精品解析：江苏南京市励志高级中学2025-2026学年高二第二学期第二次调研考试数学试卷

励志高级中学2025--2026年度高二年级第二学期第二次调研考试 数学试卷 （时间：120 分钟 满分：150 分） 命题人：查澄贤 审核人：魏首亮 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知 ，，=，则=（ ） A. B. C. D. 7. 设，则（ ） A. 242 B. 243 C. 32 D. 31 8. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 现安排高二年级，，三名同学到甲、乙、丙三个社区进行社会实践，每名同学只能选择一个社区，每个社区不限制志愿者名额，则下列结果正确的是（ ） A. 所有可能的方法有27种 B. 所有可能的方法有9种 C. 若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有12种 D. 若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有14种 10. 甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 平面 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线，则实数t的值为______． 13. 用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且有邻边的区域颜色不能相同，则不同的涂色方法种数为______． 14. 西汉海昏侯墓出土的两千多年前的“权”（砝码），是与“衡”（天平）配合使用的称量工具．已知五枚权的质量（单位：克）从小到大构成项数为5的等比数列，其中，，则___________；在称量物体时所用的权的质量之和叫称量值，则从这五枚权中取一枚或多枚，可组合出的不同称量值共有___________种． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设为等差数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，求. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，，、分别为、的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 18. 盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3∶2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． （1）求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； （2）小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差； （3）现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望． 19. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若是函数的极值点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 励志高级中学2025--2026年度高二年级第二学期第二次调研考试 数学试卷 （时间：120 分钟 满分：150 分） 命题人：查澄贤 审核人：魏首亮 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出、、，即可得解. 【详解】双曲线，则，，所以， 则双曲线的离心率. 故选：D 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理边化角，求出角，利用公式求面积即可. 【详解】由余弦定理得，又 得，又， 从而，又，所以 从而的面积. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定和性质逐项判断可得答案. 【详解】对于A，若，，，则与可能异面，故A错误； 对于B，若，，，则与相交时，与都与交线平行时， 也满足条件，故B错误； 对于C，若，，，则与可能平行，故C错误. 对于D，若，，，则，故D正确. 故选：D. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以切线的斜率为， 故所求切线的方程为，即． 6. 已知 ，，=，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式和并事件的概率公式即可求解. 【详解】代入，， . 7. 设，则（ ） A. 242 B. 243 C. 32 D. 31 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 令，可得，即， 令，可得， 即， 因此. 8. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 现安排高二年级，，三名同学到甲、乙、丙三个社区进行社会实践，每名同学只能选择一个社区，每个社区不限制志愿者名额，则下列结果正确的是（ ） A. 所有可能的方法有27种 B. 所有可能的方法有9种 C. 若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有12种 D. 若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有14种 【答案】AC 【解析】 【详解】，，三名同学,每名同学都有三种选择，根据分步乘法计数原理， 所有可能的方法有种，故A正确，B错误； 同学A不去社区甲，则有2种选择；B不去社区乙，B也有2种选择；有3种选择. 根据分步乘法计数原理，同学A不去社区甲，B不去社区乙， 则不同的安排方法有种，故C正确，D错误. 10. 甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据条件写出和 ，，再根据全概率公式和贝叶斯公式判断选项. 【详解】由条件可知，，，故AC正确；， ，故B正确； ，故D错误. 11. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 平面 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据等积变换可求三棱锥的体积；对于选项B，可用反证法说明；对于选项C，可通过建立空间直角坐标系求出外接球的半径，从而得出表面积；对于选项D，作出过三点确定的平面与正方体相交形成的截面，进而求得截面的周长. 【详解】对于A，三棱锥的体积，故A正确； 对于B，因为，所以与不垂直， 所以与平面不可能垂直，故B错误； 对于C，坐标法：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设外接球的球心为，则 ， ， ， 求得，故C正确； 对于D，如图，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形为的中点（平行则四点共面）， 等腰梯形的周长为，D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线，则实数t的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】借助空间向量性质计算即可得. 【详解】由题意可得直线l的方向向量与平面的法向量平行，即有，解得. 13. 用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且有邻边的区域颜色不能相同，则不同的涂色方法种数为______． 【答案】260 【解析】 【分析】根据题意，分用4种不同颜色、3种不同颜色、2种不同颜色，根据计数原理及排列、组合计算求解. 【详解】由题意可得要给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色， 且有邻边的区域颜色不能相同，最多可用4种不同颜色，最少可用2种不同颜色： 第一种情况，若用4种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色， 此时有种不同的涂色方法； 第二种情况，若用3种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色， 则或颜色相同，此时有种不同的涂色方法； 第三种情况，若用2种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色， 则，颜色相同，此时有种不同的涂色方法； 综上：不同的涂色方法种数为种. 14. 西汉海昏侯墓出土的两千多年前的“权”（砝码），是与“衡”（天平）配合使用的称量工具．已知五枚权的质量（单位：克）从小到大构成项数为5的等比数列，其中，，则___________；在称量物体时所用的权的质量之和叫称量值，则从这五枚权中取一枚或多枚，可组合出的不同称量值共有___________种． 【答案】 ①. 4 ②. 31 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，代入计算，即可得答案；根据组合数的计算性质，结合条件，即可得答案. 【详解】设公比为q，则，则，所以； 从这五枚权中取一枚或多枚， 由题意得，则数列单调递增，即， 下证明当时，， 由题意得，， 则， 所以成立， 结合等比数列的性质可得，任意不同组合的权的质量之和均不相等， 所以不同的称量值种数等于从5个权中取一个或者多个的组合数， 因此，可组合出的不同称量值共有种. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设为等差数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项公式列出方程组解出等差数列的首项和公差即可； （2）先求出数列的通项公式，然后利用裂项相减法求和，可求出的值. 【小问1详解】 等差数列中，，， ，解得，， . 【小问2详解】 ，， . 16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，，、分别为、的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点为，连接， 因为、分别为、的中点，所以，， 又因为四边形为矩形，，，且为的中点， 所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以直线平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，证明四边形是平行四边形，则，再利用线面平行的判定即可； （2）以为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，从而写出相关向量，求出相关平面的法向量，再利用线面夹角正弦值公式即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，、平面，则，， 以为原点，平面内过点且垂直于的直线为轴，、所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，则， 因为，故为等腰直角三角形，且． 所以、，所以． 易知平面的一个法向量为， 则设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 17. 已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由抛物线焦点求椭圆值，再结合离心率求，最后由、求得椭圆方程. （2）直线方程代入椭圆方程消元，求解，，以为底、纵坐标绝对值为高求三角形面积. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，则， 又椭圆C的离心率，则，所以， 故椭圆C的标准方程为 ； 【小问2详解】 由（1）可知，椭圆C的左顶点， 则直线：，即：， 设，，消去得， 解得或（舍去）， 所以. 18. 盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3∶2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． （1）求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； （2）小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差； （3）现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）； （3） Y 2 3 4 5 P ； 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）判断随机变量，根据二项分布的期望；方差公式即可求解； （3）确定随机变量Y的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，求得期望. 【小问1详解】 设事件A为：买到新款盲盒，事件B为：买到旧款盲盒，事件C为：盲盒中出现“隐藏款”， 则， 则； 【小问2详解】 每个盲盒是否开出隐藏款相互独立，每个盲盒开出隐藏款的概率为​， 因此随机变量， 根据二项分布的期望、方差公式： 得，； 【小问3详解】 当拆出全部2个隐藏款或全部4个常规款时，即可确定所有盲盒类型，停止抽取， 因此Y的可能取值为2，3，4，5， 隐藏款的位置共有种等可能情况， 计算概率得：（前2个均为隐藏款）, （第二个隐藏在第3位，前2位有1个隐藏）, （第二个隐藏在第4位，或前4个均为常规款）， （剩余所有情况）， Y的分布列为： Y 2 3 4 5 P 数学期望：. 19. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若是函数的极值点，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：由，可得， 令，可得在上恒成立， 所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增， 因为是的极值点，所以存在使得，即， 又由，所以， 则， 所以. 【解析】 【分析】（1）求得，得出函数的单调区间，进而求得函数最小值； （2）根据题意，转化为在恒成立，令，求得，得出函数的单调性，求得的最小值，即可得到答案. 令，解得， （3）由函数，求得，令，求得在上恒成立，得到函数在上单调递增，根据是的极值点，得到，结合，即可证得. 【小问1详解】 解：由函数，可得其定义域为，且， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以. 【小问2详解】 解：由，其中 可得，即， 由对任意恒成立，即在恒成立， 令，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $