第11讲 矩形（知识详解+13典例分析+习题巩固）2025-2026学年浙教版八年级数学下册同步讲义与测试

第11讲 矩形（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】矩形的定义及性质 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 两个条件缺一不可 示例 平行四边形与矩形的关系 2.矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它除具有一般平行四边形的性质外，还具有一些特殊的性质，总结如下表： 文字语言 符号语言 图示 角 定理1：矩形的四个角都是直角。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形，所以∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐷𝐶=90∘。  对角线 定理2：矩形的对角线相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形，所以𝐴𝐶=𝐵𝐷 。 对称性 轴对称图形 至少有两条对称轴：过每组对边中点的直线。 直线𝑚,𝑛是矩形𝐴𝐵𝐶𝐷 的两条对称轴。 敲黑板 矩形的其他性质 （1）矩形的任意一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形,如上表中图示：Rt△ADC≌Rt△CBA，Rt△ADB≌Rt△CBD 。 （2）矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等，如上表中图示： △AOB≌△DOC，△AOD≌△BOC 。 【知识点02】矩形的判定 判定方法 符号语言 图示 角 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，因为∠𝐴𝐵𝐶=90°，所以▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形。 判定定理1 三个角是直角的四边形是矩形。 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，因为∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=90°,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形。 对角线 判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形。 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，因为𝐴𝐶=𝐵𝐷 ,所以▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形。 【题型一】矩形性质理解 例1．关于矩形性质，下列说法不正确的是（　　） A．四个角都是直角 B．既是轴对称图形，也是中心对称图形 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 变式1．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，，，一发光电子开始位于边的P处，并规定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，现将发光电子沿方向发射，每次反射的反射角和入射角都等于，若发光电子与矩形的边经过次碰撞后，它与边的碰撞次数为________________．    变式2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图的网格中，每个小正方形的边长均为．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画的最后结果中的线用实线表示）． (1)请在图中画出线段的中点． (2)请把图中的四边形改成一个以为底边，面积不变的梯形． 【题型二】利用矩形的性质求角度 例2．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）如图，延长矩形的边至点，使，连结，若，则____．    变式2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在矩形中，是边上的一点，且，，求的度数． 【题型三】根据矩形的性质求线段长 例3．（24-25八年级下·浙江台州·月考）如图，两对全等的直角三角形拼成矩形，中空的部分是矩形，连结，若点M是的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·浙江金华·月考）如图，在矩形中，，E为的中点，点F为上一点，当时，则的长度为_______________． 变式2．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在矩形中，，，对角线相交于点P，过点P可以很容易把矩形的面积分成相等的四部分．请聪明的你想一想，你能画出过点P的三条线段把矩形的面积分成面积相等的三部分吗？请在下图中表示出来，具体的位置请把长度标在图上（请画出两种不同的分法）． 【题型四】根据矩形的性质求面积 例4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）在一块矩形铁皮上裁去一个小矩形得到了如图所示的直角铁皮．用一条直线将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 变式1．（24-25八年级下·浙江·月考）如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为___________． 变式2．（23-24八年级下·浙江·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连结． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的面积． 【题型五】利用矩形的性质证明 例5．（2025·浙江衢州·一模）如图，在矩形中，点E是对角线上一点，过点E作分别交于F，于G，连结，．记的面积为s，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，，点P在上，不与点C，点D重合，连接，，为直角三角形，当满足条件的P点有且只有一个时，___________．    变式2．（2024八年级下·浙江温州·期末）如图，24个全等的正三角形组成的正六边形网格，正三角形的顶点称为格点． （1）在图1中画出以AB为对角线的格点矩形APBQ（顶点均在格点上）． （2）如图2，已知点C，D，E，F，M均在格点上，请在网格中（包含边界）找一个格点N，连结MN，使得直线MN平分四边形CDEF的面积． 【题型六】求矩形在坐标系中的坐标 例6．（22-23八年级·浙江·期末）如图，在矩形中，．若正比例函数的图象经过点C，则k的值为（    ） A．3 B． C． D． 变式1．（2023八年级下·浙江·期中）如图，矩形中，若的坐标为，则________． 变式2．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，点C为线段的中点． (1)求点B的坐标； (2)点P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数解析式； (3)当点P在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型七】矩形与折叠问题 例7．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形纸片中，点为上一点，关于折叠得到，点落于线段上；为上一点，关于折叠得到，点落于线段上，连接．设的面积为，的面积为，则下列哪个选项中的代数式数值是固定值（      ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形纸片中，已知是边上的一点，沿折叠纸片，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为_________． 变式2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，已知矩形纸片，，，点在上，且．将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交边于点，连结． (1)求证：． (2)若，，求与的长． (3)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出，之间应满足的数量关系． 【题型八】证明四边形是矩形 例8．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．两点之间，线段最短 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点确定一条直线 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，在矩形中，，点为对角线的中点，为线段上一点，连结，并延长交于点，将四边形沿折叠，、对应点分别为、，与交于点．设长为，长为，则_______． 变式2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，E，F为对角线上的两点（点E在点F的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，下列条件能判定四边形为矩形的是__________（多选）． A． B． C． D． (3)当时，且，，求B，D两点之间的距离． 【题型九】矩形的判定定理理解 例9．（24-25八年级下·浙江·月考）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．这种检测方法用到的数学依据是（　　） A．两条对角线互相平分的平行四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线平分每组对角的平行四边形是矩形 变式1．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是_____________________． 变式2．已知：如图，在中，为边上一点，以为邻边作平行四边形，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）当点在什么位置时，四边形是矩形，请说明理由． 【题型十】添一条件使四边形是矩形 例10．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，增加下列一个条件可以使平行四边形成为矩形的是(    ) A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是_________．(只要写出一个条件即可) 变式2．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，点O是的中点．请你添加一个条件(不另加辅助线)使四边形成为矩形． (1)添加的条件是_______； (2)请给出证明过程． ________________________________ 【题型十一】根据矩形的性质与判定求角度 例11．如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·浙江·单元测试）已知：如图，中，点为中点，．求证：．（请用两种不同的方法完成证明） 【题型十二】根据矩形的性质与判定求线段长 例12．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）如图所示，是矩形内一点，已知，，，则的值为（     ） A． B．8 C． D．9 例13．（2023八年级下·浙江杭州·竞赛）在矩形中，为线段上一动点，于点于点Q，则线段的最小值为_______． 变式1．如图，在矩形ABCD中，，点P在BC上，且，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则_______． 变式2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，，连结，，已知，，． (1)请问点C什么位置时的值最小？最小值为多少？ (2)设，则可表示为，请直接写出的最小值为______． 【题型十三】根据矩形的性质与判定求面积 例14．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 变式1．（2023·浙江台州·中考真题）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为______． 变式2．（2024八年级下·浙江台州·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点、均在格点上，仅用无刻度的直尺完成画图，请按步骤完成下列问题． （1）______； （2）在格点上找到点，，连接，，，使四边形是长与宽之比为2∶1的矩形； （3）在格点上找一点，连接，使得过的直线平分矩形的面积． 一、单选题 1．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（　　） A．矩形的对角线相等 B．矩形的四个角是直角 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 2．下列不属于矩形的性质是（    ） A．两组对边分别平行 B．四个角都相等 C．每一条对角线平分一组内角 D．两条对角线相等 3．如图，在中，，平分，点E在上，的两直角边、分别交、于点M、N，且，若，，则重叠部分四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，、为折痕，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，是点一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，垂直平分，交于点E，交于点F，连接．若，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 7．如图，矩形的两条对角线、相交于点，，．则矩形的面积为（   ） A． B． C．9 D．18 8．如图，在矩形中，对角线与交于点，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，交于点，②分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 二、填空题 9．在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的长度为______． 10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=8，BC=6，则OD的长为___________． 11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），M是OA的中点，点P在BC边上运动．当PO=PM时，点P的坐标为______． 12．将矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A、C重合，折痕所在直线交射线AB于点E，如果AB＝3，BE＝1，那么BC的长是______． 13．如图，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，使直线两侧的部分能够完全重合，点在边上，且，在直线上有一个动点，连接，则周长的最小值是______．    14．如图，在矩形中，，点E、F分别在边上，若，将矩形面积分成相等的两份，则的值为 _____．    15．俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是_________． 三、解答题 16．如图，点E为长方形边延长线上一点，交于G，点F是上一点，并且，．求证：． 17．如图，8个全等的小矩形拼成一个大矩形，若大矩形的周长为40，则大矩形的面积是多少？ 18．在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，如何用直尺和圆规解决把矩形的一角沿着过点的直线折叠得到折叠，使得的顶点在边上，顶点在边上，点是点的对应点．他的思路是：首先以为圆心长为半径画弧交边于点，连接，再作的角平分线交于点，连接，然后用全等三角形的知识使问题得到解决． (1)请根据小明的思路完成下面的作图（保留作图痕迹，不写结论）． (2)证明： 在和中， 以为圆心长为半径画弧交边于点 ____________① 平分 ∴____________② 又____________③ ∴____________④． ∴是符合要求的折叠三角形． 19．如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 20．如图，矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，点A（6，0）、C（0，2）分别在坐标轴上，直线l的解析式为y＝﹣x． （1）求矩形OABC对角线交点M的坐标； （2）直线l以每秒1个单位的速度向右平移，平移到经过顶点B停止． ①求直线l经过点B时的函数关系式，作出它的图象，并指出当x取何值时，y＜0； ②设直线l在平移过程中扫过矩形OABC的面积为y，l平移的时间为x，求y与x的函数关系式． 21．在矩形中，分别在边上，且，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着运动，到达D点停止运动，设P点运动时间为x秒，的面积为y，回答下列问题： (1)请直接写出y与x的函数表达式以及对应的x的取值范围； (2)请在平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出一条该函数的性质；    (3)结合图像，直接写出当时的x的取值范围．（保留1位小数，误差不超过） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 矩形（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】矩形的定义及性质 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 两个条件缺一不可 示例 平行四边形与矩形的关系 2.矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它除具有一般平行四边形的性质外，还具有一些特殊的性质，总结如下表： 文字语言 符号语言 图示 角 定理1：矩形的四个角都是直角。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形，所以∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐷𝐶=90∘。  对角线 定理2：矩形的对角线相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形，所以𝐴𝐶=𝐵𝐷 。 对称性 轴对称图形 至少有两条对称轴：过每组对边中点的直线。 直线𝑚,𝑛是矩形𝐴𝐵𝐶𝐷 的两条对称轴。 敲黑板 矩形的其他性质 （1）矩形的任意一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形,如上表中图示：Rt△ADC≌Rt△CBA，Rt△ADB≌Rt△CBD 。 （2）矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等，如上表中图示： △AOB≌△DOC，△AOD≌△BOC 。 【知识点02】矩形的判定 判定方法 符号语言 图示 角 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，因为∠𝐴𝐵𝐶=90°，所以▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形。 判定定理1 三个角是直角的四边形是矩形。 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，因为∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=90°,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形。 对角线 判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形。 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，因为𝐴𝐶=𝐵𝐷 ,所以▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形。 【题型一】矩形性质理解 例1．关于矩形性质，下列说法不正确的是（　　） A．四个角都是直角 B．既是轴对称图形，也是中心对称图形 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 【答案】C 【知识点】矩形性质理解 【分析】根据矩形的性质得出A、B、D正确，C不正确，即可得出结果． 【详解】解：∵矩形的四个角都是直角， ∴A选项正确，不符合题意； ∵矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形， ∴B选项正确，不符合题意； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴C选项不正确，符合题意；D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 变式1．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，，，一发光电子开始位于边的P处，并规定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，现将发光电子沿方向发射，每次反射的反射角和入射角都等于，若发光电子与矩形的边经过次碰撞后，它与边的碰撞次数为________________．    【答案】 【知识点】矩形性质理解、点坐标规律探索 【分析】根据题意得，每6次反弹为一个循环依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环与边的碰撞有2次，则，可得发光电子与矩形的边经过次碰到矩形边时为第个循环组的第1次反弹，即可得． 【详解】解：如图所示，    根据题意得，每6次反弹为一个循环依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环与边的碰撞有2次， ∵， ∴发光电子与矩形的边经过次碰到矩形边时为第个循环组的第1次反弹， ∴它与边的碰撞次数为：（次）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，点的坐标的规律，解题的关键是能够根据题意和所给图形得出每6次反弹为一个循环依次循环． 变式2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图的网格中，每个小正方形的边长均为．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画的最后结果中的线用实线表示）． (1)请在图中画出线段的中点． (2)请把图中的四边形改成一个以为底边，面积不变的梯形． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析．（答案不唯一） 【知识点】矩形性质理解 【分析】（）取格点，连接，与相交于点，由矩形的性质可得点为的中点； （）利用割补法可得，利用矩形的性质取点，再取格点，可得，根据梯形的面积计算公式解得，即四边形即为所求； 本题考查了矩形的性质，梯形的面积，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求． 【题型二】利用矩形的性质求角度 例2．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用矩形的性质求角度、等边对等角 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质可得，由等边对等角可得，利用三角形外角性质可得，结合，即可求出. 【详解】解： 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 变式1．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）如图，延长矩形的边至点，使，连结，若，则____．    【答案】/30度 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角与内角关系，解题关键是添加辅助线构造等腰三角形，掌握矩形对角线互相平分且相等，对边平行等性质．如图，连接，根据矩形对角线互相平分且相等，对边分别平行，得，，，根据“等边对等角”及平行线的性质得，已知，根据等量代换得，然后根据“等边对等角”，即可得，再根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”，得，求解即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点，   四边形是矩形， ，，， ，则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在矩形中，是边上的一点，且，，求的度数． 【答案】 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了矩形和等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据矩形和等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：在矩形中，, ∴, ∵， ∴， ∴， 【题型三】根据矩形的性质求线段长 例3．（24-25八年级下·浙江台州·月考）如图，两对全等的直角三角形拼成矩形，中空的部分是矩形，连结，若点M是的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据全等三角形的性质得，证明和全等得，继而可得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：，， ， 四边形是矩形， ，，， ，， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得： ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 即的长为 故选： 变式1．（22-23八年级下·浙江金华·月考）如图，在矩形中，，E为的中点，点F为上一点，当时，则的长度为_______________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】过点E作于点G，连接，根据矩形的性质得到，即、和都是直角三角形，证明，得到，证明，得到，设长为，根据勾股定理求出，即可求出的长度． 【详解】解：过点E作于点G，连接， ∵矩形， ∴， ∴、和都是直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设长为， 则， 在中，根据勾股定理得：，即， ∴， ∴． 变式2．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在矩形中，，，对角线相交于点P，过点P可以很容易把矩形的面积分成相等的四部分．请聪明的你想一想，你能画出过点P的三条线段把矩形的面积分成面积相等的三部分吗？请在下图中表示出来，具体的位置请把长度标在图上（请画出两种不同的分法）． 【答案】见解析 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查作图复杂作图，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据矩形面积和梯形面积即可画出图形． 【详解】解：如图，取，的中点，即为所求作的图形． 矩形面积的三分之一为， 的中点，， ， ，， 梯形和梯形的面积为， 五边形的面积为； 如图，取，的中点，即为所求作的图形． 的中点，， ， ，， 梯形和梯形的面积为， 五边形的面积为； 【题型四】根据矩形的性质求面积 例4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）在一块矩形铁皮上裁去一个小矩形得到了如图所示的直角铁皮．用一条直线将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形的性质，掌握矩形是中心对称图形是解题的关键． 根据矩形的性质分析即可． 【详解】解：如图，补全原图为两个矩形， ∵矩形是中心对称图形，分别是大小两个矩形的对称中心， ∴当直线经过时，必定平分该该直角铁皮的面积， 设交左边长方形的边于点F，交右边长方形的边于点E，的中点为O，N，G为右边长方形的顶点， 当这条直线绕点O旋转时，直线只要经过内部，均平分直角铁皮的面积； 因此还能存在无数条直线将该直角铁皮分成面积相等的两部分， 故选：D． 变式1．（24-25八年级下·浙江·月考）如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为___________． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．由，，得出，求出，再利用矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·浙江·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连结． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由矩形的性质得出AB=CD，AB∥CD，证明△ABE≌△CDF（AAS），由全等三角形的性质得出AE=CF，由平行四边形的判定可得出结论； （2）由直角三角形的性质得出OE，AE的长，则可求出三角形AEO的面积，则可得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF，∠AEB=∠DFC=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABE=∠FDC， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE=CF， ∴四边形AECF为平行四边形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC=2， ∵∠AOB=60°， ∴∠OAE=30°， ∴OE=1，AE=， ∴S△AEO=AE•OE=， ∴四边形AFCE的面积为4S△AEO=． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟记各性质与平行四边形的判定是解题的关键． 【题型五】利用矩形的性质证明 例5．（2025·浙江衢州·一模）如图，在矩形中，点E是对角线上一点，过点E作分别交于F，于G，连结，．记的面积为s，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明 【分析】此题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键．作于M，作于N，根据证明得，然后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：作于M，作于N， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积为． 故选B． 变式1．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，，点P在上，不与点C，点D重合，连接，，为直角三角形，当满足条件的P点有且只有一个时，___________．    【答案】4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质证明 【分析】当为等腰直角三角形时，即时，使为直角三角形的P点只有一个，然后证明与是等腰直角三角形即可求解． 【详解】当为等腰直角三角形时， 即时，使为直角三角形的P点只有一个， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴与是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ 即时，使为直角三角形的P点只有一个． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． 变式2．（2024八年级下·浙江温州·期末）如图，24个全等的正三角形组成的正六边形网格，正三角形的顶点称为格点． （1）在图1中画出以AB为对角线的格点矩形APBQ（顶点均在格点上）． （2）如图2，已知点C，D，E，F，M均在格点上，请在网格中（包含边界）找一个格点N，连结MN，使得直线MN平分四边形CDEF的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】利用矩形的性质证明 【分析】（1）根据矩形的性质作出图形即可； （2）根据中心对称图形的性质作出图形即可． 【详解】（1）四边形即为所求作矩形，答案不唯一； （2）点即为所求，答案不唯一； 【点睛】本题考查了作图-应用与设计，矩形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题． 【题型六】求矩形在坐标系中的坐标 例6．（22-23八年级·浙江·期末）如图，在矩形中，．若正比例函数的图象经过点C，则k的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标、正比例函数的图象 【分析】先根据矩形的性质求出点的坐标，再利将其代入正比例函数的解析式即可得． 【详解】解：在矩形中，， ， ， 将点代入正比例函数得：， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正比例函数，正确求出点的坐标是解题关键． 变式1．（2023八年级下·浙江·期中）如图，矩形中，若的坐标为，则________． 【答案】 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标、用勾股定理解三角形 【分析】连接OB，过B作BM⊥x轴于M，根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC=OB，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接OB，过B作BM⊥x轴于M． ∵点的坐标是， ∴，，由勾股定理得：， ∵四边形OABC是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出AC=OB是解此题的关键． 变式2．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，点C为线段的中点． (1)求点B的坐标； (2)点P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数解析式； (3)当点P在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【知识点】一次函数与几何综合、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】（1）把点A的坐标代入解析式可得n的值，进而可求解点B坐标； （2）由中点公式得点，则有直线的表达式为：，设点，则点，然后根据题意分类讨论进行求解即可； （3）设，点，而点、的坐标分别为、；由题意可分当是矩形的边时，当是矩形的对角线时，然后结合两点距离公式及中点坐标公式可进行求解． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴， 故直线的表达式为：， 令，则， ∴点； （2）解：点为线段的中点， 则由中点公式得，点，即， 设直线的表达式为：，则有：， ∴， 则直线的表达式为：， 设点，则点， 当点在轴右侧，且在点右侧时， ； 当点在轴右侧，且在点左侧时， ； 当点在轴左侧时， 同理可得：；故或； （3）解：设，点，而点、的坐标分别为、； ①当是矩形的边时， 则点与点A重合，故点，故点； ②当是矩形的对角线时， 由中点公式得：且①， 由矩形的对角线相等得：，即②， 联立①②并解得：， 故点，； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及一次函数与几何的综合，熟练掌握中点坐标公式及一次函数的图象与性质是解题的关键． 【题型七】矩形与折叠问题 例7．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形纸片中，点为上一点，关于折叠得到，点落于线段上；为上一点，关于折叠得到，点落于线段上，连接．设的面积为，的面积为，则下列哪个选项中的代数式数值是固定值（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，设，由题意可得，根据矩形性质表示出的长度，从而得到，分别在中，中，中利用勾股定理得到x，y，表示出，得到，两边同时除以得即可求出结果． 【详解】解：设， 由题意可得， 在矩形中， 在中 ， ， 在中， 在中， ， ，， ， ， ，两边同时除以得， 故选：B． 变式1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形纸片中，已知是边上的一点，沿折叠纸片，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为_________． 【答案】或10 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】当为直角三角形时，有两种情况：当点落在矩形内部时，连接AC，根据勾股定理得出 ，当为直角三角形时，只能得到，此时点 共线，然后设，根据勾股定理得列出方程，求出解；当点落在边上时，此时为正方形，直接得出答案． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部时，如图． 连接， 在Rt中，， ， 沿折叠，使点B落在点处， ， 当为直角三角形时，只能得到， 点 共线， ， ， 设，则， 在Rt中， ， 解得．     ②当点落在边上时，如图： 此时为正方形． ． 故答案为：或10． 变式2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，已知矩形纸片，，，点在上，且．将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交边于点，连结． (1)求证：． (2)若，，求与的长． (3)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出，之间应满足的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、用HL证全等（HL） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，解决本题关键证明利用勾股定理构建方程． （1）先证明，便可证明得结论； （2）过点E作于点M，则四边形是矩形，得出，求出，根据矩形的性质和勾股定理即可求出折痕的长； （3）分两种情况讨论：当时，过点E作于点M，连接，当时，连接，交于点O，如图所示，分别利用勾股定理依次进行解答即可． 【详解】（1）证明： ∵四边形是矩形，， ∴， 由折叠知，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：，， 如图，过点E作于点M， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， ∴, ∴折痕的长为； （3）解：是以为腰的等腰三角形时，分两种情况： 当时，过点E作于点M，连接，如图所示， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得； 当时，连接，交于点O，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴， 在中，， ∴， 解得； 综上所述：当为等腰三角形时，或. 【题型八】证明四边形是矩形 例8．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．两点之间，线段最短 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点确定一条直线 【答案】C 【知识点】证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：C ． 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，在矩形中，，点为对角线的中点，为线段上一点，连结，并延长交于点，将四边形沿折叠，、对应点分别为、，与交于点．设长为，长为，则_______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是矩形 【分析】本题考查的是矩形性质、折叠性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键，作于点H，先证明，求出，，再结合折叠性质，由勾股定理得出，进而求出结论． 【详解】解：作于点H， 在矩形中，， ， 长为，长为， ， 点为中点， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 由折叠，， ， 在中，， ， 整理，得：， ， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，E，F为对角线上的两点（点E在点F的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，下列条件能判定四边形为矩形的是__________（多选）． A． B． C． D． (3)当时，且，，求B，D两点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)AC (3) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，结合得到，即可根据对角线互相平分得证四边形是平行四边形； （2）根据矩形的判定方法逐项判断即可； （3）根据勾股定理求出，再由平行四边形的性质得到，，进而求出，从而，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：A、∵， ∴， ∴为矩形， 故选项A能判定四边形为矩形． B、∵， ∴为菱形， 故选项B不能判定四边形为矩形． C、∵， ∴为矩形， 故选项C能判定四边形为矩形． D、∵， ∴为菱形， 故选项D不能判定四边形为矩形． （3）解：∵，，， ∴在中，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴B，D两点之间的距离为． 【题型九】矩形的判定定理理解 例9．（24-25八年级下·浙江·月考）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．这种检测方法用到的数学依据是（　　） A．两条对角线互相平分的平行四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线平分每组对角的平行四边形是矩形 【答案】B 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形可作出选择． 【详解】解：需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断是矩形的理论依据是对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：B． 变式1．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是_____________________． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定方法是解题的关键． 先明确平行四边形的性质，再根据对角线相等的平行四边形是矩形这一判定定理，判断该平行四边形是否为矩形，从而得出侧边与上下底垂直的结论． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 若对角线， 则平行四边形是矩形， 其数学依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 变式2．已知：如图，在中，为边上一点，以为邻边作平行四边形，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）当点在什么位置时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及平行四边形的性质可以证得∠1=∠2； （2）根据平行四边形的性质与AB=AC证得AC=ED，根据全等三角形的判定定理即可证得结论； （3）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC=DE推出即可． 【详解】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠2， 又∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AB∥DE， ∴∠B=∠1， ∴∠1=∠2； （2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=ED， ∵AB=AC， ∴AC=ED， 在△ADC和△ECD中， ， ∴△ADC≌△ECD（SAS）； （3）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下： ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE=BD，AE∥BC， ∵D为边长BC的中点， ∴BD=CD， ∴AE=CD，AE∥CD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵△ADC≌△ECD， ∴AC=DE， ∴四边形ADCE是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的判定的应用，证明两线段相等常用的方法就是转化为证两三角形全等． 【题型十】添一条件使四边形是矩形 例10．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，增加下列一个条件可以使平行四边形成为矩形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，根据矩形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、四边形是平行四边形， ，故选项A不符合题意； B、四边形是平行四边形，， ，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故选项C符合题意； D、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 变式1．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是_________．(只要写出一个条件即可) 【答案】（或或等） 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形为平行四边形是解题的关键．先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 又， ，且， 四边形为平行四边形， 添加， 为矩形； 添加， ， 为矩形； 添加， ， 为矩形． 故答案为：（或或） 变式2．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，点O是的中点．请你添加一个条件(不另加辅助线)使四边形成为矩形． (1)添加的条件是_______； (2)请给出证明过程． ________________________________ 【答案】(1) (答案不唯一) (2)见解析 【知识点】证明四边形是矩形、添一条件使四边形是矩形 【分析】此题考查了矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． （1）根据题意添加合适的条件即可； （2）证明，则，又由，即可证明四边形是平行四边形，又由即可证明四边形成为矩形． 【详解】（1）添加的条件是； 故答案为： (答案不唯一) （2）证明∶ ∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【题型十一】根据矩形的性质与判定求角度 例11．如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度 【分析】根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，代入求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，能根据矩形的性质求出的度数是解此题的关键． 变式1．（22-23八年级下·浙江·单元测试）已知：如图，中，点为中点，．求证：．（请用两种不同的方法完成证明） 【答案】证明见解析 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、等腰三角形的性质和判定 【分析】证法一：根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明结论； 证法二：如图乙，延长至E，使，连接、，证明四边形为矩形，根据矩形的性质证明即可． 【详解】证法一：点为中点， ， ， ，， ，， ， ， ； 证法二：如图乙，延长至，使，连接、， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， 平行四边形为矩形， ． 【点睛】本题考查的是矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，得出四边形为矩形是解题的关键． 【题型十二】根据矩形的性质与判定求线段长 例12．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）如图所示，是矩形内一点，已知，，，则的值为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，运用勾股定理进行等效代换是解题的关键． 作于E，于F，并延长交于M，利用矩形的性质与勾股定理得出：，从而可求解． 【详解】解：作于E，于F，并延长交于M，如图， ∵矩形 ∴，，，，， ∵，， ∴ ∴ ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴，，， 由勾股定理，得：，，，， ∴ ， ∴． 故选：A． 例13．（2023八年级下·浙江杭州·竞赛）在矩形中，为线段上一动点，于点于点Q，则线段的最小值为_______． 【答案】 【知识点】垂线段最短、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短、三角形面积等知识点，掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 如图：连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最小，则最小，此时， ∴，解得： ∴的最小值为． 故答案为：． 变式1．如图，在矩形ABCD中，，点P在BC上，且，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则_______． 【答案】或或 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】根据题意，分，，两种情况讨论，利用勾股定理和矩形的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=10， ∴AD=BC=10，CD=AB=4， ①当时，当M在BC上时，在Rt△ABP中，AB=4，PB=3， PM=AP=5， 而BC=10， ∴CM=10-3-5=2； 当M在AD上时，连接CM，如图，过点P作PN⊥AD，则四边形ABPN是矩形， AN=BP=NM=3， ,， 中，； ②当时，点M在AD上,连接CM，则AM=AP=5， ∴DM=AD-AM=BC-MD=10-5=5， ∵CD=AB=4， 在Rt△CMD中，， 故答案为：或或. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，同时利用了等腰三角形的性质和勾股定理，分类讨论是解题的关键． 变式2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，，连结，，已知，，． (1)请问点C什么位置时的值最小？最小值为多少？ (2)设，则可表示为，请直接写出的最小值为______． 【答案】(1)点C在线段和交点处时最小为10 (2)10 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理及矩形的判定，熟练掌握勾股定理及矩形的性质与判定是解题的关键； （1）根据两点之间线段最短及结合勾股定理可进行求解； （2）根据（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：根据两点之间线段最短可知：当A、C、E三点共线时，即点C在线段和交点处时的值最小，如图所示： 过点A、D分别作，，交于一点F， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为10； （2）解：由（1）可知：的最小值为10； 故答案为10． 【题型十三】根据矩形的性质与判定求面积 例14．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的性质、矩形的性质，根据平移的性质求出空白部分的长和宽，根据矩形的面积公式计算，得到答案．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：∵将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴，， ∴空白部分是平行四边形， ∵， ∴空白部分是矩形，且长为：，宽为：， ∴阴影部分的面积为：， 即阴影部分的面积为． 故选：D． 变式1．（2023·浙江台州·中考真题）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为______． 【答案】8 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、利用平移的性质求解 【分析】根据平移的性质即可求解． 【详解】解：由平移的性质S△A′B′C′=S△ABC，BC=B′C′，BC∥B′C′， ∴四边形B′C′CB为平行四边形， ∵BB′⊥BC， ∴四边形B′C′CB为矩形， ∵阴影部分的面积=S△A′B′C′+S矩形B′C′CB-S△ABC =S矩形B′C′CB =4×2 =8(cm2)． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 变式2．（2024八年级下·浙江台州·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点、均在格点上，仅用无刻度的直尺完成画图，请按步骤完成下列问题． （1）______； （2）在格点上找到点，，连接，，，使四边形是长与宽之比为2∶1的矩形； （3）在格点上找一点，连接，使得过的直线平分矩形的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据格点的特点及矩形的性质即可作图； （3）连接对角线交于O点，再连接OM,交BC与N点，即可求解． 【详解】（1）= 故答案为：； （2）四边形 ABCD 是长与宽之比为2∶1的矩形，AB=，BC=2=，点B向右平移6个格，再向上平移2个格为点C，连结BC，点C向上平移3个格，再向左1个格得点D，连结AD，CD， 如图，四边形为所求； （3）连结AC，BD交于O，连结MO，并延长交网格于N， 如图，直线为所求． 【点睛】此题主要考查几何作图，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的应用． 一、单选题 1．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（　　） A．矩形的对角线相等 B．矩形的四个角是直角 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形， 故选D． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的性质解决实际问题是解此题的关键． 2．下列不属于矩形的性质是（    ） A．两组对边分别平行 B．四个角都相等 C．每一条对角线平分一组内角 D．两条对角线相等 【答案】C 【分析】根据矩形的性质分别进行判断即可． 【详解】解：A．两组对边分别平行属于矩形的性质，故选项不符合题意； B．四个角都相等属于矩形的性质，故选项不符合题意； C．每一条对角线平分一组内角不属于矩形的性质，故选项符合题意； D．两条对角线相等属于矩形的性质，故选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 3．如图，在中，，平分，点E在上，的两直角边、分别交、于点M、N，且，若，，则重叠部分四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作于点P，于H，则四边形为矩形，根据得，根据平分得，利用AAS可证明，得，，根据，平分得，即可得和都是等腰直角三角形，则，根据，，得，即可得，则，根据全等三角形的性质得，即可得． 【详解】解：如图所示，过点E作于点P，于H， 则四边形为矩形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴（AAS）， ∴，， ∵，平分，， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，适当的添加辅助线． 4．如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，、为折痕，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠得到，推出，即可求出答案． 【详解】解：∵一张长方形纸片沿、折叠， ∴， 且， ∴， ∵， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等．也考查了平角的定义． 5．如图，在中，，，，是点一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得的长，根据，，，可判定四边形是矩形，求的最小值就是求的最小，当时，线段的值最小，即线段的值最小，再根据等面积法即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， 如图所示，连接，    ∴， ∴求的最小值就是求的最小， ∴当时，线段的值最小，即线段的值最小， ∵， ∴， ∴线段的最小值是， 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 6．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，垂直平分，交于点E，交于点F，连接．若，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出，，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质，线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质，根据矩形的性质得出，是解题的关键． 7．如图，矩形的两条对角线、相交于点，，．则矩形的面积为（   ） A． B． C．9 D．18 【答案】B 【分析】先根据矩形的性质和说明△AOB为等边三角形，可得AB=OA,即AC=2AB,然后再运用勾股定理求得,最后求矩形的面积即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ．， ，解得， 矩形的面积为：． 故选：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，利用矩形的性质和已知条件说明△AOB为等边三角形成为解答本题的关键． 8．如图，在矩形中，对角线与交于点，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，交于点，②分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，含度角的直角三角形的性质，作角平分线勾股定理．根据四边形是矩形，和，可得是等边三角形，由作图过程可得，是的平分线，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而证明，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 由作图过程可知： 是的平分线， ， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得， 故选：C． 二、填空题 9．在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的长度为______． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分；理解性质定理是关键． 根据矩形的对角线相等，且互相平分即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 故答案为：3． 10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=8，BC=6，则OD的长为___________． 【答案】5 【分析】由勾股定理求出BD的长，再根据矩形的性质求出OD的长即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=6，∠BAD=90° ∵AB=8 ∴ ∴． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了矩形．勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解答此题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），M是OA的中点，点P在BC边上运动．当PO=PM时，点P的坐标为______． 【答案】（2.5，4） 【分析】过P点作PD⊥OA，垂足为D，根据M是OA的中点，求出OM＝5，又知PO＝PM，PD⊥OA，于是求出OD＝OM＝2.5，P点的坐标即可求出． 【详解】如图，过P点作PD⊥OA，垂足为D， ∵M是OA的中点，故OM＝5， ∵PO＝PM，PD⊥OA， ∴OD＝OM＝2.5， 故P点坐标为（2.5，4）， 故答案为：（2.5，4）． 【点睛】本题主要考查矩形的性质和等腰三角形的性质的知识点，解题的关键是根据题意作图，利用等腰三角形的性质求解． 12．将矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A、C重合，折痕所在直线交射线AB于点E，如果AB＝3，BE＝1，那么BC的长是______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当点E在AB上时，当点E在AB的延长线上时，求出AE=EC的长，即可利用勾股定理求解． 【详解】解：当点E在AB上时，连结EC，如图1， AB＝3，BE＝1，则AE＝AB－BE＝2， ∵矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A，C重合，折痕所在直线交直线AB于点E， ∴EC＝EA＝2， 在Rt△BEC中，， 当点E在AB延长线上时，连结EC，如图2， AB＝3，BE＝1，则AE＝AB＋BE＝4， ∵矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A，C重合，折痕所在直线交直线AB于点E， ∴EC＝EA＝4， 在Rt△BEC中，， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，利用分类讨论的思想和数形结合的思想求解即关键． 13．如图，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，使直线两侧的部分能够完全重合，点在边上，且，在直线上有一个动点，连接，则周长的最小值是______．    【答案】/ 【分析】根据矩形的性质，分别求出的长度，如图所示，作点关于的对折点，当最小，则周长最小，在中，根据特殊角的直角三角形的边的关系即可求出，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴设，， ∴，解得，，即，， ∵周长，点是动点， ∴当最小时，周长最小， 如图所示，作点关于的对折点，    ∵矩形沿直线折叠，使直线两侧的部分能够完全重合， ∴点在线段上，连接交于点，此时，最小， ∵根据对称的性质得，，， ∴最小， ∴周长最小，即， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴周长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，对称最短路径，直角三角形中勾股定理的运用，掌握以上知识的综合是解题的关键． 14．如图，在矩形中，，点E、F分别在边上，若，将矩形面积分成相等的两份，则的值为 _____．    【答案】 【分析】过点E作于点H，由矩形的判定与性质得出，由将矩形面积分成相等的两份，得出，设，则，，由，得出，由，得出，进而得出HF＝2a，由勾股定理求出，代入计算即可求出． 【详解】解：如图，过点E作于点H，    ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将矩形面积分成相等的两份， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． 15．俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是_________． 【答案】1或或 【分析】根据等腰三角形的两边相等，动手裁剪即可． 【详解】如图1方式裁剪， 第一步，取CB=CE=1，则，剪下△BCE； 第二步，剪下△ABE，其中； 第三步，在AD上取一点F，使，剪下△DFE； 剩下的△AEF中， 刚好四个等腰三角形，另两个等腰三角形腰长是或； 如图2方式裁剪， 第一步，取CB=CF=1，则，剪下△BCF； 第二步，过A作AE⊥BF于E，由于,，所以，剪下△ABE； 第三步，由于AD=AE=1，剪下△ADE； 剩下的三角形DFE中， 刚好四个等腰三角形，另两个等腰三角形腰长都是1． 故答案为：1或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，矩形的性质，勾股定理的应用，熟记等腰直角三角形的三边比是是解此题的关键． 三、解答题 16．如图，点E为长方形边延长线上一点，交于G，点F是上一点，并且，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】由矩形性质可知，即得．再由三角形外角性质结合题意即可求出，即，即可证明． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行线性质以及三角形外角性质．根据各知识点结合题意找出各角之间的关系是解答本题的关键． 17．如图，8个全等的小矩形拼成一个大矩形，若大矩形的周长为40，则大矩形的面积是多少？ 【答案】96 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，设小矩形的长为x，宽为y，根据图中可发现一个小矩形的长等于三个宽，大矩形的周长为40可列出方程组，求解后即可得到小矩形的面积，而大矩形由8个小矩形组成，即可解答． 【详解】解：设小矩形的长为x，宽为y，根据题意，得 ， 解得， ∴小矩形的面积， ∴大矩形的面积为． 答：大矩形的面积是96． 18．在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，如何用直尺和圆规解决把矩形的一角沿着过点的直线折叠得到折叠，使得的顶点在边上，顶点在边上，点是点的对应点．他的思路是：首先以为圆心长为半径画弧交边于点，连接，再作的角平分线交于点，连接，然后用全等三角形的知识使问题得到解决． (1)请根据小明的思路完成下面的作图（保留作图痕迹，不写结论）． (2)证明： 在和中， 以为圆心长为半径画弧交边于点 ____________① 平分 ∴____________② 又____________③ ∴____________④． ∴是符合要求的折叠三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意，按步骤，作出图形即可； （2）根据作图得出，证明，即可得证． 【详解】（1） 解：根据题意作图如下： （2）证明： 在和中， 以为圆心长为半径画弧交边于点 ① 平分 ∴② 又③ ④． 是符合要求的折叠三角形． 故答案为：；；；，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的与判定，作角平分线，掌握基本作图是解题的关键． 19．如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)22 【分析】（1）利用翻折变换的性质可得：，，设，在中利用勾股定理列出方程，解方程即可求解； （2）利用（1）中的结论用矩形的面积减去的面积即可得出结论． 【详解】（1）解：由翻折变换的性质可得：，， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴， 由翻折变换的性质可得：， ∴图中阴影部分的面积 ． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 20．如图，矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，点A（6，0）、C（0，2）分别在坐标轴上，直线l的解析式为y＝﹣x． （1）求矩形OABC对角线交点M的坐标； （2）直线l以每秒1个单位的速度向右平移，平移到经过顶点B停止． ①求直线l经过点B时的函数关系式，作出它的图象，并指出当x取何值时，y＜0； ②设直线l在平移过程中扫过矩形OABC的面积为y，l平移的时间为x，求y与x的函数关系式． 【答案】（1）（3，1）；（2）①y＝﹣x＋8，画图见解析，x＞8；②y＝ 【分析】（1）根据矩形的性质，以及中点坐标公式直接写出对角线交点M点的坐标; （2）①根据平移的性质，设平移后的直线解析式为y＝﹣x＋k，把B（6，2）代入求得，进而求得函数解析式，根据，解不等式即可求得的取值范围； ②分三种情况讨论，当0≤x≤2时，当2＜x≤6时，当6＜x≤8时分别根据图形列出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：（1）四边形OABC是矩形， ∴对角线交点M是AC的中点， ∵点A（6，0）、C（0，2）， ∴M（3，1）； （2）①∵四边形OABC是矩形，A（6，0）、C（0，2）， ∴B（6，2）， 设平移后的直线解析式为y＝﹣x＋k， 把B（6，2）代入得2＝﹣6＋k， ∴k＝8， ∴直线l经过点B时的函数关系式为y＝﹣x＋8，如图， 令﹣x＋8＜0，则x＞8， ∴当x＞8时，y＜0； ②如图1所示，当0≤x≤2时，y＝•x•x＝x2； 如图2所示，当2＜x≤6时，y＝2＋（x﹣2）×2＝2x﹣2； 如图3所示，当6＜x≤8时，y＝6×2﹣ [2﹣（x﹣6）]2＝12﹣（8﹣x）2＝﹣x2＋8x﹣20； 所以，y与x的函数关系式为：y＝． 【点睛】本题考查了矩形的性质，中点坐标公式，平移的性质，求平移后的直线解析式，分类讨论是解题的关键． 21．在矩形中，分别在边上，且，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着运动，到达D点停止运动，设P点运动时间为x秒，的面积为y，回答下列问题： (1)请直接写出y与x的函数表达式以及对应的x的取值范围； (2)请在平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出一条该函数的性质；    (3)结合图像，直接写出当时的x的取值范围．（保留1位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)见解析，函数的性质为：当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小 (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质，函数的画图极其信息，近似计算，熟练掌握性质，画图像的三步骤，是解题的关键． （1）分和两种情况，运用梯形的面积，三角形面积差计算即可． （2）根据画图像的基本步骤，利用两点确定一条直线，画图即可，根据图像，写出符合题意的性质即可． （3）根据图像与已知直线的交点位置，大致估计即可，注意估计要符合要求． 【详解】（1）解：当时，如图所示：    ∵矩形中，， ∴,， ，， ∴ ； 当时，如图    ∵矩形中，， ∴,， ，， ∴ ； 综上所述，． （2）根据题意，画图像如下：．    函数的性质为：当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小． （3）根据图像，得到或时，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $