微专题：立体几何的平行问题的证明专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

微专题：立体几何的平行问题的证明 一、题型一 中位线证明线面平行 1．如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）连接，利用三角形中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）由和可知或其补角即为所求，再利用余弦定理求解即可． 【详解】（1）连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有， 又平面，平面， 所以直线平面； （2）由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为． 2．如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点．    (1)求三棱锥的体积 (2)求证：∥平面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用锥体的体积公式即直接求解， （2）根据三角形的中位线可得线线平行，即可根据线面平行的判定求证. 【详解】（1）∵平面， 所以三棱锥的高为， 所以； （2）连接交于，连接， 则为的中点，且为的中点， 所以中位线//，且平面，平面， 所以//平面.    3．如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：直线平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值； 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据棱锥的体积公式即可求解； （2）由中位线性质可证，然后再根据线面平行的判断定理即可证明； （3）首先证明直线与所成角是或其补角，然后通过勾股定理计算， 最后根据余弦定理即可求解. 【详解】（1）. （2）设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. （3）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 4．如图，已知在三棱柱中，平面，点是的中点． (1)求证：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据三棱柱的几何性质，利用线线平行推出线面平行； （2）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，利用等体积法求三棱锥的体积． 【详解】（1）证明：如图，连接，设，连接， 四边形是矩形，则为的中点， 又是的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2），是的中点， ， 在三棱柱中，底面，且， 平面， 平面， ， ，，平面， 平面，则是三棱锥的高， 在等腰中，，，则， 又， ． 5．如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）设，连接，可得，进而可得线面平行； （2）根据题意可知点到平面的距离相等，转换顶点结合锥体体积公式运算求解. 【详解】（1）设，连接， 由题意可知：为的中点，且为的中点，则， 且平面，平面，所以平面. （2）由题意可知：为的中点，则点到平面的距离相等， 则三棱锥的体积. 二、题型二 构造平行四边形证明线面平行 6．如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1） 连接，可证四边形是平行四边形，从而得到，   利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用三棱柱的几何性质，利用棱柱、棱锥的体积公式，结合已知条件求出底面面积关系，进而求出四棱锥的体积． 【详解】（1）连接，分别是棱的中点， ，    在三棱柱中，． 是棱的中点，， ， 则四边形是平行四边形， ，             平面，平面， 平面． （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积，   故四棱锥的体积， 设的面积为，的面积为，的面积为， 是棱的中点，， 四边形的面积是四边形面积的， 四棱锥的体积为． 7．如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． (1)求证平面AEF； (2)若，求多面体的体积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面. （2）求出四棱锥及三棱柱的体积，再利用割补法求出多面体的体积. 【详解】（1）取AE的中点O，连接OF，OM，由O，M分别为AE，AC的中点， 得，，而，且，则， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面． （2）在棱柱中，取BC中点G，连接AG，则AG为四棱锥的高， 而，四棱锥的体积， 由，得，三棱柱的体积， 所以多面体的体积为． 8．如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点． (1)求圆柱的侧面积； (2)求圆柱的外接球的表面积； (3)证明：平面． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用圆柱的侧面积公式，即可求解； （2）根据条件，求出外接球的半径，即可求解； （3）取的中点．连接，根据条件得，再由线面平行的判定定理，即可求解. 【详解】（1）因为，所以圆柱的母线长为，底面半径为， 则圆柱的侧面积 （2）取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为. （3）取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面． 9．如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，，通过证明进而证平面. 【详解】 取的中点，连接，， 由题意得，. 所以四边形为平行四边形，所以，. 又因为，将四边形沿翻折至四边形，故， ，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为在平面外，平面， 所以平面. 三、题型三 相似成比例证明线面平行 10．如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得证； （2）根据棱锥体积之间的关系及体积公式求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，且，所以． 又因为，则，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为DE＝2EP，所以， 所以． 所以． 11．如图，在边长为4的正方体中，点分别为棱，，，的中点，点分别是棱上的一点，且 (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)试求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用直线平行的传递性证明即可； （2）方法一：连接，结合图形几何关系利用线面平行判定定理证明；方法二：利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论； （3）利用题干比例关系，转换棱锥底面，结合等体积法求解即可. 【详解】（1）连接，因为点分别为棱，的中点， 所以，           又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以，               所以，     所以四点共面； （2）方法一：在正方体中，连接， 点分别为棱，的中点， ，             ，                               四边形为平行四边形 ， ， 平面，平面， 平面.                             方法二：连接、分别交、于点，连接， 在正方体中，且，     所以，则，              同理可得，                          所以，所以，                   又平面，平面，             所以平面； （3）正方体的边长为4，为棱的中点，                                                        12．如图，在四棱锥中，平面，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接，可证，再由线面平行的判定定理可证平面 （2）先求，再根据可求三棱锥的体积． 【详解】（1）如图，连接，设，连接， 因为，故，而，所以， 故，而平面，平面，故平面. （2）因为，故四边形为直角梯形， 故其面积为， 而平面，故为四棱锥的高， 故，而，故， 而，故的面积与直角梯形的面积之比为， 故，故. 13．如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将沿折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，由A，B分别为线段与的中点可得，结合三角形相似得到，进而得到，进而求证即可； （2）根据棱锥的体积公式，结合面积比例求解即可. 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接， 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为1:2，即. 又，则，故， 因为平面，平面，故平面. （2）设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为， 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为， 三棱锥的体积为，三棱锥的体积为， 由题有， 又，故，即， 则，又， 有， 即四棱锥与三棱锥的体积之比为. 四、题型四 线面平行的性质定理 14．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连、，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）先通过线面平行的判定证得面，再利用线面平行的性质证得. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连、 ，又， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面；    （2）在梯形中，， 又平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，，. 15．如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. （2）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. （2）在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. 16．如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】先证明线面平行，由平面的性质可得. 【详解】证明：如图，连接. 四边形是平行四边形， 是的中点． 又是的中点，. 又平面，平面， 平面. 又平面，平面平面， . 17．已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为，底面中心为O. (1)求的长度 (2)求正四棱锥的表面积和体积； (3)设平面平面，求证：； 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）利用侧面积是底面积两倍的已知条件结合勾股定理建立方程，解出底边长从而得出斜高SE； （2）直接将底面积与侧面积相加得出表面积，并利用底面积和已知的高代入棱锥体积公式计算体积； （3）通过底面正方形对边平行得出直线平行于平面，再利用线面平行的性质定理推导出交线与已知底边平行. 【详解】（1）设底面ABCD的边长为a，因为O为底面中心，E为BC的中点，所以且， 底面积为，已知，在中，， 侧面积为， 因为侧面积是底面积的2倍，则有， 因为，解得，代入得， 解得，则（负根舍），即. （2）由（1）得侧面积为，底面积为， 则表面积，体积. （3）由题意得底面为正方形，则平面，平面，所以平面， 且平面，平面平面，则. 18．如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点，连接，根据题意证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）由平面，结合线面平行的性质定理，即可证得； （3）利用等体积转化为，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为点分别为的中点， 由题意可证得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 而平面平面， 所以平面. （2）由（1）可得平面平面，平面平面， 所以. （3）由（1）可得平面， 所以点和点到平面的距离相等. 所以. 故所求锥体的体积为. 五、题型五 面面平行的证明 19．如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为． (1)求证：平面平面PAD； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行，根据线面平行证明面面平行； （2）根据线面平行的性质证明线线平行. 【详解】（1）因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形， 所以， 又平面平面， 则平面， 同理平面平面， 可得平面， 又平面， 所以平面平面． （2）因为底面ABCD为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以． 20．在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 （2）由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 21．如图，在正方体中，点分别为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面平面，求证：三点共线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先由正方体中点性质证、,再利用线面平行判定定理证、分别平行于平面,最后由面面平行判定定理证平面平面； （2）依据点与直线、平面的从属关系,推出都在平面与平面的交线上,从而证得三点共线. 【详解】（1）连接，又点分别为棱的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 连接，又点分别为棱的中点，所以， 在正方体中，， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为平面，所以平面， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面. 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面. 所以，即三点共线. 22．如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由结合基本事实证明即可； （2）由面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）由得， 由两平行直线确定一个平面，可知四点共面． （2）由平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面平面． 23．如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. (1)求证：平面平面； (2)若圆O的半径为2，，，点P为的中点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意，分别证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面； （2）由平面，得到三棱锥的体积等于三棱锥的体积，利用，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接，由四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面. （2）解：由平面及（1）知平面， 所以点P到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 因为，因为为圆的直径，可得， 又因为，，所以，， 且，， 所以， 所以三棱锥的体积为. 六、题型六 面面平行证明线线平行 24．如图，已知平面平面，点是平面、外的一点（不在与之间），直线、分别与、交于点和．    (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面平行的性质可证结论； （2）由平行线分线段成比例定理可求. 【详解】（1）因为直线直线， 所以点共面， 可得平面，平面，又因为， 所以； （2）因为， 所以， 故 25．如图，平面ABCD,平面ADE，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，先证明平面平面，进而利用面面平行的性质定理即可得到答案. 【详解】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE． ∵平面ADE，，平面BCF， ∴平面平面． 又平面平面，平面平面， ∴． 26．如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据四棱柱性质可证明平面平面，再利用面面平行的性质定理即可证明. 【详解】由四棱柱可知，，平面，平面， 所以平面； 又，平面，平面， 所以平面； 又，平面，平面； 所以平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以. 27．如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由线面平行的判定定理可证平面，结合题中条件及面面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）知：平面平面，根据面面平行的性质定理即可证明； （3）由题可知点是的中点，结合可得点是的中点.根据题中条件，在平面内，利用平面向量基本定理和共线向量基本定理即可求解. 【详解】（1）∵，平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，，平面，平面， ∴平面平面. （2）由（1）知：平面平面. 又平面平面，平面平面， ∴. （3）∵，∴点是的中点. ∵，∴，∴点是的中点，. ∵，且三棱锥各棱长均为1，∴， ∴，，，. ∵点在上，∴，解得. ∵，∴. ∴， . 由（2）知：，∴，∴，使得， 即. 由平面向量基本定理可得，解得. 综上所述，的值为. 28．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点． (1)证明：平面； (2)过F点作平面平面交于点，交于点， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)（i）证明见详解；（ii） 【分析】（1）连接交于，由三角形中位线可证，进而由线面平行的判定定理可证； （2）（i）由面面平行的性质定理可证；（ii）猜测点H为靠近点P的三等点，在此基础上证明平面平面即可. 【详解】（1）连交于，因为底面为平行四边形， 所以为的中点，而为的中点，所以， 又平面平面； 所以平面； （2）（i）因为平面平面，平面平面，平面平面， 由面面平行的性质定理可得； （ii）当为的三等点且时，有平面平面，下面证明： 因为为上的点，且，所以在中，，所以， 由（1）知平面，因为平面，所以平面， 由（i）可知，因为平面，平面，所以平面， 因为，所以平面平面，所以. 七、题型七 面面平行证明线面平行 29．如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设得，应用线面平行的判定证明平面，同理证平面，再由面面平行的判定和性质即可证明结论； （2）由题设，再由线面平行的判定和性质即可证明结论. 【详解】（1）∵M、N分别为PC、CD的中点， ∴，又平面，平面， ∴平面，同理可证平面， 由都在平面内，则平面平面， 由平面，故：平面； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD，又平面PBC，平面平面， ∴. 30．如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】设是的中点，连接，通过证明平面平面，可得线面平行关系. 【详解】设是的中点，连接， 由于是的中点，所以. 由于平面平面，所以平面. 由于是的中点，所以， 由于平面平面， 所以平面. 由于平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 31．已知正方体的棱长为1，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由正方体的结构特征得到，，再由线面平行及面面平行的判定证面面，最后利用面面平行的性质定理即得结论； （2）利用棱锥的体积公式求体积即可. 【详解】（1）连接，由正方体的性质易得，， 由面，面，则面， 由面，面，则面， 因为且都在面内，则面面， 由于面，故平面. （2）由正方体结构特征，易知三棱锥的底面为等腰且高为， 所以三棱锥的体积. 32．如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，即可证明； （2）方法一，根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用构造平行四边形，证明线线平行；方法二，利用面面平行的性质定理，构造面面平行，即可证明线面平行. 【详解】（1）如图，连接，．    因为四边形是正方形，且是的中点， 所以是的中点，又是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）方法一  取的中点，连接，，如图所示， 则有且． 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． 方法二  取的中点，连接，，如图所示， 因为点是，的中点，所以， 平面，平面， 所以平面， 因为点，分别是和的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 且，，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 33．已知四棱锥，底面为矩形，，，分别是，，的中点.证明： (1)平面平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面平行的判定定理分别证明面，平面，进而由面面平行的判定定理即可得证； （2）由面面平行的性质即可得证. 【详解】（1）证明：因为，，分别是，，的中点，所以,， 又因为底面为矩形，所以,所以, 又平面,平面， 所以面. 又因为平面,平面， 所以平面. 因为,平面, 所以平面平面. （2）证明：因为平面，平面平面， 所以平面. 八、题型八 线面平行的动点问题 34．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）由条件求三棱锥的底面的面积和高，再由锥体体积公式求结论； （2）先证明，再根据线面平行判定定理证明结论； （3）提出猜测线段上存在点P，使得平面，且，再结合线面平行判定定理证明结论， 【详解】（1）因为四边形为菱形，， 所以，，又为的中点， 所以为等边三角形，，，， 所以， 又平面，， 所以三棱锥的体积， （2）连结， 因为，分别为的中点，所以，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，，又是的中点，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面, 所以平面． （3）线段上存在点P，使得平面，且， 证明如下： 连接，其中AC交DE于点，连接 在菱形ABCD中，，且 所以，又， 所以， 所以四边形是平行四边形 平面，平面， 平面. 35．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连和，证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定，即可证得平面.； （2）取中点，连接，，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，结合面面平行的性质，即可证得平面． 【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取中点，连接和， 因为和分别为和的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 又由（1）可得∥平面，且，平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，且平面，所以平面， 所以，当为中点时，平面． 36．如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点. (1)证明：AF平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，证明见解析 【分析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形即可； （2）设，取中点，先证明平面，即可证明点在线段靠近端的三等分点时符合题意. 【详解】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点， . 为的中点，， 即四边形为平行四边形，. 平面平面平面. （2）设，取中点，连接，则在中， 分别是的中点， 平面平面， 平面. 与相似，且相似比为， 为的三等分点. 在点位置时满足平面. 即点在线段靠近端的三等分点时符合题意. 37．如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）利用正棱锥的性质及面积公式可求答案； （2）利用线面平行的性质得到线线平行，利用中位线可证结论； （3）利用面面平行的判定和性质得到平面，结合平行线段性质可得结论. 【详解】（1）因为，所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形， 因为，所以侧面积为， 所以正四棱锥的表面积为. （2）连接,交于，则为中点，连接； 因为直线平面，且平面平面， 所以， 因为为中点，所以P为棱SD的中点. （3）在侧棱SC上存在一点E，使得平面，满足. 理由如下:取SD的中点Q，连接BQ， 因为，所以，又为的中点， 在△中, ,又平面，平面，所以平面， 过Q作，交于，连接， 又平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面，又平面, 所以平面，由，得, 由，Q为SD的中点，得， 所以，即侧棱SC上存在一点E，当满足时, 平面PAC. 38．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 【详解】分析：（1）先证,再证，进而完成证明． （2）判断出P为AM中点，，证明MC∥OP，然后进行证明即可． 详解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD． 因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM． 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM． 又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC． 而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC． （2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD． 证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点． 连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP． MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD． 点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P为AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题． 九、题型九 面面平行的动点问题 39．如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足即可，理由见解析 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行； （2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可. 【详解】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 40．如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接，根据题意，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）连接，分别证得和，得到平面，由（1）知平面，证得平面平面，即可得到答案. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 41．如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，. (1)求证：平面. (2)若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为，证明见解析 【分析】（1）连接并延长，与的延长线交于点，利用相似比证明，然后利用线面平行的判定定理和面面平行的性质定理证明即可. （2）结合平行线比例相等，利用线面平行的判定定理证得平面，由（1）平面，最后利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）如图，连接并延长，与的延长线交于点， 则平面和平面的交线为. 因为四边形为正方形，所以， 故，所以. 又因为，所以，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又平面平面，故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：如图，因为，即， 又，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面. 42．如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)上的中点即满足平面平面，理由见解析 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，可得证明； （2）上的中点即满足平面平面．由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，可得结论． 【详解】（1）证明：连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线、交于点，所以为的中点， 又因为为的中点，在中，是的中位线， 则， 又平面，平面， 所以平面； （2）上的中点即满足平面平面． 因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 由（1）知平面， 又因为，平面， 所以平面平面． 十、题型十 平行的翻折问题 43．如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又H、G分别为的中点，所以. 平面，平面，所以平面， 因为FD、平面，， 所以平面平面. 44．如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使． (1)若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (2)求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点到平面的距离. 【答案】(1)存在， (2)三棱锥A­CDF的体积的最大值为3，此时点F到平面ACD的距离为 【分析】(1)在AD上取一点P，使得，证明线面平行，则P点就是所求的点； (2)先设 ，运用二次函数即可求出三棱锥 的体积最大值，再运用等体积法求出F到平面ACD的距离. 【详解】（1） AD上存在一点P，使得CP 平面ABEF，此时， 理由如下：当时，， 如图，过点P作M FD交AF于点M，连接ME，则， ∵BE＝1，∴FD＝5，∴MP＝3，又EC＝3，MP FD EC，∴MP EC， 故四边形MPCE为平行四边形，∴CP ME， 又CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF， ∴CP 平面ABEF； （2）设BE＝x，则AF＝x(0<x≤4)，FD＝6－x， 故， ∴当x＝3时，有最大值，且最大值为3， 此时EC＝1，AF＝3，FD＝3，， ∴，， 在△ACD中，由余弦定理得，， ， 设到平面的距离为， ， ，. 综上，存在点P，使得CP//平面ABEF，，三棱锥 的最大值为3，此时点F到平面ACD的距离为 45．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1—ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE. (1)证明：BE⊥平面D1AE； (2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）线段AB上存在满足题意的点M，且＝ 【分析】（1）先计算得BE⊥AE，再根据面面垂直性质定理得结果，（2）先分析确定点M位置，再取D1E的中点L，根据平面几何知识得AMFL为平行四边形，最后根据线面平行判定定理得结果. 【详解】(1)证明连接BE， ∵ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2， ∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE， 又平面D1AE⊥平面ABCE， 平面D1AE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE， ∴BE⊥平面D1AE. (2)解AM＝AB，取D1E的中点L，连接AL，FL， ∵FL∥EC，EC∥AB，∴FL∥AB且FL＝AB， ∴FL∥AM，FL=AM ∴AMFL为平行四边形，∴MF∥AL， 因为MF不在平面AD1E上， AL⊂平面AD1E，所以MF∥平面AD1E. 故线段AB上存在满足题意的点M，且＝. 【点睛】本题考查线面平行判定定理以及面面垂直性质定理，考查基本分析论证求解能力，属中档题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $微专题：立体几何的平行问题的证明 一、题型一中位线证明线面平行 1.如图，在直三棱柱 BC-ABC中，ABL4C,AB=4,AC=4W5,AA=46 E,F ,点 分别为棱 BC,AB 的中点 A B (①证明：直线F/平面 AACC (2)求异面直线EF与BC所成的角的大小. ABCD-ABC D 2.如图所示， 是正四棱柱（即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC的中点. D D九 (1)求三棱锥 D-DBC 的体积 (2)求证： BD平面CDE 3.如图，长方 ABCD-ABCD中， AB=AD=2,AA=4 DD 点P为的中点 试卷第1页，共3页 D C B P (I)求三棱锥B-PAC的体积， BD∥ (2)求证：直线 PAC 平面 (3)求异面直线 BD与PC所成角的余弦值， 4.如图，已知在三棱柱 C-ABC中，4上平面ABC,点D是8C的中点 D AC//ADB (1)求证： 平面 ②芳4B=AC=5.BC=8,M=2,求三楼锥S-D8 的体积。 5.如图，在直三棱柱ABC-DEF中，AC=BC=AD=2,AC⊥BC,G为BC的中点. B (I)求证：BD∥平面AGF: (2)求三棱锥D-AGF的体积. 试卷第2页，共3页 二、题型二构造平行四边形证明线面平行 AB,AC B.C 6.如图，在三棱柱 BC-ABC中，DE,F 分别是棱 的中点。 C E DE ABF (1)证明： 平面 A-B BCF (2)若三棱柱 BC-4B,G的体积为18，求四棱 的体积. ABC-ABC CC BB 7.如图所示，直三棱柱 的底面是边长为2的正三角形，点E,F分别是棱 上的点， 点M是线段AC的中点，EC=2FB=2. C C M B (I)求证BM∥平面AEF: Q若GE= AEF-ABC ,求多面体 的体积 8.如图，矩形ABC D足圆性O0的孩面，820=4.E为孤的中点，M为能的中点. 、00 试卷第3页，共3页 0 -B 00 (1)求圆柱 的侧面积； 00. (2)求圆柱 的外接球的表面积： OMII (3)证明： 平面ADE 9.如图，四边形ABCD中，AB∥CD,∠DAB=90°，F为CD的中点，E在AB上，EF∥AD, AB=3AD,CD=2AD,将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A,使得平面EFDA⊥平面EFCB.证明： CD'II平面ABE. D D 三、题型三相似成比例证明线面平行 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB L AD,D∥BC,D=3,DE=2EP,AB=N5,BC=,点p到平面 ABCD的距离为3. D (I)求证：PB∥平面ACE: (2)求三棱锥P-ACE的体积、 试卷第4页，共3页 BCD-ABCD中，点 G,E,F, 11.如图，在边长为4的正方体 分别为楼B,DG,BCA4」 的中点， AM AN 1 点M,N分别是棱AD和4B上的一点，且ADAB4 D M A B G B (1)求证：D,B,F,E四点共面： (2)求证：D,GI/平面DBFE: A-PMN (3)试求三棱锥 的体积 12.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD, AB L AD,AD//BC:AD=AP=3,DE=2EP,AB=3,BC=3 D (I)求证：PB/I平面ACE: (2)求三棱锥P-ACE的体积， I3.如图，△OCD等边三角形，且点A,B分别为线段OD与OC的中点将△OAB沿AB折叠后使点O与点 P重合，得到四棱锥P-ABCD.设点E为线段PC上一点，且CE=2EP. 试卷第5页，共3页 (I)证明：AP∥平面BED: (2)求四棱锥P-ABCD与三棱锥P-BDE的体积之比. 四、题型四线面平行的性质定理 图所示，在四棱锥p-BCD中，底面4BCD为梯形，BC1/4D,BC=)AD,面PB PAD=I,E是PD的中点· M A (I)求证：CEII平面PAB: (2)求证：111AD: 15.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BCII平面PAD,2BC=AD，E是PD的中点. A (1)求证： BCIIAD: (2)求证：CE/1平面PAB 16.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O,M是PC的中点， 在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证：AP∥GH. 试卷第6页，共3页 M 17.已知正四棱锥S-ABCD的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设BC的中点为E,底面ABCD中心为O. S D E (1)求SE的长度 (2)求正四棱锥S-ABCD的表面积和体积； (3)设平面SBC∩平面SAD=1,求证：II/BC: 18.如图，已知四棱锥P-ABCD的高为2，底面ABCD是边长为2的正方形，点E,F分别为AD,PC的中 点，设平面PCD∩平面PBE=l. D E (1)证明：DF1I平面PBE: (2)证明：DF11l: (3)求三棱锥F-PBE的体积 五、题型五面面平行的证明 试卷第7页，共3页 19.如图，正四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形.MN、Q分别为PC、CD、AB的中点.设平面AD 与平面PBC的交线为I. B (I)求证：平面MN№1/平面PAD: (2)求证：BC1/1: 20.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E,F,G分别是PD,AC,PA的中点，平面 PABn平面EFG=I证明： D D B (1)EF/lL (2)平面EFG平面PBC, ABCD-ABC D 中，点 E,F,G 21.如图，在正方体 分别为棱 AD,AB.D.C 的中点 D G E B (I)求证：平面AEF11平面GBD: ②记4Cn平面GBD=BAGN平面GBD=0,CC平面G6D=R,求： P,2,R 平面 平面 三点共线 试卷第8页，共3页 22.如图，在矩形BCEF中，A,D分别为BF,CE上的点，ADIIEF,将矩形ADEF沿AD折起，使点E落 在的位置，F落在F的位置，得到四边形1DE5,已知E5不在平面4BCD上. (1)证明： B,C,E,F 四点共面： ABF∥CDE (2)证明：平面 平面 23.如图，在圆柱 0中，4C,4C分别为圆0，圆”的直径， A4BB,CC为圆柱的母线 A 、 A B AOB//OBC (1)求证：平面 平面 2)若圆0的半径为2，∠B1C=30°.AA=AB AB P-OBC 点P为的中点，求三棱锥 的体积 六、题型六面面平行证明线线平行 24.如图，已知平面a/I平面B,点P是平面a、B外的一点（不在a与B之间），直线PB、PD分别与 a B A,B C,D 、交于点和. 试卷第9页，共3页 D (I)求证：AC∥BD: (2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长. 25.如图，平面ABCD,BF∥平面ADE,CF∥AE.求证：ADBC. E D B 26.如图，在四棱柱 BCD-ABCD中，底面4BCD为格形，D/BC,平面4DCE与B交于点E.求 ECI∥AD 证： B D B C BE_PE=入，线段BC 27.如图，三棱锥P-ABC各棱长均为1，侧棱上的D,E,F满足PD=DA,BPPC 上的点G满足AG/I平面DEF,点O在PC上，A0IIDF. 试卷第10页，共3页 D (1)求证：平面AQG/平面DEF: (2)求证：OG1/EF: (3)若GC=2BG,求元的值. 28.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，F为AB上的点，且AF=2FB,E为PD 中点 D (I)证明：PB/平面AEC: (2)过F点作平面FHG/I平面ACE交PA于H点，交PC于G点， (i)证明：HG/AC: PH (i)求Ha的值。 七、题型七面面平行证明线面平行 29.如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形设平面PAD与平面PBC的交线为L,M、N、Q分别为 PC、CD、AB的中点， 试卷第11页，共3页 M D-- C (I)求证：M0/I平面PAD: (2)求证：BC111 30.如图，AD∥BC,EG∥AD,CD∥FG,若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面 CDE G D ABCD-ABCD 31.已知正方体 的楼长为1，P为4C的中点 D C A B D DP/ ABC (1)证明： 平面 B-ADC (2)求三棱锥 的体积. ABCD-ABC D 32.如图，在正方体 中，，几尸Q分别是BC,CD,D,BD的中点.求证： 试卷第12页，共3页 F A B ◇ a) DCC D 平面 EFI∥BBDD (2) 平面 33.已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形，E,F,G分别是PC,PD,BC的中点证明： (I)平面EFG∥平面PAB: (2)AP∥平面EFG 八、题型八线面平行的动点问题 ABCD-ABC D 34.如图，直四棱柱 的底面是菱形， AA=4AB=2∠BAD=60°E,M,N 分别是 BC,BB,A D 的中点. D B 试卷第13页，共3页 C-CDE (1)求三棱锥 的体积： DE (2)证明： MNI平面 AP 3)线段AC上是否存在点P,使得AP1/平面CDE?若存在，求出P℃的值；若不存在，说明理由. 如图所示，在四棱锥P-BCD中，底面4BCD为梯形，BC/14D,BC=2AD,面P8C 2 PAD=I,E是PD的中点. D M (I)求证：CE/1平面PAB.: (2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N,使MNII平面PAB？说明理由. 36.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，F,G分别为PB,AD的中点. (I)证明：AF∥平面PCG: (2)在线段BD上是否存在一点N,使得FN∥平面PCG,并给出必要的证明. 37.如图所示正四枝锥S-BCD,SM=v51B=2,P为侧棱D上一动点 试卷第14页，共3页 (I)正四棱锥S-ABCD的表面积； (2)若直线SB∥平面ACP,求证：P为棱SD的中点： SE (3)若SP=3PD,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE/平面PAC若存在，求EC的值：若不存在，试说 明理由 38.如图，矩形1CD所在平面与半圆D所在平面垂直，M是 CD D上异于C,D的点. (1)证明：平面AMD⊥平面BMC； (2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由. D 九、题型九面面平行的动点问题 39.如图，在三棱柱 BC-ABC中，反，P分别为线段1C,4C上的点，亚=C,4F=4C 2∈(0,1) 。 A B BCC B (1)求证： EF/ 平面 试卷第15页，共3页 BC (②)在线段上是否存在一点G,使平 EFGII平面 BBA ？请说明理由. 40.如图，在长方体 BCD-ABCD中，E,F,G克 AB,BB,A B °分别是棱 的中点 D A D E B CGI (1)证明： 平面CEF AH (②)在棱A4上是否存在点H,使得平面CGH/平面CEF？若存在，求出4A的值：若不存在，请说明理 由 41.如图，已知在正方体 BCD-ABCD中，P,Q分别为对角线BD,CD上的点， Cg_BP=(0<元<) OD PD D B A B PO//BCCB (1)求证： 平面 AR (②)若R是AB上的点，当AB的值为多少时（用表示），能使平面PQR∥平面AD,DA?请给出证明. 42.如图，在正方体 BCD-ABCD中，E为DD的中点 试卷第16页，共3页 D A B D B 平面AEC BD/1 (1)求证： 2CC上是否存在一点F,使得平面1BC/平面 平面BFD,若存在，请说明理由 十、题型十平行的翻折问题 43.如图，正三角形ABC'和平行四边形ABDE在同一个平面内，AB,DE的中点分别为F,G将△ABC'沿 直线AB翻折到△ABC,设CE的中点为H.求证：平面CDF∥平面AGH. H A 44.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD,AD/IBC，,AD=6,BC=2AB=4,E,F分别在BC,AD上， EFIAB,现将四边形ABCD沿EF折起，使BE⊥EC. 4 D F D E E AP (I)若BE=1在折叠后的线段AD上是否存在一点p,使得CPI/平面ABEF？若存在，求出PD的值：若 不存在，说明理由 (2)求三棱锥A-CDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离。 45.如图1，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示 试卷第17页，共3页 的四棱锥D一ABCE,其中平面DAE⊥平面ABCE. D 图1 图2 (1)证明：BE⊥平面DAE: AM (2)设F为CD的中点，在线段AB上是否存在一点M,使得M平面DAE,若存在，求出AB的值；若 不存在，请说明理由. 试卷第18页，共3页