四川内江市第六中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

**基本信息** 高一（下）第一次月考数学试卷，以三角函数、平面向量为核心，通过音叉振动、正方形钢板截取等真实情境，及“大徽尖恒等式”探究题，培养数学眼光观察现实世界、数学思维推理创新的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数图像平移、向量共线|基础概念辨析，如向量共线求参数| |多选题|3/18|简谐振动模型、三角函数性质|音叉振动情境体现数学与物理融合| |填空题|3/15|三角求值、解三角形最值|正方形钢板截取问题考查几何直观| |解答题|5/77|三角函数图像性质、向量应用、恒等式证明|“大徽尖恒等式”推广题培养逻辑推理与创新意识|

2025-2026学年度高一（下）期第一次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 命题人：刘凤 审题人：赵真、何永娟 一、单选题（各小题5分，共40分） 1．（   ） A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．已知是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（   ） A． B． C．1 D．4 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知向量、满足，，且与的夹角为．设为实数，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（各小题6分，共18分） 9．已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最小值为 10．在忽略阻尼等因素的理想情况下，音叉的振动是典型的简谐振动，某音叉发出的纯音振动可以近似用三角函数表达，其位移（单位：）随时间（单位：）的变化可以用函数（）来描述，已知该音叉在时的位移为.下列选项正确的是（    ） A． B．该音叉每秒钟往复振动880次 C．该音叉离开平衡位置的最大距离为 D．该音叉在时的位移为 11．已知函数，，，则（    ） A．函数在上单调递减 B．函数的最小正周期为 C．函数的值域为 D．函数的图象关于对称 三、填空题（各小题5分，共15分） 12．若，则为_____（填数字）. 13． 如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，为使其面积是原正方形钢板面积的，应按角来截，则________. 14．在中，若，则的最小值为________. 四、解答题（共77分） 15．（13分）函数（，，）的部分图像如图所示. (1)当时，求的单调递增区间； (2)已知，且，求的值. 16．（15分）已知． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与的夹角为． 17．（15分）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在上的最大值和最小值； (3)若在上单调，求m的取值范围. 18．（17分）如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 19．（17分）某校徽风皖韵数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式证明（过程略）．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于大徽尖风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“大徽尖恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“大徽尖恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)证明：； (2)解关于的方程：，其中； (3)证明：，其中，且． (积化和差公式：). 2025-2026学年度高一（下）期第一次月考数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B B A D C D C BD ACD ABC 11．ABC【详解】对于选项A，，， ，，设，，在上是单调递增函数， 在上是单调递减函数，在上是单调递减函数，故选项A正确； 对于选项B，， ，，故选项B正确； 对于选项C，，， ，，， ，，，的值域为，故选项C正确； 对于选项D，，，，，的图象不关于对称，故选项D错误.故选：ABC. 12. 13. 14．【详解】，若，则，此时均为钝角， 不合要求，故，，即均为锐角，， ，故 ，令，因为，所以，， 则，令，则， ，其中，当且仅当，即时，等号成立，故.故答案为： 15．（1）由图可得，， 所以，且，得，， 又因为，所以，所以. ————3分 又因为，，解得，， 所以在上的单调递增区间为. ————7分 （2）因为，所以.因为，所以， 即，所以. ————10分 所以. ————13分 16．（1）若，则与的夹角为0或． 所以或．————5分 （2）因为， 所以． ————10分 （3）若，则，即，所以， 即，所以，又，所以．————15分 17．（1）， 所以的最小正周期.————5分 （2）因为，则， 当，即时，函数取到最大值； 当，即时，函数取到最小值； 综上所述：在上的最大值为2，最小值为.————10分 （3）因为，则， 又在上单调，所以，则； 所以m的取值范围为.————15分 18．（1）因为，，所以， ,————4分 因为E为线段BC的中点，所以，. （2）设，则，， ， 又共线，所以存在一个实数，使得， ，两式相除可得，即.————10分 （3）设,；,， ， 因为，所以，可得， 解得，所以， 由对勾函数的性质可得时，.————17分 19．（1）因为，， 所以 ， 即.————5分 （2）由（1）知， 即， 又， 所以所以， 所以或. 当时，解得， 又，所以或1，即或； 当时，无解. 综上，方程的解为或.————10分 （3）设， 则由积化和差公式得，，，， 将上面n个式子相加得 ， 所以. 又，且，所以，所以，所以，即原命题得证.————17分 试卷第1页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度高一（下）期第一次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 一、单选题（各小题5分，共40分） 1.AB+CE-CB=() A.AE B.BE C.-AE D.-BE =() 2.sin cos 88 A.② B.② c.v D.② 2 4 6 8 3.为了得到函数y=sin(2x 孕的图象。只需把函数y=m2+爱的图象() A.向左平移元个单位长度 B.向右平移T个单位长度 4 4 C.向左平移刀个单位长度 D.向右平移买个单位长度 2 2 4.已知，已是两个不共线的向量，AB=E-2E,BC=2E,+2,若A,B,C三点共线，则实数k的值为() A.-4 B.-1 C.1 D.4 5.已知0<2a<,cosa-气则dn(2a-到=() A.② B.V2 c.32 D.72 10 10 10 6.已知A8CD是边长为4的正方形，若丽-元，且P为5C的中点，则即=〈) A.3 B.4 C.5 D.6 7.己知cosa= 2W5 cos(a+2p)=- 2W5 ,则sin(a+B)sinB=() 5 25 A.=4V5 B.=6V5 c.4v5 D.6V5 25 25 25 25 8.已知向量a、6满足园=2，同-=3，且a与的夹角为120.设t为实数，若向量ta+2万与2a+tb的夹角为锐角， 则实数t的取值范围为() -13-133-13+133 3 B.0,13-13 ，3 s丽） 试卷第1页，共4页 二、多选题（各小题6分，共18分） 9.已知ā，五为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是() A.a+b=1 B.(a+b)1(a-) C.若c=2a+i,则cos<,a5 D.若co<da号，则日-d的最小值为写 10.在忽略阻尼等因素的理想情况下，音叉的振动是典型的简谐振动，某音叉发出的纯音振动可以近似用三角函数 表达，其位移x0（单位：am)随时间1（单位：s)的变化可以用函数x(④=si血(80t+p）(0<0<牙)来描述， 己知该音叉在t=,1s时的位移为}m.下列选项正确的是（) 110 4 A.p= 6 B.该音叉每秒钟往复振动880次 C.该音叉离开平衡位置的最大距离为，cm D.该音叉在1=17608时的位移为5mn 1 11.已知函数f(x)=cos2x-sin2x,8(x)=cos2*x+sin2*x,k∈N,则() A.函数()在引 上单调递减 B.函数g:()的最小正周期为号 C.函数g(x)的值域为 D.函数f(x)的图象关于x=亚对称 4 三、填空题（各小题5分，共15分） 12.若AB=2BC,则为AC=_CB(填数字). 3.如图所示，有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板 EFGH(AH>AE),为使其面积是原正方形钢板面积的二，应按角x来截，则x= 14.在△ABC中，若tanB= cosA ,则tanA+2tanB的最小值为 1+sinA 试卷第2页，共4页 四、解答题（共77分） 15.(13分)函数f(r)=Asi血(ar+9)(A>0,o>0,网<)的部分图像如图所示. 「-，时，求f(x)的单调递增区间： a当xe22 a泥知0(0到且o)=子求cos20的道 16.(15分)己知同=1，=2， (1)若a/i,求ab: (2)若a,b的夹角为60°，求a+: 3)若(2ā-b)1i,求ā与6的夹角为日. 17.15分)已知函数f=m[2+写)ca2x- (1)求f(x)的最小正周期： (②求f(在Q上的最大值和最小值： (3)若f(x)在[-m,m]上单调，求m的取值范围. 试卷第3页，共4页 18.(17分)如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD,E为线段BC 的中点，且线段BD与AE的交点为F,设AB=a,AD=b. (1)用，b表示A正： (2)求BF:FD的值； (3)若点G在线段CD上运动，设AC=1DB+AG,求+二的取值范围. 19.（17分)某校徽风皖韵数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： c0s0°+c0s120°+c0s240°=0， c0s30°+c0s150°+c0s270°=0， c0s45°+c0s165°+c0s285°=0， 据此规律提出猜想：c0s0+cos(8+120°)+cos(0+240°)=0，并用两角和与差的余弦公式证明（过程略）.当0、 日+120°、日+240°有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于大徽尖风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小 组的同学称这个恒等式为“大徽尖恒等式”.同时，小组同学也提出疑问：对于更多叶片”的“风力发电机”，这样的“大 徽尖恒等式的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)证明：sin6+sin(0+120)+sin(0+240)=0: (2)解关于8的方程：sin(0+40)+sin(220°-8)+sin(0-80)=0,其中0°≤6≤360°： 6明：0o:o0t月1e0,20-0,共中nN,且a2 (积化和差公式：sincosB=[sin(a+月+si血(a-)]) 试卷第4页，共4页 2025-2026学年度高一（下）期第一次月考数学试卷参考答案 题号 1 2 5 7 8 10 父 答案 B B A D C D BD ACD ABC 11.ABC【详解】对于选项A,'f.(x)=cos2x-sin2x,f()=cos2x-sin2x=cos2.x, r∈0， 上是单调递增函数， 2 ,2x∈0，，设t=2x,te[0,,t=2x在0， y=c0st在[0，刊上是单调造减函数，f()-c0s2x在0 上是单调递减函数，故选项A正确： 对于选项B,:g(x)=cos2x+sin2x, g.()=cosx+mx=(cosx+sm刘-2snxcosx=1-4smxcos2x) =1分2mco-1号n2x=10-cs4)=o4+子T平故选项B正确， 4 42 对于选项C,g(y)=cos2x+sin2x,∴g,(x)=cos5x+sinx, ..g(x)=(cos2x)+(sinx)=(cosx+sin2x)(cos'x-sin'x cos2x+sin'x) cos x-sin2 x cos2x+sinx=(cos x+sinx)-sin2 x cos2x (cosx+sin2x)-2sin2 x cos'x-sin2 xcos2x =1-3sin2xcos2x=1-子（4sin2xcos2x刘=1-(2 2sin.xcos.x)月 1子m21-0-eo4创)-c4-:15w41,香n 4 88 P 后o0音后+后后ow+后1，片l,g6的城为 3+s3c 8 4 故选项C正确； 对于选项D,“f(x)=cos2x-sin2x,f(y)=cos8x-sm8x, 任o仔小m任小ma,任上6，正的图象不关于-对称，故 41 选项D错误故选：ABC 12.-3 13.豆 14.V5【详解】tanB=,cosA ,若cosA<0,则tanB<0,此时A,B均为钝角， 1+sinA 不合要求，故cosA>0,tanB>0,即A,B均为锐角，tanA+2tanB>0, cos24 sin'4 A 、A) A cos--sin- cos-+sin cos4 2 2 2 2八2 2 tanB= 1+sinA cos4+2sin 4 cos4 AA A .4 2 22 +sin2 4 2 sin +co 2 2 A A cos--sin- 22 1-ta02 1-tan4 +2-m号 2tan 2 A A A 故tanA+2tanB= +2 COS +s1n 1+tan 2 1-tan:4 1+ta2 1-tan2 4 试卷第5页，共4页 2tan'4-2tan 4+2 2◆m子4，因为4eo到 2 2 2 则m4+3m=2-2+2.(-22+4-2-22,令M=1-2(-2-,则1-u+2. 1-t2 1-t2 1-t2 tanA+2tanB=_ -2u 2=24,2=22 3 1-(u+2)2 -2-4l-3 一43+4其中u+320=28,当且仅当0宁 3 u 即u=V5时，等号成立，故a4+2iamB= 2-222 3 M+二+4 -2V3+4 2=5故答案为：5 150由图可得42，了=4B+君引， 所以0=2，且吾x2+9=2+子keZ得9=2*行，kez。 又因为制号所以9子所以了)=2am*引 一一一3分 又因为-+2m≤2x++2m,keZ,解得-征+hm≤xs5+m,k∈Z, 32 12 12 所以=2+在引L的单消间为沿 --一7分 即20+∈ 所以c2a-引-2 一-10分 5 所以m9m9引月25》46 10 .-一--13分 16.(1)若a∥6，则a与的夹角为0或π 所以a.b=5cos0=1xV5x1=5或ā.b=bcos元=-2.----5分 (2)因为a+=a+2a-6+2=+25cs60°+5-1+2x1xx+2=3+5, 所以a+=V3+2.----10分 (3)若(2a-b)16,则(2a-b)6=0,即2ā.6-万2=0，所以2d5c0s6-|=0, 即2×5co0-2-0,所以cos0=5,又0≤0≤云，所以0-年 一一一一15分 1.-m+引+到升m(2x+m-2a+产 所以(x)的最小正周期T= 2- -5分 2 试卷第6页，共4页 33'3 当2x+号子，即x=行时，函数(e取到最大值2加子2： 32 2 当2x+π=4n 写罗，即x=登时，函数f()取到最小值2sm红-V5, 3 综所述：了)在[D习的最大值为2，最小他为 .一-一-10分 3)因为x则，则2x-骨c[昏2m子2m: 又（在-m网上单调，所以-子2m<弩+2m≤受则0< 23 3 12 所以m的取植范国为Q -一一15分 18.(1)因为AB∥CD,AB=2CD,所以DC=AB=1a a, 2 2 BC-B丽+AD+D心-i+6+a=万-)a,-一4分 因为s为线段c的中点，所以丽=号c:+,服=丽-丽=a+(a+5 (a陵=Pn,则Bf名0，励-而-孤6-a, k6, 不-丽-丽a6-+ 又正示其线所以行在一个实数，住相含9名5-得a时列 气4“ 〔132 k+14 k 两式相除可得k-号即BF:D=2:3.-一一10分 k+12 （3)设G=c,e0:4c-而+c-b+,ni-=A5-AD-a-万， 1→ AG=AD+DG=b+xa, 2 风元--而，mu5-4g-6r号可a以号w- [-1=1 解得u 3,2=31,所以+13，++21， x+2 x+2 4x+23 安藏性摄可得®四小，及 一-17分 19.(1)因为sin(8+120)=sin0cos120°+cos0sin120°， sin(0+240)=sinθcos240°+cosθsin240°=sin0cos120°-cosθsin120°， 所以sin8+sin(θ+120)+sin(8+240)=sinθ+(sin0cos120°+cos8sin120°)+(sin0cos120°-cos0sin120) =sin6+2sin8cosl20°=sin6+2sin6× 1 2 =sin0-sin=0, 试卷第7页，共4页 即sim0+sin(0+120)+sin(0+240)=0.----5分 (2)由(1)知sin(0-80)+sin(0-80°+120)+sin(0-80°+240)=0， 即sin(0-80)+sin(0+40°)+sin(0+160)=0, 又sin(8+40)+sim(220°-θ)+sin(0-80)=0, 所以sin(0-80)+sin(0+40)+sin(8+160)=sin(0+40)+sin(220°-8)+si(0-80°)，所以 sin(8+160)=sin(220°-8)， 所以8+160°=220°-日+k.360°(k∈Z)或6+160°+(220°-8)=180°+k.360°(k∈Z) 当0+160°=220°-0+k.360°(k∈Z)时，解得0=30°+k.180°(k∈Z, 又0°≤0≤360°，所以k=0或1，即0=30°或210°： 当8+160°+(220°-0)=180°+k.360(k∈Z)时，k无解. 综上，方程的解为0=30°或210°.一一一一10分 (3)设S=c0s0+c0s0+2 n /+cosa+4n n +.+cog6,201-10m n 毫形￥甲0z9b.”s元++(p日o·ns乙+(Z0o0·ms乙+sosZ=Ss乙f n n n n n 式得2sim亚cos=sim0+sim9-, n n 十 n n n nn 2sim亚cosg+细）=simg+5m）-simg3, (n n) n' n n nn （n 将上面n个式子相加得 2csco+2sincossin cos2-1 n =sim0-r+2元-sima）=0, 、nn 所以2sin亚s=0. 又neN,且≥2，所以亚e0,。 分T2所以$n>0,所以S=0,即原命题得证一一7分 n 试卷第8页，共4页