精品解析：四川内江市第六中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

2025-2026学年度高一（下）期第一次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 命题人：刘凤 审题人：赵真、何永娟 一、单选题（各小题5分，共40分） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦的倍角公式，结合特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】由正弦的倍角公式，可得. 故选：B. 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形图象平移变换逐项求出解析式判断. 【详解】对于A，的图象向左平移个单位，得，A不是； 对于B，的图象向右平移个单位，得，B是； 对于C，的图象向左平移个单位，得，C不是； 对于D，的图象向左平移个单位，得，D不是. 故选：B 4. 已知是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由三点共线可得，由此可得构造方程组求得结果. 【详解】三点共线，可设， 即， ，解得：. 故选：. 5. 已知，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，则， 又， ， ， ， ． 6. 如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底法，即可求解. 【详解】解：,, , 故选：C 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，，则，，由余弦的和差公式可得：，， 展开得：， 两式相减得：，则：， 即：. 8. 已知向量、满足，，且与的夹角为．设为实数，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知且与不共线，结合平面向量数量积的运算性质以及平面向量共线的基本定理可求得实数的取值范围. 【详解】因为向量、满足，，且与的夹角为， 则，且与不共线， 因为向量与的夹角为锐角， 则， 即，即，解得， 若向量与共线，则存在，使得， 所以，整理得，解得， 故当向量与不共线时， 因为向量与的夹角为锐角， 故实数的取值范围是. 二、多选题（各小题6分，共18分） 9. 已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的数量积以及向量运算逐项验证即可求解. 【详解】由题意得，所以， 所以，故A错误； 由，所以，故B正确； 又， 所以，所以， ，故C错误； ， 当时，，所以的最小值为，故D正确. 10. 在忽略阻尼等因素的理想情况下，音叉的振动是典型的简谐振动，某音叉发出的纯音振动可以近似用三角函数表达，其位移（单位：）随时间（单位：）的变化可以用函数（）来描述，已知该音叉在时的位移为.下列选项正确的是（ ） A. B. 该音叉每秒钟往复振动880次 C. 该音叉离开平衡位置的最大距离为 D. 该音叉在时的位移为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用已知求得可判断A；求得最小正周期，可求频率，进而可判断B，求得离开平平衡位置的最大距离判断C；求得可判断D. 【详解】因为该音叉在时的位移为，所以， 所以，所以，因为，所以，故A正确； 所以，所以最小正周期为， 所以频率为，所以该音叉每秒钟往复振动440次，故B错误； 当时，，所以该音叉离开平衡位置的最大距离为，故C正确； 当时，， 该音叉在时的位移为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，，，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的最小正周期为 C. 函数的值域为 D. 函数的图象关于对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项A，由求出，利用二倍角的余弦公式整理，利用余弦函数的图像求出单调性即可得解；对于选项B，由求出 ，利用同角关系式和二倍角的正弦余弦公式整理得到，利用周期公式求解即可得解；对于选项C，由得到，利用立方和公式、同角关系式和二倍角的正弦余弦公式整理得到，利用余弦函数的图像求处值域即可得解；对于选项D，由求出，求出，从而得到，从而得解. 【详解】对于选项A，，， ，， 设，，在上是单调递增函数， 在上是单调递减函数， 在上是单调递减函数，故选项A正确； 对于选项B，， ， ，故选项B正确； 对于选项C，，， ， ，， ，，， 的值域为，故选项C正确； 对于选项D，，， ， ，的图象不关于对称，故选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题（各小题5分，共15分） 12. 若，则为 _______（填数字）. 【答案】 【解析】 【分析】将向量变形为，代入计算即可. 【详解】∵，，， 故答案为：． 13. 如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度___________来截. 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为，可得出正方形的边长为，根据已知条件可求得，结合可求得的值. 【详解】设正方形的边长为，则，，， 因为，即，则，可得， 又因为正方形的边长为， 由题意可得，整理可得，即， 因为，则，可得或，解得. 故答案为：. 14. 在中，若，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先得到均为锐角，，利用三角恒等变换，换元后，得到，，由基本不等式求出最小值. 【详解】，若，则，此时均为钝角，不合要求， 故，，即均为锐角，， ， 故 ， 令，因为，所以，， 则， 令，则， ， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 函数（，，）的部分图像如图所示. （1）当时，求的单调递增区间； （2）已知，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象，结合正弦函数的性质，可求函数的解析式，再求函数的单调区间即可. （2）根据同角三角函数的基本关系与两角和与差的余弦公式求值即可. 【小问1详解】 由图可得，， 所以，且，得，， 又因为，所以，所以. 又因为，， 解得，， 所以在上的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，所以， 即，所以. 所以. 16. 已知． （1）若，求； （2）若，的夹角为，求； （3）若，求与的夹角为． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据向量平行得到夹角，根据向量数量积的公式即可得； (2)根据向量模的求法及数量积计算可得； (3)根据向量垂直性质，及数量积可得夹角余弦值，进一步得到夹角. 【小问1详解】 若，则与的夹角为0或． 所以或． 【小问2详解】 因为 ， 所以． 【小问3详解】 若，则，即， 所以， 即，所以， 又，所以． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求在上的最大值和最小值； （3）若在上单调，求m的取值范围. 【答案】（1） （2）最大值为2，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式进行转化，求得函数的解析式，进而求得函数的周期； （2）利用（1）求得的函数解析式结合正弦型函数的性质即可求出最值； （3）根据在上单调，列出不等式，求解即可. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 因为，则， 当，即时，函数取到最大值； 　当，即时，函数取到最小值； 综上所述：在上的最大值为2，最小值为. 【小问3详解】 因为，则， 又在上单调，所以，则； 所以m的取值范围为. 18. 如图所示，已知梯形中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． （1）用，表示； （2）求的值； （3）若点G在线段上运动，设，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，用基底法表示向量； （2）用基底法表示向量，再利用平面向量基本定理构造方程组求出相关比例； （3）用基底法表示向量得出的表达式，进而结合对勾函数性质求值域． 【小问1详解】 ，，， ， E为线段BC的中点， ， ． 【小问2详解】 设，则，， ， 又共线， 存在一个实数，使得， ，两式相除可得，即． 【小问3详解】 设，； ，， ， ， ， ，解得， ，， 令， 函数在上单调递增，如下图所示： 当时，取最小值，最小值为1； 当时，取最大值，最大值为； ． 19. 某校徽风皖韵数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式证明（过程略）．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于大徽尖风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“大徽尖恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“大徽尖恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： （1）证明：； （2）解关于的方程：，其中； （3）证明：，其中，且． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由两角和的正弦公式证明即可； （2）根据（1）中的结论可得，结合已知等式列方程求解； （3）将待证式左边同乘后再利用积化和差公式即可证明. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， 即. 【小问2详解】 由（1）知， 即， 又， 所以所以， 所以或. 当时，解得， 又，所以或1，即或； 当时，无解. 综上，方程的解为或. 【小问3详解】 设， 则由积化和差公式得，，，， 将上面n个式子相加得 ， 所以. 又，且，所以，所以，所以，即原命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一（下）期第一次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 命题人：刘凤 审题人：赵真、何永娟 一、单选题（各小题5分，共40分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 已知是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 5. 已知，，则（   ） A. B. C. D. 6. 如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量、满足，，且与的夹角为．设为实数，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（各小题6分，共18分） 9. 已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 10. 在忽略阻尼等因素的理想情况下，音叉的振动是典型的简谐振动，某音叉发出的纯音振动可以近似用三角函数表达，其位移（单位：）随时间（单位：）的变化可以用函数（）来描述，已知该音叉在时的位移为.下列选项正确的是（ ） A. B. 该音叉每秒钟往复振动880次 C. 该音叉离开平衡位置的最大距离为 D. 该音叉在时的位移为 11. 已知函数，，，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的最小正周期为 C. 函数的值域为 D. 函数的图象关于对称 三、填空题（各小题5分，共15分） 12. 若，则为 _______（填数字）. 13. 如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度___________来截. 14. 在中，若，则的最小值为________. 四、解答题（共77分） 15. 函数（，，）的部分图像如图所示. （1）当时，求的单调递增区间； （2）已知，且，求的值. 16. 已知． （1）若，求； （2）若，的夹角为，求； （3）若，求与的夹角为． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求在上的最大值和最小值； （3）若在上单调，求m的取值范围. 18. 如图所示，已知梯形中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． （1）用，表示； （2）求的值； （3）若点G在线段上运动，设，求的取值范围． 19. 某校徽风皖韵数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式证明（过程略）．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于大徽尖风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“大徽尖恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“大徽尖恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： （1）证明：； （2）解关于的方程：，其中； （3）证明：，其中，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $