第10讲 三角形的中位线与反证法 （知识详解+6典例分析+习题巩固）2025-2026学年浙教版八年级数学下册同步讲义与测试

第10讲 三角形的中位线与反证法 （知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】三角形中位线的定义及定理 1.了解三角形的中位线的概念。 2.探索并证明三角形的中位线定理，并能运用三角形的中位线定理进行相关计算或证明。 三角形中位线的定义 内容 连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。 点D，E 分别是AB，AC 的中点。 符号语言 如图所示，因为点𝐷,𝐸 分别是𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点,所以𝐷𝐸 就是△𝐴𝐵𝐶 的一条中位线。 三角形的中位线定理 内容 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言 如图所示，因为𝐷𝐸为△𝐴𝐵𝐶 的中位线,所以𝐷𝐸 𝐵𝐶 。 应用 （1）位置关系：证明两直线平行。 （2）数量关系：证明线段的相等或倍分关系。 辨析：三角形的中位线与三角形的中线的区别与联系 三角形的中位线 三角形的中线 图示 区别 连结三角形两边中点的线段。如线段𝐷𝐸 。 连结三角形一个顶点与它对边中点的线段。如线段𝐴𝐹 。 联系 三角形的中位线与第三边上的中线互相平分。如△𝐴𝐵𝐶的中位线𝐷𝐸与其中线𝐴𝐹 互相平分。 【知识点02】反证法的概念 反证法：在证明一个命题时，有时先假设命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反证法。 注意：用反证法证明命题的常见形式：（1）结论以否定形式出现的命题，如直角三角形中不能有两个直角；（2）唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；（3）结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个三角形至少有两个锐角。 示例 反证法 【知识点03】用反证法证明命题的一般步骤 用反证法证明命题的一般步骤： （1）假设命题：假设命题的反面成立;如果命题的反面只有一种情况，那么只需要否定这种情况；如果命题的反面不止一种情况，那么需要把各种情况一一否定 （2）推出矛盾：从假设出发,经过推理得出与已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾; （3）肯定结论：得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。 【知识点04】平行线的传递性 平行线的传递性：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a ,c//a,那么b//c （如图）。 【题型一】与三角形中位线有关的求解问题 例1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（   ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，连接，根据题意得到是的中位线，即可得出结论，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形中，是中点，分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意可知，线段的长度是定值， ∴线段的长度是定值， ∴线段的长不变， 故选：C． 例2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）在中，，D，E分别是边的中点，连接并延长至点F，使，点G在线段上，且，连结，若，，则的长度为______． 【答案】6 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理．设，则，，再由三角形中位线定理，可得，，，然后根据，可得，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∵D，E分别是边的中点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． 故答案为：6． 例3．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，交于点O，点E为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.5 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，勾股定理，熟记各性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，可推出是三角形的中位线，即可得出结论； （2）利用勾股定理求出的长，再结合（1）的结论即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即点为中点， ∵点E为中点， ∴为的中位线， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 变式1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．连接，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．3 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 利用三角形的中位线定理可以得到：，，，则的周长是的周长的2倍，据此即可求解． 【详解】解：∵D、E分别是的边、的中点， ∴， 同理，，， ∴ ； ∵的周长为6， ∴的周长为． 故选：B． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，E、F分别是、的中点，若，则_________． 【答案】6 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，由条件可知为的中位线，可求得，结合平行四边形的性质可得，可求得答案． 【详解】解：∵E、F分别是、的中点， ∴为的中位线， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴， 故答案为：6． 变式3．（23-24八年级下·浙江金华·期末）（1）如图1，直线，点在直线上，点在直线上，直接写出和的面积关系． （2）把图2的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，保留作图痕迹． （3）如图3，在中，分别是上任意一点，连接分别是、的中点，求证：． 【答案】（1）相等；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】利用平行线间距离解决问题、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了平行线间的距离的应用，三角形中位线的性质； （1）利用平行线间的距离相等解决问题； （2）连接，过点作交的延长线于点，即为所求； （3）如图，取的中点，连接，，．利用三角形中位线定理以及等高模型解决问题． 【详解】（1）∵，它们边上的高线长都等于与之间的距离 （2）如图（作法不唯一） （3）如图，取的中点，连接，， 是的中点，是的中点 ∴ 【题型二】与三角形中位线有关的证明 例4．（22-23八年级下·浙江金华·月考）如图，、是的中线，P、Q分别是、的中点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的证明、根据三角形中线求长度 【分析】此题主要考查了全等三角形，三角形中位线．熟练掌握掌握三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，是解答此题的关键． 连接，连接并延长交于点F，利用是中位线，推出，再用是中位线，，即可求得答案． 【详解】连接，连接并延长交于点F， ∵、是的中线， ∴，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵Q是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 例5．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，．点是射线上的动点，过点作射线的垂线，垂足为点H，点M是的中点，连结，则的最小值是________． 【答案】/ 【知识点】与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 取的中点O，连接、，由勾股定理得，证出为的中位线，得，由直角三角形的性质得，由，得，即可得出答案． 【详解】解：取的中点O，连接、，如图所示： ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 例6．（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明过程见解答； (2)12 【知识点】与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质等； （1）根据等腰三角形的“三线合一”可知，结合已知可推出为的中位线，根据三角形中位线的性质即可证得结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ， 是的中点， 为的中位线， ∴； （2）解：∵，是边上的中线， ∴，即， ∵在中，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴． 变式1．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的大小；④直线，之间的距离．其中会随点的移动而不改变的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的证明 【分析】根据三角形中位线定理判断即可． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴线段的长不变，直线，之间的距离不变，故①④符合题意， 而、的长随点的运动而改变，的大小随点的运动而改变，故②③不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 变式2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，点、分别是、边的中点，，，，则的长为______．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明 【分析】连接，根据三角形中位线定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：连接，如图：    ∵点、分别是、边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理，熟记三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 变式3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线与相交于点，，点，，分别为的中点，连结． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，再利用等腰三角形的三线合一即可得出结论； （2）利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质得出且，再根据中点的性质得出且，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵是中点， ∴； （2）解：∵点、是、的中点， ∴且， ∵中，， ∴且， ∵点是的中点， ∴且， ∴四边形为平行四边形． 【题型三】三角形中位线的实际应用 例7．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，要测量池塘边上B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，连结，，并取，的中点D，E，连结．测出的长为20米，则B，C两地的距离为（    ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 【答案】D 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理即可得解． 【详解】解： D，E是，的中点， 是的中位线， ，又， 米． 故选：D 例8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，小华同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后找出，的中点为D，E，测得，则A，B之间的距离为______． 【答案】40 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D，E是，的中点，即是的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解． 【详解】解：∵，的中点为D，E， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 即A,B之间的距离为 故答案为：40 例9．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 对于，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证； 对于，首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， 是的中位线， ， ， ， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由知，是的中位线，四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得： 变式1．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，为测量池塘的宽度（A、B两点之间的距离），在池塘的一侧选取一点O，连接OA、OB，并分别取它们的中点D、E，连接DE，现测出DE＝20米，那么A、B间的距离是（　　） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 【答案】D 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】有已知条件可得为三角形的中位线，根据中位线定理即可求得． 【详解】 D、E是OA、OB的中点, , , ． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，掌握中位线定理是解题的关键． 变式2．（2024八年级下·浙江杭州·期中）如图小芳为测湖宽，取边的中点D，E，连结，并测得米，则___米． 【答案】40 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】 根据三角形中位线定理可得，代入数据可得答案． 【详解】 解：线段，的中点为，， ， 米， 米， 故答案为：40． 【点睛】 此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 变式3．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，某游乐场游客中心位于处，其正南方向米处有海盗船游乐项目，在的正东方向米处有摩天轮游乐项目餐厅位于的中点；碰碰车游乐项目位于上，且恰好处于餐厅的正南方向小快从出发，经到匀速骑行游玩，曼曼同时从出发，沿南偏西方向匀速直线行走游玩．    (1)餐厅和碰碰车游乐项目相距多少米？ (2)已知小快的速度是曼曼速度的倍，小快在由到骑行的途中与曼曼相遇于处，那么相遇时曼曼行走了多少米？（结果精确到米，） 【答案】(1)米 (2)米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、三角形中位线的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】利用三角形的中位线定理求解即可； 设相遇时曼曼行走了米，则米，米，求出米，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，米，， 位于的中点，， 位于的中点， 是的中位线， 米． 答：餐厅和碰碰车游乐项目相距米； （2）解：设相遇时曼曼行走了米，则米，米， 由题意可知，， 由可知，是的中位线， ， ， ， 位于的中点， 米， 米， 在中，由勾股定理得：， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， 答：相遇时曼曼行走了约米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、方向角以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【题型四】反证法证明中的假设 例10．（24-25八年级下·浙江温州·月考）用反证法证明命题：“在中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法的步骤可得第一步先假设结论不成立，进而问题可求解． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设； 故选：C． 例11．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不小于”时，应假设___________． 【答案】每个内角都小于 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题主要考查了反证法中的假设，反证法中第一步应假设原结论不成立，据此可得答案． 【详解】解：用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不小于”时，应假设个内角都小于， 故答案为：个内角都小于． 变式1．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）假设命题“”不成立，那么a与0的大小关系只能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查命题的否定．原命题为“”，其否定应为“”．当原命题不成立时，结论即为它的否定． 【详解】解：原命题“”表示是负数．当该命题不成立时，不能是负数，即必须大于或等于0．因此，与0的大小关系只能是． 故选：D． 变式2．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）用反证法证明命题“已知中，，求证：．”第一步应先假设“______．”（填“”或“”） 【答案】 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查反证法．熟练掌握反证法的步骤是解题的关键．根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“已知中，，求证：．”第一步应先假设“， 故答案为：． 变式3．证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于． 【答案】证明见解析 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立． 【详解】证明：要证明在三角形中，至少有一个内角大于或等于， 那么假设在一个三角形中没有一个角大于或等于60°，即都小于； 那么，这个三角形的三个内角之和就会小于； 这与定理“三角形的三个内角之和等于”相矛盾，原命题正确． 【点睛】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【题型五】用反证法证明命题 例12．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 【答案】A 【知识点】用反证法证明命题 【分析】当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数，此时必定不满足，据此可判断A；根据可判断B、C、D． 【详解】解：当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数， ∴是偶数， ∴此时一定不满足， ∴不可能都是奇数，故A结论正确，符合题意； ∵，满足，本例中都是偶数，是偶数， ∴可能都是偶数，故B、C、D结论都错误，不符合题意； 例13．一般来说，反证法有如下三个步骤：（1）_____，（2）_____（3）_____． 【答案】 提出假设 推出矛盾 肯定结论 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题考查的是反证法的步骤，根据反证法的步骤要求作答即可． 【详解】解：一般来说，反证法有如下三个步骤：（1）提出假设，（2）推出矛盾（3）肯定结论． 故答案为：提出假设，推出矛盾，肯定结论． 变式1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 【答案】D 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故选：D． 变式2．用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是___________， 不全为0， 中至少有一个为正数， ________0，这与已知相___________， ∴___________，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 【答案】 负数 矛盾 假设不成立 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题主要考查了反证法的应用，准确分析判断是解题的关键． 首先假设a，b，c都不是负数，然后证明出a，b，c这三个数中至少有一个负数即可求解． 【详解】证明：假设a，b，c都不是负数， 不全为0， 中至少有一个为正数， ，这与已知相矛盾， ∴假设不成立，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 故答案为：负数，，矛盾，假设不成立． 变式3．（2023八年级下·浙江·专题练习）用反证法证明： (1)已知：，求证：a必为负数． (2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】用反证法证明命题 【分析】（1）首先假设，则，与已知矛盾，因此a必为负数． （2）假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，设这两个整数为，则有，因为，可得前后矛盾，因此假设结论不成立，进而得出答案． 【详解】（1）证明：假设，则，这与已知相矛盾， ∴假设不成立， ∴a必为负数； （2）证明：假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为， 则， ∵， ∴假设不成立， ∴的整数k不能化为两个整数的平方和． 【点睛】本题考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系是解题关键． 【题型六】网格中多边形面积比较 例14．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 变式1．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________． 【答案】1∶4 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ∴的面积与的面积比为1∶4． 故答案为1∶4． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键． 变式2．如下图，已知四边形ABCD的顶点． (1)在方格图中建立平面直角坐标系，并写出B，C两点的坐标． (2)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)图见解析， (2) 【知识点】网格中多边形面积比较、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了平移变换作图，不规则图形的面积求解，熟练掌握网格结构找出对应点的位置是解题的关键. （1）以点为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出点的坐标即可； （2）根据图形，把四边形分成两个直角三角形与一个梯形，列式进行计算即可求解. 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．． （2）解： ． 故四边形的面积为． 一、单选题 1．用反证法证明“在同一个平面内，若，，则”时，应先假设（    ） A．a不垂直于c B．a与b相交 C．a不垂直于b D．a，b都不垂直于c 【答案】B 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设证明结论不成立，反面成立，所以在同一个平面内，两直线平行的反面是两直线相交． 【详解】解：反证法证明“在同一个平面内，若，，则”时，应先假设“与不平行”，而对于平面内两条直线的位置关系（除了重合）不是相交就是平行，所以“与不平行”即表示“与相交”， 故选：B． 【点睛】本题考查反证法，解题的关键是掌握反正法的步骤．尤其是要准确理解结论的反面：如果结论只有一种结果，否定一种即可；如果结论有多种情况，必须一一否定． 2．用反证法证明“”时，应先假设（　　） A． B．a<0 C．a=0 D．a≠0 【答案】A 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：由于命题：“”的反面是：“”， 故用反证法证明“”时，应先假设“”， 故选：A 【点睛】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立是解题关键． 3．中，点D、E分别为边上的一点．给出命题：①如果D为的中点，且，那么E也是的中点；②如果，那么．其中（    ）． A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【分析】根据三角形中位线性质可判定①正确；由BC=2DE，不能得到DE//BC，据此判断②错误． 【详解】解：如图， ①中， D为的中点，且， 是的中位线， E也是的中点， 故①正确； ② D为的中点， 无法判断与是否相等，故不能判断， 故②错误， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 4．下列说法中，正确的是（   ） A．若两个三角形的3个对应角相等，则这两个三角形全等 B．在用反证法证明“等腰三角形中至少有两个锐角”时，应先假设“等腰三角形中只有一个钝角” C．命题“面积相等的两个三角形全等”的逆命题是真命题 D．如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质来理解即可． 本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】A．∵ 三个角对应相等只能推出相似，不能推出全等，∴ 选项A错误； B．∵ 反证法应假设原命题的否定“等腰三角形中至多有一个锐角”，而选项B的假设不正确，∴ 选项B错误； C．∵命题“面积相等的两个三角形全等”的逆命题是“全等的两个三角形面积相等”，这是一个真命题，∴选项C正确； D．∵ 角的两边分别平行时，两角相等或互补，不一定相等，∴ D错误． 故选：C． 5．如图，在中，，点E，F分别是的中点，则等于（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】先根据平行四边形的性质得到，再证明是的中位线，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟知三角形中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键． 6．如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连结．下列五句判断：①；②；③；④连结，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的数量有（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据可进行判断；②证即可进行判断；③延长交于，证即可进行判断；④证即可进行判断；⑤由“不一定等于”即可进行判断． 【详解】解：①∵ ∴， ∵O为的中点 ∴ ∴ 故①错误； ②∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ 故②正确； ③延长交于    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的中位线 ∴ ∵ ∴ 同理 ∴ ∴ 故③正确； ④∵是的中位线 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 故④正确； ⑤∵，不一定等于 ∴不一定等于 ∵ ∴不一定等于 故⑤错误． 综上所述：②③④正确　 故选：B 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识点．掌握相关结论是解题关键． 7．如图，中，，，，D，E分别为，的中点，平分，交DE于点F，则的长是（    ）    A． B．12 C．2 D． 【答案】A 【分析】用勾股定理可算出，然后根据中位线定理可得，，易证得，然后计算即可 【详解】解：∵，，， ∴， ∵D，E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 二、填空题 8．如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若该工件内槽宽的长为，则的长为_________． 【答案】4 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，由点C，D分别是的中点可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵点C，D分别是的中点， ∴． 故答案为：4 9．如图，在中，，的平分线交于点，在的延长线上取一点，使得，连接，若，则的值为________． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．证明，推出是中位线，再利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：如图，取的中点T，连接， 则， 在中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 是中位线， ， 故答案为：6． 10．如图，在中，．点，分别为，的中点，点是上一点，．若，则的长为________． 【答案】11 【分析】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质．由直角三角形的中线可得的长，然后结合线段的和差可得，最后根据三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半求解即可． 【详解】解：∵，点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵点D，E分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：11． 11．若线段DE是等边△ABC的中位线，且DE＝2，则△ABC的周长为 ____． 【答案】12． 【分析】根据三角形中位线定理求出BC，根据等边三角形的概念计算即可． 【详解】解：如图， ∵DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝4， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝4， ∴△ABC的周长为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的概念，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 12．如图，点、都在的边上，的平分线垂直于，垂足为，的平分线垂直于，垂足为，若，，则的周长为______． 【答案】30 【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA＝BE，CA＝CD，由中位线的性质可得，DE＝6，根据BC＝12，可得的周长为，等量代换即可出结果． 【详解】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE， ∴∠ABQ＝∠EBQ， ∵∠ABQ＋∠BAQ＝90°，∠EBQ＋∠BEQ＝90°， ∴∠BAQ＝∠BEQ， ∴AB＝BE，同理：CA＝CD， ∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一）， ∴PQ是△ADE的中位线， ∵， ∴， 的周长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线． 13．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为CD、BC的中点，AM＝6，AN＝3，∠MAN＝60°，则对角线BD的长为_____． 【答案】6 【分析】延长AM至E，使得ME＝AM，过点E作EH⊥AN，交AN延长线于H点，连接MN、BD．证明N点为AH中点，求出AH,再运用勾股定理求出HE，最后根据三角形的中位线定理可得MN＝HE＝BD即可求解． 【详解】解：延长AM至E，使得ME＝AM，过点E作EH⊥AN，交AN延长线于H点，连接MN、BD． ∴AE＝2AM＝12． ∵∠MAN＝60°， ∴∠E＝30°， ∴AH＝AE＝6， ∴HE＝ ， ∵AN＝3， ∴N点为AH中点， ∴MN＝HE=， ∵M、N分别为CD、BC的中点， ∴MN＝BD． ∴BD＝HE＝6． 故填6． 【点睛】本题主要考查了了平行四边形的性质、勾股定理、三角形中位线的性质，解决本题的关键是借助线段的中点作“倍长中线”辅助线，使得线段得以转化． 14．如图，在中，，将平移5个单位得到，点P，Q分别是，的中点，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】设点平移后的对应点为，连接，则：，当三点共线时，的值最大，利用平移的性质，以及三角形的中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：设点平移后的对应点为，连接， 则：，当三点共线时，的值最大， ∵在中，，将平移5个单位得到，点P，Q分别是，的中点， ∴，为的中点， ∴， ∴的最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查平移的性质，三角形的中位线定理．熟练掌握相关知识点，确定当三点共线时，的值最大，是解题的关键． 三、解答题 15．如图，已知中，D是上一点，，，，垂足是E，点F是的中点，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，先根据，，得出，再证明为的中位线，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， 即点为的中点， 又∵点是的中点， ∴为的中位线， ∴． 16．已知：如图，直线，被所截，，是同位角，且．求证：不平行于． 【答案】见解析 【分析】用反证法证明即可． 【详解】解：假设，则（两直线平行，同位角相等），这与相矛盾， 假设不成立， 不平行于． 【点睛】本题主要考查了反证法和平行线的性质，熟知反证法是解题的关键． 17．如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半解题即可． 【详解】点，分别为，的中点， ， ∴ 答：、两地的距离为． 18．如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积． 【答案】作图见解析； 【分析】本题考查作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 根据轴对称的性质作图即可；再利用割补法计算即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 四边形的面积为． 19．如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC． 【答案】见解析 【分析】延长AN、AM分别交BC于点D、G，首先根据角平分线的定义推出△ABG为等腰三角形，结合等腰三角形的性质得出AN=GN，然后同理推出AM=DM，即可得到MN为△ADG的中位线，从而利用中位线定理得到结论即可． 【详解】证明：如图，延长AN、AM分别交BC于点D、G． ∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG， ∴∠ABN=∠GBN，∠ANB=∠GNB=90°， ∴∠BAG=∠BGA， ∴△ABG为等腰三角形， ∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN． 同理AM=DM， ∴MN为△ADG的中位线， ∴MN∥DG， ∴MN∥BC． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，以及三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定定理和基本性质，熟练中位线定理是解题关键． 20．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 21．按要求完成下列问题： （1）叙述三角形中位线定理：三角形中位线平行于 ，且 ． （2）补全三角形中位线定理的证明过程： 已知：如图1，在ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE． 求证： ， ． 证明：如图，延长ED到点F，使DF＝DE，连接BF… （3）三角形中位线定理应用：如图2，在梯形ABCD中，ADBC，点E，F分别是AB，CD的中点，则线段AD，EF，BC之间的数量关系是 ． 【答案】（1）第三边，等于第三边的一半；（2）DEBC，DE＝BC；（3）EF＝（AD+BC） 【分析】（1）根据三角形中位线定理即可得答案； （2）根据三角形中位线定理可知，要求证的是：DE∥BC，DE＝BC；延长ED到点F，使DF＝DE，连接BF，证明△ADE≌△BDF（SAS），可得AE＝BF，∠A＝∠FBD，从而可证四边形BCEF是平行四边形，即得EF＝BC，DE∥BC，即可证明DE∥BC，DE＝BC； （3）连接AF并延长，交BC延长线于G，由AD∥BC，F是CD的中点，可证得△ADF≌△GCF（ASA），即得AD＝CG，且F是AG的中点，从而证明EF是△ABG的中位线，有EF＝BG，即可得EF＝（AD+BC）． 【详解】解：（1）三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半， 故答案为：第三边，等于第三边的一半； （2）根据三角形中位线定理可知，要求证的是：DE∥BC，DE＝BC， 证明：如图，延长ED到点F，使DF＝DE，连接BF， ∵D，E分别是边AB，AC的中点， ∴AD＝BD，AE＝CE， 在△ADE和△BDF中， ， ∴△ADE≌△BDF（SAS）， ∴AE＝BF，∠A＝∠FBD， ∴CE＝BF，AC∥BF，即CE∥BF， ∴四边形BCEF是平行四边形， ∴EF＝BC，EF∥BC，即DE∥BC， ∵DE＝DF， ∴DE＝BC； 故答案为：DE∥BC，DE＝BC； （3）连接AF并延长，交BC延长线于G，如图： ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠FCG， ∵F是CD的中点， ∴DF＝CF， 在△ADF和△GCF中， ， ∴△ADF≌△GCF（ASA）， ∴AD＝CG，AF＝GF，即F是AG的中点， ∵E是AB的中点， ∴EF是△ABG的中位线， ∴EF＝BG， 而BG＝BC+CG＝BC+AD， ∴EF＝（AD+BC）． 故答案为：EF＝（AD+BC）． 【点睛】此题属于三角形综合试题，涉及三角形中位线定理，三角形全等，平行四边形的证明，知识范围比较广，有一定难度. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 三角形的中位线与反证法 （知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】三角形中位线的定义及定理 1.了解三角形的中位线的概念。 2.探索并证明三角形的中位线定理，并能运用三角形的中位线定理进行相关计算或证明。 三角形中位线的定义 内容 连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。 点D，E 分别是AB，AC 的中点。 符号语言 如图所示，因为点𝐷,𝐸 分别是𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点,所以𝐷𝐸 就是△𝐴𝐵𝐶 的一条中位线。 三角形的中位线定理 内容 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言 如图所示，因为𝐷𝐸为△𝐴𝐵𝐶 的中位线,所以𝐷𝐸 𝐵𝐶 。 应用 （1）位置关系：证明两直线平行。 （2）数量关系：证明线段的相等或倍分关系。 辨析：三角形的中位线与三角形的中线的区别与联系 三角形的中位线 三角形的中线 图示 区别 连结三角形两边中点的线段。如线段𝐷𝐸 。 连结三角形一个顶点与它对边中点的线段。如线段𝐴𝐹 。 联系 三角形的中位线与第三边上的中线互相平分。如△𝐴𝐵𝐶的中位线𝐷𝐸与其中线𝐴𝐹 互相平分。 【知识点02】反证法的概念 反证法：在证明一个命题时，有时先假设命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反证法。 注意：用反证法证明命题的常见形式：（1）结论以否定形式出现的命题，如直角三角形中不能有两个直角；（2）唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；（3）结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个三角形至少有两个锐角。 示例 反证法 【知识点03】用反证法证明命题的一般步骤 用反证法证明命题的一般步骤： （1）假设命题：假设命题的反面成立;如果命题的反面只有一种情况，那么只需要否定这种情况；如果命题的反面不止一种情况，那么需要把各种情况一一否定 （2）推出矛盾：从假设出发,经过推理得出与已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾; （3）肯定结论：得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。 【知识点04】平行线的传递性 平行线的传递性：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a ,c//a,那么b//c （如图）。 【题型一】与三角形中位线有关的求解问题 例1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（   ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 例2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）在中，，D，E分别是边的中点，连接并延长至点F，使，点G在线段上，且，连结，若，，则的长度为______． 例3．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，交于点O，点E为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 变式1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．连接，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．3 B．12 C．18 D．24 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，E、F分别是、的中点，若，则_________． 变式3．（23-24八年级下·浙江金华·期末）（1）如图1，直线，点在直线上，点在直线上，直接写出和的面积关系． （2）把图2的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，保留作图痕迹． （3）如图3，在中，分别是上任意一点，连接分别是、的中点，求证：． 【题型二】与三角形中位线有关的证明 例4．（22-23八年级下·浙江金华·月考）如图，、是的中线，P、Q分别是、的中点，则等于（　　） A． B． C． D． 例5．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，．点是射线上的动点，过点作射线的垂线，垂足为点H，点M是的中点，连结，则的最小值是________． 例6．（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 变式1．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的大小；④直线，之间的距离．其中会随点的移动而不改变的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 变式2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，点、分别是、边的中点，，，，则的长为______．    变式3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线与相交于点，，点，，分别为的中点，连结． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． 【题型三】三角形中位线的实际应用 例7．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，要测量池塘边上B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，连结，，并取，的中点D，E，连结．测出的长为20米，则B，C两地的距离为（    ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 例8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，小华同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后找出，的中点为D，E，测得，则A，B之间的距离为______． 例9．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 变式1．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，为测量池塘的宽度（A、B两点之间的距离），在池塘的一侧选取一点O，连接OA、OB，并分别取它们的中点D、E，连接DE，现测出DE＝20米，那么A、B间的距离是（　　） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 变式2．（2024八年级下·浙江杭州·期中）如图小芳为测湖宽，取边的中点D，E，连结，并测得米，则___米． 变式3．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，某游乐场游客中心位于处，其正南方向米处有海盗船游乐项目，在的正东方向米处有摩天轮游乐项目餐厅位于的中点；碰碰车游乐项目位于上，且恰好处于餐厅的正南方向小快从出发，经到匀速骑行游玩，曼曼同时从出发，沿南偏西方向匀速直线行走游玩．    (1)餐厅和碰碰车游乐项目相距多少米？ (2)已知小快的速度是曼曼速度的倍，小快在由到骑行的途中与曼曼相遇于处，那么相遇时曼曼行走了多少米？（结果精确到米，） 【题型四】反证法证明中的假设 例10．（24-25八年级下·浙江温州·月考）用反证法证明命题：“在中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 例11．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不小于”时，应假设___________． 变式1．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）假设命题“”不成立，那么a与0的大小关系只能是（   ） A． B． C． D． 变式2．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）用反证法证明命题“已知中，，求证：．”第一步应先假设“______．”（填“”或“”） 变式3．证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于． 【题型五】用反证法证明命题 例12．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 例13．一般来说，反证法有如下三个步骤：（1）_____，（2）_____（3）_____． 变式1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 变式2．用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是___________， 不全为0， 中至少有一个为正数， ________0，这与已知相___________， ∴___________，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 变式3．（2023八年级下·浙江·专题练习）用反证法证明： (1)已知：，求证：a必为负数． (2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和． 【题型六】网格中多边形面积比较 例14．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 变式1．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________． 变式2．如下图，已知四边形ABCD的顶点． (1)在方格图中建立平面直角坐标系，并写出B，C两点的坐标． (2)求四边形ABCD的面积． 一、单选题 1．用反证法证明“在同一个平面内，若，，则”时，应先假设（    ） A．a不垂直于c B．a与b相交 C．a不垂直于b D．a，b都不垂直于c 2．用反证法证明“”时，应先假设（　　） A． B．a<0 C．a=0 D．a≠0 3．中，点D、E分别为边上的一点．给出命题：①如果D为的中点，且，那么E也是的中点；②如果，那么．其中（    ）． A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 4．下列说法中，正确的是（   ） A．若两个三角形的3个对应角相等，则这两个三角形全等 B．在用反证法证明“等腰三角形中至少有两个锐角”时，应先假设“等腰三角形中只有一个钝角” C．命题“面积相等的两个三角形全等”的逆命题是真命题 D．如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等 5．如图，在中，，点E，F分别是的中点，则等于（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 6．如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连结．下列五句判断：①；②；③；④连结，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的数量有（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，中，，，，D，E分别为，的中点，平分，交DE于点F，则的长是（    ）    A． B．12 C．2 D． 二、填空题 8．如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若该工件内槽宽的长为，则的长为_________． 9．如图，在中，，的平分线交于点，在的延长线上取一点，使得，连接，若，则的值为________． 10．如图，在中，．点，分别为，的中点，点是上一点，．若，则的长为________． 11．若线段DE是等边△ABC的中位线，且DE＝2，则△ABC的周长为 ____． 12．如图，点、都在的边上，的平分线垂直于，垂足为，的平分线垂直于，垂足为，若，，则的周长为______． 13．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为CD、BC的中点，AM＝6，AN＝3，∠MAN＝60°，则对角线BD的长为_____． 14．如图，在中，，将平移5个单位得到，点P，Q分别是，的中点，则的最大值为__________． 三、解答题 15．如图，已知中，D是上一点，，，，垂足是E，点F是的中点，求线段的长． 16．已知：如图，直线，被所截，，是同位角，且．求证：不平行于． 17．如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 18．如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积． 19．如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC． 20．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 21．按要求完成下列问题： （1）叙述三角形中位线定理：三角形中位线平行于 ，且 ． （2）补全三角形中位线定理的证明过程： 已知：如图1，在ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE． 求证： ， ． 证明：如图，延长ED到点F，使DF＝DE，连接BF… （3）三角形中位线定理应用：如图2，在梯形ABCD中，ADBC，点E，F分别是AB，CD的中点，则线段AD，EF，BC之间的数量关系是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $