考点16 直线与直线平行&直线与平面平行（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

考点16 直线与直线平行&直线与平面平行 考点一 基本事实4与等角定理 1.基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 考点二 直线与平面平行 1．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 2．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 3．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 题型一：证明直线与直线平行 【例1】如图所示，四边形和都是直角梯形，，与平行且相等，与平行且相等，分别为的中点．证明：四边形是平行四边形． 【例2】如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面； 【变式1-1】已知正方体，，分别为棱，的中点．求证：． 【变式1-2】如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【变式1-3】如图，在正四棱柱 中，，点E，F，G，H分别在棱上，. (1)证明：； 题型二：等角定理的应用 解题时要先明确定理内容：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。应用时要先判断两边的平行方向：同向平行时两角相等，反向平行时两角互补；若是两条直线的夹角（取锐角或直角），则一定相等，常用于空间中角的大小比较或证明。 【例3】若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【例4】如图所示，在正方体中，分别是棱的中点．求证：． 【变式2-1】如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，分别为，，，，的中点.若，则______. 【变式2-2】如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【变式2-3】在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：    (1)四边形为平行四边形； (2)． 题型三：线面平行的有关命题判断 解题时要紧扣线面平行的定义和判定、性质定理的条件。线面平行的定义是直线与平面无公共点；判定定理的三个条件缺一不可：直线在平面外、直线与平面内一条直线平行；性质定理的关键是“过直线作平面，找交线”，要逐一核对命题中的条件，避免忽略“线在面外”“交线”等关键前提。 【例5】已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【例6】已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式3-1】设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 【变式3-3】（多选）在四棱锥P—ABCD中，底面为梯形，，则（    ） A．平面内存在无数条直线与平面平行 B．平面和平面PBC的交线与底面ABCD平行 C．平面PAB和平面的交线与底面平行 D．平面内任意一条直线都不与BC平行 题型四：中位线法证明线面平行 解题的关键是找到合适的三角形中位线。先在图形中找到包含目标直线的三角形，再取三角形两边的中点，连接得到中位线，利用中位线平行且等于底边一半的性质，证明目标直线与平面内的底边平行，再结合线面平行的判定定理（直线在平面外、与平面内直线平行），证得线面平行。 【例7】如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：直线平面； 【例8】如图，在直三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【变式4-1】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面； 【变式4-2】如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    求证：平面； 【变式4-3】如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 题型五：平行四边形法证明线面平行 解题核心是构造平行四边形，利用“对边平行”的性质。先在平面内找一条直线，证明它与目标直线平行且相等，从而构成平行四边形，再结合线面平行的判定定理，说明目标直线在平面外，且与平面内的这条直线平行，最终证得线面平行，常通过找等长线段、利用中点或已知平行关系来构造平行四边形。 【例9】如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【例10】已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，是的中点.为的中点，为上一点，平面，证明：为中点. 【变式5-1】在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 【变式5-2】如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，，分别为棱，，，，的中点，，分别为线段，上一点，且，（）.当时，证明：平面. 【变式5-3】如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 题型六：利用线面平行的性质定理证明线线平行 解题时要先明确已知条件：一条直线平行于一个平面。关键步骤是“作辅助平面”：过这条直线作一个与已知平面相交的平面，得到交线，再根据线面平行的性质定理，直接推出目标直线与交线平行，常用于已知线面平行，需要推导平面内直线与已知直线平行的场景。 【例11】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【例12】已知四棱锥的底面是平行四边形，平面． 若平面与平面的交线为，证明：； 【变式6-1】在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在直平行六面体中，点在棱上.若平面，证明：. 【变式6-3】如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 题型七：补全线面平行的条件 解题时要紧扣线面平行判定定理的三个必要条件：直线在平面外、平面内存在一条直线与已知直线平行、已知直线与平面内的直线平行。题目通常会给出部分条件，需要补充缺失的关键前提，比如补充“线在面外”的说明、补充平面内的平行线，或补充中点、平行四边形等能推出线线平行的条件，使三个条件完整，满足判定定理的要求。 【例13】如图，在四棱锥中，，，E为边的中点，直线上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【例14】如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；    【变式7-1】如图，已知正方体，点是棱的中点．在棱上找一个点，使直线与平面平行并证明． 【变式7-2】如图，在正四棱柱中，，点为棱上的点，且满足． 棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【变式7-3】如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由. 一、单选题 1．连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个（　　） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 2．，分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，直线与平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．无法判断 3．已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．过正方体的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（   ） A．6条 B．8条 C．12条 D．16条 5．在正方体中，点是棱的中点，点在四边形内部运动包括边界设直线与直线所成的角为，则当平面时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且，，则下列结论不正确的是（    ） A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形 8．如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面 三、填空题 9．已知空间中的两个角和，若，则_____. 10．如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 11．如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，___________． 四、解答题 12．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.求证：平面. 13．在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G. (1)求证：E，O，F三点共线； (2)若四边形为平行四边形，求的值. 14．如图，直三棱柱的所有棱长都等于2，点，分别是线段，上的动点（异于端点），且．证明：平面； 15．已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面．在上是否存在一点，使得平面？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点16 直线与直线平行&直线与平面平行 考点一 基本事实4与等角定理 1.基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 考点二 直线与平面平行 1．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 2．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 3．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 题型一：证明直线与直线平行 【例1】如图所示，四边形和都是直角梯形，，与平行且相等，与平行且相等，分别为的中点．证明：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】 【详解】由已知，、分别为、的中点，因此是的中位线， 根据三角形中位线的性质可得： ，且 。 又与平行且相等，即 ，且 。 因此可得：，且 所以四边形是平行四边形。 【例2】如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面； 【答案】证明见解析. 【详解】在四棱锥中，取的中点，连接， 由分别是的中点，得， 又，则且， 而，，于是，且， 即四边形为平行四边形，则， 所以四点共面． 【变式1-1】已知正方体，，分别为棱，的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明如图．取的中点，连接，． 为的中点，， ∴四边形为平行四边形， ． 又，，， ∴四边形为平行四边形，．． 【变式1-2】如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【详解】因为在空间四边形中，E，F，G，H分别为、、、的中点， 所以，，， 所以，， 所以四边形是平行四边形． 【变式1-3】如图，在正四棱柱 中，，点E，F，G，H分别在棱上，. (1)证明：； (2)点P为线段的中点，求平面PEG与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）取中点Q，BF中点M，连接EM，MQ，QH，则， 由正四棱柱得，，且， 又点H，Q为中点，所以，即四边形DHQC为平行四边形， 同理可得，四边形AEMB为平行四边形，所以且， 则，所以四边形EMQH为平行四边形，所以， 因为，所以四边形MQGF为平行四边形，所以， 所以． （2）以D为坐标原点DA，DC，为x，y，z轴建系如图， 易得， 则， 设平面PEG与平面法向量分别为 由，即，令，则， 由，即，令，则 设平面PEG与平面的夹角为，则， 故平面PEG与平面夹角的余弦值为. 题型二：等角定理的应用 解题时要先明确定理内容：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。应用时要先判断两边的平行方向：同向平行时两角相等，反向平行时两角互补；若是两条直线的夹角（取锐角或直角），则一定相等，常用于空间中角的大小比较或证明。 【例3】若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【详解】因为，，且，根据等角定理， 可得或． 【例4】如图所示，在正方体中，分别是棱的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】如图，连接EE1． ∵E1，E分别为A1D1，AD的中点， ∴,且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又，∴， ∴四边形是平行四边形． ∴,同理． 又与的两边分别对应平行， 且和均为锐角， ∴． 【变式2-1】如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，分别为，，，，的中点.若，则______. 【答案】 【详解】由分别是，的中点，得，同理， 则，，又的两边和的两边的方向分别相同， 因此，所以. 【变式2-2】如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【答案】B 【详解】根据等角定理：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 两个三角形的两边分别平行，那么这两个三角形的三个角可能出现以下情况： （1）三组角对应相等，那么这两个三角形相似； （2）三组角中有一组对应角互补，如，，， 又，则，所以，此时两个三角形相似； （3）三组角中有两组对应角互补，如，，， 由，则，这与矛盾，故这种情况不会出现. （4）三组对应角都互补，即，，， 这与，矛盾，所以该情况也不会出现. 综上可知，两个三角形相似. 故选：B 【变式2-3】在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：    (1)四边形为平行四边形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为在梯形中，，，分别为，的中点， 所以且， 又，，所以． 因为，分别为，的中点， 所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形． （2）折叠前，且，， 折叠后，， 所以与的对应边平行且方向相同， 所以． 题型三：线面平行的有关命题判断 解题时要紧扣线面平行的定义和判定、性质定理的条件。线面平行的定义是直线与平面无公共点；判定定理的三个条件缺一不可：直线在平面外、直线与平面内一条直线平行；性质定理的关键是“过直线作平面，找交线”，要逐一核对命题中的条件，避免忽略“线在面外”“交线”等关键前提。 【例5】已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面， 若，，则或，A选项错误； 若，，，则由线面平行的性质定理可知，，B选项正确； 若，，则或，C选项错误； 若，，则或与异面，D选项错误. 【例6】已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”， 但“”不成立，故充分性不成立； 若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立； 所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件. 【变式3-1】设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立； 当且时，设存在直线，且， 因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可得，所以，即必要性成立， 故“”是“且”的必要不充分条件． 故选：A． 【变式3-2】已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【详解】由，，是三条不重合的直线，，是两个不重合的平面，直线，知： A：，，由平行公理得A正确； B:，与相交、平行或异面，故B错误； C:，或，故C错误； D:或，故D错误． 故选：A. 【变式3-3】（多选）在四棱锥P—ABCD中，底面为梯形，，则（    ） A．平面内存在无数条直线与平面平行 B．平面和平面PBC的交线与底面ABCD平行 C．平面PAB和平面的交线与底面平行 D．平面内任意一条直线都不与BC平行 【答案】ACD 【详解】设平面平面，在平面内存在无数条直线与l平行，且不含于平面， 则在平面内存在无数条直线与平面平行，故A正确； 若平面ABCD，平面，平面∩平面，则， 同理，，则，这与四边形为梯形矛盾，故B错误； 设平面平面，∵，平面，平面， ∴平面， 又∵，∴，平面，平面， ∴平面，故C正确； 若平面内存在一条直线a与BC平行，则平面，平面， 平面平面，则矛盾， ∴平面内任意一条直线都不与平行，故D正确. 故选：ACD 题型四：中位线法证明线面平行 解题的关键是找到合适的三角形中位线。先在图形中找到包含目标直线的三角形，再取三角形两边的中点，连接得到中位线，利用中位线平行且等于底边一半的性质，证明目标直线与平面内的底边平行，再结合线面平行的判定定理（直线在平面外、与平面内直线平行），证得线面平行。 【例7】如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：直线平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值； 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）. （2）设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. （3）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 【例8】如图，在直三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）连接，设，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由直三棱柱可知，三棱锥的高为，， 在中，，为的中点，由（1）知， 所以． 因此． 【变式4-1】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面； 【答案】证明见解析 【详解】设与的交点为，连接， 因为是菱形，所以是线段的中点， 又是棱的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【变式4-2】如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    求证：平面； 【答案】证明见解析 【详解】证明：连接交于点，如图所示：    由是正方形得为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 于是，又因为平面，平面， 所以平面. 【变式4-3】如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）在正方体中，，、、两两垂直， 因为、、分别为、、中点，所以， 则，. 等腰底边上的高. 所以三棱锥的表面积为： . （2） 连接，，设与的交点为，连接. 因为、是正方体中对边、的中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以为中点. 又为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. 题型五：平行四边形法证明线面平行 解题核心是构造平行四边形，利用“对边平行”的性质。先在平面内找一条直线，证明它与目标直线平行且相等，从而构成平行四边形，再结合线面平行的判定定理，说明目标直线在平面外，且与平面内的这条直线平行，最终证得线面平行，常通过找等长线段、利用中点或已知平行关系来构造平行四边形。 【例9】如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由直三棱柱性质可得，， 由D，E分别是，的中点，则，， 则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面； （2）由，，则， 故为等腰直角三角形，则点到的距离为， 则点到的距离为， 由为的中点，则点与点到平面的距离相等， 故. 【例10】已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，是的中点.为的中点，为上一点，平面，证明：为中点. 【答案】证明见解析 【详解】如图，取的中点为，由三点确定一个平面，交于点， 由平面，平面， 平面平面，可得， 又因为为的中点，所以，， 又因为，所以， 由平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为，所以， 则四边形是平行四边形，故， 又因为， 是的中点.， 所以，结合， 可得是的中位线，即为中点. 【变式5-1】在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为，，，，所以，. 又，所以. 如图，连接. 在中，是线段的中点，所以，. 又，， 所以且，所以四边形为平行四边形，因此. 又因为平面，平面，所以平面. 【变式5-2】如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，，分别为棱，，，，的中点，，分别为线段，上一点，且，（）.当时，证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】连接，在线段上取一点，使， 在线段上取一点，使，连接，，， 则，且， 因为，，，分别为棱，，，的中点. 则，且，，， 所以，， 又，所以，， 所以四边形为平行四边形，同理四边形为平行四边形， 所以，，所以. 因为平面，不包含于平面，所以平面. 【变式5-3】如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【详解】过作与交于点， 过作与交于点，连接. 由已知条件，可知矩形与矩形全等. 因为，且， 所以， 所以，又， 则四边形为平行四边形，所以， 因为不在平面内，平面，所以平面. 题型六：利用线面平行的性质定理证明线线平行 解题时要先明确已知条件：一条直线平行于一个平面。关键步骤是“作辅助平面”：过这条直线作一个与已知平面相交的平面，得到交线，再根据线面平行的性质定理，直接推出目标直线与交线平行，常用于已知线面平行，需要推导平面内直线与已知直线平行的场景。 【例11】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】直线//平面，证明见解析 【详解】直线平面，证明如下： 分别是的中点，得， 又平面，且平面，则平面， 而平面，且平面平面，因此， 又平面，平面，所以平面. 【例12】已知四棱锥的底面是平行四边形，平面． 若平面与平面的交线为，证明：； 【答案】证明见解析 【详解】因为底面是平行四边形， 故平面，平面 可得平面， 又因为平面， 平面平面， 所以． 【变式6-1】在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，连接对角线交于点，连接. 因为正四棱锥的底面是正方形，所以是的中点. 因为平面，⊂平面，且平面平面，由线面平行的性质得. 因此是的中位线，故是的中点，即. 设正四棱锥的底面积为，高为h，则总体积， 因为 的面积是正方形面积的一半，即 ， 因为是中点，所以到底面的距离为. 所以，所以 . 【变式6-2】如图，在直平行六面体中，点在棱上.若平面，证明：. 【答案】证明见解析 【详解】 连接交于点，连接， 可知平面平面， 又因为平面平面，所以， 因为为直平行六面体， 所以为平行四边形， 所以为的中点， 所以为的中点， 即. 【变式6-3】如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，连接. 四边形是平行四边形， 是的中点． 又是的中点，. 又平面，平面， 平面. 又平面，平面平面， . 题型七：补全线面平行的条件 解题时要紧扣线面平行判定定理的三个必要条件：直线在平面外、平面内存在一条直线与已知直线平行、已知直线与平面内的直线平行。题目通常会给出部分条件，需要补充缺失的关键前提，比如补充“线在面外”的说明、补充平面内的平行线，或补充中点、平行四边形等能推出线线平行的条件，使三个条件完整，满足判定定理的要求。 【例13】如图，在四棱锥中，，，E为边的中点，直线上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在， 【详解】如图，连接，．记，而，， E为边的中点，则， 故为平行四边形，且Q为的中点， 连接，在平面内作，交延长线于M， 则有，所以． 此时平面，平面， 则直线平面， 即直线上存在点M，使得直线平面，. 【例14】如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；    【答案】存在，为的中点，证明见解析 【详解】在线段上存在点，且为的中点，使得平面. 证明如下：    取得中点，连接，，. 因为为的中点， 所以，且. 因为为的中点，且四边形为平行四边形， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形. 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【变式7-1】如图，已知正方体，点是棱的中点．在棱上找一个点，使直线与平面平行并证明． 【答案】点为棱中点时，证明见解析 【详解】当点为棱中点时，此时直线与平面平行， 证明如下：∵点分别为棱和中点， ∴，∵平面，平面， ∴平面． 【变式7-2】如图，在正四棱柱中，，点为棱上的点，且满足． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】 【详解】（1）∵是正四棱柱， ∴，四边形是矩形，∴， ∴求异面直线与所成角的余弦值即是求与所成角的余弦值， 在中，，， ∴； （2）如图，当点为的三等分点（靠近点）时，使得平面， 作的中点，连接，，连接交于点，连接， 由棱柱的性质可知，∴四边形是平行四边形，∴， 又∵点，分别是，的中点，∴， 由平面公理4可得，又∵平面，平面， ∴平面，此时． 【变式7-3】如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由. 【答案】存在， 【详解】当时，平面PDE，证明如下： 过点C作，交的延长线于， 在PE上取一点M，使得，连接HM，FM， 因为，，所以且， 因为D是AC的中点，且，所以且， 所以且，所以四边形CFMH是平行四边形，即， 又因为平面PDE，平面PDE，所以平面.    一、单选题 1．连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个（　　） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 【答案】C 【详解】 如图所示，在空间四边形中，分别为的中点， 连接， 是的中位线，所以，且. 同理，且. ，且. 四边形是一个平行四边形. 故选：C 2．，分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，直线与平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．无法判断 【答案】A 【详解】因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 3．已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】如果，此时也能找到且，但并不平行于，而是在内，所以充分性不成立； 根据线面平行的性质定理：如果直线平行于平面，那么过作一个平面与相交，交线就满足，且，所以必要性成立. 即“存在直线，使”是“”的必要不充分条件. 4．过正方体的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（   ） A．6条 B．8条 C．12条 D．16条 【答案】C 【详解】 由三角形的中位线易得平面， 易得平面平面， 所以平面内有6条， 平面关于平面对称的平面内有6条， 共有12条. 故选：C. 5．在正方体中，点是棱的中点，点在四边形内部运动包括边界设直线与直线所成的角为，则当平面时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点分别为，连接， 可以证明平面平面， 故当点在线段上运动时，平面. 因为，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，所以，连接，显然. 令正方体的棱长为2，，， 则，又， 所以，所以. 故选：B 6．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点的中点的中点F，连接和，    由分别为的中点，知，同理可知：,，有， 又由,面且平面，所以平面， 同理可知，平面. 因为,平面平面，所以平面平面， 而平面，故动点在平面内的轨迹为， 由可知，， 所以，即，所以线段的最大值为. 故选：A. 二、多选题 7．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且，，则下列结论不正确的是（    ） A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形 【答案】CD 【详解】如图，连接BD， ，且， 同理，且，， 当时，，此时四边形EFGH是平行四边形，故A正确，D不正确， 当时，，四边形EFGH是梯形，故B正确，C不正确. 故选：CD. 8．如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面 【答案】AB 【详解】对于A，平面，平面平面，平面， ， 四边形为矩形，为中点，为中点， 为中点，即，A正确； 对于B，平面，平面，， 平面，B正确； 对于C，假设平面，因，则平面或平面， 平面，平面，平面且与平面不平行， 故假设错误，即不平行于平面，C错误； 对于D，因是的中点，平面，则点平面，故平面不成立，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 9．已知空间中的两个角和，若，则_____. 【答案】 【详解】由等角定理可知与相等或互补， 所以或. 故答案为：或. 10．如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【答案】在中点与中点连线上 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在平面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， 11．如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，___________． 【答案】 【详解】连接，连接，由，为线段上靠近的三等分点， 得，，由平面，平面平面， 平面，得，所以. 故答案为： 四、解答题 12．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】连接，因为四边形为正方形，G是线段的中点， 所以G是线段的中点. 又因为F是线段的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 13．在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G. (1)求证：E，O，F三点共线； (2)若四边形为平行四边形，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为平面，平面，所以平面. 同理平面，所以平面平面. 又因为平面，平面，所以. 即E，O，F三点共线. （2）若四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. 在正三棱锥中，平面， 则为正三角形的中心，即为重心. 连接并延长交于点Q，则. 由（1）可知，.又，则. 所以. 14．如图，直三棱柱的所有棱长都等于2，点，分别是线段，上的动点（异于端点），且．证明：平面； 【答案】证明见解析 【详解】证明：直三棱柱的所有棱长都等于2，故四边形均为正方形， 则； 在棱上分别取点，使．连接， 则． 因为，，所以． 又，所以． 由，得， 所以四边形是平行四边形．所以． 又平面，平面，所以平面． 15．已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面．在上是否存在一点，使得平面？ 【答案】为的中点时，平面. 【分析】 【详解】 当点为的中点时，平面，证明如下： 由已知， 所以四边形为矩形， 所以，， 已知，点为的中点，则， 又，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 所以在上存在一点，使得平面. ’ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $