第13讲 一次函数的图象和性质（知识详解+16典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版八年级数学下册同步讲义与测试

第13讲 一次函数的图象和性质（知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】正比例函数的图象和性质 1. 正比例函数的图象：一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k ≠ 0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx. 2. 正比例函数图象的画法(两点法)：因为两点确定一条直线，而正比例函数y＝kx(k≠0)的图象又是经过原点的直线，所以只要再确定正比例函数图象上一点，就可以画出正比例函数的图象. 一般地，这一点可以取点(1，k)这个特殊点. 3. 正比例函数的图象和性质 k>0 k<0 图象 位置 过原点且经过第三、第一象限 过原点且经过第二、第四象限 走势 从左向右呈上升趋势(↗) 从左向右呈下降趋势(↘) 位置 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 【知识点02】一次函数的图象和性质 1. 一次函数的图象：一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0)的图象是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b. 2. 一次函数的图象与正比例函数的图象的关系 一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)的图象可以由直线y＝kx 平移|b|个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移) 3. 一次函数图象的画法 (1)两点法：因为两点确定一条直线，所以一般选取直线y＝kx＋b(k≠0)与两坐标轴的交点，即(0，b)与(－b/k，0)画直线. 有时为了描点更方便、准确，取横、纵坐标都是整数的两点. (2)平移法：由y＝kx(k≠0)的图象通过平移得到y＝kx＋b的图象. 4. 一次函数的图象和性质 一次函数 y＝kx＋b(k≠0) k，b的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b＝0 b>0 b<0 b＝0 图象的位置 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 经过的象限 第一、二、第三象限 第一、三、第四象限 第一、第三象限 第一、第二、第四象限 第二、第三、第四象限 第二、第四象限 【知识点03】一次函数图象的平移(拓展点) 1. 一次函数图象的平移规律 平移前 平移方向及距离(m>0) 平移后 规律 参考图示 y＝kx＋b (k≠0) 向上平移m个单位长度 y＝kx＋b＋m 上加下减常数项 向下平移m个单位长度 y＝kx＋b－m y＝kx＋b (k≠0) 向左平移m个单位长度 y＝k(x＋m)＋b 左加右减自变量 向右平移m个单位长度 y＝k(x－m)＋b 2. 在同一平面直角坐标系中，两条直线：，：的位置关系与，，，有关，如下表： ，，，的关系 与的位置关系  ≠ 与相交  ≠ ，＝ 与相交于y轴上的同一点(0，)或(0，) ＝， ≠  与平行 ＝，＝ 与重合 ·＝－1 ⊥ 【知识点04】用待定系数法确定一次函数的解析式 1. 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法. 2. 用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 (1)设：设出一次函数的解析式y＝kx＋b(k ≠ 0)； (2)列：将已知的两组x，y的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于k，b的二元一次方程组； (3)解：解所列的方程组，求出k，b的值； (4)写：写出所求一次函数的解析式. 【题型一】正比例函数的图象 例1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数的图象与x轴正半轴所夹的锐角为，则_____． 变式2．（2025八年级下·全国·专题练习）用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． (1)； (2)． 【题型二】正比例函数的性质 例2．（22-23八年级下·辽宁大连·期中）已知均在直线上，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）已知点，，直线与线段有公共点，则的取值范围是___________． 变式2．（24-25八年级下·河南周口·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点，是该正比例函数图象上的两点，试比较、的大小． 【题型三】判断一次函数的图象 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数和，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是________________． 变式2．（2024八年级上·全国·课后作业）下列图象中，表示一次函数的有哪些？ 【题型四】根据一次函数解析式判断其经过的象限 例4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 变式1．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线: ，则直线一定经过点______． 变式2．（2024八年级下·上海·专题练习）一次函数的图象能否可以不经过第三象限?为什么? 【题型五】已知函数经过的象限求参数范围 例5．（25-26八年级下·北京延庆·期中）若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 变式1．（25-26八年级下·福建福州·期中）若一次函数经过第一、三、四象限，则可以是________．（只要写出一个满足条件的即可） 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥）已知一次函数． (1)m为何值时，直线经过原点？ (2)m为何值时，直线经过第一、二、三象限？ (3)m为何值时，直线不经过第三象限？ 【题型六】一次函数图象与坐标轴的交点问题 例6．（25-26八年级下·河南南阳·期中）直线与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·北京房山·期中）已知一次函数图象与轴交点在轴上方，则的取值范围是___________． 变式2．（25-26八年级·广东佛山·期末）从特殊到一般的化归思想，从猜想到验证的探究推理，步步递进，环环相扣，钻研其中，其乐无穷．已知直线分别交轴、轴于点A、B，交直线于点．点到轴的距离记为． (1)【特例探究】当时，求与的值． (2)【猜想验证】探究线段、的长度与之间的数量关系． (3)【类比推广】将“直线”更改为“直线”，其余条件不变，（2）中的结论会怎么改变？直接写出你探究后的结果． 【题型七】画一次函数图象 例7．（23-24八年级下·福建福州·期中）函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   变式1．（23-24八年级·广东梅州·期中）若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过__________象限． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，分别作出下列一次函数的图象，并指出它们的图象之间有什么关系． （1）；（2）；（3）． 【题型八】一次函数图象平移问题 例8．（25-26八年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，直线可以看作由直线（   ） A．向上平移4个单位长度得到 B．向上平移2个单位长度得到 C．向下平移4个单位长度得到 D．向下平移2个单位长度得到 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）把直线向上平移2个单位后所得直线的表达式为______． 变式2．（23-24八年级下·北京·期中）已知函数． (1)若函数的图象平行于直线，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且与y轴的交点在x轴的下方，求m的取值范围． 【题型九】一次函数图象与对称问题 例9．（25-26八年级上·山东淄博·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 变式1．（2023·福建福州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A． B． C． D． 变式2．（23-24八年级下·四川成都·自主招生）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“型函数”．例如：图就是一次函数关于直线的“型函数”图象．若函数关于直线的“型函数”图象与轴只有一个交点，则________．如图，点，以为斜边在轴上方作等腰，当函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，则的取值范围为________． 【题型十】一次函数图象与旋转问题 例10．（25-26八年级上·天津河东·期末）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级·江苏南京·期末）将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 变式2．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 【题型十一】判断一次函数的增减性 例11．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式1．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知函数，当时，y的最大值是______． 变式2．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）设a，b是任意两个不相等的实数，我们规定：当时，满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做“稳定区间”，表示为，对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：，有我们就称此函数是稳定区间上的“稳定函数”． (1)正比例函数是稳定区间上的“稳定函数”吗？请判断并说明理由； (2)若一次函数是稳定区间上的“稳定函数”，求m，n的值； (3)若函数是稳定区间上的“稳定函数”，且a，b为整数，求数a，b的值． 【题型十二】根据一次函数增减性求参数 例12．（25-26八年级下·北京·期中）已知是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 变式1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________． 变式2．（25-26八年级下·重庆万州·月考）一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 【题型十三】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 例13．（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知直线经过点，．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2025·广东佛山·三模）已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为______． 变式2．（24-25八年级下·河北张家口·期末）已知函数． (1)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x … _____ … … ___ … (2)当时，求y的取值范围． 【题型十四】比较一次函数值的大小 例14．（25-26八年级下·北京海淀·期中）已知直线过点和，则和的大小关系是() A． B． C． D．不能确定 变式1．（25-26八年级下·北京·月考）点和都在直线上，则与的关系是________（填或）． 变式2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 【题型十五】一次函数的规律探究问题 例15．（2026·山东临沂·模拟预测）若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使恒成立，则叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期．现在已知一个周期为2的周期函数在时的解析式为，则（   ） A．2024 B．4048 C． D． 变式1．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 变式2．（1）在同一直角坐标系内画出函数，的图象，这两个图象有怎样的位置关系？ （2）函数，的图象又有怎样的位置关系？一般地，你有怎样的猜想？ 【题型十六】求一次函数解析式 例16．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数解析式，若该函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 变式1．（22-23八年级下·河南商丘·月考）请写出一个经过点的正比例函数解析式______． 变式2．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知一次函数的图象经过点与． (1)求该函数的解析式； (2)说明该函数的一条性质，并利用该性质直接写出当时的取值范围． 一、单选题 1．下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 2．若一次函数（m是常数）与y轴交于负半轴，则m的值可能是（    ） A．4 B．3 C．0 D． 3．下列四个函数中，随的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的两点，则m、n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．弹簧原长（不挂重物）10cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如表所示：当重物质量为6kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是：（    ） 重物质量x（kg） 1 2 3 4 弹簧总长度L（cm） 12 14 16 18 A．20 B．22 C．24 D．26 6．如图在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、，将线段沿某个方向平移，点、对应的点、恰好在直线和直线上，则当四边形为菱形时点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线的函数表达式为y＝kx﹣3（k≠0），当自变量满足1≤x≤3时，其对应的函数图象都在x轴下方，则k的取值范围是（　　） A．k＞3 B．k＞1 C．k＜1 D．k＜3 8．函数图象上有两点，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 9．过点的直线不经过第三象限，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．不论取何值，点都在直线上，若点是直线上一点，则__________． 11．直线经过点，，则_______（填“”或“”）． 12．已知正比例函数，当x每增加1时，y减少3，则__________． 13．已知关于x的一次函数y＝kx+4的图象经过点（1，2），则k的值是 _____． 14．将函数（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若该图象与直线的两个交点的横坐标都满足，则b的取值范围为______． 15．已知一次函数y＝（m﹣2）x+n﹣3图象如图所示，化简：|m﹣n|+＝__． 16．在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒2个单位的速度向下平移，经过______秒该直线可将平行四边形的面积平分． 三、解答题 17．在平面直角坐标系中，若点O（0，0），A（﹣1，6），B（a，﹣2）在同一条直线上，求a的值． 18．欢乐话剧团推出，两种票，购买8张种票，6张种票，共需3120元；购买1张种票比1张种票需多付40元．若种票的持票人数与种票的持票人数满足如图的函数图象（其中取正整数）． (1)请写出与之间的关系式； (2)据悉，看一场话剧持种票的有300人，求该场话剧收入的总额． 19．某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动，现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表，设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写x的取值范围）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有哪几种租车方案？ 20．已知一次函数过点、．    (1)求k，b的值； (2)在平面直角坐标系中，画出函数图象； (3)结合图象直接写出的面积． 21．1~6个月的婴儿生长发育非常快，他们的体重（）和月龄（月）的关系可以用来表示，其中是婴儿出生时的体重． 下面表格表示在1~6个月之间，这个婴儿的体重y与月龄x之间的关系． 月龄x/月 1 2 3 4 5 6 体重y/g 4200 4900 5600 6300 7000 7700 (1)上表反映的变化过程中，___________是自变量，___________是因变量； (2)利用表中数据直接写出该婴儿体重（）和月龄（月）之间的关系式为___________； (3)若某婴儿出生时的体重为，请计算该婴儿第个月时体重是多少？ 22．在平面直角坐标系中，，将点向上平移3个单位得到点，过点作，如图1． (1)求直线的表达式； (2)如图2，分别作和的角平分线，相交于点， ①求证：； ②求的度数． 23．对于老师给定的一次函数，有以下三条关于该函数图象与性质的正确信息： ①函数图象与轴交于点； ②函数图象与轴交于点，且； ③的值随着值的增大而增大． 根据以上信息求： （1）填空：点的坐标是__________； （2）求出这个函数的表达式，并画出这个函数的图象； （3）若直线与该一次函数的图象平行，求直线与两坐标轴围成的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 一次函数的图象和性质（知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】正比例函数的图象和性质 1. 正比例函数的图象：一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k ≠ 0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx. 2. 正比例函数图象的画法(两点法)：因为两点确定一条直线，而正比例函数y＝kx(k≠0)的图象又是经过原点的直线，所以只要再确定正比例函数图象上一点，就可以画出正比例函数的图象. 一般地，这一点可以取点(1，k)这个特殊点. 3. 正比例函数的图象和性质 k>0 k<0 图象 位置 过原点且经过第三、第一象限 过原点且经过第二、第四象限 走势 从左向右呈上升趋势(↗) 从左向右呈下降趋势(↘) 位置 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 【知识点02】一次函数的图象和性质 1. 一次函数的图象：一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0)的图象是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b. 2. 一次函数的图象与正比例函数的图象的关系 一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)的图象可以由直线y＝kx 平移|b|个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移) 3. 一次函数图象的画法 (1)两点法：因为两点确定一条直线，所以一般选取直线y＝kx＋b(k≠0)与两坐标轴的交点，即(0，b)与(－b/k，0)画直线. 有时为了描点更方便、准确，取横、纵坐标都是整数的两点. (2)平移法：由y＝kx(k≠0)的图象通过平移得到y＝kx＋b的图象. 4. 一次函数的图象和性质 一次函数 y＝kx＋b(k≠0) k，b的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b＝0 b>0 b<0 b＝0 图象的位置 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 经过的象限 第一、二、第三象限 第一、三、第四象限 第一、第三象限 第一、第二、第四象限 第二、第三、第四象限 第二、第四象限 【知识点03】一次函数图象的平移(拓展点) 1. 一次函数图象的平移规律 平移前 平移方向及距离(m>0) 平移后 规律 参考图示 y＝kx＋b (k≠0) 向上平移m个单位长度 y＝kx＋b＋m 上加下减常数项 向下平移m个单位长度 y＝kx＋b－m y＝kx＋b (k≠0) 向左平移m个单位长度 y＝k(x＋m)＋b 左加右减自变量 向右平移m个单位长度 y＝k(x－m)＋b 2. 在同一平面直角坐标系中，两条直线：，：的位置关系与，，，有关，如下表： ，，，的关系 与的位置关系  ≠ 与相交  ≠ ，＝ 与相交于y轴上的同一点(0，)或(0，) ＝， ≠  与平行 ＝，＝ 与重合 ·＝－1 ⊥ 【知识点04】用待定系数法确定一次函数的解析式 1. 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法. 2. 用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 (1)设：设出一次函数的解析式y＝kx＋b(k ≠ 0)； (2)列：将已知的两组x，y的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于k，b的二元一次方程组； (3)解：解所列的方程组，求出k，b的值； (4)写：写出所求一次函数的解析式. 【题型一】正比例函数的图象 例1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【知识点】正比例函数的图象 【分析】根据正比例函数比例系数的符号，即可判断图象经过的象限． 【详解】解：∵对于正比例函数，， ∴的图象经过第二、四象限． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数的图象与x轴正半轴所夹的锐角为，则_____． 【答案】 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，需结合等腰直角三角形的性质，分析直线在不同象限情况下的取值． 【详解】解：设正比例函数的图象上异于原点的一点坐标为， 由于直线与轴所夹的锐角为，过该点向轴作垂线，所得直角三角形为等腰直角三角形， 因此该点纵坐标的绝对值等于横坐标的绝对值，即， ∴． 变式2．（2025八年级下·全国·专题练习）用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查了正比例函数的图象． （1）根据函数的图象经过和，画出图象即可； （2）根据函数的图象经过和，画出图象即可． 【详解】（1）解：的图象经过和，其图象为： （2）解：正比例函数的图象经过和，其图象为： 【题型二】正比例函数的性质 例2．（22-23八年级下·辽宁大连·期中）已知均在直线上，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】正比例函数的性质 【分析】根据正比例函数的解析式可判断该函数的增减性，根据增减性和已知条件即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵均在直线上，且， ∴． 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）已知点，，直线与线段有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】直线过坐标原点，分别求出直线经过端点和端点时的值，即可确定的取值范围． 【详解】解：将代入，得 ，解得，此时取最大值． 将代入，得 解得，此时取最小值． 直线与线段有公共点， ． 变式2．（24-25八年级下·河南周口·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点，是该正比例函数图象上的两点，试比较、的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，解答关键是熟练掌握正比例函数的性质：当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限． （1）根据正比例函数的图象与性质解即可； （2）根据正比例函数图象的增减性作答即可． 【详解】（1）解：正比例函数的图象经过第二、四象限， 解得； （2）解：由（1）知，，则正比例函数中y的值随x的增大而减小， 点，是该正比例函数图象上的两点， ， ． 【题型三】判断一次函数的图象 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数和，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题主要考查一次函数图像与系数的关系，选定一个函数图象确定系数k，b的符号，看另一个函数图象的位置是否符合． 【详解】当时，与均过一、二、三象限，所以正确，不符合题意； 当时，过一、三、四象限，过一、二、四象限，所以选项不符合题意； 变式1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是________________． 【答案】 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大． 【详解】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 变式2．（2024八年级上·全国·课后作业）下列图象中，表示一次函数的有哪些？ 【答案】（2） 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】根据一次函数的图象是直线即可求解． 【详解】解：表示y是x的一次函数的图象是一条直线，观察选项，只有（2）符合题意． 故表示一次函数的为（2）． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，一次函数和正比例函数的图象都是直线． 【题型四】根据一次函数解析式判断其经过的象限 例4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】对于一次函数（k、b为常数，），当时，的图象经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：，， 一次函数图象经过第二、三、四象限， 图象不经过第一象限． 变式1．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线: ，则直线一定经过点______． 【答案】 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】将直线方程变形整理为含参数的式子，根据等式恒成立的条件，令参数的系数为，即可求出直线恒过的定点坐标． 【详解】解： ∵该式对任意实数都成立， ∴需满足的系数为，即， 解得， 将代入 ，得， ∴直线一定经过点． 变式2．（2024八年级下·上海·专题练习）一次函数的图象能否可以不经过第三象限?为什么? 【答案】不可以不经过第三象限．理由见解析 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】先假设不经过第三象限，得到经过第一二四象限或二四象限的k的取值即可求解． 【详解】解：若一次函数的图象不经过第三象限， 则一次函数的图象可以是经过第一二四象限，此时，无解； 也可以经过第二四象限，此时，无解． 综上可知，上述一次函数图象不可以不经过第三象限． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟记一次函数的性质是解题的关键． 【题型五】已知函数经过的象限求参数范围 例5．（25-26八年级下·北京延庆·期中）若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】利用一次函数的图象性质，根据图象经过的象限判断和的符号即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限， ∴． ∵图象还经过第四象限， ∴． 即，． 变式1．（25-26八年级下·福建福州·期中）若一次函数经过第一、三、四象限，则可以是________．（只要写出一个满足条件的即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，判断出的符号，再写出符合条件的的值即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限， ， 可以是（答案不唯一）． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥）已知一次函数． (1)m为何值时，直线经过原点？ (2)m为何值时，直线经过第一、二、三象限？ (3)m为何值时，直线不经过第三象限？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的定义以及一次函数图象与系数的关系． （1）由一次函数的图象经过原点，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的定义可得出关于m的一元一次方程及一元一次不等式，解之即可得出m的值； （2）由一次函数的图象经过第一、二、三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围； （3）由直线不经过第三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数经过坐标原点， ∴且， 解得：． 故m为时，函数的图象经过坐标原点． （2）解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 解得：． 故时，直线经过第一、二、三象限． （3）解：∵直线不经过第三象限， ∴， 解得， 故时，直线不经过第三象限． 【题型六】一次函数图象与坐标轴的交点问题 例6．（25-26八年级下·河南南阳·期中）直线与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】y轴上的点横坐标均为0，将代入直线解析式即可求出对应y值，得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标为0， ∴将代入解析式得， ∴直线与y轴的交点坐标为． 变式1．（25-26八年级下·北京房山·期中）已知一次函数图象与轴交点在轴上方，则的取值范围是___________． 【答案】且 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】先根据一次函数的定义得到一次项系数不为0，再根据图象交点位置列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 是一次函数， ， 解得， 当时，， 即一次函数图象与轴交点的纵坐标为， 该函数图象与轴交点在轴上方， ， 综上所述：且． 变式2．（25-26八年级上·广东佛山·期末）从特殊到一般的化归思想，从猜想到验证的探究推理，步步递进，环环相扣，钻研其中，其乐无穷．已知直线分别交轴、轴于点A、B，交直线于点．点到轴的距离记为． (1)【特例探究】当时，求与的值． (2)【猜想验证】探究线段、的长度与之间的数量关系． (3)【类比推广】将“直线”更改为“直线”，其余条件不变，（2）中的结论会怎么改变？直接写出你探究后的结果． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，两直线交点坐标的求法是解题的关键． （1）分别求出，，，即可求解； （2）分别求出，，，即可求解； （3）分别求出，，，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴直线表达式为 当时，， ， 当时，， ， ， ∵点为直线和直线的交点， ， 得， ， ； （2）解：∵直线表达式为， 可得：， ， ， 解方程组得：， 即， ， ； （3）解：依题意有交点．则 ①当时，交点为，与无关 ②当或时， ③当时，． 【题型七】画一次函数图象 例7．（23-24八年级下·福建福州·期中）函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】画一次函数图象 【分析】根据画图像的基本步骤，画图判断即可． 【详解】解：∵， ∴函数的图像大致是   ， 故选C． 【点睛】本题考查了分段函数图像的画法，熟练掌握画图像的基本步骤是解题的关键． 变式1．（23-24八年级上·广东梅州·期中）若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过__________象限． 【答案】四 【知识点】画一次函数图象 【分析】本题考查了一次函数的图象．在函数中运用数形结合的思想是解题的关键． 根据一次函数图象过、，在平面直角坐标系中作一次函数图象，然后作答即可． 【详解】解：如图， ∵一次函数的图象经过利点， ∴函数的图象不经过第四象限， 故答案为：四． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，分别作出下列一次函数的图象，并指出它们的图象之间有什么关系． （1）；（2）；（3）． 【答案】图见解析，直线、直线和直线互相平行 【知识点】画一次函数图象 【详解】解：作图如下， ∴直线、直线和直线互相平行． 【题型八】一次函数图象平移问题 例8．（25-26八年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，直线可以看作由直线（   ） A．向上平移4个单位长度得到 B．向上平移2个单位长度得到 C．向下平移4个单位长度得到 D．向下平移2个单位长度得到 【答案】A 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据一次函数图象的平移规律，利用上下平移“上加下减”的规则，即可判断平移方向和平移距离. 【详解】解：原直线解析式为 ，平移后的直线为 ，相当于在原解析式整体加了， ∴是向上平移个单位长度得到的. 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）把直线向上平移2个单位后所得直线的表达式为______． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象平移问题 【详解】解：将直线向上平移个单位，根据平移规律“上加下减”，可得平移后直线的表达式为：， 整理得：， 变式2．（23-24八年级下·北京·期中）已知函数． (1)若函数的图象平行于直线，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且与y轴的交点在x轴的下方，求m的取值范围． 【答案】(1)不存在m的值使函数的图象平行于直线 (2)且 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数图象的平移： （1）根据两直线平行，值相等，得到且，求解即可； （2）根据题意，得到且，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象平行于直线， ∴且 ∴无解， ∴不存在m的值使函数的图象平行于直线； （2）∵这个函数是一次函数，且与y轴的交点在x轴的下方， ∴且， 解得：且． 【题型九】一次函数图象与对称问题 例9．（25-26八年级上·山东淄博·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【知识点】一次函数图象与对称问题 【分析】本题考查一次函数图象的对称性，关于轴对称的图象对应函数值互为相反数． 由得到，即可判断一次函数和的图象关于轴对称． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数和的图象关于轴对称， 故选：B． 变式1．（2023·福建福州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数图象与对称问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查中点坐标公式、轴对称的性质、一次函数的图象与性质，连接，利用中点坐标公式求得线段的中点，再根据轴对称的性质得，直线l垂直平分，进而得直线l经过一、三象限，且经过点B，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点，点， ∴线段的中点， ∵点A与点A′关于直线l成轴对称， ∴直线l垂直平分， ∴直线l经过一、三象限，且经过点B， ∴直线l的解析式是， 故选：C． 变式2．（23-24八年级下·四川成都·自主招生）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“型函数”．例如：图就是一次函数关于直线的“型函数”图象．若函数关于直线的“型函数”图象与轴只有一个交点，则________．如图，点，以为斜边在轴上方作等腰，当函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，则的取值范围为________． 【答案】 或 【知识点】一次函数图象与对称问题 【分析】根据“型函数”的定义可知“型函数”图象与轴只有一个交点时，该交点即函数本身与轴的交点；先求出函数与轴的交点坐标，结合函数图象分析即可得解． 【详解】解：令，则， ， 函数关于直线的“型函数”图象与轴只有一个交点， ； 等腰中，点， ， 点， 直线的解析式为， 解方程， ， 函数与轴的交点为， 当时，函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点， 直线与的边已经有两个交点， 函数关于直线的“型函数”图象与的边不能再有交点，即在点的左侧， 与点关于对称， 时，函数关于直线的“型函数”图象经过点， 函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，的取值范围为或． 故答案为：①；②或． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质，解题关键是运用数形结合的思想解题． 【题型十】一次函数图象与旋转问题 例10．（25-26八年级上·天津河东·期末）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数图象与旋转问题 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 变式1．（25-26八年级·江苏南京·期末）将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【知识点】一次函数图象与旋转问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数图象的旋转以及一次函数与坐标的交点问题，掌握一次函数图象的旋转是解题的关键．一次函数中，令，则，当一次函数绕原点顺时针旋转后，则的对应点为，得到，分别当和时讨论，即可解得． 【详解】解：在一次函数中，令，则， ∴直线经过点， 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转， 则的对应点为， 旋转后图象与轴交于点， ， ， ， 当时，，解得，即； 当时，，解得，与矛盾，无解； 的取值范围是， 故答案为：． 变式2．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， (3)作图见解析， (4)，作图见解析， 【知识点】一次函数图象与对称问题、一次函数图象与旋转问题、画一次函数图象、一次函数图象平移问题 【分析】（1）利用描点法作图即可； （2）根据一次函数的平移即可解答； （3）先求得直线与轴，轴的交点，利用轴对称的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答； （4）先利用旋转的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，可得， 解得， ∴直线经过，， 作图如下： ； （2）解：将直线向下平移4个单位得到直线，作图如下： 可得直线所对应的函数表达式为； （3）解：当时，可得， 解得， 当时，， 是直线上的点， 直线与直线关于轴成轴对称， 是直线上的点， 设直线的表达式为， 把代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： ； （4）解：根据（3）中可得，且直线经过点， 将直线绕点逆时针旋转得到直线， 点绕点逆时针旋转的对应点为点 直线经过，， 设直线的表达式为， 把，代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： . 【题型十一】判断一次函数的增减性 例11．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】利用一次函数的增减性，结合和的符号，确定直线与轴交点的位置，再根据的乘积关系判断的符号，得到结论． 【详解】解：∵，∴随增大而增大， ∵，∴， 令，得直线与轴交点横坐标， ∵，，∴，即交点在轴正半轴， 若，可得，因此， ∵，，∴，，可得，故C正确． A中可为负，可为正，， A错误； B中为负，为正，，B错误； D中可正可负，不一定小于，D错误． 变式1．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知函数，当时，y的最大值是______． 【答案】 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】本题考查一次函数的增减性，利用增减性即可求出最大值． 【详解】一次函数中，，y随x增大而减小． 故当时，． 故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）设a，b是任意两个不相等的实数，我们规定：当时，满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做“稳定区间”，表示为，对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：，有我们就称此函数是稳定区间上的“稳定函数”． (1)正比例函数是稳定区间上的“稳定函数”吗？请判断并说明理由； (2)若一次函数是稳定区间上的“稳定函数”，求m，n的值； (3)若函数是稳定区间上的“稳定函数”，且a，b为整数，求数a，b的值． 【答案】(1)正比例函数是稳定区间上的“稳定函数”，见解析 (2)，； (3)，或，或，或，或，. 【知识点】判断一次函数的增减性、求一次函数自变量或函数值 【分析】此题考查了一次函数的性质，求一次函数的函数值： （1）根据定义分别计算x，y的区间，即可判断； （2）由一次函数是稳定区间上的“稳定函数”，得，，分两种情况解答； （3）当时，一次函数在稳定区间上y随x的增大而增大，当时， 一次函数在稳定区间上y随x的增大而减小，分三种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解： 是稳定区间上的“稳定函数” ∵，∴y随x的增大而增大， ∴当时，；当时，， ∴， ∴正比例函数是稳定区间上的“稳定函数”； （2）∵一次函数是稳定区间上的“稳定函数”， ∴，， 分两种情况： ①若时，y随x的增大而增大， ∴时，； 时，， ∴，； ②若时，y随x的增大而减小， ∴时，； 时，， ，矛盾， 综合以上两种情况可知：，； （3）当时，一次函数在稳定区间上y随x的增大而增大，当时， 一次函数在稳定区间上y随x的增大而减小； ∴分以下三种情况讨论： ①当时，根据闭函数定义知：，解得：（舍）； ②当时，此时函数的最大值，由稳定区间上稳定函数定义知，或， 即或，解得：或（舍）； ③当时，根据稳定函数定义知：，， ∴，∵a与b是整数， 解得：或或或； 综上，，或，或，或，或，． 【题型十二】根据一次函数增减性求参数 例12．（25-26八年级下·北京·期中）已知是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】对于一次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，结合两点横坐标的大小即可判断和的大小关系． 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而增大， 又， ． 变式1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________． 【答案】2或/或2 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的增减性，根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，确定区间内最大值的位置，列方程求解即可. 【详解】解：函数 是一次函数，则， 当 时，一次函数 随 增大而增大， 当时，函数最大值取在 处， 则 ， 令 ， 解得 ，符合条件； 当 时，一次函数 随 增大而减小， 当时，函数最大值在 处， 则 ， 令 ， 解得 ，符合条件. 变式2．（25-26八年级下·重庆万州·月考）一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数图象平移问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】（1）根据平移规则求出新的函数解析式，待定系数法求出的值即可； （2）分和两种情况，结合一次函数的性质，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，平移后的解析式为， 把点代入，得， 解得； （2）解：当时，则随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 当时，则随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 综上：. 【题型十三】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 例13．（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知直线经过点，．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， 解得， 故选：A． 变式1．（2025·广东佛山·三模）已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为______． 【答案】 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】根据所给一次函数解析式，得出y随x的增大而减小，再结合A，B两点纵坐标的大小关系，得出横坐标的大小关系即可解决问题． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：因为一次函数的解析式为， 所以y随x的增大而减小． 又因为， 所以 故答案为： 变式2．（24-25八年级下·河北张家口·期末）已知函数． (1)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x … _____ … … ___ … (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)4，5；见解析 (2) 【知识点】画一次函数图象、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了画函数图象，并利用图象求函数值取值范围；会利用图象求解是解题的关键． （1）分别将，代入解析式求解，描点、连线，画出图象即可； （2）当时，；当时，，根据图象求解即可． 【详解】（1）解：表格中第一行横线处为4，第二行横线处为5； 故答案为：4，5； 如图； （2）解：当时，． 当时，． 综合图象可得y的取值范围是． 【题型十四】比较一次函数值的大小 例14．（25-26八年级下·北京海淀·期中）已知直线过点和，则和的大小关系是() A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】根据k的符号判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小即可得到和的大小关系． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随的增大而减小， 又∵点和的横坐标满足， ∴． 变式1．（25-26八年级下·北京·月考）点和都在直线上，则与的关系是________（填或）． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】根据正比例函数的性质.，可通过代入横坐标计算函数值直接比较，也可根据一次函数的增减性结合横坐标大小关系判断与的大小． 【详解】解：方法一：代入求值比较 将代入，得， 将代入，得， ， . 方法二：利用一次函数增减性判断 在直线中，， ， ， ． 变式2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】画一次函数图象、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据解析式得出时，，时，，列表、描点，画出直线即可； （2）根据一次函数的性质，得出随的增大而增大即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， 列表如下： 描点，该函数的图象如下： （2）∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． 【题型十五】一次函数的规律探究问题 例15．（2026·山东临沂·模拟预测）若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使恒成立，则叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期．现在已知一个周期为2的周期函数在时的解析式为，则（   ） A．2024 B．4048 C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题主要考查一次函数，解题的关键是理解题意；由题意易得当时，则，当时，则，当时，则，然后根据周期函数的性质可知恒成立，进而根据周期函数可进行求解． 【详解】解：∵在时，函数的解析式为， ∴当时，则，当时，则，当时，则， ∵该函数的周期为2， ∴对于任意整数x，恒成立， ∴，， ， ， ∵到2024一共有4049个数， ∴； 故选A． 变式1．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题 【分析】根据题意，先找到点，，横纵坐标的规律，然后由求解即可． 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 同理可得，，，… ∵，， ∴ ∵ ∴点的坐标为，即． 变式2．（1）在同一直角坐标系内画出函数，的图象，这两个图象有怎样的位置关系？ （2）函数，的图象又有怎样的位置关系？一般地，你有怎样的猜想？ 【答案】（1）图见解析，这两个图象关于轴对称；（2））这两个图象关于轴对称；一般地，函数和的图象关于轴对称． 【知识点】一次函数的规律探究问题、画一次函数图象 【分析】画出函数图像，即可求解． 【详解】解：（1）如图画出函数图像如下，观察图象可知这两个图象关于轴对称； （2）如图画出函数图像如下，观察图象可知这两个图象关于轴对称；一般地，函数和的图象关于轴对称． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象，函数与系数之间的关系，熟知一次函数图象的画法是解答此题的关键． 【题型十六】求一次函数解析式 例16．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数解析式，若该函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式 【分析】利用函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，将点的坐标代入已知解析式，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：． 变式1．（22-23八年级下·河南商丘·月考）请写出一个经过点的正比例函数解析式______． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【详解】解：设经过点的正比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴这个正比例函数解析式为． 变式2．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知一次函数的图象经过点与． (1)求该函数的解析式； (2)说明该函数的一条性质，并利用该性质直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2)随的增大而减小； 【知识点】判断一次函数的增减性、求一次函数解析式 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）写出函数的增减性，根据增减性确定的取值范围即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把点与代入函数解析式，得， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵图象过点， ∴当时，． 一、单选题 1．下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数的自变量可以取任意实数，图象是过原点的一条直线， ∴A选项自变量取值范围是的说法错误；B选项图象是经过原点的射线的说法错误； ∵该函数的比例系数， ∴函数图象经过第一，三象限，且随的增大而增大，因此C选项图象不经过第三象限的说法错误，D选项说法正确． 2．若一次函数（m是常数）与y轴交于负半轴，则m的值可能是（    ） A．4 B．3 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象与y轴的负半轴相交，可知常数项为负数，再根据一次函数一次项系数不为零求解即可． 【详解】解：一次函数的图象与y轴的负半轴相交， ， 解不等式组得且， ∴解不等式组的解集为， 在四个选项中只有A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质、解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一次函数一次项系数、常数项与函数图象的关系． 3．下列四个函数中，随的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一次函数当一次项系数为负数时，y随着x增大而减小． 【详解】解：A．函数y=3x 中的k=3>0， y随着x增大而增大，故本选项错误； B．函数y＝1+2x中的k=2>0，y随着x增大而增大，故本选项错误； C．函数y＝-1+x中的k=1>0，y随着x增大而增大，故本选项错误； D函数y＝1-2x中的k=-2＜0，y随着x增大而减小，故本选项正确； 故选择：D 【点睛】本题考查了一次函数的增减性．关键是明确各函数的增减性的限制条件． 4．在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的两点，则m、n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线，判定y随着自变量x的增大而减小，自变量x也会随y的增大而减小． 【详解】∵直线， ∴y随着自变量x的增大而减小， ∴自变量x也随y的增大而减小， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本考查了一次函数的增进性质，正确判断一次函数的增减性并灵活运用，熟练掌握y随x变化或x随y变化，性质是一致的，这是解题的关键． 5．弹簧原长（不挂重物）10cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如表所示：当重物质量为6kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是：（    ） 重物质量x（kg） 1 2 3 4 弹簧总长度L（cm） 12 14 16 18 A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的实际应用，由表格数据可知弹簧总长与重物质量满足一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：设与的关系式为， ∵不挂重物时弹簧原长为，即时，，再取表格中代入解析式得 ， 解得 ∴与的关系式为， 当时，． 6．如图在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、，将线段沿某个方向平移，点、对应的点、恰好在直线和直线上，则当四边形为菱形时点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出A (0，k)和B (-1，0)，B的对应点N的横坐标为2，由此知道往右平移了3个单位，得到A的对应点M的横坐标为3，将M点横坐标代入中即可求出M坐标，进而求解． 【详解】解：令中y=0，得到B(-1，0)，令x=0，得到A(0，k)， ∵B的对应点N在上， ∴N点横坐标为2，故AB往右平移了3个单位， ∴M点横坐标为3，将x=3代入中， 解得y=4， 故M点的坐标为(3，4)， 又四边形为菱形， ∴AB²=AM²， ∴1+k²=3²+(4-k)²，解得k=3， ∴A(0,3)， 即AB往右平移3个单位，往上平移了1个单位， 故N坐标为(2，1)， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的平移、菱形的性质等知识点，属于基础题，计算过程中细心即可． 7．已知直线的函数表达式为y＝kx﹣3（k≠0），当自变量满足1≤x≤3时，其对应的函数图象都在x轴下方，则k的取值范围是（　　） A．k＞3 B．k＞1 C．k＜1 D．k＜3 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象的性质知，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）当自变量满足1≤x≤3时，其对应的函数图象都在x轴下方，则应有，求解即可． 【详解】解：∵直线的函数表达式为y＝kx﹣3（k≠0），当自变量满足1≤x≤3时，其对应的函数图象都在x轴下方， ∴， 解得k＜1， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数与y轴的交点，转化为解不等式组的问题是解决本题的关键． 8．函数图象上有两点，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据得出函数值随的增大而减小，再根据，即可比较与的大小关系． 【详解】解：， 随的增大而减小， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 9．过点的直线不经过第三象限，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将点代入直线的解析式可得，从而可得，再根据“直线不经过第三象限”可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组可得的取值范围，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意，将点代入直线得：， 解得， 则， 直线不经过第三象限， ，即， 解得， ， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 二、填空题 10．不论取何值，点都在直线上，若点是直线上一点，则__________． 【答案】1 【分析】由A点坐标可得出直线l的解析式，把点代入解析式求出，再对所求式子变形即可得出结论． 【详解】解：∵点在直线l上 ∴直线l的解析式为 ∵点也是直线l上的点 ∴ ∴ ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是求一次函数解析式，已知式子的值，求代数式的值，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 11．直线经过点，，则_______（填“”或“”）． 【答案】 【分析】根据中，y随x的增大而减少，即可判断． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减少， 又∵， ∴． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，解题的关键是熟悉掌握一次函数的增减性． 12．已知正比例函数，当x每增加1时，y减少3，则__________． 【答案】 【分析】根据题意可得：，化简后再把求解即可． 【详解】解：因为正比例函数，当x每增加1时，y减少3， 所以， 即， 所以； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的知识，正确理解题意、掌握解答的方法是解题的关键． 13．已知关于x的一次函数y＝kx+4的图象经过点（1，2），则k的值是 _____． 【答案】-2 【分析】由关于x的一次函数y＝kx+4的图象经过点（1，2），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出2＝k+4，解之即可得出k值． 【详解】解：∵关于x的一次函数y＝kx+4的图象经过点（1，2）， ∴2＝k+4， ∴k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键． 14．将函数（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若该图象与直线的两个交点的横坐标都满足，则b的取值范围为______． 【答案】-6≤b≤-2 【分析】根据x满足0＜x＜4，进而求出b的取值范围． 【详解】解：如图的折线是函数（b为常数）的图象， 当x=4时，8+b≥2，b≥-6； 当x=0时，-b≥2即b≤-2， ∴b的取值范围为-6≤b≤-2． 故答案为：-6≤b≤-2． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，求出函数y=2x+b沿x轴翻折后的解析式是解题的关键． 15．已知一次函数y＝（m﹣2）x+n﹣3图象如图所示，化简：|m﹣n|+＝__． 【答案】n+2﹣2m 【分析】观察图形，利用一次函数图象经过的象限可得出m＜2，n＞3，进而可得出m-n＜0，再结合绝对值及算术平方根的定义，即可求出结论． 【详解】解：观察函数图形可知：一次函数y＝（m﹣2）x+n﹣3的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴m＜2，n＞3， ∴m﹣n＜0， ∴|m﹣n|+＝n﹣m+（2﹣m）＝n+2﹣2m． 故答案为：n+2﹣2m． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 16．在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒2个单位的速度向下平移，经过______秒该直线可将平行四边形的面积平分． 【答案】6 【分析】首先连接AC、BO，交于点D，当y=4x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y=4x+1的直线解析式，从而可得直线y=4x+1要向下平移，进而可得答案． 【详解】解：连接AC、BO，交于点D，当y=4x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分； ∵四边形AOCB是平行四边形， ∴BD=OD， ∵B（6，2），点C（4，0）， ∴D（3，1）， 设DE的解析式为y=kx+b， ∵平行于y=4x+1， ∴k=4， ∵过D（3，1）， ∴DE的解析式为y=4x-11， ∴直线y=4x+1要向下平移12个单位， ∴时间为6秒， 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积． 三、解答题 17．在平面直角坐标系中，若点O（0，0），A（﹣1，6），B（a，﹣2）在同一条直线上，求a的值． 【答案】a的值为． 【分析】设直线的解析式为y=kx，把A点的坐标代入求得k值，再把B点的坐标代入即可求出a的值． 【详解】解：设直线OA的解析式为：y=kx， 把A（﹣1，6）代入得：6=-k， ∴k=-6， ∴直线OA的解析式为：y=-6x， ∵点O（0，0），A（﹣1，6），B（a，﹣2）在同一条直线上，即B点在直线OA上， 把B（a，﹣2）代入y=-6x得：-2=-6a， ∴a=， ∴a的值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数解析式与图象的关系，知道图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 18．欢乐话剧团推出，两种票，购买8张种票，6张种票，共需3120元；购买1张种票比1张种票需多付40元．若种票的持票人数与种票的持票人数满足如图的函数图象（其中取正整数）． (1)请写出与之间的关系式； (2)据悉，看一场话剧持种票的有300人，求该场话剧收入的总额． 【答案】(1) (2)该场话剧收入的总额是156000元 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）分别设每张种票、种票的价格为未知数，根据题意列方程组并求解；将代入（1）中求得的与之间的关系式，求出对应的值，再根据“该场话剧收入的总额每张种票价格种票的持票人数 + 每张种票价格种票的持票人数”计算即可． 【详解】（1）解：设与之间的关系式为为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴与之间的关系式为； （2）解：设每张种票价格是元，每张种票价格是元． 根据题意，得， 解得， ∴每张种票价格是 240 元，每张种票价格是 200 元． 当时，，（元）。 答：该场话剧收入的总额是 156000 元． 19．某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动，现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表，设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写x的取值范围）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有哪几种租车方案？ 【答案】(1) (2)共有3种租车方案， ①甲车4辆，乙车3辆； ②甲车5辆，乙车2辆； ③甲车6辆，乙车1辆． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系，总人数与每辆车载客数和客车辆数的关系，是解决问题的关键． （1）根据租用甲种型号的客车x辆，乙种型号的客车辆，甲、乙两种型号的客车租金分别为1500元和1200元，列总费用解析式； （2）根据甲种型号的客车x辆，则租用乙种型号的客车辆，总费用不超过10200元，载师生总共275名，列不等式组，求出不等式组解集，求出不等式组的整数解，即得． 【详解】（1）租用甲种型号的客车x辆，则租用乙种型号的客车辆， ∴； （2）∵租车总费用不超过10200元，师生共有275人， ∴， 解①得，， 解②得，， ∴所列不等式组的解集为：， ∵x为整数， ∴x可取4，5，6， ∴一共有3种租车方案： ①甲车4辆，乙车3辆； ②甲车5辆，乙车2辆； ③甲车6辆，乙车1辆． 20．已知一次函数过点、．    (1)求k，b的值； (2)在平面直角坐标系中，画出函数图象； (3)结合图象直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)4 【分析】（1）将点、代入一次函数，利用待定系数法即可求得； （2）利用两点法即可确定函数的图象； （3）根据已知坐标求出，，即可求出的面积． 【详解】（1）解：一次函数经过点、． ， 解得； （2）如图所示：    （3）∵、， ∴，， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了待定系数法法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数图象上的点都满足一次函数解析式． 21．1~6个月的婴儿生长发育非常快，他们的体重（）和月龄（月）的关系可以用来表示，其中是婴儿出生时的体重． 下面表格表示在1~6个月之间，这个婴儿的体重y与月龄x之间的关系． 月龄x/月 1 2 3 4 5 6 体重y/g 4200 4900 5600 6300 7000 7700 (1)上表反映的变化过程中，___________是自变量，___________是因变量； (2)利用表中数据直接写出该婴儿体重（）和月龄（月）之间的关系式为___________； (3)若某婴儿出生时的体重为，请计算该婴儿第个月时体重是多少？ 【答案】(1)月龄；体重 (2) (3) 【分析】（1）根据自变量和因变量的概念进行判断即可得到答案； （2）根据图表可知，婴儿的月龄每增加个月，其体重就增加，据此即可得到关系式； （3）先写出出生体重为的婴儿的体重与月龄的关系式，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：上表反应了体重和月龄（月）的关系，自变量是婴儿月龄（月），因变量是婴儿的体重， 故答案为：月龄；体重； （2）解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，婴儿的月龄每增加个月，其体重就增加， 所以，， 答：体重和月龄（月）的之间数量关系式为； （3）解：若出生时体重为，则体重和月龄之间的关系为： 当时， 答：该婴儿第个月时体重是． 【点睛】本题考查函数的表示方法，理解函数的相关概念，发现表格中两个变量的变化规律是解题关键． 22．在平面直角坐标系中，，将点向上平移3个单位得到点，过点作，如图1． (1)求直线的表达式； (2)如图2，分别作和的角平分线，相交于点， ①求证：； ②求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解，一次函数图象平移，角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是由角平分线的性质得到角度的关系． （1）先由待定系数法求解直线的表达式，再由向上平移3个单位长度即可得直线的表达式； （2）①根据角平分线的性质，可得，再由平行线的性质可得，再根据三角形内角和性质可得，由此可证； ②根据直角三角形可得，再由三角形内角和性质可得，再由角度相等转化求解度数即可． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵点向上平移3个单位得到点，且， ∴， 即直线的表达式为； （2）解：①记与y轴交点为点Q，如图， ∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， 有， 即， 即， ∵， ∴； ②连接，如图， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 由①可知，， ∴． 23．对于老师给定的一次函数，有以下三条关于该函数图象与性质的正确信息： ①函数图象与轴交于点； ②函数图象与轴交于点，且； ③的值随着值的增大而增大． 根据以上信息求： （1）填空：点的坐标是__________； （2）求出这个函数的表达式，并画出这个函数的图象； （3）若直线与该一次函数的图象平行，求直线与两坐标轴围成的面积． 【答案】（1）；（2），作图见解析；（3）4 【分析】（1）根据函数的性质确定B点坐标即可； （2）把A、B代入解析式求解即可； （3）根据两直线平行求出解析式，做出函数图像计算即可； 【详解】（1）∵，图象与轴交于点，且， ∴或， 又∵的值随着值的增大而增大， ∴； 故答案是：； （2）∵函数图像过点，， ∴， ∴， ∴； 函数图像如图所示： （3）∵直线与直线平行， ∴， ∴， 函数图像如图所示： 得到，， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握待定系数法以及一次函数的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $