精品解析：湖南省湘西州溶江中学2024一2025学年下学期期中考试 八年级数学试卷

湘西州溶江中学2024—2025学年第二学期期中考试初二数学试卷 满分：120分 时量：120分钟 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，1 B. 1，2，3 C. 2，3，4 D. 3，4，5 5. 在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 7. 若一个三角形的三边长分别是a、b、c，记，那么三角形的面积为①，我们称①为海伦-秦九韶公式，在中，，，，则根据海伦-秦九韶公式求三角形ABC的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一张矩形纸片ABCD，若将纸片沿DE折叠，使点C落在AD上，点C的对应点为点F，若AB=3cm，BC=8cm，则BE的长是（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 9. 如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段于点A，且长为1个单位长度.若以点C为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形．如图所示，已知，正方形的边长是2，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 10 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 12. 定义运算“☆”的运算法则为，则______． 13. 点到原点的距离为______． 14. 已知菱形的两条对角线长分别为3和4，则菱形的面积为______． 15. 如图，在中，点D，E分别为，的中点，若，则的长度为_____． 16. 如图，在中，，点D是的中点，，，则______． 17. 若，且a，b，c为的三边，则的面积为_____． 18. 如图，在菱形中，，，E是边上的动点，P为对角线上的一个动点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 21. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． （1）大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． （2）求图中阴影部分的周长． 22. 阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上．如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；． 这种化简的方法叫分母有理化．请将下列代数式分母有理化： （1）； （2）． 23. 如图，小区有一块三角形空地，计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路、隔开，．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）求小路的长． 24. 如图，在平行四边形中，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 25. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 26. 下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．） （1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ； （2）如图1，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变．求证：； （3）在（2）的条件下，连接，过点作，垂足为．设，当为何值时，四边形是平行四边形，并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘西州溶江中学2024—2025学年第二学期期中考试初二数学试卷 满分：120分 时量：120分钟 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、 ，被开方数为负数，无意义，不符合条件； B、 ，根指数为2且被开方数，符合二次根式定义； C、，，则，被开方数为负数，不符合条件； D、，根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式条件； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据运算法则逐一判断各选项的正确性即可得出答案． 【详解】解：A. ，而非，错误； B. 与不是同类二次根式，无法合并为，错误； C. 根据二次根式乘法法则，，正确； D. ，而非，错误； 故选：C． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，逐一分析各选项即可. 【详解】解：选项A： 将化为分数，则，被开方数含分母，不符合最简二次根式条件，需分母有理化，故排除； 选项B： 分解被开方数，无平方数因数，且不含分母，满足最简二次根式的条件； 选项C： 被开方数含分母，不符合条件，需化为，故排除； 选项D： 分解被开方数，含平方因数，可化简为，故排除； 综上，只有选项是最简二次根式， 故选：B 4. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，1 B. 1，2，3 C. 2，3，4 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足“较短两边的平方和等于最长边的平方”，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A. ∵ ，不满足勾股定理，不能组成直角三角形； B. ∵ ，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），无法构成三角形； C. ∵ ，不满足勾股定理，不能组成直角三角形； D. ∵ ，满足勾股定理，能组成直角三角形； 故选：D． 5. 在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，即可求解， 本题考查了，平行四边形的性质，解题的关键是：熟练掌握平行四边形的对角相等． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. 若一个三角形的三边长分别是a、b、c，记，那么三角形的面积为①，我们称①为海伦-秦九韶公式，在中，，，，则根据海伦-秦九韶公式求三角形ABC的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、海伦 - 秦九韶公式的应用，熟练掌握海伦 - 秦九韶公式中半周长的计算及面积公式的代入运算是解题的关键．先依据三角形三边长度，利用公式算出半周长，再把以及三边与的差值代入海伦 - 秦九韶公式计算面积 ． 【详解】解： ∵ ，，， ∴ ． ∵ ，，，， ∴ ． 故选：A ． 8. 如图是一张矩形纸片ABCD，若将纸片沿DE折叠，使点C落在AD上，点C的对应点为点F，若AB=3cm，BC=8cm，则BE的长是（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质可知CE=EF=AB=3 cm.所以求得BE= 5cm. 【详解】解：∵EF是由EC折叠得到， ∴CE=EF,∠DFE=∠DCE=90 ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A=∠B=∠C=90, ∴∠A=∠B=∠DFE=90, ∴四边形ABEF为矩形， ∴CE=EF=AB=3cm, ∵BC=8cm， ∴BE=BC-CE=5 cm. 故选C. 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定以及折叠的性质，正确理解折叠的性质是解题的关键. 9. 如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段于点A，且长为1个单位长度.若以点C为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴的点是解题的关键．由勾股定理得，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得，在中，， ， 表示的实数为． 故选：A． 10. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形．如图所示，已知，正方形的边长是2，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，正方形的边长为2，则，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：正方形的边长为2，则， 设， ∵，， ∴，， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 12. 定义运算“☆”的运算法则为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意列式后利用二次根式的性质即可求得答案． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故答案为∶ ． 13. 点到原点的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中勾股定理的运用，根据点M的横纵坐标的绝对值与到原点的距离构成直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解∶ 点到原点的距离为， 故答案为∶ ． 14. 已知菱形的两条对角线长分别为3和4，则菱形的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为3和4， ∴菱形的面积为 故答案为：6 【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的面积通常有两种求法，可以用底乘以高，也可以用对角线乘积的一半求解，计算时要根据具体情况灵活运用． 15. 如图，在中，点D，E分别为，的中点，若，则的长度为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解∶∵点D，E分别为，的中点，， ∴， 故答案为∶2． 16. 如图，在中，，点D是的中点，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵点D是的中点， ∴． 17. 若，且a，b，c为的三边，则的面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理；根据非负数的性质求得，，，进而根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴的面积为， 故答案为：24． 18. 如图，在菱形中，，，E是边上的动点，P为对角线上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，连接交于点，利用轴对称性质得到即，利用垂线段最短得到当时，的值最小，即的值最小，证明为等边三角形，利用等边三角形性质和勾股定理得出，即可解题． 【详解】解：连接，连接交于点， 四边形为菱形， 垂直平分， ， ， 当时，根据垂线段最短，此时的值最小，即移动到处时，为的值最小， ，， ，， 为等边三角形， ，， ， 则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题、菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，垂线段最短，熟知菱形的性质及垂线段最短是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的性质，二次根式的加减法则计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质等计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解∶原式 20. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 21. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． （1）大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． （2）求图中阴影部分的周长． 【答案】（1）5， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，利用求算术平方根的方法解答即可． （2）根据周长的定义，二次根式的乘法，加减混合计算解答即可． 【小问1详解】 解：∵长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， 故答案为：5，． 【小问2详解】 解：根据题意，得阴影的周长为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，二次根式的化简，二次根式的乘法，二次根式的加减，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的解答，二次根式的运算是解题的关键． 22. 阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上．如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；． 这种化简的方法叫分母有理化．请将下列代数式分母有理化： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）把原式的分子分母同时乘以，再计算求解即可； （2）把原式的分子分母同时乘以，再计算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解； ． 23. 如图，小区有一块三角形空地，计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路、隔开，．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）求小路的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再利用勾股定理解答即可； （2）利用等面积法解答即可． 【小问1详解】 解：，，， ，， ， ， ， ， 答：的长为． 【小问2详解】 解：由（1）知： ， ，即， ∴ 答：小路的长为． 24. 如图，在平行四边形中，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）等角对等边，以及平行四边形的性质，得到，即可得证； （2）利用30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶ ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又， 在中，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴的长． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，利用平方根解方程等知识，熟练掌握矩形的判定方法，是解题的关键． 25. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先通过得到，得到四边形为平行四边形，再根据，即可求证； （2）由题意可得四边形的面积，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 由题意可得：， ， 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 26. 下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．） （1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ； （2）如图1，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变．求证：； （3）在（2）的条件下，连接，过点作，垂足为．设，当为何值时，四边形是平行四边形，并给予证明． 【答案】（1）AG=CE （2） 取AG=EC，连接EG． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠B=90°． ∵AG=CE， ∴BG=BE， ∴△BGE是等腰直角三角形， ∴∠BGE=∠BEG=45°， ∴∠AGE=135°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°． ∵CF是正方形ABCD外角的平分线， ∴∠DCF=45°， ∴∠ECF=90°+45°=135°． ∵AE⊥EF， ∴∠AEB+∠FEC=90°． ∵∠BAE+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∴△GAE≌△CEF， ∴AE=EF； （3） 当时，四边形PECF是平行四边形． 如图． 由（2）得，△GAE≌△CEF， ∴CF=EG． 设BC=x，则BE=kx， ∴，． ∵EP⊥AC， ∴△PEC是等腰直角三角形， ∴∠PEC=45°， ∴∠PEC+∠ECF=180°，． ∴ ， 当PE=CF时，四边形PECF是平行四边形， ∴， 解得． 【解析】 【分析】对于（1），根据点E是BC的中点，可得答案； 对于（2），取AG=EC，连接EG，说明△BGE是等腰直角三角形，再证明△GAE≌△CEF，可得答案； 对于（3），设BC=x，则BE=kx，则，，再利用等腰直角三角形的性质表示EP的长，利用平行四边形的判定得只要EP=FC，即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵E是BC的中点， ∴BE=CE． ∵点G是AB的中点， ∴BG=AG， ∴AG=CE． 故答案为：AG=CE； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】这是一道关于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定等知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $