精品解析：湖南湘西州溪州中学共同体教共体2025-2026学年下学期八年级期中考试数学试题

2026年湘西州溪州中学共同体教共体 八年级期中考试数学试题 时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】选项A：是最简二次根式，不符合题意； 选项B：是最简二次根式，不符合题意； 选项C：是最简二次根式，不符合题意； 选项D： ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，掌握以上知识点是解答本题的关键． 2. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 7，2，25 D. 8，15，17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．判断各组数是否为勾股数，先观察各组数都是正整数，然后还需验证两较小数的平方和是否等于最大数的平方，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、，故3，4，5是勾股数，故该选项不符合题意； B、，故5，12，13是勾股数，故该选项不符合题意； C、，故7，2，25不是勾股数，故该选项符合题意； D、，故8，15，17是勾股数，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，二次根式被开方数需非负，分式分母不能为，据此列不等式求解即可. 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义 ∴需同时满足二次根式和分式的有意义条件，可得 ， 解不等式，得. 解不等式，得. ∴的取值范围是且． 4. 一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先利用多边形内角和公式与外角和定理求出多边形的边数，再代入对角线条数公式计算，即可得到结果； 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为固定值， 根据题意列方程得， 化简得：， 解得：， 边形对角线条数公式为， 代入，对角线条数． 5. 在平行四边形中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质，结合已知条件即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∵平行四边形邻角互补，即． ∴， 故选：B 6. 如图，在中，，分别是与的角平分线，交点为点，，则（ ） A. 5 B. 10 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，得到是解答的关键．先根据平行四边形的性质得到，，，，结合角平分线的定义和三角形的内角和定理得到，，，根据等角对等边求得，，则，然后利用勾股定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，，， ∴，， ∵分别是与的角平分线， ∴，， ∴，， ， ∴，，又， ∴， 在中，， 故选：C． 7. 如图，将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设牙刷露在杯子外面的长为，则的值不可能是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短时等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短时等于杯子的高时，， 当杯子中牙刷最长时，， ∴h的取值范围是：， ∵， ∴，即， ∴的值不可能是， 故选：D． 8. 如图，在中，，，顶点A、B、C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是3个单位长度，则的面积是（　　） A. 123 B. 117.5 C. 112.5 D. 225 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，过C作垂直于该组平行线，交A所在直线于点E，交B所在直线于点F，易证，即可证明，可得，即可求得的值，即可解题． 【详解】解：如图所示，过C作垂直于该组平行线，交A所在水平直线于点E，交B所在水平直线于点F， ∴， 又∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点D，E，连接，若，，则的周长为（ ） A. 9 B. 14 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 利用线段垂直平分线的性质证明，根据等腰三角形的性质即可证明，根据含角的直角三角形的性质推出，再利用勾股定理求出的长，可得结论． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， 的周长． 故选：D． 10. 如图，在边长为9的正方形中，动点E，F分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点B落在边上的点G处（点G不与点C，D重合），点A落在点H处，与交于点P，连接．给出下列四个结论：①；②的周长为定值18；③；④如果，那么四边形的面积为32．上述结论中，正确结论的序号有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得，，得到，，可以判定①正确；过点B作于Q，利用三角形全等的判定和性质，等量代换，可以判定②；设，的交点为M，过点E作于点K，利用三角形全等的判定和性质，等量代换，可以判定③正确；设，则，根据勾股定理，得，根据③的结论，得到；四边形的面积为 ，计算可以判定④． 【详解】解：边长为9的正方形， ， ， 根据折叠的性质，得，， ，， ， 故①正确； 如图，过点B作于Q，则， 由①可知：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴． ∴， ∴ 故的周长为定值18； 故②正确； 设，的交点为M，过点E作于点K， 根据题意，得， 故四边形是矩形， ∴， 根据折叠的性质，得，， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； 故③正确； ， ，， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； ∴； ∴四边形的面积为 ； 故④错误． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，然后求出，的值，再代入即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：，此时， ∴． 12. 如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，若梯子长等于，梯子完全撑开后顶端离地面的高度等于，则此时梯子侧面宽度等______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，再根据等腰三角形三线合一得出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形顶角的角平分线，底边上的高，底边上的中线重合． 13. 如图，在中，，点A、C、D分别在上，四边形为平行四边形，且，则四边形的周长是________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识．由平行四边形的性质结合题意间接证明是解题关键．根据平行四边形的性质可得出，从而可推出，结合题意即可证，由等角对等边可推出，进而可求出，最后即可求得四边形的周长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长是． 故答案为：16． 14. 如图，是边长为2的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD，交AC于点O，连接AF，根据正方形的性质和勾股定理，求得OB=，利用计算即可． 【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接AF， ∵四边形ABCD是正方形，AB=AE， ∴AB=AE=2，AC⊥BD，OD=OB， ∴BD==2， ∴OB=， ∵， ∴ ∴， ∴=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，图形的面积分割，熟练掌握正方形的性质，灵活运用是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，，则点的坐标是 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 利用勾股定理求出即可得解． 【详解】解：正方形边长为，即， ， ， 故答案为：． 16. 已知菱形的边长为6，且，是对角线上一动点，求的最小值___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，垂线段最短．连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接，求得，，推出，当共线时，最小，据此计算即可求解． 【详解】解：连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接， ，， ∴， ∴是等边三角形， ∵是对角线上一动点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，最小，最小值为． ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（6+6+8+8+10+10+12+12=72） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，去绝对值，化简二次根式，负指数幂，然后再计算； （2）分别化简二次根式，先算小括号里面的，然后再算括号外面的． 【详解】（1） ； （2） 【点睛】本题考查了零指数幂，去绝对值，化简二次根式，负指数幂，根据二次根式的性质化简，二次根式的除法运算，熟练掌握以上知识并正确的计算是解题的关键． 18. 在春天来临之际，八（1）班的学生计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地．如图，，，，，，求该四边形土地的面积． 【答案】该四边形土地的面积为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． 根据勾股定理得到，进而可得是直角三角形，根据四边形的面积的面积的面积计算即可． 【详解】解：连接， ，，， 在中，由勾股定理得， ，， ∴， 是直角三角形， 四边形的面积的面积的面积 该四边形土地的面积为． 19. 已知：如图，在菱形中，过顶点D作，，垂足分别为E，F，连接． （1）求证：为等腰三角形． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，再由垂直的定义得到，由此可证明得到，即可证明为等腰三角形； （2）由等边对等角和垂线的定义得到，进而利用三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 20. 如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点， ，，， ， ； （2）5． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行线性质，直角三角形斜边中线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，再根据矩形性质和平行线性质即可证明结论； （2）由勾股定理求AC的长，再由直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 四边形是矩形， ，， ， 又点O是的中点， ． 21. 如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）当___________秒时，四边形为矩形； （2）在整个运动过程中，t为何值时，垂直平分线段？判断此时四边形的形状，并说明理由； （3）在整个运动过程中，t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】（1）3 （2） 解：时，垂直平分线段；此时四边形为菱形， 理由如下： ∵点A的坐标为， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， 此时， ∴时，垂直平分线段，此时四边形为菱形； （3）当或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形 【解析】 【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及了平行四边形以及特殊的平行四边形的性质，勾股定理等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得：，推出．若四边形为矩形，则，据此即可求解； （2）若垂直平分线段，可得，；根据即可求解； （3）分类讨论当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，两种情况即可求解； 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴轴，， 由题意得： ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：， 即当秒时，四边形为矩形， 故答案为：3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点P在线段上时，，， 当，且时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 当点P在线段的延长线上时，，， 当，且时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 综上所述，当或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 22. 如图1，在中，分别是边上的中线，与相交于点O，点F是的中点，点G是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当时，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：，分别是边上的中线， 、E分别是和的中点， 是的中位线， ∴，， 同理：，， ∴，， 四边形是平行四边形； （2） 证明：连接，交于点，并延长，交于点， ∵， ∴，且点在的垂直平分线上， 点、分别是、的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点也在的垂直平分线上， ∴，即， 由（1）可知， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴， ∴， 由（1）中四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形． （1）由三角形中位线定理推出，，，，得到，，即可证明； （2）在（1）中已知四边形是平行四边形，结合，确定点在的垂直平分线上，再利用全等得到，确定点也在的垂直平分线上，从而利用中垂线及中位线的性质得到，进而可证四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图1，矩形的顶点、分别在轴，轴的正半轴，已知点，且，满足．若点为矩形的对角线的中点，过点作的垂线分别交，于点，，交轴于点． （1）求，的值； （2）求线段的长度； （3）如图2，连接，若点P为射线上的点，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）8；6 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据两个非负数的和等于0，则每个都是0，即可求出a，b的值； （2）连接，先证明四边形为菱形，再利用勾股定理求出的长，即可利用等面积法得到的长； （3）分P在线段上或射线上两种情况，取的中点M，过点P作于点N，分别构造全等三角形进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ，， ∴， ，； 故答案为：8，6； 【小问2详解】 解：如图1，连接， ，， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ， 又∵， ， ， ， 四边形是菱形， 由（1）得， ∴， 在中，， ， 设，， 在中，，， ， 解得， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形； 分两种情况，①当P在线段上时，取的中点M，连接并延长，过点P作于点N，如图4， 由题可得：，，为的中位线， ∴，， ∴， 当为边，四边形为菱形时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点O， ∴点P向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点Q， ∴； ②当P在射线上时，当P在线段延长线上时，取的中点M，连接，过点P作于点N，如图5， 当为边，四边形为菱形时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点O， ∴点P向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点Q， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，坐标与图形，非负数的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 24. 材料1：对于任意正实数a，b，∵，∴，，只有当时，等号成立． 结论：在，（a，b均为正实数）中，若为定值p，则，，只有当时，有最小值． 材料2：若函数（，，m为常数），由材料1结论可知：，即．∴当，即，∴时，函数的最小值为．根据上述内容，回答下列问题： （1）若，只有当 时，有最小值； （2）若函数，则 时，函数的最小值为 ． （3）如图，已知，，点P是第一象限内的一个动点，过P点向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于C，D两点，矩形的面积始终为12，求四边形面积的最小值以及此时P点的坐标． 【答案】（1）1 （2）4，7 （3）四边形的面积最小值为24； 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了完全平方公式，最小值问题． （1）根据阅读材料内容解决问题即可； （2）根据阅读材料内容解决问题即可； （3）设，由矩形的面积为12，可得，推出，由题意，转化为例题的模型解决问题即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∴当时，即时，有最小值， ∵， ∴， 故答案为1； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴当时，y有最小值，最小值为7， ∴， ∵， ∴时，y有最小值，最小值为7， 故答案为4，7； 【小问3详解】 解：设， ∵矩形的面积为12， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ， ∴， ∴当时，即时，四边形的面积最小，最小值为24， 此时， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湘西州溪州中学共同体教共体 八年级期中考试数学试题 时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 7，2，25 D. 8，15，17 3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 4. 一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 5. 在平行四边形中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，分别是与的角平分线，交点为点，，则（ ） A. 5 B. 10 C. 9 D. 12 7. 如图，将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设牙刷露在杯子外面的长为，则的值不可能是（ ） A. 5 B. C. D. 8. 如图，在中，，，顶点A、B、C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是3个单位长度，则的面积是（　　） A. 123 B. 117.5 C. 112.5 D. 225 9. 如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点D，E，连接，若，，则的周长为（ ） A. 9 B. 14 C. D. 10. 如图，在边长为9的正方形中，动点E，F分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点B落在边上的点G处（点G不与点C，D重合），点A落在点H处，与交于点P，连接．给出下列四个结论：①；②的周长为定值18；③；④如果，那么四边形的面积为32．上述结论中，正确结论的序号有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若，则_______． 12. 如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，若梯子长等于，梯子完全撑开后顶端离地面的高度等于，则此时梯子侧面宽度等______________． 13. 如图，在中，，点A、C、D分别在上，四边形为平行四边形，且，则四边形的周长是________． 14. 如图，是边长为2的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，，则点的坐标是 __． 16. 已知菱形的边长为6，且，是对角线上一动点，求的最小值___________ 三、解答题（6+6+8+8+10+10+12+12=72） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 在春天来临之际，八（1）班的学生计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地．如图，，，，，，求该四边形土地的面积． 19. 已知：如图，在菱形中，过顶点D作，，垂足分别为E，F，连接． （1）求证：为等腰三角形． （2）若，求的度数． 20. 如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）当___________秒时，四边形为矩形； （2）在整个运动过程中，t为何值时，垂直平分线段？判断此时四边形的形状，并说明理由； （3）在整个运动过程中，t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？ 22. 如图1，在中，分别是边上的中线，与相交于点O，点F是的中点，点G是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当时，求证：四边形是矩形． 23. 如图1，矩形的顶点、分别在轴，轴的正半轴，已知点，且，满足．若点为矩形的对角线的中点，过点作的垂线分别交，于点，，交轴于点． （1）求，的值； （2）求线段的长度； （3）如图2，连接，若点P为射线上的点，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 24. 材料1：对于任意正实数a，b，∵，∴，，只有当时，等号成立． 结论：在，（a，b均为正实数）中，若为定值p，则，，只有当时，有最小值． 材料2：若函数（，，m为常数），由材料1结论可知：，即．∴当，即，∴时，函数的最小值为．根据上述内容，回答下列问题： （1）若，只有当 时，有最小值； （2）若函数，则 时，函数的最小值为 ． （3）如图，已知，，点P是第一象限内的一个动点，过P点向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于C，D两点，矩形的面积始终为12，求四边形面积的最小值以及此时P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $