第13讲 二次根式的概念（知识详解+5典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版八年级数学下册同步讲义与测试

第13讲 二次根式的概念（知识详解+5典例分析+习题巩固） 【知识点01】二次根式的定义 二次根式：一般地，我们把形如(a≥0) 的式子叫作二次根式，a可以是一个数，也可以是一个代数式.当a是一个非负数时，表示a 的算术平方根. 示例 二次根式 说明：（1）二次根式是一种形式定义，即式子中必须含有“ ”. 如=2，是二次根式，2不是二次根式. （2）如果已知是二次根式，就意味着满足a≥0 这一隐含条件. 【知识点02】形如的式子有意义的条件 条件 字母表示 形如的式子有意义 被开方数为非负数 有意义⇔𝑎≥0  【知识点03】二次根式的性质 性质 文字表述 应用及拓展 ≥0（𝑎≥0）  一个非负数的算术平方根是非负数. （1）三类常见的非负数：（𝑎≥0）, ,𝑎². （2）若++𝑐²=0，则𝑎=0 ,𝑏=0,𝑐=0 ，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0. =𝑎（𝑎≥0）  一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身. （1）正用公式：如=2 ,=𝑎²+2 . （2）逆用公式：若≥0,则= ,如5=,=. =∣𝑎∣= 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. （1）正用公式：化简形如 的式子时，先转化为∣𝑎∣，再根据𝑎 的符号去掉绝对值符号，如==4−π . （2）逆用公式：若𝑎≥0 ，则𝑎=，如3= . 辨析： 与的不同点与相同点 不同点 表示的意义 表示非负数𝑎 的算术平方根的平方. 表示𝑎 的平方的算术平方根. 包含的运算顺序 先开方再平方. 先平方再开方. 𝑎 的取值范围 𝑎 为非负数. 𝑎 为全体实数. 结果的表达形式 =𝑎（𝑎≥0）  =∣𝑎∣= 相同点 和的结果都是非负数,且当𝑎≥0 时，= . 【题型一】二次根式的识别 例1．（24-25八年级下·江苏南京·期中）下列各式一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，当时，就是二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A选项：是三次根式，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：中被开方数，所以无意义，故B选项不符合题意； C选项：符合二次根式的定义，故C选项符合题意； D选项：中当时，无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 变式1．（2025八年级·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 变式2．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 【题型二】求二次根式的值 例2．下列给出的式子是二次根式的是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，是二次根式，B正确，故符合要求； ，2，，不是二次根式，A、C、D错误，故不符合要求； 故选：B． 例3．（2025八年级下·江苏苏州·专题练习）代数式的最小值为__________． 【答案】2 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次根式成立的条件即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ∴ ， ∴的最小值为2， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键． 例4．若求的值． 【答案】 【知识点】求二次根式的值、利用算术平方根的非负性解题 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 变式1．当时，二次根式的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二次根式的值 【分析】将代入计算即可得． 【详解】解：当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键． 变式2．（2025八年级·江苏·专题练习）已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是__________． 【答案】/ 【知识点】求二次根式的值、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的非负性，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点． 变式3．（24-25八年级·江苏镇江·月考）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1)； (2)她站在山巅能看到大海，理由见解析． 【知识点】求二次根式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以她站在山巅能看到大海． 【题型三】求二次根式中的参数 例5．（2023八年级下·江苏·专题练习）已知是正整数，则自然数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】根据二次根式的性质以及结果为整数可确定的值． 【详解】解：∵是正整数，是整数， ∴的最小值是． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 例6．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 【答案】 ，，，， 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 例7．已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 【详解】由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 变式1．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【知识点】有理数加法运算、求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 变式2．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知那么_________． 【答案】81 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】先求出x值，再求平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：81． 【点睛】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法． 变式3．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； （2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 【题型四】二次根式有意义的条件 例8．（2024·江苏徐州·中考真题）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 例9．（22-23八年级下·江苏宿迁·月考）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【详解】解：二次根式有意义的条件：被开方数非负，即，解得 ； 分式有意义的条件：分母不为0，即，解得； 综上，的取值范围是且． 例10．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）已知x，y为实数，且，求的值． 【答案】． 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件可得且，得x和y的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 变式1．（24-25八年级下·江苏南京·月考）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式的概念，被开方数不小于0，进而得出答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义，则， 解得：． 故选：C． 变式2．（2025·江苏连云港·二模）使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键在于根据题意推出，然后正确的解不等式即可． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， 即． 故答案为：． 变式3．（22-23八年级下·全国·寒假作业）判断下列式子，哪些是二次根式？ (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 (4)不是 (5)是 (6)不是 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的定义直接判断即可以得出答案． 【详解】（1）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数， >0， ∴是二次根式； （2）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，∵-3<0； ∴不是二次根式． （3）解：∵x2≥0， ∴x2+1>0， 又∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数， ∴是二次根式． （4）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，的根指数是3， ∴不是二次根式． （5）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，， ∴是二次根式 （6）解：∵当x>2时，2-x<0，二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数， ∴不是二次根式． 【点睛】此题的主要考查了二次根式的知识，解题的关键就是理解二次根式的意义，二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数． 【题型五】利用二次根式的性质化简 例11．（25-26八年级·江苏苏州·月考）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质逐一判断选项解答即可． 【详解】解：A、，等号右边无意义，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、与的大小关系无法确定，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 例12．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）已知：当a取某一范围内的实数时，代数式的值是一个常数（确定值），则这个常数是_______． 【答案】1 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质：，分情况讨论即可确定a的取值范围． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 综上知，当时，的值是一个常数，这个常数为1； 故答案为：1． 例13．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设，则这个三角形的面积（海伦—秦九韶公式）．当时，求S的值． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质化简，掌握相关运算法则是解题关键．将a、b、c代入计算，先求出，再求出，最后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ． 变式1．（2025八年级·江苏苏州·专题练习）下列化简中正确的有（   ） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；逐一验证每个化简是否正确，注意平方根的非负性和绝对值性质，然后问题可求解． 【详解】解：①∵，∴正确； ②∵ ，∴正确； ③∵，∴，∴错误； ④∵，∴，∴正确； 综上，①、②、④正确，共3个； 故选C． 变式2．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）化简：____． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，直接根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 变式3．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）著名数学教育家·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： ①：________，②：________，③：________． (2)根据上述思路，化简并求出的值． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据题意即可作答； （2）根据题意分别将两个二次根式化简，进而即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 故答案为：；；； （2） ． 一、单选题 1．当x＝-2 时，下列各式有意义的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件是，将分别代入各个选项，即可得出答案． 【详解】解：A.当，，二次根式没有意义，该选项不符合题意； B.当，，二次根式有意义，该选项符合题意； C.当，，二次根式没有意义，该选项不符合题意； D.当，，二次根式没有意义，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 2．下列选项中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质化简，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 3．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、有理数的乘方运算逐项判断即可． 【详解】A、，此项正确     B、，此项错误 C、，无意义，此项错误       D、，此项错误 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根、有理数的乘方运算，熟记运算法则是解题关键． 4．，，，中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式的性质将根号外的数平方后都放入根号内，进而比较根号内的数即可 【详解】解：，， 最大的数为 故选：C 【点睛】本题考查了实数大小的比较，二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 5．下列各式中①；②；③；④；⑤；一定是二次根式的有（　　）个 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】利用二次根式的定义对每个式子逐一判断即可． 【详解】解：∵式子是二次根式， ∴，，不一定是二次根式． ∵， ∴， ∴，一定是二次根式． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式，熟练掌握二次根式的定义：被开方数大于等于零是解题的关键． 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果是（    ） A．2a B．2b C．2a＋2b D．0 【答案】D 【分析】根据数轴可判断a与b的符号，再结合已知可确定a+b的符号，再根据绝对值的计算、算术平方根的性质：、立方根的性质，即可完成化简． 【详解】由数轴知： ∵|a|＞|b| ∴ =0 故选：D 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的性质，绝对值的含义，实数的加法法则，数轴上实数大小的比较等知识，掌握这些知识是解题的关键． 7．已知、为实数，且，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数求出的值，代入求得的值，代入代数式求值即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键． 8．如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是函数有意义条件，算术平方根，熟练掌握二次根式有意义条件，分式有意义条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义条件得，，得，解得，根据分式有意义条件得，解得，求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，． ∴． ∴． 解得． ∴． ∴． ∴， ∴的算术平方根是． 故选：A． 二、填空题 9．若二次根式有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 10．已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的特点，化简绝对值，二次根式的性质化简，理解数轴上点的符号，掌握二次根式性质化简是关键． 根据数轴的特点到，结合绝对值的性质，二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 11．已知x、y为实数，且，则__________． 【答案】 【分析】根据二次根式及偶次幂的非负性得出x、y的值，即可求出答案． 【详解】解：根据题意得， ，， ∴，，即，， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查二次根式，偶次幂的非负性，理解和掌握二次根式的非负性，偶次幂的非负性是解题的关键． 12．若，则_______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，求得，即可求解． 【详解】解：由二次根式的性质可得，，， 解得， 则， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件，正确求得． 13．化简：（）＝_____． 【答案】// 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】∵ ∴ ∴原式＝． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 14．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是_____． 【答案】15 【分析】根据绝对值及二次根式的非负性可得出x、y的值，由三角形三边关系可确定等腰三角形的三边长度，将其相加即可得出结论． 【详解】∵实数x，y满足， ∴x＝3，y＝6， ∵3、3、6不能组成三角形， ∴等腰三角形的三边长分别为3、6、6， ∴等腰三角形周长为：3＋6＋6＝15， 故答案是：15． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、二次根式（绝对值）的非负性以及三角形三边关系，根据绝对值及二次根式非负性结合三角形的三边关系找出等腰三角形的三条边的长度是解题的关键． 15．已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：___________． 【答案】 【分析】根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式，然后根据整式的加减计算法则化简即可得答案． 【详解】解：∵的三边分别为a、b、c， ∴， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，整式的加减计算，三角形三边的关系，正确根据三角形三边的关系得到是解题的关键． 三、解答题 16．已知x=-1，求代数式的值． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式对变形，然后代入x的值计算，再根据二次根式的性质得出答案． 【详解】解：当时，， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，灵活运用完全平方公式变形是解题的关键． 17．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性可得x＝2，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】解：依题意得：，， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，求算术平方根，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 18．若x、y为实数，，化简：． 【答案】 【分析】首先根据二次根式成立的条件求出x的值，再确定y的取值范围，最后再进行化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ = 【点睛】本题考查了二次根式成立的条件和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键， 19．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，m表示物体的质量，单位是千克，v表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，她的质量是60千克．若动能是1000焦耳，求该运动员的跑步速度（结果保留根号）． 【答案】米/秒 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据题目所给公式建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可知， ∴，                 ∴（米/秒）． 答：该运员的跑步速度是米/秒． 20．已知在中，，，． (1)分别化简，的值． (2)试在的方格纸上画出，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了二次根式的化简运算，网格中表示线段长． （1）根据二次根式的化简方法进行化简； （2）根据勾股定理计算边长的方法，在网格中表示、的长． 【详解】（1）解：，； （2）解：如图所示：，，， 21．观察下列等式： ； ； ； ； …… (1)请你按上述规律写出第5个等式：_______； (2)用含字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并给出证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据所给式子的形式进行求解； （2）根据所给式子的形式不难看出式子的值与序号之间的关系：第n个等式：． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； …… ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）解：第n个等式：， 证明： ， ∵n为正整数， ∴． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，掌握将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 二次根式的概念（知识详解+5典例分析+习题巩固） 【知识点01】二次根式的定义 二次根式：一般地，我们把形如(a≥0) 的式子叫作二次根式，a可以是一个数，也可以是一个代数式.当a是一个非负数时，表示a 的算术平方根. 示例 二次根式 说明：（1）二次根式是一种形式定义，即式子中必须含有“ ”. 如=2，是二次根式，2不是二次根式. （2）如果已知是二次根式，就意味着满足a≥0 这一隐含条件. 【知识点02】形如的式子有意义的条件 条件 字母表示 形如的式子有意义 被开方数为非负数 有意义⇔𝑎≥0  【知识点03】二次根式的性质 性质 文字表述 应用及拓展 ≥0（𝑎≥0）  一个非负数的算术平方根是非负数. （1）三类常见的非负数：（𝑎≥0）, ,𝑎². （2）若++𝑐²=0，则𝑎=0 ,𝑏=0,𝑐=0 ，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0. =𝑎（𝑎≥0）  一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身. （1）正用公式：如=2 ,=𝑎²+2 . （2）逆用公式：若≥0,则= ,如5=,=. =∣𝑎∣= 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. （1）正用公式：化简形如 的式子时，先转化为∣𝑎∣，再根据𝑎 的符号去掉绝对值符号，如==4−π . （2）逆用公式：若𝑎≥0 ，则𝑎=，如3= . 辨析： 与的不同点与相同点 不同点 表示的意义 表示非负数𝑎 的算术平方根的平方. 表示𝑎 的平方的算术平方根. 包含的运算顺序 先开方再平方. 先平方再开方. 𝑎 的取值范围 𝑎 为非负数. 𝑎 为全体实数. 结果的表达形式 =𝑎（𝑎≥0）  =∣𝑎∣= 相同点 和的结果都是非负数,且当𝑎≥0 时，= . 【题型一】二次根式的识别 例1．（24-25八年级下·江苏南京·期中）下列各式一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 变式1．（2025八年级·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【题型二】求二次根式的值 例2．下列给出的式子是二次根式的是（    ） A． B． C．2 D． 例3．（2025八年级下·江苏苏州·专题练习）代数式的最小值为__________． 例4．若求的值． 变式1．当时，二次根式的值为（    ） A．2 B． C． D． 变式2．（2025八年级·江苏·专题练习）已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是__________． 变式3．（24-25八年级·江苏镇江·月考）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【题型三】求二次根式中的参数 例5．（2023八年级下·江苏·专题练习）已知是正整数，则自然数的最小值为（　　） A． B． C． D． 例6．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 例7．已知是整数，求自然数n的值． 变式1．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 变式2．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知那么_________． 变式3．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【题型四】二次根式有意义的条件 例8．（2024·江苏徐州·中考真题）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例9．（22-23八年级下·江苏宿迁·月考）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 例10．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）已知x，y为实数，且，求的值． 变式1．（24-25八年级下·江苏南京·月考）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·江苏连云港·二模）使有意义的x的取值范围是______． 变式3．（22-23八年级下·全国·寒假作业）判断下列式子，哪些是二次根式？ (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【题型五】利用二次根式的性质化简 例11．（25-26八年级·江苏苏州·月考）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 例12．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）已知：当a取某一范围内的实数时，代数式的值是一个常数（确定值），则这个常数是_______． 例13．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设，则这个三角形的面积（海伦—秦九韶公式）．当时，求S的值． 变式1．（2025八年级·江苏苏州·专题练习）下列化简中正确的有（   ） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）化简：____． 变式3．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）著名数学教育家·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： ①：________，②：________，③：________． (2)根据上述思路，化简并求出的值． 一、单选题 1．当x＝-2 时，下列各式有意义的是（ ） A． B． C． D． 2．下列选项中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．，，，中最大的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式中①；②；③；④；⑤；一定是二次根式的有（　　）个 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果是（    ） A．2a B．2b C．2a＋2b D．0 7．已知、为实数，且，则的值是（ ） A． B． C． D． 8．如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 二、填空题 9．若二次根式有意义，则x的取值范围是___________． 10．已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简________． 11．已知x、y为实数，且，则__________． 12．若，则_______． 13．化简：（）＝_____． 14．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是_____． 15．已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：___________． 三、解答题 16．已知x=-1，求代数式的值． 17．已知，求的值． 18．若x、y为实数，，化简：． 19．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，m表示物体的质量，单位是千克，v表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，她的质量是60千克．若动能是1000焦耳，求该运动员的跑步速度（结果保留根号）． 20．已知在中，，，． (1)分别化简，的值． (2)试在的方格纸上画出，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为． 21．观察下列等式： ； ； ； ； …… (1)请你按上述规律写出第5个等式：_______； (2)用含字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并给出证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $