4.2 平行四边形及其性质（第3课时 平行四边形的对角线性质）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

4.2 平行四边形及其性质 第3课时 平行四边形的对角线性质 第四章 平行四边形 章节导读 4.1多边形 4.2 平行四边形及其性质 4.3图形的旋转 4.4平行四边形的判定定理 平行四边形及其边角性质 图形的旋转及性质 边的关系判断平行四边形 对角线关系判断平行四边形 多边形的认识及内角和 多边形的外角和 中心对称图形及性质 4.5三角形的中位线 三角形中位线及定理 反证法 平行线的性质及推论 平行四边形的对角线性质 4.6反证法 学 习 目 标 1 2 3 掌握平行四边形的对角线性质定理； 会用平行四边形的对角线性质定理解决简单几何问题； 在空间观念的基础上进一步建立几何直观,提升抽象能力和推理能力，能综合应用平行四边形的性质定理. 新知探究 平行四边形的对角线性质 任意画一个平行四边形，连结它的两条对角线。 你能证明你的发现吗？试一试。 A B D C 旋转你手中的平行四边形，再量一量，和旁边同学对比一下，你发现了什么？ O 4 新知探究 平行四边形的对角线性质 证明：如图，在中， （平行四边形的定义）， 所以。 又因为（平行四边形的对边相等）， 可证(ASA)， 所以。 A B D C O 已知：在中，对角线交于点。 求证：。 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 5 归纳总结 平行四边形的对角线性质 平行四边形的性质定理： 平行四边形的对角线互相平分。 几何语言：∵ 四边形是平行四边形， ∴ . 典例分析 例1 如图，□的对角线交于点.过点作直线，分别交于点. 求证：. 平行四边形的对角线性质 证明：如图，在□中， (平行四边形的定义)， 所以， 又因为(平行四边形的对角线互相平分)， 所以(ASA). 所以. 7 延伸拓展 改变直线EF 的位置，OE=OF 的结论还成立吗?和同桌一起证明一下。 议一议 E F ● O D C B A ● O D C B A E F (1) ● ● ● ● E F (2) 8 延伸拓展 改变直线EF 的位置，OE=OF 的结论还成立吗?和同桌一起证明一下。 议一议 ● O D C B A E F (3) ● ● O D C B A E F (4) ● ● ● 结论：经过平行四边形对角线交点的任意一条直线，与平行四边形的两组对边（或对边延长线）相交，交点到对角线交点的距离总相等。即。 9 典例分析 例2 如图，在□中，对角线交于点，.若 ，求的长. 平行四边形的对角线性质 证明：∵AE=CE (平行四边形的对角线互相平分), ∴CE=AC=2. ∵AC⊥BC, ∴，即BC=3, ∴，即BE==. 分析：如图，因为平行四边形的两条对角线互相平分，所以要求的长，可以先求出的长。在Rt中，， 长已知，可求得的长。又，则可求。 ∵BE=DE (平行四边形的对角线互相平分), ∴BD=2BE=2. 你还有其他解法吗？ 10 归纳总结 平行四边形的对角线性质 平行四边形证明题的解题技巧： 1. 牢记平行四边形的性质，是解题的基础； 2. 常见的证明思路 （1）证明线段相等：优先考虑证明三角形全等，利用平行四边形的性质找到全等的条件（如对边平行得到内错角相等、对角线互相平分得到对应边相等），再结合对顶角、公共角等条件，用ASA、SAS、AAS等判定定理证明全等，从而得到对应边相等。 （2）证明线段平行：可以利用平行四边形的对边平行，或者通过证明内错角相等、同位角相等、同旁内角互补来证明。 3. 辅助线技巧 （1）当题目中涉及对角线时，常连接对角线，利用对角线互相平分的性质。 （2）当需要构造全等三角形时，可利用平行四边形对边平行且相等的性质，平移线段或构造平行四边形。 随堂练习 基础过关(P114) 1.已知是两条对角线的交点，mm，mm，mm，则的周长为 . 78mm 注意数形结合 随堂练习 基础过关(P114) 2.有没有这样的平行四边形，它的两条对角线长分别为14cm 和20cm，它的一边长为18cm？为什么？ 解：在平行四边形中，对角线互相平分。 所以两条对角线的一半分别为：，。 这两条半对角线与平行四边形的一边会构成一个三角形， 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边， ，不满足三角形三边关系， 所以不存在这样的平行四边形。 随堂练习 基础过关(P114) 3.已知：如图，的对角线相交于点 分别为的中点。求证：。 证明：∵四边形是平行四边形， ∴（平行四边形对角线互相平分） ∵是中点,是中点。 ∴, ∴(等量代换) ∵ ∴ 随堂练习 能力提升 4. 如图，在中，与相交于点 ， ，，，则 的长是( ) A. 6 B. C. 4 D. D 随堂练习 能力提升 5.如图,平行四边形中，交于点，点分别是的中点，试判断线段的关系并证明你的结论． 解：BE＝DF，BE∥DF. 理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD, ∴OE＝OF. 在△OFD和△OEB中， OF＝OE，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB， ∴△OFD≌△OEB， ∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF， ∴BE∥DF. 随堂练习 能力提升 6.如图，在□中，对角线与相交于点，分别过点作，垂足分别为点，平分。 （1）若，则。 （2）求证：。 (1) 解:， ， 平分 ， 四边形是平行四边形， 随堂练习 能力提升 6.如图，在□中，对角线与相交于点，分别过点作，垂足分别为点，平分。 （1）若，则。 （2）求证：。 (2) 证明： 四边形 是平行四边形 ， 在 和 中 随堂练习 能力提升 7.如图,的对角线相交于点,点分别在的延长线上,且,连结. 求证:. 解:因为四边形是平行四边形, 所以. 因为,所以, 即. 在和中, 所以. 所以. 所以 课堂小结 平行四边形 性质 边：平行四边形的对边平行且相等； 角：平行四边形的对角相等； 对角线：平行四边形的对角线_____________ 互相平分 感谢聆听! $