专题06勾股定理的逆定理复习讲义(知识梳理+10大题型+突破题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题06勾股定理的逆定理复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.精准掌握勾股定理逆定理的文字内涵与核心逻辑，明确定理的条件与结论，清晰区分勾股定理与逆定理的不同作用； 2.熟记常见经典勾股数，能快速判别一组正数是否为勾股数； 3.了解互逆命题、互逆定理的基础含义，理清二者关联。 1.熟练运用“三边平方关系”，快速判定三角形是否为直角三角形； 2.能灵活运用逆定理，解决线段垂直判定、三角形形状判断等基础几何问题； 3.学会结合勾股定理与逆定理综合解题，初步提升数形结合与几何推理能力。 1.秒杀期中选择、填空基础题型，确保直角三角形判定、勾股数识别类考题零失误； 2.规范几何证明题书写步骤，不丢步骤分； 3.吃透高频考题套路，规避计算失误、定理混淆等易错点，高效提分冲刺期中。 题型01.由三边长判断直角三角形 题型02.找两点构成直角三角形的点 题型03.网格中判断直角三角形 题型04.逆定理证算直角三角形 题型05.勾股数问题 题型06.勾股定理逆定理的实际应用 题型07.方位角实际应用问题 题型08.生活垂直判定问题 题型09.不规则图形面积计算问题 题型10.逆定理综合探究应用问题 解答题6题 ♥勾股定理：已知直角三角形，推出三边数量关系 ♥勾股定理逆定理：已知三边数量关系，判定直角三角形 知识点01:核心概念｜精准吃透基础 勾股定理逆定理定义 如果一个三角形的三条边长，满足两条较短边长的平方和，等于最长边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形。 关键判定要点 1.先找三边中最长边，这是判断的第一步 2.只用较短两边平方相加，和最长边平方做对比 3.满足等式即为直角三角形，最长边对应的角就是直角 知识点02:互逆命题与互逆定理 原命题（勾股定理）：直角三角形→a2+b2=c2 逆命题（逆定理）：a2+b2=c2→直角三角形 二者互为互逆定理，原定理是性质，逆定理是判定。 知识点03:逆定理的证明 作 Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b； 由勾股定理得A′B′2=a2+b2=c2，故A′B′=c； △ABC≌△A'B'C'（SSS），得∠C=∠C'=90°，即△ABC 为直角三角形。 常见错误避雷 错误：随便选两条边计算平方和对比 正确：必须固定最长边作为对比对象 误区：平方和相等才是直角，大于、小于都不是 知识点04:必背考点：勾股数（解题“加速器”） 勾股数 = 能完美满足逆定理的三个正整数，记熟它们，做题直接省一半时间，不用反复计算！ 1. 高频必背勾股数（记准不丢分） 基础款（最常考）：3、4、5（口诀：三四五，直角数） 进阶款：5、12、13；7、24、25 易错款：6、8、10（注意：是3、4、5扩大2倍来的，也是勾股数！） 2. 勾股数小规律（秒推新数组） 只要是一组勾股数，把它们同时乘同一个正数（比如2、3、10），得到的新数组还是勾股数！ 例：3、4、5 → 6、8、10 → 9、12、15（全部都是勾股数，做题直接用） 知识点05:解题步骤｜标准化模板（避免踩坑） 用逆定理判直角三角形，按这4步走，错题直接清零，考试拿满步骤分！ 排序：把三条边长从小到大排好（a＜b＜c，重点：c是最长边，别找错！） 计算：算两个短边的平方和（a² + b²），再算最长边的平方（c²） 对比：看两个结果相等不相等 结论：相等→直角三角形（∠C=90°）；不相等→不是直角三角形 ❌ 易错避雷区｜90%同学栽过的坑 坑1：随便找两条边算平方和，不找最长边 → 直接错！（必须找最长边当“参照物”） 坑2：把“正整数”丢了，认为3.4、4.5、5.6是勾股数 → 错！勾股数必须是正整数！ 坑3：短边平方和≠长边平方，还判定是直角三角形 → 错！只有相等才是，大于=锐角，小于=钝角 高频考法｜直击考场（八年级必看） 分4类，每类都有解题小技巧： 基础题（送分题）：给三边长，判是否为直角三角形（例：5、12、13 → 直接用勾股数秒判） 计算题：已知两边长，求第三边（结合勾股数，不用硬算平方） 证明题：证明两条线段垂直（构造三角形，用逆定理证明是直角三角形，即垂直） 应用题：生活场景（比如测门框、支架是否垂直），转化为边长计算，用逆定理判定 题型01.由三边长判断直角三角形 【典例】下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，2， B．1，2， C．6，7，8 D．3，4，5 【跟踪专练1】已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 【跟踪专练2】的三边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D．，， 题型02.找两点构成直角三角形的点 【典例】在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） . A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪专练2】已知点，点C在上，则使是直角三角形的点C的坐标是_______． 题型03.网格中判断直角三角形 【典例】如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，_________． 【跟踪专练2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则的度数为_____． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝________． 【跟踪专练4】在中，，，，则______°． 题型04.逆定理证算直角三角形 【典例】一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【跟踪专练1】如图，在中，，，．点分别为边上一点，将沿折叠，使点落在边的中点处，则___________． 【跟踪专练2】如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 题型05.勾股数问题 【典例】下列各组数为勾股数的是（   ） A．8，15，17 B．3，5， C． D．，， 【跟踪专练1】清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为______． 【跟踪专练2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是_____，正方形F的面积是_____，正方形G的面积是_______． 【跟踪专练3】中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若为“整弦数”，则不可能为正整数；④若且均为正整数，则与之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为____________． 题型06.勾股定理逆定理的实际应用 【典例】古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【跟踪专练1】手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______． 【跟踪专练2】如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型07.方位角实际应用问题 【典例】如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，并相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，那么“海天”号一定是沿北偏西___________方向航行．（填度数） 【跟踪专练1】一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则渔船从港口O出发的方向为______． 【跟踪专练2】如图，某海域有相距的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东方向走了到达B岛，然后再从B岛走了到达C岛，此时甲船位于B岛的（   ） A．北偏西方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向 D．北偏西方向上 【跟踪专练3】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12海里，“海天”号每小时航行9海里．它们离开港口两个小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿北偏东方向航行． (1)说明“海天”号沿哪个方向航行？ (2)求出此时“海天”号到海岸线的距离． 题型08.生活垂直判定问题 【典例】一根长为的绳子，其端点为，绳上有两点，将绳子分成长为和的三条线段．一人握住绳子的两个端点（点和点），两人分别握住点和点，将绳子拉直，会得到一个（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．非三角形 【跟踪专练1】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中与都应为直角，工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．    （1）这个零件______符合要求吗？（填“是”或“否”） （2）这个四边形的面积为______． 【跟踪专练2】如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形． (2)八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 题型09.不规则图形面积计算问题 【典例】为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，实验中学分给各班级一块地，让学生学习种菜．八（1）班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，则三角形菜地的面积是________． 【跟踪专练1】了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为____________． 【跟踪专练2】如图，某住宅小区有一块空地（四边形），已知，，，，．小区为美化环境，计划在这块空地上铺草坪，已知草坪的价格为30元/． (1)计算四边形的面积； (2)用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 题型10.逆定理综合探究应用问题 【典例】已知，，，为坐标原点．    (1)的面积为______； (2)判断的形状并说明理由； (3)在轴上有一点，使得是等腰三角形，直接写出点的坐标． 【跟踪专练1】如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 【跟踪专练2】如图，已知在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为秒． (1)求边上的高； (2)为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，按顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 解答题 1．如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点E，D． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长和的面积． 2．同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． (1)请你写出另外两组勾股数：6，___________，___________；7，___________，___________； (2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么是一组勾股数 （Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么是一组勾股数 在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）（Ⅱ），求出符合要求的所有勾股数； 3．如图，四边形中，，，，对角线． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 4．如图，在的网格中，每个小正方形边长为．请按要求作图，使得顶点均在格点上． (1)在图①中画，使得，； (2)在图②中画线段，使得，此时_________． 5．某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，小华和小明分别提交了绿化地引水灌溉方案的设计．如图，，，，，上，两点为浇灌点． 小华设计的铺设管道方案：从水源点处直接铺设管道引水分别到浇灌点，． 小明设计的铺设管道方案：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点，铺设管道． 社区管理人员在绿化地施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量，两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量出，两点之间的距离为________； (2)若建造绿化地每平方米的费用为100元，求建造绿化地的总费用； (3)若，，，管道铺设费用为50元/米，请比较小华和小明设计的两种铺设管道方案所需的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 6．【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C或A、B的强勾股点时，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06勾股定理的逆定理复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.精准掌握勾股定理逆定理的文字内涵与核心逻辑，明确定理的条件与结论，清晰区分勾股定理与逆定理的不同作用； 2.熟记常见经典勾股数，能快速判别一组正数是否为勾股数； 3.了解互逆命题、互逆定理的基础含义，理清二者关联。 1.熟练运用“三边平方关系”，快速判定三角形是否为直角三角形； 2.能灵活运用逆定理，解决线段垂直判定、三角形形状判断等基础几何问题； 3.学会结合勾股定理与逆定理综合解题，初步提升数形结合与几何推理能力。 1.秒杀期中选择、填空基础题型，确保直角三角形判定、勾股数识别类考题零失误； 2.规范几何证明题书写步骤，不丢步骤分； 3.吃透高频考题套路，规避计算失误、定理混淆等易错点，高效提分冲刺期中。 题型01.由三边长判断直角三角形 题型02.找两点构成直角三角形的点 题型03.网格中判断直角三角形 题型04.逆定理证算直角三角形 题型05.勾股数问题 题型06.勾股定理逆定理的实际应用 题型07.方位角实际应用问题 题型08.生活垂直判定问题 题型09.不规则图形面积计算问题 题型10.逆定理综合探究应用问题 解答题6题 ♥勾股定理：已知直角三角形，推出三边数量关系 ♥勾股定理逆定理：已知三边数量关系，判定直角三角形 知识点01:核心概念｜精准吃透基础 勾股定理逆定理定义 如果一个三角形的三条边长，满足两条较短边长的平方和，等于最长边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形。 关键判定要点 1.先找三边中最长边，这是判断的第一步 2.只用较短两边平方相加，和最长边平方做对比 3.满足等式即为直角三角形，最长边对应的角就是直角 知识点02:互逆命题与互逆定理 原命题（勾股定理）：直角三角形→a2+b2=c2 逆命题（逆定理）：a2+b2=c2→直角三角形 二者互为互逆定理，原定理是性质，逆定理是判定。 知识点03:逆定理的证明 作 Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b； 由勾股定理得A′B′2=a2+b2=c2，故A′B′=c； △ABC≌△A'B'C'（SSS），得∠C=∠C'=90°，即△ABC 为直角三角形。 常见错误避雷 错误：随便选两条边计算平方和对比 正确：必须固定最长边作为对比对象 误区：平方和相等才是直角，大于、小于都不是 知识点04:必背考点：勾股数（解题“加速器”） 勾股数 = 能完美满足逆定理的三个正整数，记熟它们，做题直接省一半时间，不用反复计算！ 1. 高频必背勾股数（记准不丢分） 基础款（最常考）：3、4、5（口诀：三四五，直角数） 进阶款：5、12、13；7、24、25 易错款：6、8、10（注意：是3、4、5扩大2倍来的，也是勾股数！） 2. 勾股数小规律（秒推新数组） 只要是一组勾股数，把它们同时乘同一个正数（比如2、3、10），得到的新数组还是勾股数！ 例：3、4、5 → 6、8、10 → 9、12、15（全部都是勾股数，做题直接用） 知识点05:解题步骤｜标准化模板（避免踩坑） 用逆定理判直角三角形，按这4步走，错题直接清零，考试拿满步骤分！ 排序：把三条边长从小到大排好（a＜b＜c，重点：c是最长边，别找错！） 计算：算两个短边的平方和（a² + b²），再算最长边的平方（c²） 对比：看两个结果相等不相等 结论：相等→直角三角形（∠C=90°）；不相等→不是直角三角形 ❌ 易错避雷区｜90%同学栽过的坑 坑1：随便找两条边算平方和，不找最长边 → 直接错！（必须找最长边当“参照物”） 坑2：把“正整数”丢了，认为3.4、4.5、5.6是勾股数 → 错！勾股数必须是正整数！ 坑3：短边平方和≠长边平方，还判定是直角三角形 → 错！只有相等才是，大于=锐角，小于=钝角 高频考法｜直击考场（八年级必看） 分4类，每类都有解题小技巧： 基础题（送分题）：给三边长，判是否为直角三角形（例：5、12、13 → 直接用勾股数秒判） 计算题：已知两边长，求第三边（结合勾股数，不用硬算平方） 证明题：证明两条线段垂直（构造三角形，用逆定理证明是直角三角形，即垂直） 应用题：生活场景（比如测门框、支架是否垂直），转化为边长计算，用逆定理判定 题型01.由三边长判断直角三角形 【典例】下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，2， B．1，2， C．6，7，8 D．3，4，5 【答案】C 【分析】验证三边长是否满足两短边的平方和等于最长边的平方，即可得出结论． 【详解】解：A ．∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； B ．∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； C ．∵，，，∴，不能构成直角三角形，符合题意； D ．∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意． 【跟踪专练1】已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 【答案】直角三角形 【分析】先计算出三角形三边的平方，再利用勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． 【跟踪专练2】的三边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D．，， 【答案】C 【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A、，，， ， 符合勾股定理的逆定理，则能判定是直角三角形； 选项B： ， ， ， ， ， 则能判定是直角三角形； 选项C：设，，， 由三角形内角和得 ， 解得， ，，， 三角形没有直角，不能判定是直角三角形； 选项D：，，， ， 符合勾股定理的逆定理，能判定是直角三角形． 题型02.找两点构成直角三角形的点 【典例】在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 【跟踪专练1】如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） . A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】解：如图所示，符合要求的点C的位置如图所示． 则符合要求的点C共有6个 【跟踪专练2】已知点，点C在上，则使是直角三角形的点C的坐标是_______． 【答案】或或或． 【分析】本题考查一次函数图象上点坐标特征，坐标系中两点间距离公式等知识点，掌握这些和数形结合是解决本题的关键． 使是直角三角形，不确定哪一个是直角，所以分类讨论即可．当时，过A作x轴的垂线与直线相交于C，将代入即可；当时，过B作x轴的垂线与直线相交于C，将代入即可；当时,由题意设C点坐标为，根据勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】当时， ，过A作x轴的垂线与直线相交于C，此时， 将代入得： 所以此时C点坐标为； 当时， ，过B作x轴的垂线与直线相交于C，此时， 将代入得： 此时C点坐标为； 当时， 由题意设C点坐标为， 根据两点间距离公式可得： ，，, 根据勾股定理可得： ， ， ， ，（均符合题意） ， 所以此时C点坐标为或； 综上C的坐标是：或或或． 故答案为：或或或． 题型03.网格中判断直角三角形 【典例】如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AB、BC、AC，再根据勾股定理的逆定理计算可得出结论． 【详解】解：由题意得：， ，， ∵， ∴， ∴∠BAC＝90°， ∴为直角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理．掌握勾股定理和逆定理是解决问题的关键． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，_________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理. 求出，可知． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴. 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，理解网格特点，证得是等腰直角三角形是解答的关键． 先根据网格特点和勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形，进而利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：依题意，连接， 则，， ∴， ∴， 则是等腰直角三角形， ∴． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝________． 【答案】45° 【分析】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,证明为等腰直角三角形，从而可得答案． 【详解】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD． 由题意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10． ∴AE2＝AP2+PE2． ∴△APE是等腰直角三角形． ∴∠PAE＝45 ∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 【跟踪专练4】在中，，，，则______°． 【答案】 90 【分析】本题考查勾股定理逆定理，能够通过勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形是解题关键； 先通过三角形三边的长度关系得到三角形为直角三角形，进而可求解． 【详解】解：中，，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且为斜边， ∴， 故答案为：90． 题型04.逆定理证算直角三角形 【典例】一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中，，，．点分别为边上一点，将沿折叠，使点落在边的中点处，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股逆定理以及勾股定理，折叠的性质．首先根据勾股定理逆定理判定为直角三角形，且；由中点的定义求出的长；根据折叠的性质可得；设，则，在 中利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形，且． 点是边的中点， ． 由折叠的性质可知，． 设， 则， ． 在中，由勾股定理得 ， 即 ， 解得 ， ． 【跟踪专练2】如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的性质定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握知识点，利用轴对称性质求解最值问题是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，作交于点，根据角平分线性质定理得到，再由等面积法求出，作点关于的对称点，则在点在上，则，过点作交于点H，那么，故当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值，再由等面积法即可求解． 【详解】解：∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又是的平分线， ． ， 即， ， 是的平分线，点为上动点，作点关于的对称点，则在点在上， ． 过点作交于点H， ∴ 当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故选：B． 题型05.勾股数问题 【典例】下列各组数为勾股数的是（   ） A．8，15，17 B．3，5， C． D．，， 【答案】A 【分析】勾股数是满足的三个正整数，只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：∵勾股数的定义为：三个正整数，若满足，则这组数是勾股数． 选项A中，均为正整数，且，满足定义，故A是勾股数． 选项B中，不是正整数，不满足勾股数定义，故不是勾股数． 选项C中，不是正整数，不满足勾股数定义，故不是勾股数． 选项D中，不是正整数，不满足勾股数定义，故不是勾股数． 【跟踪专练1】清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为______． 【答案】13，84，85 【分析】本题考查了数的规律问题，勾股数． 观察勾股数序列，第一个数字为连续奇数，第⑥组第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意可知，第⑥组勾股数的第一个数字为13， 设第二个数字为b，则第三个数字为， 由勾股定理，得， 即， 整理得， 解得， 故． 因此第⑥组勾股数为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是_____，正方形F的面积是_____，正方形G的面积是_______． 【答案】 8 5 13 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练应用勾股定理求得正方形的边长．先由正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，得到对应的边长分别为，然后利用勾股定理求得正方形的边长分别为，从而求得正方形和的面积，正方形的边长，即可得到正方形的面积． 【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3， 正方形A，B，C，D的边长分别为， 由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的面积为8，正方形的面积为5，正方形的边长为， 正方形的面积为13， 故答案为：8，5，13． 【跟踪专练3】中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若为“整弦数”，则不可能为正整数；④若且均为正整数，则与之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为____________． 【答案】3 【分析】此题主要考查了勾股定理的综合运用，涉及数字类变化规律、整式的混合运算、完全平方公式等知识，正确理解“整弦数”的定义是解题关键． ①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：①∵ ∴20是“整弦数”，符合题意； ②如5，2是“整弦数”， ∵不是“整弦数”， ∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意； ③若，则，，为“整弦数”，则c为正整数，不符合题意； ④∵，≠，且均为正整数， ∴m与n之积为“整弦数”，符合题意； ⑤设一个正奇数（除1外）为（n为正整数）， ∵且等于两个连续正整数的和， ∴较小的正整数为，较大的正整数为， ∵ ， ∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意． ∴正确的个数为3， 故答案为：3． 题型06.勾股定理逆定理的实际应用 【典例】古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键． 利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：根据，即可得到三角形是直角三角形； 故选：D． 【跟踪专练1】手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______． 【答案】/90度 【分析】首先根据勾股定理得出的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形， 且． 【跟踪专练2】如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键． 首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵，中为上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， 故选：D． 题型07.方位角实际应用问题 【典例】如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，并相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，那么“海天”号一定是沿北偏西___________方向航行．（填度数） 【答案】/度 【分析】由题意可得海里，海里，海里，，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：（海里），（海里），海里，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∴“海天”号一定是沿北偏西方向航行． 【跟踪专练1】一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则渔船从港口O出发的方向为______． 【答案】南偏西 【分析】本题考查方位角，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出，再根据平角定义求出即可． 【详解】解：由题意知，，， ， ， 是直角三角形，， 又， ， 渔船从港口O出发的方向为南偏西， 故答案为：南偏西． 【跟踪专练2】如图，某海域有相距的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东方向走了到达B岛，然后再从B岛走了到达C岛，此时甲船位于B岛的（   ） A．北偏西方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向 D．北偏西方向上 【答案】A 【分析】先用勾股定理的逆定理推出，再结合方位角和平行线的性质求出的度数，即可确定C相对于B的方位角． 【详解】解：如图，由题意，得，，，，． ，， ， 是直角三角形， ． ， ， ， ∴此时甲船位于岛的北偏西方向上． 【跟踪专练3】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12海里，“海天”号每小时航行9海里．它们离开港口两个小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿北偏东方向航行． (1)说明“海天”号沿哪个方向航行？ (2)求出此时“海天”号到海岸线的距离． 【答案】(1)“海天”号沿北偏西方向航行； (2)此时“海天”号到海岸线的距离为海里． 【分析】（1）根据题意可得海里，，海里，海里，由勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，，可得，即可得“海天”号的航行方向； （2）过点作海岸线的垂线，垂足记为，则，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理即可得此时“海天”号到海岸线的距离． 【详解】（1）解：根据题意可得，海里，， （海里）， （海里）， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴“海天”号沿北偏西方向航行． （2）解：过点作海岸线的垂线，垂足记为，则， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴此时“海天”号到海岸线的距离为海里． 题型08.生活垂直判定问题 【典例】一根长为的绳子，其端点为，绳上有两点，将绳子分成长为和的三条线段．一人握住绳子的两个端点（点和点），两人分别握住点和点，将绳子拉直，会得到一个（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．非三角形 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是，理解题意是解题的关键． 绳子总长，被分成、、三段，当端点和被握在一起时，绳子拉直后形成三边为、、的三角形，根据勾股定理判断形状. 【详解】解：∵ 三边长度分别为、、， 且，， ∴ ， ∴ 该三角形为直角三角形. 故选：A． 【跟踪专练1】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中与都应为直角，工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．    （1）这个零件______符合要求吗？（填“是”或“否”） （2）这个四边形的面积为______． 【答案】 是 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理可求，是直角三角形，且，然后作答即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，是直角三角形，且， ∴这个零件符合要求， 故答案为：是； （2）解：由题意知， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形． (2)八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明即可； （2）过作交于，利用勾股定理求出，再根据求出面积，进而得到总费用． 【详解】（1）证明：，，， ， 是直角三角形． （2）解：过作交于， ，， 为中点，， ， ， 是直角三角形， ， ， 则（元）， 答：购买西红柿苗总共需要元． 题型09.不规则图形面积计算问题 【典例】为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，实验中学分给各班级一块地，让学生学习种菜．八（1）班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，则三角形菜地的面积是________． 【答案】7.5 【分析】根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用直角三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：. 该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和. 三角形菜地的面积为． 【跟踪专练1】了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为____________． 【答案】114 【分析】连接对角线分割成两个直角三角形．先在中用勾股定理求出 BD 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，最后分别计算两个三角形的面积并求和，得到四边形的面积． 【详解】解：如图，连接．在中，， ． ，，， ． 为直角三角形，且．． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式。解题关键是通过连接对角线将不规则四边形分割为两个直角三角形，从而用勾股定理及其逆定理求解面积． 【跟踪专练2】如图，某住宅小区有一块空地（四边形），已知，，，，．小区为美化环境，计划在这块空地上铺草坪，已知草坪的价格为30元/． (1)计算四边形的面积； (2)用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1) (2)用该草坪铺满这块空地共需花费1080元 【分析】（1）先由勾股定理求出，再由勾股定理逆定理证明为直角三角形，，再根据计算即可； （2）用四边形的面积乘以30，即可求总花费． 【详解】（1）解：连接，如图， ， 为直角三角形， 又∵，， 根据勾股定理得， ∵，， ，， ， 为直角三角形，， 则； （2）解：（元）， 用该草坪铺满这块空地共需花费1080元． 题型10.逆定理综合探究应用问题 【典例】已知，，，为坐标原点．    (1)的面积为______； (2)判断的形状并说明理由； (3)在轴上有一点，使得是等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)为等腰直角三角形，理由见解析 (3)在轴上存在一点，使得是等腰三角形，点的坐标为，，， 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定与性质，三角形面积的计算，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）过点作轴于点，根据列式求解即可； （2）根据两点之间的距离分别表示，，，利用勾股定理逆定理判定即可； （3）设，进而表示出，，，分：，，，三种情况讨论，分别列式解方程即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点，    ， ， ； 故答案为：； （2）解：为等腰直角三角形，理由如下： ，，为坐标原点， ，，， ，， 为等腰直角三角形； （3）解：， 设，，，    若，则有，即， 解得或； 若，则有，即， 解得（与点重合，故舍去）或； 若，则有，即， 解得； 综上，在轴上存在一点，使得是等腰三角形，点的坐标为，，，． 【跟踪专练1】如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 【答案】(1) (2)或3.5或 (3) 【分析】本题考查特殊三角形的存在性问题，利用特殊三角形的判定方法，找到线段关系，列算式或方程求解即可． （1）根据的长，确定点P的位置，再利用勾股定理求出，得到点P的运动总长度，求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不同情况，分情况讨论点P的位置，利用腰相等列式求解即可； （3）根据t的取值范围，确定点P的位置，用含t的代数式表示各线段长，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴此时点P在上， 如图，连接， 由题意，得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， （秒）， ∴当时，点P与点A的距离为； （2）解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，， ∴当点P在上时，不可能为等腰三角形， ∴点P在上， 分下列三种情况， 第一种：如图，连接，，， ∴， ∴， ， ∴此时； 第二种：如图，连接，，， 又，， ∴， ∴， ∴， ， ∴此时； 第三种：如图，连接，，， 同第一种情况，可得， ∴， ∴， ， ∴此时， 综上，当或或时，是等腰三角形； （3）解：由题意，，∴， ∴点P在上， 如图，连接，则，， ∴，，， 由题意，可得，即， 解得， ∴当时，以线段、、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边． 【跟踪专练2】如图，已知在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为秒． (1)求边上的高； (2)为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，按顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1) (2)当秒或6秒或秒或秒时，为等腰三角形 (3)t的值为4秒或12秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，根据三角形的面积公式计算的长； （2）分情况讨论：①动点在边上时，有一种情况；②动点在边上时，有三种情况；③动点在边上时，不能构成三角形； （3）分情况讨论：根据点P在边上讨论，根据周长平分进行列方程可得结论． 【详解】（1）解：∵已知在中，，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 如图1， 过C作于D， ∴ ∴ ∴ 则边上的高是； （2）解：①当点P在上，如图2， 当时， ∵ ∴，. ∵动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为秒． 则， ②当点P在上，如图3，时，过C作于D， 在中， ∵，为边上的高， ∴， 则， 解得， 当时，， 解得， 当时， 如图4，作于H， 则，， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 解得， 故当秒或6秒或6.5秒或5.4秒时，为等腰三角形； （3）解：如图5，当时，P在上，Q在上， 由题意得：， 则， 解得； 如图6，当时，P在上，Q在上， 由题意得：，， 则， 解得，不符合题意； 当时，P、Q在上， 直线与重合，直线不可能把的周长分成相等的两部分； 如图7，当时，P在上，Q在上， 由题意得：， 则， ， 解得， 综上，t的值为4秒或12秒． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用、三角形的周长和几何动点问题，掌握等腰三角形的判定定理和性质定理、分类讨论的思想和数形结合的思想是解题的关键． 解答题 1．如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点E，D． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长和的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据勾股定理即可证明； （2）根据垂直平分线可知，，再根据勾股定理以及面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， 所以，， ∵． ∴是直角三角形． （2）解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴，． ∵是直角三角形，且． 设，则． 在中，，即， 解得，即． ∴， ∴． 2．同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． (1)请你写出另外两组勾股数：6，___________，___________；7，___________，___________； (2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么是一组勾股数 （Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么是一组勾股数 在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）（Ⅱ），求出符合要求的所有勾股数； 【答案】(1)8，10；24，25 (2)勾股数为5、12、13或12、35、37 【分析】（1）根据勾股数的定义解决此题． （2）①根据题干中法则（Ⅰ）解决此题． ②根据题干给出的法则（Ⅰ）和（Ⅱ）进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：依题意，6，8，10；7，24，25； （2）解：根据法则（Ⅰ），∵是大于1的奇数， ∴， 则或． 或（不是奇数，舍去）． ． ． 勾股数为5、12、13． 根据法则（Ⅱ）， 则或或， 或（舍去）或（舍去）． 则，， 勾股数为12、35、37． 综上所述，勾股数为5、12、13或12、35、37． 3．如图，四边形中，，，，对角线． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理计算即可； （2）根据勾股定理得到，设，则，求出，根据勾股定理得到，根据四边形的面积计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：如图，作交于E， ∴，， ∴， 设，则， ∴ 解得：， ∴， ∴四边形的面积 4．如图，在的网格中，每个小正方形边长为．请按要求作图，使得顶点均在格点上． (1)在图①中画，使得，； (2)在图②中画线段，使得，此时_________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析； 【分析】（）由勾股定理可得，由勾股定理逆定理可得，故三角形为以为直角顶点的等腰直角三角形； （）根据网格特征即可作出线段，由勾股定理逆定理可得． 【详解】（1）解：如图①，三角形即为所求： （2）解：如图，线段即为所求： ∵， ∴ ∴． 5．某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，小华和小明分别提交了绿化地引水灌溉方案的设计．如图，，，，，上，两点为浇灌点． 小华设计的铺设管道方案：从水源点处直接铺设管道引水分别到浇灌点，． 小明设计的铺设管道方案：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点，铺设管道． 社区管理人员在绿化地施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量，两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量出，两点之间的距离为________； (2)若建造绿化地每平方米的费用为100元，求建造绿化地的总费用； (3)若，，，管道铺设费用为50元/米，请比较小华和小明设计的两种铺设管道方案所需的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)15 (2)元 (3)小华设计的方案所需费用较少，且铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】（1）运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）运用勾股逆定理进行列式计算，可得，再计算出总面积即可求解； （3）先计算出，则可计算出小华的方法费用为（元），利用等面积法计算出，则可计算出小明的方法费用为（元），可得小华设计的方案所需费用较少为700元． 【详解】（1）解：当测量时，， ∴． （2）解：如图，连接， ， ， ，， 四边形的面积， 建造绿化地的总费用为（元）． （3）解：，，， ， ， ， ， 小华设计的铺设管道方案所需的费用为（元），小明设计的铺设管道方案所需的费用为（元）， ∵． 答：小华设计的方案所需费用较少，且铺设管道所需的最少费用为700元． 6．【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C或A、B的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 (3)，． 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，新定义“强勾股点”等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． （1）根据新定义“勾股点”和网格的特点作出直角，即可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点都分别能与，构成直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3）解：∵是的中点， ∴， ∴， 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 综上所述，的长为，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $