精品解析：广东深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学

深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学 本试题卷共4页，共19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，结合离心率的概念即可求解. 【详解】由，得， 所以，得， 所以双曲线的离心率为. 故选：D 2. 从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用分类加法原理计算求解. 【详解】1—15中，5的倍数为5，10，15，故甲只能取这3个数. 若甲取5时，乙需取比甲小的数，即1，2，3，4，共4种取法； 若甲取10时，乙需取比甲小的数，即1，...，9，共9种取法； 若甲取15时，乙需取比甲小的数，即1，2，3，...，14，共14种取法； 故根据分类加法计数原理共有种. 3. 已知数列的前项和，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据计算可得. 【详解】因为，所以． 故选：C. 4. 已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 ，令，得， 所以. 5. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 74 B. C. 64 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式展开式来求指定项系数即可. 【详解】由题知项的系数为． 故选：A. 6. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导函数与原函数之间的关系分析选项即可. 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C，D； 当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0， 再小于0，最后大于0，排除B. 故选:A. 7. 已知圆，则该圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】法一：将圆的一般方程化为标准方程， 由此可知圆的半径，所以该圆的面积. 法二：由圆的一般方程知， 所以圆的半径，所以该圆的面积. 8. 已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题首先可以设切点坐标为，然后求出导函数以及切线的斜率为，并写出切线方程，最后根据切线过原点即可求出的值以及切线的斜率. 【详解】设切点坐标为， 因为曲线，所以，切线的斜率为， 则切线的方程为， 因为切线过原点，所以，解得， 故此切线的斜率为， 故选：C. 【点睛】本题考查求曲线的切线的斜率，考查导函数的几何性质，函数在某点处的导函数值即函数在这点处的切线斜率，考查计算能力，是简单题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的前项和为，公比，，则（ ） A. B. C. D. 数列是公比为4的等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求出，再由等比数列通项公式及求和公式判断B、C，由等比数列的定义判断D. 【详解】因为，，所以，即A正确； 易知，可知B错误； 将首项和公比代入可得，故C正确； 又，，故数列是首项为，公比为的等比数列，故D正确． 故选：ACD 10. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ） A. B. 只有第4项的二项式系数最大 C. 各项系数之和为1 D. 的系数为560 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二项式系数之和为运算求解，进而判断A；根据二项式系数的性质分析判断B；令，求各项系数之和，进而判断C；对于D：结合二项式系数的通项分析判断. 【详解】对于A：由题意可知：各项的二项式系数之和为，解得，故A正确； 可得， 对于B：因为，则第4项和第5项的二项式系数最大，故B错误； 对于C：令，可得各项系数之和为，故C错误； 对于D：因为二项展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数为，故D正确； 故选：AD. 11. 已知函数，.下列结论正确的是（ ） A. 函数不存在最大值，也不存在最小值 B. 函数存在极大值和极小值 C. 函数有且只有1个零点 D. 函数的极小值就是的最小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，作出图形，求出函数的最小值，结合函数零点、极值的概念依次判断选项即可. 【详解】，则， 令，令或， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增， 且，，如图， 所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值， 极小值即为最小值，且函数有且只有一个零点0. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同选法的种数是__________． 【答案】10 【解析】 【详解】依题意有种. 13. 已知随机事件满足 ， 则_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】由概率的乘法公式求解. 【详解】由概率的乘法公式： ． 14. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性与导数的关系，将问题转化为不等式恒成立的问题，再通过参数分离即可求出. 【详解】函数的定义域为，， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以，令，则， 因为，所以，则， 故在上单调递减， 故，故的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列中，，且. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前和为，求的值(结果可以用幂的形式表示）. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出数列的首项和公差，再求通项公式； （2）先求数列的通项，再求前20项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，当为偶数时，；当为奇数时，； 所以 . 16. 一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？ （1）6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师； （2）6人支教小组中，既有男教师，又有女教师； （3）6人支教小组中，至少有1名主任参加； （4）6人支教小组中既有主任，又有女教师． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用组合数的性质求解即可. （2）（3）（4）先求出目标事件的对立事件概率，再求出目标事件的概率求解即可. 【小问1详解】 由题意得从6名男教师里选3名有种选派方法， 从4名女教师里选3名有种选派方法， 由分步乘法计数原理得共有种选派方法. 【小问2详解】 由题意得从10名教师里选6名有种选派方法， 而只有4名女教师，则6名教师里不可能全是女教师， 若全是男教师，有种选派方法， 故既有男教师，又有女教师的选派方法为种. 【小问3详解】 由题意得从10名教师里选6名有种选派方法， 从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法， 则至少有1名主任参加有种选派方法. 【小问4详解】 由已知得从10名教师里选6名有种选派方法， 从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法， 若有主任，且没有女教师，有种选派方法， 则既有主任，又有女教师有种选派方法. 17. 甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为． （1）第二局比赛结束时比赛停止的概率； （2）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列： X 2 4 6 P 数学期望为 【解析】 【分析】（1）由题意甲连胜2局或乙连胜2局，再求解概率即可； （2）依题意知，X的所有可能值为2，4，6，再分别分析具体情况求分布列，结合数学期望的公式求解即可 【小问1详解】 依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束． 所以有． 所以，第二局比赛结束时比赛停止的概率． 【小问2详解】 依题意知，X的所有可能值为2，4，6. 表示当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束， 表示前二局的比分为1∶1，接下来有一队连胜2局，， 表示前二局的比分为1∶1且前4局的比分为2∶2，． 所以随机变量X的分布列为： X 2 4 6 P 所以 18. 已知函数 ，是的导函数. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程； （3）求的最值. 【答案】（1）； （2）； （3）最小值为，无最大值. 【解析】 【分析】（1）先求导，再代入求值； （2）设，求的切线，即为的切线； （3）研究导函数的单调性，进而判断导函数的正负，来研究原函数的单调性. 【小问1详解】 ， ， 所以. 【小问2详解】 设，则， ，， 所以在处的切线方程为，即. 【小问3详解】 由（2）可知，， 所以在上单调递增， 因为， 所以，，即，单调递减 ，，即，单调递增， 所以的最小值为，无最大值. 19. 已知函数， （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值. 【答案】（1）无极值 （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）直接求导判断单调性即可； （2）分和两种情况讨论； （3）把问题转化为在时恒成立，进而转化为求的最小值，利用导数求出函数的极小值即可求解. 【小问1详解】 当时， ， ∵的定义域为，∴恒成立， ∴在上单调递增，故函数无极值. 【小问2详解】 ∵， 令， ①当时，，，∴在 单调递增； ②当时，令，得或（舍） 当变化时， ，的变化情况如下： x + 0 单调递增 单调递减 ∴在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 当时，， 依题意可得，在时恒成立， 即在时恒成立， 令，则， 令 ，则在时恒成立，∴在上单调递增， 又 ， ， ∴在上存在唯一实数，使得 ，即 ， ∴当时， ，，单调递减； 当时， ，，单调递增； ∴当在处取得极小值，也是最小值. ∴ ； ∴， 故整数的最大值为5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学 本试题卷共4页，共19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前项和，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 74 B. C. 64 D. 6. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，则该圆的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的前项和为，公比，，则（ ） A. B. C. D. 数列是公比为4的等比数列 10. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ） A. B. 只有第4项的二项式系数最大 C. 各项系数之和为1 D. 的系数为560 11. 已知函数，.下列结论正确的是（ ） A. 函数不存在最大值，也不存在最小值 B. 函数存在极大值和极小值 C. 函数有且只有1个零点 D. 函数的极小值就是的最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同选法的种数是__________． 13. 已知随机事件满足 ， 则_______ ． 14. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列中，，且. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前和为，求的值(结果可以用幂的形式表示）. 16. 一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？ （1）6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师； （2）6人支教小组中，既有男教师，又有女教师； （3）6人支教小组中，至少有1名主任参加； （4）6人支教小组中既有主任，又有女教师． 17. 甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为． （1）第二局比赛结束时比赛停止的概率； （2）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望． 18. 已知函数 ，是的导函数. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程； （3）求的最值. 19. 已知函数， （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $