凭“线面平行”或“线线平行”单一条件下结论；同时牢记常见反例，比如一个平面内两条平行直线都平行于另一平面，不能推出面面平行，避免因条件缺失导致判断错误。 【例1】给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（多选）给出下面四个命题正确的是（   ） A．分别在两个平行平面内的两直线平行 B．若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面 C．如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，则这两个平面平行 D．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 【变式1-1】已知，是两条直线，，是两个平面，有以下三个命题： ①，相交且都在平面，外，，，，，则； ②若，，则； ③若，，，则． 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（多选）设是三个不同的平面，是两条不同的直线，在命题“，，且__________．则”中的横线处填入下列四组条件中的一组，使该命题为真命题，则可以填入的条件有（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中， ①平面；②平面； ③平面平面；④平面平面. 以上四个命题中，正确命题的序号是______.    题型二：面面平行的证明 证明面面平行严格按照判定定理三步走，先在其中一个平面内找到两条明确相交的直线，再分别证明这两条直线都与另一个平面平行，通常借助中位线、平行四边形或线面平行判定定理完成线面平行的证明，最后依据“一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行”得出结论，过程中必须强调“相交”这一不可缺少的条件。 【例3】如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 【例4】如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【变式2-1】（多选）（多选题）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【变式2-2】如图所示，四边形为菱形，平面，平面.求证：平面平面； 【变式2-3】如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. (1)求证：平面平面； (2)若圆O的半径为2，，，点P为的中点，求三棱锥的体积. 题型三：面面平行证线线平行 用面面平行证明线线平行，核心是使用面面平行的性质定理，先找到同时与两个平行平面相交的第三个平面，得出两条交线，再直接利用“两个平行平面与第三个平面相交，交线互相平行”推出线线平行；解题时关键是构造合适的截面或辅助平面，明确找到两组平面的交线，即可快速完成证明。 【例5】已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 【例6】（多选）如图，在三棱台中，点在上，点是棱上的点，且有平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知平面，点是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，则长（    ） A．6 B．6或30 C． D．6或 【变式3-2】如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 题型四：面面平行证线面平行 利用面面平行证明线面平行，直接使用推论：如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。解题时先证明直线所在平面与目标平面平行，再说明直线在其中一个平面内，即可直接得出线面平行，不需要再用线线平行推导，步骤简洁且逻辑清晰。 【例7】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形. 若分别是棱的中点，证明：平面； 【例8】如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【变式4-1】（多选）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 【变式4-2】如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，E为PC的中点．求证：平面PAD．    【变式4-3】如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面； 题型五：面面平行中的动点问题 解决面面平行中的动点问题，先假设动点满足平行条件，再根据面面平行需要两条相交直线分别平行的要求，反推动点应满足的位置关系，通常是中点、等分点或满足某比例的点；再结合中位线、平行线段成比例等知识验证，确定动点位置后，按标准的面面平行证明步骤书写过程即可。 【例9】如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【例10】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是的中点. 在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 【变式5-1】如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式5-2】如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 3．如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ） A． B． C． D． 4．在正方体中与平面不平行的是（   ） A． B． C． D． 5．下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．如图，在矩形中，，在上且，将沿折起到，使得平面，点在线段上，若平面，则的值等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（    ）    A．有7个面 B．有13条棱 C．有7个顶点 D．平面平面 8．已知平面平面是外一点，过点的直线与分别交于，过点的直线与分别交于且，，，则的长为（    ） A．16 B． C．24 D．20 三、填空题 9．已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为______________. 10．如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 四、解答题 11．如图，不在同一直线上的三点在平面α上，点、、在平面β上，且．求证：平面平面β． 12．如图，长方体中，，，． (1)求证：平面平面． (2)求三棱锥的体积． 13．如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，其中，且．，四边形是菱形，为的中点．求证：平面． 14．如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面//平面？并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点17 平面与平面平行 考点一：平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 利用判定定理证明两平面平行的步骤： ①在一个平面内找出两条相交直线； ②证明着两条相交直线分别平行于另一个平面； ③利用平面与平面平行的判定定理得出结论。 考点二：平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 考点三：其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 题型一：有关面面平行命题的判断 判断面面平行相关命题时，要严格对照判定定理与性质定理的条件，重点核对两条直线必须相交、直线必须在同一个平面内、平面不能重合这几个关键点，不能只凭“线面平行”或“线线平行”单一条件下结论；同时牢记常见反例，比如一个平面内两条平行直线都平行于另一平面，不能推出面面平行，避免因条件缺失导致判断错误。 【例1】给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于①，若平面平面，直线，直线，则直线与直线无公共点， 故直线与直线平行或异面，①错； 对于②，若直线直线，直线平面，直线平面，则平面、平行或相交，②错； 对于③，若平面平面，直线，则，③对； 对于④，若直线平面，平面平面，则或，④错. 故选：A. 【例2】（多选）给出下面四个命题正确的是（   ） A．分别在两个平行平面内的两直线平行 B．若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面 C．如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，则这两个平面平行 D．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 【答案】BD 【详解】A：因为分别在两个平行平面内的两直线平行或异面，所以本选项说法不正确； B：根据面面平行的性质可知本选项说法正确； C：由面面平行的判定定理可知必须是相交直线，不能是任意两条直线，所以本选项说法不正确； D：根据面面平行的定义可知本选项说法正确. 故选：BD 【变式1-1】已知，是两条直线，，是两个平面，有以下三个命题： ①，相交且都在平面，外，，，，，则； ②若，，则； ③若，，，则． 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】①因为相交，所以共面，设这个平面为， 因为，，，，相交，所以， 同理可得， 所以，故①正确； ②，有可能相交，若平行，的交线，此时也满足，， 故②错； ③，有可能相交，若，平行，的交线，此时也满足，，，故③错. 故选：B. 【变式1-2】（多选）设是三个不同的平面，是两条不同的直线，在命题“，，且__________．则”中的横线处填入下列四组条件中的一组，使该命题为真命题，则可以填入的条件有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】解：A．如图：，，，， ，利用面面平行的性质可知：，故A正确，符合题意； B．，，，，如下图： 或与是异面直线，故B错误，不符合题意； C．，，，，如下图： 因为，，， ，故正确，符合题意； D．，，，，如下图： ， ， ， ，故D正确，符合题意． 故选：ACD． 【变式1-3】如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中， ①平面；②平面； ③平面平面；④平面平面. 以上四个命题中，正确命题的序号是______.    【答案】①②③④ 【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示， 对于①，因为，平面，平面，所以平面，命题①正确； 对于②，，平面，平面，所以平面，命题②正确； 对于③，，面，面，，面，面， 所以面，面，又，、平面， 所以平面平面，命题③正确； 对于④，，面，面，，面，面， 所以面，面，又，、平面， 所以平面平面，命题④正确.    故答案为：①②③④. 题型二：面面平行的证明 证明面面平行严格按照判定定理三步走，先在其中一个平面内找到两条明确相交的直线，再分别证明这两条直线都与另一个平面平行，通常借助中位线、平行四边形或线面平行判定定理完成线面平行的证明，最后依据“一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行”得出结论，过程中必须强调“相交”这一不可缺少的条件。 【例3】如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又H、G分别为的中点，所以. 平面，平面，所以平面， 因为FD、平面，， 所以平面平面. 【例4】如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 【变式2-1】（多选）（多选题）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【详解】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则， 又平面，平面， 所以平面． 同理可证平面， 又，，平面， 所以平面平面，故选项A正确； 平面，平面，平面，平面是四棱锥的四个侧面， 则它们两两相交，故选项D错误； ，平面，平面， 平面，同理平面，故选项B，C正确． 故选：ABC． 【变式2-2】如图所示，四边形为菱形，平面，平面.求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【详解】由题意平面，平面，则， 又因为平面，平面，所以平面. 因为四边形为菱形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面. 【变式2-3】如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. (1)求证：平面平面； (2)若圆O的半径为2，，，点P为的中点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：如图所示，连接，由四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面. （2）解：由平面及（1）知平面， 所以点P到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 因为，因为为圆的直径，可得， 又因为，，所以，， 且，， 所以， 所以三棱锥的体积为. 题型三：面面平行证线线平行 用面面平行证明线线平行，核心是使用面面平行的性质定理，先找到同时与两个平行平面相交的第三个平面，得出两条交线，再直接利用“两个平行平面与第三个平面相交，交线互相平行”推出线线平行；解题时关键是构造合适的截面或辅助平面，明确找到两组平面的交线，即可快速完成证明。 【例5】已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵平面平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ， ∴，又， ∴，则. 【例6】（多选）如图，在三棱台中，点在上，点是棱上的点，且有平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】∵平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，又因为，所以，AD正确； 同理根据面面平行的性质定理得,则B正确. 【变式3-1】已知平面，点是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，则长（    ） A．6 B．6或30 C． D．6或 【答案】B 【详解】当点位于平面同侧时， 如图（1），则， ∴， ∴； 当点位于平面之间时， 如图（2），， ∴， ∴. 故选：B. 【变式3-2】如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 延长，连接， 由四边形为平行四边形可知， 则，即， 又平面平面，且平面平面， 平面平面，则， 又，所以， 由四棱柱可知，， 即，， 又，， 故选：A. 【变式3-3】如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1） 法一：取中点，连接，，， 易知为中位线，故，且， 因为四边形是平行四边形，所以，， 故，又因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面.                法二：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，又因为， 平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 题型四：面面平行证线面平行 利用面面平行证明线面平行，直接使用推论：如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。解题时先证明直线所在平面与目标平面平行，再说明直线在其中一个平面内，即可直接得出线面平行，不需要再用线线平行推导，步骤简洁且逻辑清晰。 【例7】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形. 若分别是棱的中点，证明：平面； 【答案】证明见解析 【详解】如图，取的中点，连接. ∵分别是棱的中点，∴. ∵，∴. ∵，平面，平面， ∴平面，同理可得平面， ∵平面，∴平面平面， ∵平面，∴平面. 【例8】如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】设是的中点，连接， 由于是的中点，所以. 由于平面平面，所以平面. 由于是的中点，所以， 由于平面平面， 所以平面. 由于平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 【变式4-1】（多选）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】BD 【详解】如图，过点作交于点，连接，即有平面， 由于，所以， 若，则，又平面，平面， 所以平面，由平面， 得平面平面，又平面，所以平面，故B正确； 若平面，又因为平面平面，所以，由B可知D正确； 假设平面，设平面，则， 若平面，平面平面，所以， 反之若，当且仅当平面，即A、C同时正确或错误； 若，可能，也可能与相交． 若与相交，由知延长必与、交于同一点， 由几何关系知与不平行，故A、C错误． 故选：BD 【变式4-2】如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，E为PC的中点．求证：平面PAD．    【答案】证明见解析 【分析】 【详解】方法一：如图，取PD的中点F，连接EF，FA．    由题意知EF为的中位线， ∴，且． 又∵，， ∴，且， ∴四边形ABEF为平行四边形，∴． 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD． 方法二：如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，    ∵，，， ∴， 即B为HC的中点， 又E为PC的中点，∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD． 方法三：如图，取CD的中点H，连接BH，HE，    ∵E为PC的中点， ∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD， 又由题意知且， ∴四边形ABHD为平行四边形，∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD， 又，BH，平面BHE， ∴平面平面PAD， 又平面BHE，∴平面PAD． 【变式4-3】如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面； 【答案】证明见解析 【详解】证明：设的中点为，连接， 为的中位线，， 又平面，平面， 平面， 为梯形的中位线，， 又平面，平面， 平面， ，平面，平面， 平面平面， 平面， 平面． 题型五：面面平行中的动点问题 解决面面平行中的动点问题，先假设动点满足平行条件，再根据面面平行需要两条相交直线分别平行的要求，反推动点应满足的位置关系，通常是中点、等分点或满足某比例的点；再结合中位线、平行线段成比例等知识验证，确定动点位置后，按标准的面面平行证明步骤书写过程即可。 【例9】如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足即可，理由见解析 【分析】 【详解】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 【例10】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是的中点. 在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 【答案】存在，为中点，证明见解析 【详解】存在，为中点时，平面平面， 连接，设，连接，易知， 因为为中点，为的中点，所以， 由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面， 同理可证得平面， 由于，平面， 所以平面平面. 【变式5-1】如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 【变式5-2】如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，． 【详解】在线段上存在一点，使平面∥平面．理由如下： 如图，过作∥，交于，连接，， 因为，所以是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点， 因为，所以． 因为，，， 所以， 因为，所以，， 所以，所以， 因为， 所以，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面， 又∥，平面，平面， 所以∥平面， 因为，，平面， 所以平面∥平面， 所以在线段上存在一点，使平面∥平面， 此时． 【变式5-3】如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，E为PC中点，证明见解析 【分析】 【详解】（1）取AP的中点Q，连接MQ，BQ，    因为M，Q分别为PD，PA的中点， 所以，， 又因为N为BC的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形MNBQ为平行四边形，所以， 又因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． （2）存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB． 证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，， 所以且， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以． 因为E，M分别为PC，PD中点，所以， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 同理可知平面PAB，又因为平面平面， 所以平面平面PAB．    一、单选题 1．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，，若，由面面平行的性质知：， 所以“”是“”的充分条件； 由，，若，则或与相交， 所以“”是“”的不必要条件． 则“”是“”的充分不必要条件. 2．已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 【答案】C 【详解】对于A，由，，，得或与相交或与是异面直线，A错误； 对于B，由，，，，得或与相交，B错误； 对于C，由，，，得，C正确； 对于D，由，，，且，，得或与相交，D错误. 故选：C 3．如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】延长交于点，连接， 则∽， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又四边形为平行四边形， 所以∽，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：B 4．在正方体中与平面不平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，因为，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 同理可证，四边形为平行四边形， 同A证出，平面，平面，故C、D正确； 因为平面，所以平面平面， 若平面，则平面或平面，显然不成立，故B错误. 故选：B 5．下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 6．如图，在矩形中，，在上且，将沿折起到，使得平面，点在线段上，若平面，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作交于，连接．则四边形是平行四边形，， 由，不在平面内，在平面内，可得平面． 又平面，，平面， 所以平面平面． 又平面平面，平面平面，所以， 因此． 故选：C 二、多选题 7．如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（    ）    A．有7个面 B．有13条棱 C．有7个顶点 D．平面平面 【答案】ABD 【详解】对于A，由图可知，有面，面，面，面，面， 面，面共7个，故A正确； 对于C，有顶点共8个，故C错误； 对于B，有棱，共13条棱，故B正确； 对于D，取中点，连接，，则可得，，    因为，则为中点，且为中点， 则，即，且平面，平面， 所以平面， 又为中点，所以，且平面， 平面，所以平面， 且，平面，所以平面平面，故D正确； 故选：ABD 8．已知平面平面是外一点，过点的直线与分别交于，过点的直线与分别交于且，，，则的长为（    ） A．16 B． C．24 D．20 【答案】BC 【详解】连接，，当点在的延长线上，即点在平面与平面的同侧时，如图（1） 由平面平面，平面平面，平面平面， 得，则， 由，，，得，所以； 当点在线段上，即点在平面与平面之间时，如图（2）， 同理得，而，，， 则，解得，因此. 所以的长为或24． 三、填空题 9．已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为______________. 【答案】或 【详解】 由已知，平面，平面， 所以， 当平面，在点同侧时，由可知点在靠近平面一侧， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 当平面，在点异侧时， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 综上所述或， 故答案为：或. 10．如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 【答案】平行 【详解】如图，分别取，，的中点，，，连接. 在正方体中，易知，. 因为，为中点，所以，，同理，， 所以，. 同理，，，，， 则平面与平面为同一平面. 因为，，且与相交，平面，与相交，，平面， 所以平面平面，即平面平面. 四、解答题 11．如图，不在同一直线上的三点在平面α上，点、、在平面β上，且．求证：平面平面β． 【答案】证明见解析 【详解】因为，所以四边形为平行四边形，则， 又，所以，同理得， 由已知得，，且，所以平面平面β. 12．如图，长方体中，，，． (1)求证：平面平面． (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)答案见解析； (2)10 【分析】 【详解】（1）是长方体，，，， ，，为平行四边形，， 又平面，平面，平面； ，，，， ，，为平行四边形，， 平面，平面，平面； ，平面，平面，平面平面. （2），， . 13．如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，其中，且．，四边形是菱形，为的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】如图，取的中点，连接，． 在中，，，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 在直角梯形中，，且， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 14．如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面//平面？并说明理由． 【答案】当为的中点时，平面//平面．理由见解析 【详解】当为的中点时，平面平面．理由如下： 为的中点，为的中点，连接， 易证四边形是平行四边形，则． 平面，平面． 平面． 分别为的中点， ，同理可得平面，又， ∴平面平面． 反之，当不为的中点时，设为中点，则平面平面， 而平面与平面相交，即平面与平面相交，矛盾. 综上，为的中点时，平面平面. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $