第07讲 因式分解 （知识详解+13典例分析+习题巩固）同步讲义与测试2025-2026学年苏科版数学八年级下册

第07讲 因式分解 （知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】因式分解 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式分解.因式分解也可称为分解因式. 说明: 2.因式分解和整式的乘法的关系：因式分解和整式的乘法是过程相反的变形. 辨析：因式分解和整式乘法的区别与联系 因式分解 整式乘法 区别 （1）由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式（和差化积）. （2）一种恒等变形. （1）由整式的积的形式转化成和差形式（多项式）（积化和差）. （2）一种乘法运算. 联系 【知识点02】公因式 1.公因式：多项式ab+ac+ad各项都含有因式“a ”，像这样的因式称为多项式各项的公因式. 公因式可以是数字、也可以是单项式、多项式 2.确定公因式的方法： 公因式是各项系数的最大公约数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积. 示例 确定公因式 【知识点03】提公因式法分解因式 1.如果多项式的各项含有公因式，那么就可以采用添括号的方法把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 例如，9abc−6a²b²+12abc²=3ab(3c−2ab+4c²) . 2.提公因式法的一般步骤： 说明：提出公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式. 【知识点04】用平方差公式分解因式 公式 𝑎²−𝑏²=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏) . 语言叙述 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 能用平方差公式 分解因式的多项 式的特征 （1）只有两项（或两个整体）； （2）两项都能用完全平方表示，即字母的指数是偶数，系数是完全平方数； （3）两项符号相反（一项为正，一项为负）. 注意：公式中的a，b 可以是单项式，也可以是多项式. 示例1 用平方差公式分解因式 【知识点05】用完全平方公式分解因式 1.用完全平方公式分解因式 公式 𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏²=(𝑎+𝑏)² ；𝑎²−2𝑎𝑏+𝑏²=(𝑎−𝑏)². 语言叙述 两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方. 能用完全平方公式分解因式的多项式的特征 符合完全平方式，即（1）多项式是三项；（2）要有两个符号相同的平方项和一个交叉项；（3）交叉项要等于两个平方项底数的积的2倍. 拓展：我们把形如及 的式子称为完全平方式. 简记为：①首 首×尾尾②首 首×尾尾 #2.1. 示例2 用完全平方公 式分解因式 2.公式法： 逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法. 【题型一】判断是否是因式分解 1．（23-24八年级上·江苏南通·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【题型二】已知因式分解的结果求参数 4．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 5．若二次三项式可分解为，则m的值为 ． 6．仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【题型三】公因式 7．多项式的公因式为（   ） A． B． C． D． 8．与的公因式是 ． 【题型四】提公因式法分解因式 9．把提公因式后一个因式是，则另一个因式是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级·江苏苏州·期中）把多项式分解因式的结果是 ． 11．分解因式 (1)． (2)． 【题型五】判断能否用公式法分解因式 12．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 13．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型六】平方差公式分解因式 14．下列多项式中能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）在实数范围内因为分解： ． 【题型七】完全平方公式分解因式 16．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（  ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级·江苏苏州·月考）分解因式： ． 18．某同学对多项式进行因式分解的过程如下： 设，原式． (1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果； (2)请仿照以上方法对多项式进行因式分解． 【题型八】综合运用公式法分解因式 19．（22-23八年级下·江苏常州·期中）有下列分式：①；②；③；④；⑤．其中是最简分式的有 ．（填序号） 20．我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 【题型九】综合提公因式和公式法分解因式 21．下列因式分解正确的是（　　　） A． B． C． D． 22．（25-26八年级·江苏苏州·月考）分解因式： ． 23．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）分解因式：； 【题型十】因式分解在有理数简算中的应用 24．计算 等于（ ） A． B． C． D． 25．利用因式分解计算： ． 26．简便计算： (1) (2)． 【题型十一】十字相乘法 27．把分解因式得，则的值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 28．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 29．（2026八年级下·江苏·专题练习）因式分解： (1) (2) 【题型十二】分组分解法 30．已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（    ） A． B． C． D． 31．分解因式： ． 32．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【题型十三】因式分解的应用 33．（23-24八年级·江苏南通·期末）已知多项式，当时，该多项式的值为n，当时，该多项式的值为m，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 34．已知，则 ． 35．（2026八年级下·江苏·专题练习）设n为正整数，且能被57整除，证明：是57的倍数． 一、单选题 1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．a2﹣4＝（a+2）（a﹣2） B． C．（﹣x﹣1）2＝﹣（x2+2x+1） D．x2+2x+2＝x（x+2）+2 2．多项式中各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 4．把分解因式的结果是(     ) A． B． C． D． 5．若，则（    ） A． B．8 C． D．6 6．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 7．对于任意整数n，多项式都能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被12整除 8．如下列试题，嘉淇的得分是（    ） 姓名：嘉淇　　　得分：　　 将下列各式分解因式（每题20分，共计100分） ①；②；③；④；⑤ A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 9．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 10．有个依次排列的整式，第一项为，第二项是，第二项减去第一项的差记为，将记为，将第二项加上作为第三项，将记为，将第三项与相加记为第四项，以此类推．以下结论正确的有（   ）个 ①，②当，时，第项的值为，③第项为，④． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．因式分解： 12．分解因式： ． 13．如果a＋b＝2022，a-b＝1，那么＝ ． 14．已知，则的值为 ． 15．如果因式分解的结果为，则 ． 16．若x2﹣8x+m2＝（x﹣4）2，那么m＝ ． 17．计算 ． 18．“南安赛场燃热血，少年逐梦展锋芒；青春赛道竞风流，学子挥汗谱华章”．近日南安某中学举行秋季运动会，由若干名同学组成一个10列的长方形队列．若原队列增加54人，就能组成一个正方形队列；若原队列减少54人，也能组成一个正方形队列．则原长方形队列有 名同学． 三、解答题 19．因式分解： 20．分解因式：； 21．分解因式： (1)x2（x﹣y）＋（y﹣x）； (2)3ax2﹣6axy＋3ay2． 22．分解因式： (1)； (2)． 23．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数“． 如： … 所以，，都是“奇巧数“ (1)2，，三个数中，是“奇巧数“的为 　 　； (2)小明同学在演算后发现，一个正奇数4倍的数一定是“奇巧数“，请你说明理由； (3)是“奇巧数“吗？为什么？ 24．【方法理解】 在因式分解中，常数项必然也在分解因数，即若成立，则p，q一定是c的因数．因此我们可以从常数的因数去尝试因式分解．用这种方法将二次三项式进行因式分解的步骤为： 第一步：常数的因数有，1，，3； 第二步：观察发现，当时，，由此推断分解后有一个因式是．同理，当时，，由此推断分解后有一个因式是． 第三步：所以． 利用以上方法，解决下面的问题： 【初步应用】 （1）因式分解：； 解：第一步：常数的因数有，1，2，，，4； 第二步：把代入该式，得．所以该多项式分解后有一个因式是．把代入该式，得．所以该多项式分解后有一个因式是． 第三步：因为原多项式最高次项系数为1，所以设另一个因式是． 则． 请继续完成下列步骤： 填空：　　　　； 多项式因式分解的结果为　　　． 【类比应用】 （2）利用上面的方法对进行因式分解． 25．材料一：如果一个自然数右边的数字总比左边的数字大，我们称它为“上升数”．如果一个三位“上升数”满足百位数字与十位数字之和等于个位数字，那么称这个致为“完全上升数”．例如：A＝123，满足1＜2＜3，且1＋2＝3，所以123是“完全上升数”：B＝346，满足3＜4＜6．且3＋4≠6，所以346不是“完全上升数”． 材料二：对于一个“完全上升数”m＝100a＋10b＋c（1≤a＜b＜c≤9且a，b，c为整数）交换其百位和个位数字得到新数m′＝100c＋10b＋a，规定： 例如：m＝123为“完全上升数”m′＝321，F（m）＝． （1）判断“上升数168，235是否为“完全上升数”，并说明理由． （2）若m是“完全上升数”，且m与m′的和能被7整除，求F（m）的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 因式分解 （知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】因式分解 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式分解.因式分解也可称为分解因式. 说明: 2.因式分解和整式的乘法的关系：因式分解和整式的乘法是过程相反的变形. 辨析：因式分解和整式乘法的区别与联系 因式分解 整式乘法 区别 （1）由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式（和差化积）. （2）一种恒等变形. （1）由整式的积的形式转化成和差形式（多项式）（积化和差）. （2）一种乘法运算. 联系 【知识点02】公因式 1.公因式：多项式ab+ac+ad各项都含有因式“a ”，像这样的因式称为多项式各项的公因式. 公因式可以是数字、也可以是单项式、多项式 2.确定公因式的方法： 公因式是各项系数的最大公约数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积. 示例 确定公因式 【知识点03】提公因式法分解因式 1.如果多项式的各项含有公因式，那么就可以采用添括号的方法把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 例如，9abc−6a²b²+12abc²=3ab(3c−2ab+4c²) . 2.提公因式法的一般步骤： 说明：提出公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式. 【知识点04】用平方差公式分解因式 公式 𝑎²−𝑏²=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏) . 语言叙述 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 能用平方差公式 分解因式的多项 式的特征 （1）只有两项（或两个整体）； （2）两项都能用完全平方表示，即字母的指数是偶数，系数是完全平方数； （3）两项符号相反（一项为正，一项为负）. 注意：公式中的a，b 可以是单项式，也可以是多项式. 示例1 用平方差公式分解因式 【知识点05】用完全平方公式分解因式 1.用完全平方公式分解因式 公式 𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏²=(𝑎+𝑏)² ；𝑎²−2𝑎𝑏+𝑏²=(𝑎−𝑏)². 语言叙述 两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方. 能用完全平方公式分解因式的多项式的特征 符合完全平方式，即（1）多项式是三项；（2）要有两个符号相同的平方项和一个交叉项；（3）交叉项要等于两个平方项底数的积的2倍. 拓展：我们把形如及 的式子称为完全平方式. 简记为：①首 首×尾尾②首 首×尾尾 #2.1. 示例2 用完全平方公 式分解因式 2.公式法： 逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法. 【题型一】判断是否是因式分解 1．（23-24八年级上·江苏南通·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键；因此此题可根据“把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫因式分解”进行求解即可． 【详解】解：A、从左到右的变形是因式分解，故符合题意； B、等式右边不是几个整式乘积的形式，所以不是因式分解，故不符合题意； C、等式右边不是整式，所以不是因式分解，故不符合题意； D、从左到右的变形是整式的乘法，故不符合题意； 故选：A． 2．有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 【答案】 ① ② 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)不是因式分解 (5)不是因式分解 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式． 根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式 【详解】（1）解：因式分解是针对多项式来说的，故不是因式分解； （2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （3）解：是因式分解； （4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解． 【题型二】已知因式分解的结果求参数 4．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 5．若二次三项式可分解为，则m的值为 ． 【答案】1 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解和整式乘法的关系． 先将展开，再根据二次三项式可分解为，可得﹣，即可求出m的值． 【详解】解：， ∵二次三项式可分解为， ∴， 解得， 故答案为：1． 6．仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1) (2)9 (3)； 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解，待定系数法的运用，理解题意是解本题的关键． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）∵， ∴； （3）设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，k的值为12． 【题型三】公因式 7．多项式的公因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】公因式 【分析】根据公因式为系数的最大公因数乘以相同字母的最低次幂，求解即可． 【详解】解：多项式的公因式为； 故选A． 【点睛】本题考查公因式．熟练掌握公因式是系数的最大公因数乘以相同字母的最低次幂，是解题的关键． 8．与的公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．公因式的确定方法：公因式是各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积． 根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：与的公因式是． 故答案为：． 【题型四】提公因式法分解因式 9．把提公因式后一个因式是，则另一个因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，利用提多项式公因式是解题关键． 通过将表示为，化简原式后提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】解：， . 另一个因式是. 故选：A． 10．（25-26八年级·江苏苏州·期中）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．先确定公因式，再提取即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．分解因式 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法成为解题的关键． （1）先提取公因式即可解答； （2）直接提取公因数即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【题型五】判断能否用公式法分解因式 12．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可． 【详解】A．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； B．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； C．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； D．，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点． 13．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式 (2)可以，分解为 (3)不可以，因为不是平方差形式 (4)可以，分解为 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式： （1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解． 【详解】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （2）解：可以用平方差公式分解因式， ； （3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （4）解：可以用平方差公式分解因式， ． 【题型六】平方差公式分解因式 14．下列多项式中能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． 【详解】解：A、，能用平方差公式因式分解，故A符合题意； B、，用提取公因式法因式分解，故B不符合题意； C、，不能用平方差公式因式分解，故C不符合题意； D、，不能用平方差公式因式分解，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方差公式分解因式，关键是正确把握平方差公式的特点：． 15．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）在实数范围内因为分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】根据，利用平方差公式分解即可，本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式分解因式是解题的关键． 【详解】 ． 【题型七】完全平方公式分解因式 16．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】利用完全平方公式：，进而判断得出答案． 【详解】解：A.，不能用完全平方公式进行因式分解； B.，不能用完全平方公式进行因式分解； C.，能用完全平方公式进行因式分解； D.，不能用完全平方公式进行因式分解； 故选C． 【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练运用完全平方公式. 17．（25-26八年级·江苏苏州·月考）分解因式： ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 18．某同学对多项式进行因式分解的过程如下： 设，原式． (1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果； (2)请仿照以上方法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)不正确，最后结果应为 (2) 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是要注意完全平方公式的应用和换元法的应用． （1）根据完全平方公式可知可继续分解，从而可得答案； （2）设，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可． 【详解】（1）解：不正确，正确解答如下： 设， 原式 ； （2）解：设， 则 ． 【题型八】综合运用公式法分解因式 19．（22-23八年级下·江苏常州·期中）有下列分式：①；②；③；④；⑤．其中是最简分式的有 ．（填序号） 【答案】④⑤ 【知识点】最简分式、综合运用公式法分解因式、约分 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：①，原式不是最简分式； ②，原式不是最简分式； ③，原式不是最简分式； ④，原式是最简分式； ⑤是最简分式； 综上分析可知，最简分式有④⑤． 故答案为：④⑤． 【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，解题的关键是熟练掌握定义， 在化简结果中（利用约分的方法），分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式． 20．我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当，时，原式有最小值，最小值为5 (3)当时，原式有最小值，最小值为23． 【知识点】综合运用公式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答； （3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴当，时，有最小值，最小值为5． 即，时，原式有最小值，最小值为5． （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即当时，原式有最小值，最小值为23． 【题型九】综合提公因式和公式法分解因式 21．下列因式分解正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可． 【详解】解：A、ax+ay=a(x+y)，故选项计算错误； B、3a+3b=3(a+b)，选项计算正确； C、，选项计算错误； D、不能进行因式分解，选项计算错误； 故选：B． 【点睛】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 22．（25-26八年级·江苏苏州·月考）分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 23．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）分解因式：； 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】先提公因式b，然后再用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算． 【题型十】因式分解在有理数简算中的应用 24．计算 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解： ． 故选：A． 25．利用因式分解计算： ． 【答案】4051 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用；利用平方差公式进行因式分解后计算． 【详解】解：． 故答案为 4051． 26．简便计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法． （1）直接提取公因式，进而求出答案； （2）将前两项提取公因式2013，进而分解因式得出答案． 【详解】（1）解：      ； （2）解： ． 【题型十一】十字相乘法 27．把分解因式得，则的值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解与整式乘法的关系是解决本题的关键．利用多项式乘多项式法则先计算，根据因式分解和整式乘法的关系确定． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 28．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解，能熟记是解此题的关键，根据公式得出，，求出、，再求出答案即可． 【详解】解：关于的二次三项式可分解为， ∴，， 即，， ∴． 故答案为：． 29．（2026八年级下·江苏·专题练习）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）利用十字相乘法解答即可； （2）先根据多项式乘以多项式计算，再利用十字相乘法解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【题型十二】分组分解法 30．已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分组分解法 【分析】根据已知可以得，之后进行整式乘法计算即可求解本题． 【详解】解：设， ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是整式乘法和因式分解，这里掌握它们互为逆运算是解题的关键． 31．分解因式： ． 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】先把原式分组成，在提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分组分解因式的方法是解题的关键． 32．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分组分解法、十字相乘法、综合运用公式法分解因式 【分析】（1）利用分组法变形为后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可． （2）利用十字相乘法分解因式即可． （3）变形为后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了常见的几种因式分解的方法，有完全平方公式，平方差公式，分组分解法，十字相乘法，熟练掌握以上分解因式的方法是解题的关键． 【题型十三】因式分解的应用 33．（23-24八年级·江苏南通·期末）已知多项式，当时，该多项式的值为n，当时，该多项式的值为m，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了整式的运算，利用因式分解将等式的左边整理成两个整式的乘积是解题的关键．首先根据题意，将x的值分别代入多项式中，得到两个等式，再将两个等式相减，然后利用因式分解将等式整理得，因为，所以得，即可求得答案． 【详解】解：由题意得，①，②， ①-②得，， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 34．已知，则 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】先分解因式，再代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键． 35．（2026八年级下·江苏·专题练习）设n为正整数，且能被57整除，证明：是57的倍数． 【答案】见试题解答内容 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，运用因式分解的方法简化运算． 由能被57整除可设（m为正整数），即，根据幂的乘方和提公因式得，于是可得到是57的倍数． 【详解】证明：能被57整除， 设（m为正整数），即， ， 是57的倍数． 一、单选题 1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．a2﹣4＝（a+2）（a﹣2） B． C．（﹣x﹣1）2＝﹣（x2+2x+1） D．x2+2x+2＝x（x+2）+2 【答案】A 【分析】根据因式分解的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：A、是因式分解，故符合题意； B、不属于因式分解，故不符合题意； C、是整式的乘法，故不符合题意； D、不属于因式分解，故不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查因式分解的概念，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 2．多项式中各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：由于， 因此多项式中各项的公因式是， 故选：D． 【点睛】本题考查了公因式，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．公因式的确定方法：各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积． 3．用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定公因式，再用原多项式除以公因式，可得另外一个因式，进而即可分解因式． 【详解】解：A. ，故该选项错误； B. ，故该选项错误； C. ，故该选项错误；     D. ，故该选项正确， 故选D． 【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键． 4．把分解因式的结果是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，需注意因式分解要分解到不能再分解为止 【详解】解： 故选：D． 5．若，则（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【分析】先求出的值，再代入求值即可． 【详解】 , 常数项相等：, . 项系数相等：, 代入, . 故选：B. 【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是掌握因式分解的方法.. 6．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是熟练应用知识点解题；通过提取公因式法和平方差公式对密文进行因式分解，再对应密码手册得到明文． 【详解】解：∵原式= = = ∵根据密码手册：对应“我”，对应“施”，对应“爱”，对应“恩”， ∴组合后明文可能为“我爱恩施”， 故选：B． 7．对于任意整数n，多项式都能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被12整除 【答案】C 【分析】本题考查了分解因式，将多项式进行因式分解，再根据整除的性质即可得出答案． 【详解】解： ， ∵n是任意整数， ∴都能被8整除， ∴多项式都能被8整除． 故选：C． 8．如下列试题，嘉淇的得分是（    ） 姓名：嘉淇　　　得分：　　 将下列各式分解因式（每题20分，共计100分） ①；②；③；④；⑤ A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】A 【分析】根据提公因式法及公式法分解即可． 【详解】①，故该项正确； ②，故该项错误； ③，故该项错误； ④，故该项错误； ⑤，故该项正确； 正确的有：①与⑤共2道题，得40分， 故选：A． 【点睛】此题考查分解因式，将多项式写成整式乘积的形式，叫做将多项式分解因式，分解因式的方法：提公因式法、公式法，根据每道题的特点选择恰当的分解方法是解题的关键． 9．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、平方差公式与几何图形，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 先得到大正方形边长为，小正方形边长为，即可得到，；再由四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积得到，即可判断③；再由和判断④⑤． 【详解】解：∵大正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9， ∴大正方形边长为，小正方形边长为， ∴，， 故①②正确； ∵四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积， ∴， ∴， 故③正确； ∴， 故④正确； ∴， 故⑤正确， ∴不正确的有0个， 故选：A． 10．有个依次排列的整式，第一项为，第二项是，第二项减去第一项的差记为，将记为，将第二项加上作为第三项，将记为，将第三项与相加记为第四项，以此类推．以下结论正确的有（   ）个 ①，②当，时，第项的值为，③第项为，④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查数式的操作题，涉及整式的加减，因式分解，整式的规律探索，代数式求值，熟练地利用数式的操作将各项列出来，并会寻找规律是解题的关键．先根据题意将，，，，依次列出来并寻找规律即可判定①，再探索和的规律得④，再将第一项，第二项，第三项，，依次列出来并寻找规律即可判定②和③，即可解答． 【详解】解：根据题意，得：； ； ； ； 则， 故①正确； ∵； ； ； ∴， 故④正确； 由题意，可得第项为：； 第项为：； 第项为：； 第项为：； ∴第项为：； 当，时，第项的值为， 故②正确； 第项为：， 故③错误； 综上，正确的有个， 故选：C． 二、填空题 11．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．分解因式： ． 【答案】 【分析】利用提公因式的方法可以得解． 【详解】解：原式=ab(3−b)， 故答案为：ab(3−b)．　　　　 【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键 ． 13．如果a＋b＝2022，a-b＝1，那么＝ ． 【答案】2022 【解析】略 14．已知，则的值为 ． 【答案】9 【分析】将先因式分解，后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：9． 【点睛】本题考查因式分解的应用、求代数式的值，用整体代入求解是解题的关键． 15．如果因式分解的结果为，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查因式分解，多项式乘多项式，及负整数指数幂的运算，根据多项式乘以多项式的法则，将展开，利用恒等式对应项相同，求出m，n的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴； 故答案为：1． 16．若x2﹣8x+m2＝（x﹣4）2，那么m＝ ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】解：∵x2-8x+m2=（x-4）2， ∴x2-8x+m2=x2-8x+16， ∴m2=16， ∴m=±4， 故答案为：±4． 【点睛】本题考查了因式分解，求一个数的平方根，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 17．计算 ． 【答案】 【分析】利用平方差公式将各因式分解后进行约分即可得解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式的计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 18．“南安赛场燃热血，少年逐梦展锋芒；青春赛道竞风流，学子挥汗谱华章”．近日南安某中学举行秋季运动会，由若干名同学组成一个10列的长方形队列．若原队列增加54人，就能组成一个正方形队列；若原队列减少54人，也能组成一个正方形队列．则原长方形队列有 名同学． 【答案】730或90 【分析】本题主要考查因式分解的应用，设原长方形队列有 （n为正整数）名同学，增加54人可组成的正方形队列，减少54人可组成 的正方形队列，由人数不变，可列出关于a，b的方程组，作差后可得出，即，结合和同奇或同偶及，可求出a，b的值，结合方程①可求出n值，取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设原长方形队列有（n为正整数）名同学，增加54人可组成的正方形队列，减少54人可组成 的正方形队列， 根据题意得： ， 由得：，即， ∵和同奇或同偶，且 ， ∴ 或， ∴ 或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意． ∴原长方形队列有730或90名同学． 故答案为：730或90． 三、解答题 19．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 20．分解因式：； 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 直接运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， ， ． 21．分解因式： (1)x2（x﹣y）＋（y﹣x）； (2)3ax2﹣6axy＋3ay2． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可得； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题关键． 22．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法成为解题的关键． （1）先提取公因式a，然后再运用完全平方公式因式分解即可； （2）直接提取公因式即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解：． 23．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数“． 如： … 所以，，都是“奇巧数“ (1)2，，三个数中，是“奇巧数“的为 　 　； (2)小明同学在演算后发现，一个正奇数4倍的数一定是“奇巧数“，请你说明理由； (3)是“奇巧数“吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)一个正奇数倍的数一定是“奇巧数” (3)是“奇巧数”，理由见解析 【分析】（1）利用奇巧数的定义解决问题； （2）首先分解因式然后利用奇巧数的定义判断； （3）把分解为，然后根据（2）的结论即可判断． 【详解】（1）解：∵，， 而不能写成两个连续偶数的平方差， ∴，是“奇巧数“， 故答案为：，； （2）设这个正奇数为，则倍可表示为， ， 总能表示为两个连续偶数的平方差， 为正整数是“奇巧数“． 答：一个正奇数倍的数一定是“奇巧数“； （3）是“奇巧数“． 理由： ，即是奇数的倍， 由可知是“奇巧数“． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式因式分解是解题关键． 24．【方法理解】 在因式分解中，常数项必然也在分解因数，即若成立，则p，q一定是c的因数．因此我们可以从常数的因数去尝试因式分解．用这种方法将二次三项式进行因式分解的步骤为： 第一步：常数的因数有，1，，3； 第二步：观察发现，当时，，由此推断分解后有一个因式是．同理，当时，，由此推断分解后有一个因式是． 第三步：所以． 利用以上方法，解决下面的问题： 【初步应用】 （1）因式分解：； 解：第一步：常数的因数有，1，2，，，4； 第二步：把代入该式，得．所以该多项式分解后有一个因式是．把代入该式，得．所以该多项式分解后有一个因式是． 第三步：因为原多项式最高次项系数为1，所以设另一个因式是． 则． 请继续完成下列步骤： 填空：　　　　； 多项式因式分解的结果为　　　． 【类比应用】 （2）利用上面的方法对进行因式分解． 【答案】（1）2；；（2） 【分析】本题主要考查因式分解的拓展，解题的关键在于准确理解题意找到试根法的运算技巧． （1）把三个因式运用多项式的乘法展开，对应系数相等解题即可，直接利用前面的结论把三个因式写成积的形式即可； （2）先用试根法分解为，再用试多项式的乘法展开对应系数相等，解题即可． 【详解】解：（1）解：第一步：常数的因数有，1，2，，，4； 第二步：把代入该式，得．所以该多项式分解后有一个因式是．把代入该式，得．所以该多项式分解后有一个因式是． 第三步：因为原多项式最高次项系数为1，所以设另一个因式是． 则， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2 ；． （2）第一步：常数的因数有，1，，3； 第二步：把代入该式，得． 所以该多项式分解后有一个因式是． 第三步：因为原多项式最高次项系数为2，所以设另一个因式是． 设， 则，． ． 25．材料一：如果一个自然数右边的数字总比左边的数字大，我们称它为“上升数”．如果一个三位“上升数”满足百位数字与十位数字之和等于个位数字，那么称这个致为“完全上升数”．例如：A＝123，满足1＜2＜3，且1＋2＝3，所以123是“完全上升数”：B＝346，满足3＜4＜6．且3＋4≠6，所以346不是“完全上升数”． 材料二：对于一个“完全上升数”m＝100a＋10b＋c（1≤a＜b＜c≤9且a，b，c为整数）交换其百位和个位数字得到新数m′＝100c＋10b＋a，规定： 例如：m＝123为“完全上升数”m′＝321，F（m）＝． （1）判断“上升数168，235是否为“完全上升数”，并说明理由． （2）若m是“完全上升数”，且m与m′的和能被7整除，求F（m）的值． 【答案】或 【分析】（1）根据题意“完全上升数”的定义判断即可； （2）表示出m与m′，再根据m+m′能被7整除，求出F（m）的值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴168不是“完全上升数”， 235是“完全上升数”； （2）设“完全上升数”m的百位、十位、数字为，则个位数字为， ∵， ∴，， 则， ， ∴，， ∵，， ∴当能被整除时，能被整除， ∴时，；时，， ∴或满足题意， 当时，＝， 当时，＝， 综上，F（m）的值为或． 【点睛】本题考查了用定义解决问题，理解“上升数”和“完全上升数”的定义是解本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $