精品解析：2026年北京市顺义区九年级一模数学试卷

2026年北京市顺义区九年级一模数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解题关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意； B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意． 2. 每一个外角都是的正多边形为（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用任意多边形外角和为，结合正多边形各外角相等的性质计算边数即可得到答案． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，且正多边形的所有外角都相等， ∴该正多边形的边数为， ∴该正多边形为正六边形． 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由数轴得出 a、b 的取值范围，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知 ， ， ∴A．，故 A 选项不符合题意；  B．，故 B 选项不符合题意；  C．由，，则，故 C 选项不符合题意；  D．由，则，故 D 选项符合题意． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，据此列方程求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得 ， 解得 ． 5. 一个不透明袋子中仅有红、黄、白球各一个，三个球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出两个球，其中有一个是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，作出树状图，结合树状图可知共有6种等可能的结果，其中含红球的结果有4种，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，作出树状图，如下图所示， 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中含红球的结果有4种， ∴从袋子中随机摸出两个球，其中有一个是红球的概率是 ． 6. 2025年7月2日，搭载于“天关”卫星上的宽视场X射线望远镜WXT（昵称“万星瞳”）在例行巡天观测中，发现一例突然出现，存在剧烈光变的暂现源，该源区发生一系列X射线闪耀变．已知最亮时达到的光度约是太阳光度的倍，太阳的光度约为，则该源区最亮时达到的光度（用科学记数法表示）约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵该源区最亮时达到的光度约是太阳光度的倍，太阳光度为， ∴该源区最亮时的光度 ． 7. 如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线于点，连接，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（ ）． A. 100° B. 105° C. 110° D. 115° 【答案】C 【解析】 【分析】利用作图的方法和痕迹，得到和，再利用等腰三角形的底角相等及三角形内角和为，求出答案． 【详解】解：如图所示，连， 由作图可知，，， ∴为等边三角形， ∴ ∵，， ∴， 则， ∵， ∴， 在中，， ． 8. 如图，在中，，，平分，E是上一动点（不与A，D重合），于点F．设，，．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边大于直角边判断①；通过构造等腰三角形求出与的数量关系，进而表示出，代入不等式判断②和③； 【详解】解：①在中，为斜边，为直角边， ，即， ，故①正确； ②在上取点，使得，连接， ， 为等腰直角三角形， ， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，故②错误； ③要证，即证，即证， 两边平方得：， ， ， 整理得：，即， 任何实数的平方均非负， 该不等式恒成立， ，故③正确； 综上所述，正确的结论是①③． 第二部分非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 11. 方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题的解题思路是先将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，再进行验根得到原方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 12. 某地区七年级共有4000名女生．为了解这些女生的体能情况，从中随机抽取了100名女生，测得她们一分钟仰卧起坐的个数，数据整理如下： 仰卧起坐的个数 人数 6 15 21 23 27 8 根据以上数据，估计该地区七年级4000名女生中一分钟仰卧起坐的个数不低于50个的人数是_____． 【答案】1400 【解析】 【分析】先计算出样本中一分钟仰卧起坐个数不低于个的频率，再用总人数乘该频率，即可得到估计的人数． 【详解】解：由题意得，样本中一分钟仰卧起坐个数不低于个的人数为， 样本中符合条件的频率为， ∴估计该地区七年级名女生中一分钟仰卧起坐个数不低于个的人数为． 13. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则______0（填“>”“=”或“<”） 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的解析式，分别将两点横坐标代入，表示出和，再计算，结合的条件判断其与的大小关系即可求解． 【详解】解：将点代入， 得将点 代入，得 计算： ，即． 14. 定滑轮在生活中起着改变力的方向的作用．如图，滑轮支架竖直向下，且与吊板垂直，绳子的部分竖直向下，与相切于点B，绳子的部分与相切于点D．连接，，若，则绳子的部分所在直线与吊板所在直线所成的锐角的大小为_____°． 【答案】42 【解析】 【详解】解：沿反向延长，延长线交于点F，交于点G，如下图，即为所求． 垂直向下， ， 与相切， ， ， ， 都是直角三角形， ， ． 15. 如图，在正方形中，点E在的延长线上，于点F．若，，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，进而得出的长，再作辅助线求出点到的距离，最后利用三角形面积公式计算即可 ． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴在中， ， ∴， ∵ ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 如图：过点D作于点G，  ∵，， ， ∴在中，， ． 16. 某工厂生产一种新产品，计划分配给甲、乙、丙三条生产线生产．每条生产线生产n（n为正整数）批产品后产生的材料费（单位：万元）与n的对应关系如下： … 甲 15 35 60 90 125 … 乙 16 37 63 94 130 … 丙 17 39 66 93 120 … （1）如果工厂生产4批产品，且每条生产线至少生产1批产品，那么为使材料费最小，应向生产线______分配2批产品（填“甲”“乙”或“丙”）； （2）如果工厂将5批产品分配给这三条生产线中的一条或多条生产，那么5批产品都完成生产后，材料费的最小值为______万元． 【答案】 ①. 甲 ②. 89 【解析】 【分析】先整理表格数据，分别计算出甲、乙、丙生产线生产n批产品的材料费；（1）总批数为，每条至少批，然后分三种情况计算总材料费S，然后比较即可解答；（2）总批数为，然后分别计算每种情况的总材料费，然后比较即可． 【详解】解：记分别为甲、乙、丙生产线生产n批产品的材料费，由表可得： ； ； ； (1)总批数为，每条至少批，分三种情况计算总材料费S： ①甲生产批：； ②乙生产批：； ③丙生产批：； 比较得，因此材料费最小时，应向甲分配批． (2)总批数为，分情况讨论： ①单条生产线生产5批： 甲：125万元； 乙：130万元； 丙：120万元； ②两条生产线分配： 甲3，乙2：； 甲3，丙2：； 乙3，甲2：； 乙3，丙2：； 丙3，甲2：； 丙3，乙2：； ③两条生产线分配： 甲4，乙1：； 甲4，丙1：； 乙4，甲1：； 乙4，丙1：； 丙4，甲1：； 丙4，乙1：； ④三条生产线分配： 甲3，乙1，丙1：； 乙3，甲1，丙1：； 丙3，甲1，乙1：； ⑤三条生产线分配： 甲2，乙2，丙1：； 甲2，丙2，乙1：； 乙2，丙2，甲1：； 对比所有方案，材料费的最小值为89万元． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】首先根据负整数指数幂运算法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值以及二次根式的性质进行计算，然后相加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 所以，该不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】对代数式的分子进行化简，运用整式的运算规则展开并合并同类项。对代数式的分母进行因式分解，运用完全平方公式．将化简后的分子分母进行约分，再代入 的值计算． 【详解】， ∵， ∴， 代入化简结果： ． 20. 如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形，交于点O， ∴，即为中点， ∵E是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明为的中位线，易得，再证明，可知四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”，即可获得答案； （2）首先根据平行四边形的性质以及勾股定理解得，再证明为等腰直角三角形，易得，进而确定的长度，进一步由三角形中位线的性质确定，由矩形的性质可得，然后由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 21. 中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 【答案】 【解析】 【分析】设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，，则该中国结的总高为，根据题意易得结体总宽为，再根据“总高是总宽的1.5倍”建立关于的方程，求解即可获得答案． 【详解】解：设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，， 则该中国结的总高为， ∵结体内部高和结体内部宽相等，左、右两侧的耳翼宽都是， ∴结体总宽为， 又∵总高是总宽的1.5倍， ∴， 解得， ∴， 即该中国结的总高为． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图像经过点，反比例函数的图像经过点． （1）求m，n的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入可求得m的值，将点代入可求n的值；利用待定系数法即可求解； （2）求得直线经过点时的解析式，求得此直线必过，以及反比例函数为过，再利用数形结合思想即可求解． 【小问1详解】 解：∵函数的图像经过点， ∴ ； ∵反比例函数的图像经过点 ∴，即； 【小问2详解】 解：当时， ， 即 必过 由（1）可知：，即反比例函数为：， 当时，， 即， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值， ∴，即． 当，函数与函数在上，有交点，不符合题意， ∴． 23. 某学校举办歌唱比赛，5位评委对每位同学进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙、丁每位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学得分的折线图： b．丙同学的得分：，，，，； c．四位同学得分的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中n的值为_____； （2）对每位同学，计算5个得分的平均数和方差，平均数较大的同学排序靠前；若平均数相同，则方差较小的同学排序靠前．已知丙在四位同学中排序第三，则这四位同学中排序最靠前的是____，m（m为整数）的值为_____． 【答案】（1） （2）乙； 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义分析即可求解； （2）比较平均数和方差，即可求解． 【小问1详解】 解：甲同学的得分从小到大排列为：，，， 则中位数； 【小问2详解】 解：依题意，丙在四位同学中排序第三， 乙、丁的平均成绩较大，排前两位，乙、丁平均数相同，而乙的方差较小，则这四位同学中排序最靠前的是乙； 当丙在四位同学中排序第三，则， ∴ 当时，则甲排第三，不合题意； 当时，则则丙排第三，符合题意 24. 如图，是的直径，点C，D在上，，连接，过点B作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）延长交于点F，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质，圆周角定理，以及同角的余角相等，即可得出结论； （2）连接，根据圆周角定理，得到，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，解直角三角形求出的长，求出的长，解直角三角形，求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，则， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 某技术员借助人工智能软件模拟篮球运动员罚篮，当出手位置不变时，研究出手仰角与出手速度对篮球空心入网的影响．当篮球出手仰角为（单位：度）时，分别记录了篮球空心入网的最小出手速度（单位：）和最大出手速度（单位：），部分数据如下： 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0 62.5 65.0 7.70 7.65 7.65 7.76 7.90 8.08 8.31 7.72 7.70 7.72 7.78 7.87 8.02 8.22 8.47 当出手仰角为55度时，篮球空心入网的最大出手速度与最小出手速度的差约为． （1）写出表中m的值（结果保留小数点后两位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．如图，在给定的平面直角坐标系中，曲线是函数的图像，画出函数的图像．结合数据，利用函数图像可以推断，当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角约为______度（结果保留整数）； （3）根据以上数据与函数图像，解决下列问题： ①若篮球空心入网的出手仰角为，最大出手速度与最小出手速度的差不小于，则的最小值约为____度（结果保留整数）； ②若出手速度一定，，分别为篮球空心入网的出手仰角的最大值和最小值，对于中的每一个值，篮球都能空心入网，则与差的最大值约为____度（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1） （2） 结合表中数据，画出函数的图像，如下图所示， 结合数据，利用函数图像可以推断， 当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角约为51度； （3）①57度；②7.9，8.0，8.1 【解析】 【分析】（1）根据题意，当出手仰角为55度时，篮球空心入网的最大出手速度与最小出手速度的差约为，即，结合求解即可； （2）结合表中数据，画出函数的图像，结合数据，利用函数图像可以推断，当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角； （3）①根据题意，若篮球空心入网的出手仰角为，最大出手速度与最小出手速度的差不小于，即，据此分析即可；②若出手速度一定，，分别为篮球空心入网的出手仰角的最大值和最小值，要使最大，对应图像的水平间距最大位置，结合数据和图像可知，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，当出手仰角为55度时，篮球空心入网的最大出手速度与最小出手速度的差约为，即， ∵， ∴，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①根据题意，若篮球空心入网的出手仰角为，最大出手速度与最小出手速度的差不小于，即， 当时，， 当时，， 所以，的最小值约为57度； ②若出手速度一定，，分别为篮球空心入网的出手仰角的最大值和最小值， 要使最大，对应图像的水平间距最大位置， 由数据和图像可知，当时，与差的最大，此时，，则，误差为0.1，故可能的值为7.9，8.0，8.1． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）已知抛物线上两点M，N的横坐标分别为，，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点P． ①若，，求的长； ②当取，时，的长分别为，，若存在，使得，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）①6；②或． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴的公式计算即可； （2）①再分别求出M，N，P的坐标，以及的表达式，再将，代入求解即可；②分两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为； 【小问2详解】 解：①当时，，则，过作轴的垂线，方程为 ； 当时， ，则，过作轴的垂线，方程为 ； ∴两垂线交点，， ∵， ∴ ∵，， ∴ ； ②∵，，， ∴， ∴， 情况1：​， 整理得： ， ∵ ， ∴， 要存在 满足 ，即，解得； 情况2： ， 令，解得或1， 则当时，；当时，； 又∵， ∴， ∴  解得， 综上，a的取值范围为或． 27. 如图，在中，，，D是内部一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，分别取线段的中点F，G，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转，得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）， 证明如下： 如图，连接， ∵，点F为线段的中点，， ∴，， ∵，点G为线段的中点，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴在中，， 同理可得，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）首先根据旋转的性质可得，结合证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）连接，首先证明，再证明，进而可证明，根据相似三角形的性质，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于和外一点A给出如下定义：若点P在上，且对圆上任意一点Q，都有，则称线段是点A关于的关联线段，称的大小是点A关于的关联角度． （1）如图，的半径为1． ①已知点，则点A关于的关联线段的长为______，点A关于的关联角度为______； ②已知上一点，点D在直线上，线段是点D关于的关联线段，则点D的坐标为_____； （2）已知点，的半径为2，直线上的所有点都有关于的关联线段，记这些点关于的关联角度的最大值为，若，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①，30；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①过点作的切线，点为切点，则线段即为点A关于的关联线段，利用勾股定理解得，由切线的性质可得，进而解得的长度，并利用三角函数解得的值，即可获得答案； ②如下图，设线段与轴交于点，根据关联线段的定义可得，过点作轴于点，证明为等腰直角三角形，进而确定点坐标；利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与直线解析式，求解即可获得答案； （2）设直线上一点，根据关联角的定义，点关于的关联角度满足，要使最大，则最大，此时最小，当垂直于直线时，最小，最小值为点到直线的距离，结合易得，再分点在点右侧和点在点左侧两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：①如下图，过点作的切线，点为切点，则线段即为点A关于的关联线段， ∵， ∴， ∵为的切线，且， ∴， ∴，即点A关于的关联线段的长为， 又∵， ∴， ∴点A关于的关联角度为； ②如下图，设线段与轴交于点， ∵线段是点D关于的关联线段， ∴直线是切线，即， 过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与直线解析式， 可得，解得， ∴点D的坐标为； 【小问2详解】 设直线上任一点， 根据关联角的定义，点关于的关联角度满足， 要使最大，则最大，此时最小， 当垂直于直线时，最小，最小值为点到直线的距离， ∴的最大值为， ∵， ∴，即， 解得， 设直线分别交轴于点，如下图， 对于直线， 当时，， 当时，可得，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在点右侧时，如图， 此时，， 则， 即，可得， 解得； 当点在点左侧时，如下图， 此时，， 则， 即，可得， 解得． 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市顺义区九年级一模数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 每一个外角都是的正多边形为（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 一个不透明袋子中仅有红、黄、白球各一个，三个球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出两个球，其中有一个是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 2025年7月2日，搭载于“天关”卫星上的宽视场X射线望远镜WXT（昵称“万星瞳”）在例行巡天观测中，发现一例突然出现，存在剧烈光变的暂现源，该源区发生一系列X射线闪耀变．已知最亮时达到的光度约是太阳光度的倍，太阳的光度约为，则该源区最亮时达到的光度（用科学记数法表示）约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线于点，连接，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（ ）． A. 100° B. 105° C. 110° D. 115° 8. 如图，在中，，，平分，E是上一动点（不与A，D重合），于点F．设，，．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 分解因式：_________． 11. 方程的解为_____． 12. 某地区七年级共有4000名女生．为了解这些女生的体能情况，从中随机抽取了100名女生，测得她们一分钟仰卧起坐的个数，数据整理如下： 仰卧起坐的个数 人数 6 15 21 23 27 8 根据以上数据，估计该地区七年级4000名女生中一分钟仰卧起坐的个数不低于50个的人数是_____． 13. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则______0（填“>”“=”或“<”） 14. 定滑轮在生活中起着改变力的方向的作用．如图，滑轮支架竖直向下，且与吊板垂直，绳子的部分竖直向下，与相切于点B，绳子的部分与相切于点D．连接，，若，则绳子的部分所在直线与吊板所在直线所成的锐角的大小为_____°． 15. 如图，在正方形中，点E在的延长线上，于点F．若，，则的面积为______． 16. 某工厂生产一种新产品，计划分配给甲、乙、丙三条生产线生产．每条生产线生产n（n为正整数）批产品后产生的材料费（单位：万元）与n的对应关系如下： … 甲 15 35 60 90 125 … 乙 16 37 63 94 130 … 丙 17 39 66 93 120 … （1）如果工厂生产4批产品，且每条生产线至少生产1批产品，那么为使材料费最小，应向生产线______分配2批产品（填“甲”“乙”或“丙”）； （2）如果工厂将5批产品分配给这三条生产线中的一条或多条生产，那么5批产品都完成生产后，材料费的最小值为______万元． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 21. 中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图像经过点，反比例函数的图像经过点． （1）求m，n的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出k的取值范围． 23. 某学校举办歌唱比赛，5位评委对每位同学进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙、丁每位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学得分的折线图： b．丙同学的得分：，，，，； c．四位同学得分的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中n的值为_____； （2）对每位同学，计算5个得分的平均数和方差，平均数较大的同学排序靠前；若平均数相同，则方差较小的同学排序靠前．已知丙在四位同学中排序第三，则这四位同学中排序最靠前的是____，m（m为整数）的值为_____． 24. 如图，是的直径，点C，D在上，，连接，过点B作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）延长交于点F，若，，求的长． 25. 某技术员借助人工智能软件模拟篮球运动员罚篮，当出手位置不变时，研究出手仰角与出手速度对篮球空心入网的影响．当篮球出手仰角为（单位：度）时，分别记录了篮球空心入网的最小出手速度（单位：）和最大出手速度（单位：），部分数据如下： 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0 62.5 65.0 7.70 7.65 7.65 7.76 7.90 8.08 8.31 7.72 7.70 7.72 7.78 7.87 8.02 8.22 8.47 当出手仰角为55度时，篮球空心入网的最大出手速度与最小出手速度的差约为． （1）写出表中m的值（结果保留小数点后两位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．如图，在给定的平面直角坐标系中，曲线是函数的图像，画出函数的图像．结合数据，利用函数图像可以推断，当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角约为______度（结果保留整数）； （3）根据以上数据与函数图像，解决下列问题： ①若篮球空心入网的出手仰角为，最大出手速度与最小出手速度的差不小于，则的最小值约为____度（结果保留整数）； ②若出手速度一定，，分别为篮球空心入网的出手仰角的最大值和最小值，对于中的每一个值，篮球都能空心入网，则与差的最大值约为____度（结果保留小数点后一位）． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）已知抛物线上两点M，N的横坐标分别为，，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点P． ①若，，求的长； ②当取，时，的长分别为，，若存在，使得，求a的取值范围． 27. 如图，在中，，，D是内部一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，分别取线段的中点F，G，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于和外一点A给出如下定义：若点P在上，且对圆上任意一点Q，都有，则称线段是点A关于的关联线段，称的大小是点A关于的关联角度． （1）如图，的半径为1． ①已知点，则点A关于的关联线段的长为______，点A关于的关联角度为______； ②已知上一点，点D在直线上，线段是点D关于的关联线段，则点D的坐标为_____； （2）已知点，的半径为2，直线上的所有点都有关于的关联线段，记这些点关于的关联角度的最大值为，若，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $