8.5.2 直线与平面平行（六大题型）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

**基本信息** 以正方体等几何体为载体，系统覆盖线面平行的判断、证明、条件补全、性质应用及相关计算，注重空间观念与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断线面平行|4题|结合中点、动点等考查位置关系判断|从概念辨析到空间直观构建| |证明线面平行|4题|含动态点、截面问题的推理论证|判定定理的灵活应用| |补全条件|4题|逆向探究线面平行的充分条件|深化定理条件与结论的逻辑关系| |性质应用|4题|线面平行性质的多情境迁移|性质定理与空间几何量关联| |比例位置判断|4题|由线面平行推导线段比例或点位置|性质定理的定量应用| |求线段长度|4题|结合线面平行求动态线段长度|几何直观与运算能力结合|

8.5.2 直线与平面平行 题型一 判断线面平行 1．如图，在正方体中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（   ）    A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】连接交于点，连接，证明为平行四边形，结合线面平行判定定理即可作出判断. 【详解】连接交于点，连接，，而分别是的中点，    所以，即，且，即， 则为平行四边形，故， 由平面平面，则平面． 故选：B 2．如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【分析】根据线面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】选项A，如题所示连接交与，则为中点，    又因为是中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，A满足题意； 选项B，将直线平移使得点与点重合，则显然可知与平面不平行，B不满足题意； 选项C， 连接，由条件和正方体的性质可知，，    所以五点共面，即在平面内，所以与平面不平行，C不满足题意； 选项D，取的中点为，连接，    因为是棱上中点，所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面，D满足题意； 故选：AD 3．在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断： ①平面; ②平面; ③平面; 其中推断正确的序号是______________________________. 【答案】①③ 【分析】由已知可得，由线面平行的判定定理可判断①；由，与平面相交可判断②；由，根据线面平行的判定定理可判断③， 【详解】如图，连接， 对于①：因为在正方体中， ，，分别是，，的中点， 所以，因为，所以， 因为平面， 平面， 所以平面，故①正确； 对于②：因为，与平面相交， 所以与平面相交，故②错误； 对于③：因为，，分别是，，的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面，故③正确； 故答案为：①③ 4．如图将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系？该如何判定直线与平面平行呢？ 【答案】答案见解析 【详解】AB平行于桌面所在平面，由翻动过程中，封面另一边缘始终在桌面所在平面内， 故可知：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． 题型二 证明线面平行 5．如图，在直三棱柱中，点、分别在棱上，且，点满足，若平面，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理找到过直线且与直线平行的平面，进而确定点的位置，最后利用相似求解即可. 【详解】在上取一点使得，连接， 与交于一点，即为所求（如图所示）. 证明如下： 因，，则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 即平面， 又，，，则， 则，即的值为. 故选：D 6．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，G是棱上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．当G为棱中点时，直线平面 B．三棱锥外接球的表面积为 C．若H是棱上的动点，则的最小值为 D．若M为棱的中点，平面MEF截正方体所得截面图形的周长为 【答案】ACD 【分析】A选项，作出辅助线，得到平面，平面，得到面面平行，进而得到线面平行；B选项，三棱锥外接球为以三边为长宽高的长方体的外接球，从而求出外接球半径和表面积；C选项，将两平面展开到同一平面内，利用勾股定理求出最小值；D选项，作出平面MEF截正方体所得截面图形，求出周长. 【详解】A选项，取的中点，又G为棱中点，E，F分别是棱，的中点， 故，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为直线平面，所以平面，A正确； B选项，显然两两垂直， 故三棱锥外接球为以三边为长宽高的长方体的外接球， 设外接球半径为，则， 故外接球表面积为，B错误； C选项，将正方形和矩形沿着棱展开，如图， 连接与相交于点，的最小值即为的长度， 其中，， 由勾股定理得，C正确； D选项，取的中点，的中点，的中点， 连接，可证得，六点共面， 平面MEF截正方体所得截面图形即为正六边形，边长为， 故周长为，D正确. 故选：ACD 7．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为______． 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 故答案为：. 8．在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理判断即可. 【详解】证明：因为，，，，所以，. 又，所以. 如图，连接. 在中，是线段的中点，所以，. 又，， 所以且，所以四边形为平行四边形，因此. 又因为平面，平面，所以平面. 题型三 补全线面平行的条件 9．如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 10．已知、是两条互相平行的直线，是一个平面．若要使得，则需添加下列哪些条件（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由线面平行的判定定理即可得出答案. 【详解】由，所以需添加，. 故选：AC. 11．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则______. 【答案】 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，如下图所示： 由，得， 连接BG，FG，则， 由平面，平面，得平面， 而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面， 平面平面，则， 所以. 故答案为：. 12．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连和，证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定，即可证得平面.； （2）取中点，连接，，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，结合面面平行的性质，即可证得平面． 【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取中点，连接和， 因为和分别为和的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 又由（1）可得∥平面，且，平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，且平面，所以平面， 所以，当为中点时，平面． 题型四 线面平行的性质 13．如果直线平面，那么直线与平面内的（    ） A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 【答案】D 【分析】由线面平行的性质判断即可. 【详解】线面平行，则线面无公共点， 所以直线与平面内的所有直线都不相交，故ABC错误，D正确． 故选：D 14．在四棱台中，底面ABCD为梯形，，则（   ） A．平面内任意一条直线都不与BC平行 B．平面内存在无数条直线与平面平行 C．平面和平面的交线不与底面ABCD平行 D．平面和平面的交线不与底面ABCD平行 【答案】ABD 【分析】根据线线，线面平行的判断定理和性质定理，即可判断选项. 【详解】A.由条件可知，梯形中，和是相交直线，且平面，则直线与平面相交， 所以平面内任意一条直线都不与BC平行，故A正确； B.平面与平面相交，则平面内与交线平行的线都与平面平行，故B正确； C.设平面和平面交于直线，因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面平面，所以， 因为平面，平面，所以平面，故C错误； D. 若平面和平面交于直线，若平面，平面平面， 平面平面，所以，且，则，这与梯形的两腰不平行矛盾，所以D正确. 故选：ABD 15．如图，在正方体中，，分别为，的中点，点分别在线段，上，且，则在这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数为______． 【答案】1 【分析】根据线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理得出及，即可判断. 【详解】如图，取的中点，且． 又且，所以且，四边形为平行四边形，则． 又平面，平面，故平面； 若平面，平面，平面平面，则，矛盾； 过点作交于点，连结，，则． 若平面，平面，平面平面，故， 又，则四边形是平行四边形，但，矛盾． 故在这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的有1条． 故答案为：1. 16．四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）即证，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由（1）有平面，利用线面平行的性质定理即可得，进而得证. 【详解】（1）由底面是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）由（1）有平面， 又平面，平面平面， 所以， 又E是中点， 所以F是中点. 题型五 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 17．如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，连接，由线面平行的性质得，即有，结合已知得，即可得. 【详解】连接交于点，连接，显然平面平面， 又平面，平面，则，即， 由为平行四边形，且E为线段AD的中点，易知， 所以. 故选：A 18．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．若∥平面，则直线CQ不可能垂直于直线 C．若，则点Q的轨迹长度为 D．三棱锥的外接球的半径为 【答案】ACD 【分析】A.根据平面的性质，作出截面，即可判断A，根据线面平行的性质定理，结合A的判断，判断B，根据勾股定理求点的轨迹，判断C，首先求外接圆的半径，并根据平面，求三棱锥外接球的半径，即可判断D. 【详解】取的中点，连结，因为，所以平面截正方体所得截面为四边形， ，所以四边形是等腰梯形，故A正确； B.因为平面，且平面，且平面平面， 所以，则点在上，当点在的中点时，此时，故B错误； C.因为，，所以点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆的， 所以轨迹长为，故C正确； D.三棱锥和三棱锥是同一个棱锥， 中，，则，则外接圆的半径， 因为平面，所以三棱锥的外接球的半径，故D正确. 故选：ACD 19．如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为______． 【答案】2 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质及可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，则，即. 故答案为：2. 20．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点． (1)求证：面； (2)当平面时，面与交于， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）2；（ⅱ） 【分析】（1）先应用余弦定理得出，再应用勾股定理证明，最后应用线面平行判定定理证明； （2）（ⅰ）先应用线面平行性质定理得出再结合比例关系得出，最后再应用线面平行性质定理得出即可得出比例；（ⅱ）应用三棱锥体积公式结合比列关系计算. 【详解】（1）由为正三角形且可知． 又因为，且，在中，由余弦定理得 ． 所以，所以，所以，即． 所以，又因为平面平面， 所以面． （2）（ⅰ）如图，连接交于点，连接． 因为平面平面，平面平面，所以． 在梯形中，，所以． 因为，所以有， 又面面，平面平面． 所以． 又，所以． （ⅱ）因为． 设梯形高为，则 所以． 又，所以． 所以． 题型六 由线面平行求线段长度 21．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解. 【详解】连接，，则过点.如图所示 ∵平面，平面平面，平面， ∴，∵， ∴. 故选：B. 22．已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（    ） A．所在的平面与正方体表面的交线为五边形 B．所在的平面与正方体表面的交线为六边形 C．长度的最大值是 D．长度的最小值是 【答案】BC 【分析】作出过且与平面平行的平面与正方体表面的交线即可判断A、B；用向量法表示出，再用二次函数的知识求解. 【详解】如图，   所在的平面与正方体表面的交线为如图所示正六边形，故A错误，B正确； 以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    其中，分别是的中点， 则直线的方程为所以不妨设线段上的点， 点，则， 所以当时，；当时，．故C正确，D错误． 故选：BC． 23．如图，是棱长为2的正方体的棱上一点，且面，则线段的长度是_________. 【答案】 【分析】连接与相交于点，则点是的中点，利用线面平行的性质定理可得，即点是的中点，求出可得答案. 【详解】连接与相交于点，连接，则点是的中点， 平面平面， 因为平面，所以， 可得点是的中点， 所以, 故答案为：, 24．如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点在棱上，且满足. (1)若，求证：平面； (2)若点在线段上，且满足平面，且的取值范围为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，由题可得，根据线面平行的判定即可证明； （2）设交于点，连接并延长交的延长线于，由题可证四边形为平行四边形，得到，利用，可得，继而得到，即可. 【详解】（1）证明：连接，，，则为中点， 又为的中点，所以， 在正方体中，，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）设交于点，连接并延长交的延长线于， 平面，平面，平面平面， ，又，所以四边形为平行四边形， 则，又，所以， 又，所以， ，， 所以,因,则可得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5.2 直线与平面平行 题型一 判断线面平行 1．如图，在正方体中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（   ）    A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 2．如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断： ①平面; ②平面; ③平面; 其中推断正确的序号是______________________________. 4．如图将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系？该如何判定直线与平面平行呢？ 题型二 证明线面平行 5．如图，在直三棱柱中，点、分别在棱上，且，点满足，若平面，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，G是棱上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．当G为棱中点时，直线平面 B．三棱锥外接球的表面积为 C．若H是棱上的动点，则的最小值为 D．若M为棱的中点，平面MEF截正方体所得截面图形的周长为 7．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为______． 8．在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 题型三 补全线面平行的条件 9．如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 10．已知、是两条互相平行的直线，是一个平面．若要使得，则需添加下列哪些条件（    ） A． B． C． D． 11．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则______. 12．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 题型四 线面平行的性质 13．如果直线平面，那么直线与平面内的（    ） A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 14．在四棱台中，底面ABCD为梯形，，则（   ） A．平面内任意一条直线都不与BC平行 B．平面内存在无数条直线与平面平行 C．平面和平面的交线不与底面ABCD平行 D．平面和平面的交线不与底面ABCD平行 15．如图，在正方体中，，分别为，的中点，点分别在线段，上，且，则在这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数为______． 16．四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 题型五 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 17．如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（   ） A． B． C． D． 18．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．若∥平面，则直线CQ不可能垂直于直线 C．若，则点Q的轨迹长度为 D．三棱锥的外接球的半径为 19．如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为______． 20．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点． (1)求证：面； (2)当平面时，面与交于， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 题型六 由线面平行求线段长度 21．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 22．已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（    ） A．所在的平面与正方体表面的交线为五边形 B．所在的平面与正方体表面的交线为六边形 C．长度的最大值是 D．长度的最小值是 23．如图，是棱长为2的正方体的棱上一点，且面，则线段的长度是_________. 24．如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点在棱上，且满足. (1)若，求证：平面； (2)若点在线段上，且满足平面，且的取值范围为，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $