精品解析：山西太原师范学院附属中学2025～2026学年第二学期七年级期中学业诊断 数 学

2025~2026学年第二学期七年级期中学业诊断 数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 2026 2. 直线、被直线所截，已知，要使直线与直线平行，则的度数应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 投篮一次，恰好命中篮筐 B. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数为7 C. 两点之间，线段最短 D. 打开任意一本数学书，恰好翻到第100页 4. 下列整式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2026年春日赏花正当时，赏罢一树树粉嫩樱瓣，指尖轻拂落英，查阅相关资料得知，常见樱属品种的花粉直径约为米，用科学记数法表示这个数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则横线上应填的代数式是（ ） A. B. C. D. 7. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 8. 一个不透明的袋子里装有红球和白球共个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计白球出现的频率如下图所示，则白球的个数最可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知长方形的长为，宽为，且满足，若以长方形的长和宽为边分别作正方形，且两个正方形的面积和为37，即，则长方形的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 10. 如图，直尺的对边平行，将一个直角三角板按图示方式摆放，则对与的关系描述正确的是（ ） A. 与互补 B. C. 与互余 D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. __________． 12. 某商场周年庆开展感恩回馈促销活动，顾客不仅可以享受商品折扣，还可凭消费小票参与幸运大转盘抽奖．现场设置了一个材质均匀的圆形转盘，转盘上划分出不同奖项区域．转盘停止后，指针所指区域即可领取对应奖品（指针落在分割线时重新转动），那么顾客转动一次转盘获得二等奖的奖品的概率为______． 13. 已知，，则的值为__________． 14. 如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是__________． 15. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） （3） （4）利用乘法公式计算： 17. 下面是两位同学进行整式运算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 化简： 小明的做法： 解：原式…第一步…第二步 …第三步 …第四步 小颖的做法： 解：原式⋯第一步 =… （1）任务一：仔细检查小明同学解题的过程，回答下列问题： ①第一步用到的乘法公式用字母表示为 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． （2）任务二：小颖运用乘法对加法的分配律的逆运算计算该题，但过程不完整，请你补全小颖的过程． 18. 如图，点在的边上，，垂足为点，，若，求的度数． 19. 已知点在直线外，小淇在思考如何过点作出与直线平行的直线时想到了如下作法： 在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点； 以点为圆心，以的长为半径作弧； 以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点； 作直线，则； 并通过连接后，解释了其中的道理． （1）小淇的作法道理为 ． （2）请用另外一种作法过点作直线的平行线．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 20. 一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球2个、白球3个、黑球1个，将袋子中的小球摇匀后从中随机摸出1个小球． 现有两种游戏规则： ①摸出白球则甲胜，摸出非白球则乙胜； ②摸出黑球则甲胜，摸出白球则乙胜，摸出红球重新摸球． 为使游戏对甲、乙双方公平，应选择规则 ，并说明公平的理由． 21. 某市政新建一处长方形休闲广场，广场的长为米，宽为米．广场中央规划了一个边长为米的正方形景观花坛，其余区域均铺设地砖（地砖区域为阴影部分）． （1）求铺设地砖的面积； （2）若米，米，求地砖铺地的实际面积． 22. 阅读与思考 探索“趣味积数” 在数学规律探究中，我们常常会发现一些具有特殊结构的数，它们隐藏着简洁又有趣的代数特征．今天我们来认识一类新的数——“趣味积数”． 概念习得： 若一个正整数，可以表示成两个连续正整数的乘积再加上1，即满足等式（其中为正整数），那么我们就把这样的数称为“趣味积数”． 特值举例： 当时，，因此3是第一个趣味积数； 当时，，因此7是第二个趣味积数： … 当取不同正整数时，可以得到更多的“趣味积数”． 规律剖析： 通过对这类数的观察、计算与变形，我们可以进一步研究它的结构特征以及相邻数之间的关系，感受数字规律的奇妙． （1）结构特征： 我们将趣味积数进行另一种变形： （最后一步） 通过推理发现“趣味积数”还具有另外一种结构特征，即任意一个“趣味积数”都可以被表示成一个正整数与的和的平方再加上． （2）相邻两个趣味积数之间的关系： 设相邻两个趣味积数分别为和，则， （推理过程） 通过推理发现相邻两个“趣味积数”的差为偶数． 任务： （1）写出第3个“趣味积数”： ； （2）补全结构特征中对“趣味积数”的变形过程的最后一步： ； （3）补全证明相邻两个“趣味积数”的差为偶数的推理过程． 23. 综合与实践 在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，因为所以是的“4系数补角” 【概念理解】 （1）若，则的“2系数补角”的度数为 ． 【初步认识】 （2）如图1，平面内，，点、分别为直线、上一点，点为平行线间一点，连接，，已知，，完成下列问题： ①求的度数． ②是的“ 系数补角”． 【问题解决】 （3）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点，点为平行线间一点，连接，，设与直线的夹角为，当，且是的“3系数补角”时，的度数为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期七年级期中学业诊断 数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负． 【详解】∵是偶数，根据乘方运算规则，的偶次幂结果为， ∴． 故选：B． 2. 直线、被直线所截，已知，要使直线与直线平行，则的度数应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，若直线与直线平行，则 ， ∵和是对顶角， ∴， ∴的度数应为． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 投篮一次，恰好命中篮筐 B. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数为7 C. 两点之间，线段最短 D. 打开任意一本数学书，恰好翻到第100页 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件的定义为，一定条件下一定会发生的事件． 【详解】解：∵ 投篮一次恰好命中篮筐，可能发生也可能不发生，是随机事件，A不符合要求， ∵ 质地均匀的骰子最大点数为6，不可能掷出点数7，是不可能事件，B不符合要求， ∵ “两点之间，线段最短”是几何基本性质，一定发生，是必然事件，C符合要求， ∵ 打开任意一本数学书恰好翻到第100页，可能发生也可能不发生，是随机事件，D不符合要求． 4. 下列整式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据零指数幂，幂的乘方，积的乘方，合并同类项的法则逐一判断即可． 【详解】解：A、根据零指数幂法则，任何非零数的次幂等于， ∵ ， ∴ ，故此选项正确； B、根据幂的乘方法则，幂的乘方底数不变，指数相乘，得，故此选项错误； C、根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式乘方的积，得，故此选项错误； D、与不是同类项，不能合并，故此选项错误． 5. 2026年春日赏花正当时，赏罢一树树粉嫩樱瓣，指尖轻拂落英，查阅相关资料得知，常见樱属品种的花粉直径约为米，用科学记数法表示这个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：. 6. 已知，则横线上应填的代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可 【详解】解： ∴横线上应填的代数式是． 7. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 8. 一个不透明的袋子里装有红球和白球共个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计白球出现的频率如下图所示，则白球的个数最可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由频率分布图可知，随着试验次数增加，白球出现的频率稳定在附近，可得白球出现的概率为，进而即可求解． 【详解】解：由频率分布图可知，随着试验次数增加，白球出现的频率稳定在附近， ∴白球出现的概率为， ∵总球数为个， ∴白球的个数为． 9. 已知长方形的长为，宽为，且满足，若以长方形的长和宽为边分别作正方形，且两个正方形的面积和为37，即，则长方形的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】求长方形的面积，即求的值，利用完全平方公式变形，结合已知条件即可计算出，得到结果． 【详解】解：依题意，长方形的面积为， ∵，且，， ∴， 整理得 ， 即， ， 即长方形的面积为． 10. 如图，直尺的对边平行，将一个直角三角板按图示方式摆放，则对与的关系描述正确的是（ ） A. 与互补 B. C. 与互余 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的内错角相等，结合直角的定义，即可推导出与的关系． 【详解】解：记三角板的直角为， 根据直尺的对边平行以及两直线平行，内错角相等， 可得，即． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. __________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：根据单项式乘单项式运算法则计算如下： ． 12. 某商场周年庆开展感恩回馈促销活动，顾客不仅可以享受商品折扣，还可凭消费小票参与幸运大转盘抽奖．现场设置了一个材质均匀的圆形转盘，转盘上划分出不同奖项区域．转盘停止后，指针所指区域即可领取对应奖品（指针落在分割线时重新转动），那么顾客转动一次转盘获得二等奖的奖品的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】用二等奖对应的扇形的圆心角度数除以整个圆的圆心角度数即可求解． 【详解】解：∵二等奖对应的扇形的圆心角度数为，整个圆的圆心角度数为， ∴顾客转动一次转盘获得二等奖的奖品的概率为． 13. 已知，，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据同底数幂的除法法则将所求式子变形，再结合幂的乘方法则，将已知条件代入计算即可. 【详解】解： ，将，代入得. 14. 如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质，角的和差关系，进行求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴. 15. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是_____． 【答案】30 【解析】 【分析】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 故阴影部分的面积是：AE•BC+AE•BD＝AE（BC+BD） ＝（AB﹣BE）（BC+BD） ＝（a﹣b）（a+b） ＝（a2﹣b2） ＝×60 ＝30． 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查平方差公式与几何图形和三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积，是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） （3） （4）利用乘法公式计算： 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则，分别化简两项后再合并同类项； （2）将多项式除以单项式，转化为单项式除以单项式，分别计算两项后再合并； （3）先利用多项式乘多项式展开，再合并同类项； （4）利用平方差公式简化计算，再合并同类项． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 【小问3详解】 原式 【小问4详解】 原式 ． 17. 下面是两位同学进行整式运算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 化简： 小明的做法： 解：原式…第一步…第二步 …第三步 …第四步 小颖的做法： 解：原式⋯第一步 =… （1）任务一：仔细检查小明同学解题的过程，回答下列问题： ①第一步用到的乘法公式用字母表示为 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． （2）任务二：小颖运用乘法对加法的分配律的逆运算计算该题，但过程不完整，请你补全小颖的过程． 【答案】（1）①；②三；括号前为“”号，去括号时“”未变号 （2）过程见解析 【解析】 【分析】（1）小明的做法采用了公式法，第一步使用平方差公式，但在去括号时出现了符号错误； （2）小颖通过逆用乘法分配律简化计算，提取公因式，将原式转化为与的乘积． 【小问1详解】 解：① 第一步用到的乘法公式：（平方差公式）； ② 错误分析： 第三步开始出现错误； 小明没有变号，错误地把展开成了， 正确应为； 所以错误原因：括号前为“”号，去括号时“”未变号， 【小问2详解】 解：小颖使用的是乘法分配律的逆运算（提取公因式），完整过程如下： 原式 ． 18. 如图，点在的边上，，垂足为点，，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，由垂直的定义可得，进而根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ． 19. 已知点在直线外，小淇在思考如何过点作出与直线平行的直线时想到了如下作法： 在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点； 以点为圆心，以的长为半径作弧； 以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点； 作直线，则； 并通过连接后，解释了其中的道理． （1）小淇的作法道理为 ． （2）请用另外一种作法过点作直线的平行线．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）内错角相等，两直线平行 （2）图见解析 【解析】 【分析】（1）得出，进而得出，即知内错角相等，两直线平行； （2）尺规作图作同位角或内错角相等． 【小问1详解】 解：连接，， 由作图可知：，，， 在和中： ， 所以， 可得， 根据内错角相等，两直线平行， 可得， 即小淇的作法道理为：内错角相等，两直线平行． 【小问2详解】 解：如图所示，所作直线即为所求平行线： 或 20. 一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球2个、白球3个、黑球1个，将袋子中的小球摇匀后从中随机摸出1个小球． 现有两种游戏规则： ①摸出白球则甲胜，摸出非白球则乙胜； ②摸出黑球则甲胜，摸出白球则乙胜，摸出红球重新摸球． 为使游戏对甲、乙双方公平，应选择规则 ，并说明公平的理由． 【答案】①，见解析 【解析】 【分析】规则①中，甲、乙的获胜结果数相同，概率均为，游戏公平； 规则②中，摸出红球需要重摸，实际有效结果为白球和黑球，双方获胜概率不相等，游戏不公平． 【详解】解：为使游戏对甲、乙双方公平，应选择规则①； 理由：随机摸一次球，总共有6种等可能的结果，其中摸出白球的结果有3种， 非白球的结果有3种， 所以， 因为，即， 所以游戏对甲、乙双方公平． 21. 某市政新建一处长方形休闲广场，广场的长为米，宽为米．广场中央规划了一个边长为米的正方形景观花坛，其余区域均铺设地砖（地砖区域为阴影部分）． （1）求铺设地砖的面积； （2）若米，米，求地砖铺地的实际面积． 【答案】（1）地砖铺地的面积为平方米 （2）地砖铺地的面积为3100平方米 【解析】 【分析】（1）铺设地砖的面积等于大长方形的面积减去空白的正方形面积，据此列式求解即可； （2）根据（1）所求，代入求值即可． 【小问1详解】 解： ， 答：铺设地砖的面积为平方米． 【小问2详解】 解：当，时， 原式 答：地砖铺地的面积为3100平方米． 22. 阅读与思考 探索“趣味积数” 在数学规律探究中，我们常常会发现一些具有特殊结构的数，它们隐藏着简洁又有趣的代数特征．今天我们来认识一类新的数——“趣味积数”． 概念习得： 若一个正整数，可以表示成两个连续正整数的乘积再加上1，即满足等式（其中为正整数），那么我们就把这样的数称为“趣味积数”． 特值举例： 当时，，因此3是第一个趣味积数； 当时，，因此7是第二个趣味积数： … 当取不同正整数时，可以得到更多的“趣味积数”． 规律剖析： 通过对这类数的观察、计算与变形，我们可以进一步研究它的结构特征以及相邻数之间的关系，感受数字规律的奇妙． （1）结构特征： 我们将趣味积数进行另一种变形： （最后一步） 通过推理发现“趣味积数”还具有另外一种结构特征，即任意一个“趣味积数”都可以被表示成一个正整数与的和的平方再加上． （2）相邻两个趣味积数之间的关系： 设相邻两个趣味积数分别为和，则， （推理过程） 通过推理发现相邻两个“趣味积数”的差为偶数． 任务： （1）写出第3个“趣味积数”： ； （2）补全结构特征中对“趣味积数”的变形过程的最后一步： ； （3）补全证明相邻两个“趣味积数”的差为偶数的推理过程． 【答案】（1）13 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义进行求解即可； （2）根据完全平方公式作答即可； （3）利用作差法进行推理即可. 【小问1详解】 解：当时，； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 为正整数， 为正整数， 相邻两个趣味积数的差为偶数． 23. 综合与实践 在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，因为所以是的“4系数补角” 【概念理解】 （1）若，则的“2系数补角”的度数为 ． 【初步认识】 （2）如图1，平面内，，点、分别为直线、上一点，点为平行线间一点，连接，，已知，，完成下列问题： ①求的度数． ②是的“ 系数补角”． 【问题解决】 （3）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点，点为平行线间一点，连接，，设与直线的夹角为，当，且是的“3系数补角”时，的度数为 ． 【答案】（1） （2）①②5 （3）的度数为或 【解析】 【分析】（1）设的“2系数补角”是，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）①过点作，得，可得； ②根据几系数补角的定义列方程求解即可； （3）先求出，再分点P在之间，点在点左右两侧，两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：设的“2系数补角”是，根据题意，得 ， 解得： ， 所以，的“2系数补角”的度数是； 【小问2详解】 解：①过点作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②∵，， 根据定义得， ∴， 解得， ∴是的“5系数补角” 【小问3详解】 解：∵，且是的“3系数补角”， ∴， ∴， ∴， 当点P在之间，点在点右侧，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在之间，点在点左侧，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 又 ∴； 综上，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $