第3章 一次函数（复习课件）数学新教材湘教版八年级下册

单元复习课件 第三章 一次函数 湘教版新教材·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 3.能解决含多个一次函数的实际综合问题，能对比不同函数模型的优劣，选择最优方案。能分析一次函数中参数、变化时，函数图象的变化规律，探究参数对函数性质的影响。能熟练运用数形结合思想，将一次函数的代数表达式与几何图象结合，解决综合类问题。 1．能复述一次函数的定义，明确一次函数的一般形式；能区分一次函数与正比例函数的关系。会用描点法画出一次函数（含正比例函数）的图象，知道一次函数的图象是一条直线。能结合简单实际情境，理解一次函数的实际意义，会用一次函数表示两个变量之间的关系。 2.会根据两个点的坐标，推导一次函数的表达式，能熟练掌握待定系数法的解题步骤。能分析两条一次函数图象的位置关系。能将实际问题转化为一次函数模型，建立一次函数表达式。理解一次函数与一元一次方程的联系，会利用一次函数图象求一元一次方程的解。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、变量与函数 　　1.变量与常量：在一个变化过程中，取值发生变化的量叫变量，取值固定不变的量叫常量（常数）。 　　2.函数：一般地，如果变量随着变量而变化，并且对取的每一个值，都有唯一的一个值与它对应，那么称是的函数， 记作：.其中叫作自变量，叫作因变量。 对于自变量的每一个取值，因变量的对应值称为函数值，记作. 考点串讲 考点一、变量与函数 　　3.函数的图象：建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的函数值(即因变量的对应值) 为纵坐标，描出每一个点，由这些点组成的图形称为这个函数的图象，这种表示函数关系的方法称为图象法. 函数关系的三种表示方法 名称 特点 图像法 可以直观的看出因变量如何随自变量的变化而变化。 列表法 可以清楚的看出自变量取的值与因变量的对应值。 公式法 可以方便的计算函数值。 考点串讲 考点二、一次函数 　　1.定义：一般地，如果(是常数，)，那么叫做的一次函数。因变量随自变量的变化是均匀的。 特别地，当时，一次函数（为常数，）也叫做正比例函数。 一次项 常数项 一次项系数 一次函数的结构特征： ①； ②自变量的次数是1； ③常数项可以是任意实数． 考点串讲 1.一次函数图象的形状：的图象是一条直线，正比例函数图象过原点（0,0）； 考点三、一次函数的图像与性质 2.一次函数图象的画法： ①描点法：列表➡️描点➡️连线； ②两点法：通常取 和 ，即当时和当时. 考点串讲 函数 字母系数取值 图象 经过的象限 函数性质 b > 0 b = 0 b < 0 考点三、一次函数的图像与性质 3.一次函数图像的性质 第一、三象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 y 随 x 增大而增大 的正负决定图象从左到右的趋势，的正负决定直线与y轴的交点位置． 考点串讲 函数 字母系数取值 图象 经过的象限 函数性质 b > 0 b = 0 b < 0 考点三、一次函数的图像与性质 3.一次函数图像的性质 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 y 随 x 增大而减小 的正负决定图象从左到右的趋势，的正负决定直线与y轴的交点位置． 考点串讲 考点三、一次函数的图像与性质 4.一次函数图像的平移 在直线和直线中，如果，那么这两条直线平行，并且其中一条直线可以看作是由另一条直线平移得到的。 直线向上平移个单位，得到直线 直线向下平移个单位，得到直线 特别地，一次函数，可以看成正比例函数向上（）或向下（）平移个单位长度得到。 常数项 （上加下减） 直线向左平移个单位,得到直线 直线向右平移个单位,得到直线 自变量 （左加右减） 考点串讲 考点四、求一次函数的表达式 1.待定系数法：通过先设定函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数（即待定的系数）。从而求出函数表达式的方法称为待定系数法。 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤: 设 设出所求的表达式； 列 把两组函数图象上点的坐标或满足表达式的 的值代入所设表达式，得到二元一次方程组； 解 解方程组，求出关于待定系数的方程组的解； 写 将所求得的系数的值代回所设的表达式，写出表达式。 特别地，在正比例函数中，只有一个待定系数，只需要一个除 (0，0)外的条件即可求出的值。 考点串讲 考点五、一次函数与方程、不等式 1.一次函数与二元一次方程： 每一个二元一次方程都能变形为一次函数的解析式，对应一个图象（无数个点组成的直线），这个直线上无数个点的坐标就是二元一次方程的无数组解。即一次函数图像上的点的坐标和对应的二元一次方程的解是一一对应的关系。 一般地,一次函数图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解,以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上. 考点串讲 考点五、一次函数与方程、不等式 2.一次函数与二元一次方程组： 二元一次方程组 两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式．而这两个函数关系式可以看成关于、的两个方程，所以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的解． 一次函数 方程组的解 相互转化 一 一对应 两个一次函数图象的交点坐标 考点串讲 考点五、一次函数与方程、不等式 3.一次函数与一元一次方程： 一次函数与一元一次方程的关系：直线与x轴交点的横坐标的值就是一元一次方程的解．反过来，一元一次方程的解是直线与轴交点的横坐标． 一次函数 中， 当 时，求 x 的值 解方程 方程的解 数的角度 形的角度 直线 图像与 轴交点的横坐标 考点串讲 考点五、一次函数与方程、不等式 4.一次函数与一元一次不等式： 一次函数与一元一次不等式的关系： ①不等式k的解集就是使函数的函数值大于的对应的自变量取值范围； ②不等式的解集就是使函数的函数值小于的对应的自变量取值范围． 一次函数中，当 时，求的取值范围 解一元一次不等式 数的角度 不等式的解集 形的角度 直线图像在轴上方(下方)的部分对应的的取值范围 考点串讲 题型一、函数与一次函数辨析 例1 下列关系式中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 解：D选项：，当时，对于一个确定的的值，都有两个值与之对应，故y不是x的函数． 解析：根据函数的定义判断，若对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，否则不是，据此分析即可． D 题型剖析 解：③中，当时，，不满足是的函数的定义， ⑤中，当时，，不满足是的函数的定义， 故答案为：①②④． 练一练 下列各式中，①；②；③； ④；⑤；是的函数的有________．（只填序号） 解析：本题考查了函数的定义“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数”，熟记函数的定义是解题关键．根据函数的定义求解即可得． ①②④ 题型一、函数与一次函数辨析 题型剖析 方法总结： 熟记函数的定义是解题关键。对于一个自变量，看能否找到多个因变量。 题型一、函数与一次函数辨析 题型剖析 题型二、求自变量的取值范围 例2 函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 解：∵要使函数有意义，需同时满足二次根式和分式的要求， ∴ ∴且 解析：根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为0），确定自变量需满足的条件，解不等式取公共范围即可． B 题型剖析 练一练 函数的自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且且 解：根据题意：， 解得：且且． 故选：D． 题型二、求自变量的取值范围 D 题型剖析 方法总结： 考查函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据分母不等于0列式求解即可． 题型二、求自变量的取值范围 题型剖析 题型三、根据一次函数的定义求参数 例3 若函数是关于的一次函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．为任意实数 解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ 的系数， ∴， 故选：A． A 解析：根据一次函数的定义，的系数不能为零，解答即可．本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 题型剖析 练一练 在中，若是的正比例函数， 则值为______． 解：因为是的正比例函数， 所以， 由得或， 又因为， 所以， 因此， 故答案为：． 题型三、根据一次函数的定义求参数 -2 题型剖析 题型四、一次函数图像共存问题 例4 下列表示一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象的是（　　） 解：∵正比例函数，∴经过原点，∴排除选项C和D， 若，， 则经过一、二、三象限，经过一、三象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过一、三、四象限，经过二、四象限，没有符合题意的图象； 解析：考查一次函数的图象．将与0进行比较，然后分情况讨论其图象的位置即可． 若，， 则经过二、三、四象限，经过一、三象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过一、二、四象限，经过二、四象限，选项A符合题意； 故选：A． A 题型剖析 练一练 下面表示正比例函数与一次函数（是常数，且）图象的是（　　） 解：根据一次函数的图象分析可得： A、由正比例函数的图象可得，由一次函数图象可得，，两者不矛盾，故此选项符合题意； B、由正比例函数的图象可得，由一次函数图象可得，，两者矛盾，故此选项不符合题意； C、由正比例函数的图象可得，由一次函数图象可得，，两者矛盾，故此选项不符合题意； D、由正比例函数的图象可得，由一次函数图象可得，，两者矛盾，故此选项不符合题意；故选：A． 题型四、一次函数图像共存问题 A 题型剖析 方法总结： 此类题型做法比较单一，将待定系数与0进行比较，然后分情况讨论其图象的位置，再进行排出即可。注意不要漏掉情况，建议一步一步列出。 题型四、一次函数图像共存问题 题型剖析 题型五、一次函数图像所经过的象限问题 例5 一次函数中，随的增大而减小，且，则该函数图象大致是（ ） 解：∵， ∴随的增大而增大． ∵， 解析：考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（为常数，），当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与轴的负半轴相交，当，图象经过原点． B ∴图象与轴的负半轴相交， ∴图象经过一三四象限，不经过第二象限． 故选B． 题型剖析 练一练 （25-26八年级上·福建漳州·期末）正比例函数图象经过第二、四象限，则的值可能是（   ） A． B．0 C．2 D．1 解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴比例系数， 解不等式得， 观察选项，只有2满足， ∴的值可能是2． 题型五、一次函数图像所经过的象限问题 C 题型剖析 方法总结： 关键就是先定，再定，最后匹配象限，只要记住看增减、 看截距，就能快速解决。 题型五、一次函数图像所经过的象限问题 题型剖析 题型六、一次函数的增减性 例6 下列函数中，随增大而增大的是（      ） A． B． C． D． 解：A、一次函数中，，y随x的增大而减小，不符合题意； B、一次函数中，，y随x的增大而减小，不符合题意； C、一次函数中，，y随x的增大而减小，不符合题意； D、一次函数中，，y随x增大而增大，符合题意； 故选：D D 解析：一次函数的性质：，随的增大而增大；，随的增大而减小，根据一次函数的性质逐项分析判断即可． 题型剖析 练一练 （25-26八年级上·安徽合肥·期末）若点，，都在一次函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∴随的增大而增大， ∵点、，都在一次函数的图象上，且， ∴． 故选：A． 题型六、一次函数的增减性 A 题型剖析 方法总结： 关键是先定的符号，再比的大小，最后对应的顺序，熟练后可以10秒内快速判断。 题型六、一次函数的增减性 题型剖析 题型七、一次函数图像的平移 例7 （25-26八年级上·河南开封·期末）直线沿着y轴向上平移5个单位长度后，经过点，则b的值为（   ） A． B．1 C． D．9 解：∵直线沿轴向上平移5个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵平移后的直线经过点， ∴， ∴． 故选：B． B 解析：考查一次函数图象的平移规律，利用“上加下减”“左加右减”的平移规律得到平移后的直线解析式，再将已知点代入解析式求解的值即可． 题型剖析 练一练 将直线,先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到直线,则平移后得到的直线 的表达式为（ ） A. B. C. D. 解：根据常数项上加下减，自变量左加右减，进行判断。 先向下平移3个单位长度，得到, 再向右平移四个单位长度,得到, 即 故选C. 题型七、一次函数图像的平移 C 题型剖析 题型八、待定系数法求一次函数解析式 例8 若点、、都在直线（、为常数，且）上，求的值． 解：将、代入， 得，解得， ∴直线的函数表达式为． ∵在直线上， ∴． 解析：将、代入，利用待定系数法求出解析式，再将代入解析式求出的值即可． 题型剖析 练一练 (简阳市期中)如图，直线OA的解析式为y=3x，点A的横坐标是-1，OB=，OB与x轴所夹锐角是45°. (1)求点B的坐标； (2)求OB所在直线的解析式. 解:(1)如图，作BC⊥x轴，垂足为C. 在Rt△BOC中， ∵ OB=，O与x轴所夹锐角是45°， ∴ OC=BC=1. ∴ B(1，-1). 题型八、待定系数法求一次函数解析式 题型剖析 练一练 (简阳市期中)如图，直线OA的解析式为y=3x，点A的横坐标是-1，OB=，OB与x轴所夹锐角是45°. (1)求点B的坐标； (2)求OB所在直线的解析式. (2)∵点A的横坐标为-1，且点A在直线上，则A的纵坐标. ∴ A(-1，-3). 设直线AB的解析式为. 把A(-1，-3)，B(1，-1)代入，得 解得. ∴ AB所在直线的解析式为 题型八、待定系数法求一次函数解析式 题型剖析 题型九、一次函数与方程（组） 例9 （25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，若直线（，为常数，且）与直线交于点，关于的二元一次方程组 的解为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 解析：考查了二元一次方程组与一次函数的关系.先求出 点P的坐标为，再根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解解答即可. A 题型剖析 题型九、一次函数与方程（组） 解：对于一次函数，当时，， ∴点P的坐标为， ∴关于的方程组 的解是， 故选：A. 题型剖析 练一练 如图所示，函数的图象和的图象交于点P，则根据图象可知，关于的二元一次方程组 的解是_____． 解：当时，， 即， ∵函数的图象和的图象交于点P， ∴二元一次方程组 的解是． 故答案为：． 题型九、一次函数与方程（组） 题型剖析 题型十、一次函数与不等式 例10 如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 解析：根据点的坐标求出直线解析式，然后求出点坐标，根据直线与横轴的交点坐标即可得出不等式的解集．重点掌握待定系数法和数形结合的思想． A 题型剖析 题型十、一次函数与不等式 解：一次函数的图象经过点， ， ∴函数表达式为． 当时，， 解得， ， 由题图得，关于的不等式的解集为． 题型剖析 练一练 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 解：∵直线和直线交于点， ∴由图象可得，不等式的解集为． 即关于的不等式的解集为． 题型十、一次函数与不等式 题型剖析 1.（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 考查正比例函数图象上点的坐标特征 B 解：，， 随的增大而增大， ，∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线，∴直线经过原点, 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 针对训练 2.（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考查一次函数的图象性质 D 解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 针对训练 3.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知关于x、y的二元一次方程组 的解是，则一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是______． 考查考查一次函数与二元一次方程组 解：∵关于x、y的二元一次方程组 的解是， ∴一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是； 故答案为：． 针对训练 4.如图，在平面直角坐标系中，A(3，4)，B(－2，1)，C(1，0)，延长AB与轴交于点P，若S△PBC＝S△ABC ，则点P 的坐标为 ． 解 ：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，如图所示． 因为， 所以 所以 因为S△PBC＝S △ABC ， 所以S△PBC＝ ×7＝ .设点P的坐标为． 因为C(1，0)，所以. 所以 ，解得 . 所以点P 的坐标为( ，0)． 考查考查一次函数与二元一次方程组 针对训练 5.甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，关于的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 考查分段函数 针对训练 （1）解：由图象可知，乙比甲提前到达， 而乙的速度为， 由于开始时，甲、乙两人骑行速度相同， 则， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知，，乙的骑行速度为, 当时，甲骑行过程中，关于的函数表达式为：； 当时，设y关于x的函数表达式为， 图象经过，两点，代入函数表达式得： , 解得 因此，关于的函数表达式为, 综上所述，甲骑行过程中，关于的函数表达式为：； 考查分段函数 针对训练 （3）解：由图象可知，时，乙到达地， 则在中，令得， 因此，乙到达B地时，甲离B地的路程为， 故答案为：； （4）解：由题意得，乙的骑行速度为， 则乙骑行过程中，关于的函数表达式为：， ①甲、乙两人相遇前后相距时， 则， 解得或； ②乙到达地后，甲、乙相距时, 则 综上所述，当或或时，甲、乙两人相距， 故答案为：或或； 考查分段函数 针对训练 （5）解：由题意结合图象可得，当两人相遇时，甲的函数表达式为， 乙的函数表达式为， 则， 解得， 此时距离地的距离为． 因此，乙出发时两人相遇，此时距离A地 故答案为：，． 考查分段函数 针对训练 6.某超市准备购进A，B两款书包进行销售，根据调研得到如下信息： ①购进2个A款书包和2个B款书包共需140元； ②每个A款书包比每个B款书包少10元； ③购进3个A款书包和4个B款书包共需250元． (1)从以上①②③中选两个作为已知条件，求A，B两款书包的进货单价； (2)在（1）的条件下，该超市购进A，B两款书包200个，且A款书包的数量不低于B款书包的，现将A，B两款书包分别以45元/个，60元/个的价格出售，若购进的这批书包全部售完，当A款书包的购进数量为多少时，该超市获得的利润最大，并求出最大利润． 考查一次函数应用（利润最大） 针对训练 （1）解：选①②作为条件，设A款书包的进货单价为x元/个，B款书包的进价为y元/个，根据题意，得： 解得: ． 答：A，B两款书包的进货单价分别为30元/个，40元/个． 考查一次函数应用（利润最大） 针对训练 （2）设A款书包的购进数量为m个，B种书包的购进数量为个，又设这批书包全部售完的总利润为w元，根据题意，得 ， 即， 又根据题意，知：， ∴． 又∵在中，w随m的增大而减小． ∴当时，w有最大值为：（元）． 答：当A款书包的购进数量为50时，该超市获得的利润最大，最大利润为3750元． 考查一次函数应用（利润最大） 针对训练 7.书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某校准备在某超市为书法课购买一批毛笔和宣纸，已知毛笔的单价为5元，宣纸的单价为0.36元．该校准备购买毛笔50支，宣纸张，该超市给出以下两种优惠方案． 方案：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案：购买的宣纸超出200张的部分打七五折，毛笔不打折． 设方案的总费用为元，方案的总费用为元． (1)请分别求出，与之间的函数表达式； (2)若该校准备购买宣纸300张，则选择哪种方案更合算？请说明理由． 考查一次函数应用（方案选择） 针对训练 （1）解：由题意可得，， 当时，， 当时，， 由上可得，，； （2）解：若该校准备购买宣纸300张，则选择方案更划算， 理由：当时，，， ， 若该校准备购买宣纸300张，则选择方案更划算． 考查一次函数应用（方案选择） 针对训练 课堂总结 感谢聆听! $