江苏省连云港市2025-2026学年度中考数学模拟试卷二

江苏省连云港市2025-2026学年度中考数学模拟试卷二 解析版 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ） A. B. -1 C. 0 D. 解：由图可知：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的相反数是， 故选：A． 2. 下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 解：三棱柱的侧面展开图是三个矩形拼成的矩形， 故选：D． 3. 下列四个数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 解：，，，， ， ， ∴四个数中，最大的是， 故选：D． 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 明天下雨是随机事件 B. 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C. 描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 解：A：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意； B：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意； C：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合题意； D：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 5．下列计算结果为a3的是（　　） A．a+a2 B．（a2）3 C．a•a2 D．a9÷a3 解：A、a与a2不能合并，故此选项不符合题意； B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意； C、a•a2＝a3，故此选项符合题意； D、a9÷a3＝a6，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：C． 7. 如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 解：连接，如图所示： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴长为． 故选：C． 8. 如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；……；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ） A. 正东方向 B. 正南方向 C. 正西方向 D. 正北方向 解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ， 此时点在点的正北方． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 请写出单项式的一个同类项：_________． 解：单项式的一个同类项：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 若为正整数，且满足，则_________． 解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 11. 若则_________0．（填、或）． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若，则代数式的值是_________． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 13. 如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若△ABC的面积为8，的面积为5，则_________． 解：∵△ABC的面积为8，的面积为5， ∴的面积为， 由折叠可得：的面积为， ∴△BDE的面积为， ∴， 故答案为： 14. 如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则=_________. 解：连接，，则：， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴△AOB为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：60°． 15. 神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有_________种. 解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：， ∴， ∵x、y均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案． 故答案为：4． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_________． 解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大； 此时； 故答案为：2． 三、解答题（本大题共11小题，合计102分） 17. （本题满分6分）计算：． 解：原式． 18. （本题满分6分）解方程：． 解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 19. （本题满分6分）解不等式组，并写出它的所有负整数解． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为，它的所有负整数解为． 20. （本题满分8分）为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为，四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下． 学期初调查数据条形图 学期末调查数据扇形图 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是_________人，并补全条形图； （2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； （3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 解：（1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是人， 补全条形图如下： ； 解：（2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有： （人）. 答：学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有340人； 解：（3）由表格信息可得：学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数，中位数，众数都增加了， ∴该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高. 21. （本题满分8分）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． （1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_________； （2）转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 解：（1）旋转甲转盘一次，指针落在“A”区域的概率是． 解：（2）列表如下： 由表知，所有情况数有12种，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况数有2种， ∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为． 22. （本题满分10分）在中，，，的平分线交于点．如图1． （1）求的度数； （2）已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长． 解：（1）∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 解：（2）由作图知是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 23. （本题满分10分）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 解：任务一：设每个篮球元，每个排球元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个篮球元，每个排球元； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，总的费用为元， 根据题意得：， ∴且a为整数， ∴， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为元，此时， 答：购买篮球个，排球个，最节省费用． 24. （本题满分10分）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 解：（1）∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，分米， ∴分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； 解：（2）如图所示，过点E作于H，延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，，， ∴分米， 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． 25.（本题满分12分） 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为． （1）求k的值； （2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； （3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标． 解：（1）∵直线与x轴的交点为， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴点， 把点代入得：； 解：（2）如图，连接， 由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点D的坐标为， 设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； 解：（3）设点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或． 26. （本题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围_________； （3）连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 解：（1）将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 解：（2）①令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； ②根据图象可知，当时，x的取值范围为， 故答案为：； 解：（3）设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 27. （本题满分14分）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为_________，k的值为_________； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）的值与α无关，理由如下.如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （4）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省连云港市2025-2026学年度中考数学模拟试卷二 原卷版 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ） A. B. -1 C. 0 D. 2. 下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 明天下雨是随机事件 B. 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C. 描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 5．下列计算结果为a3的是（　　） A．a+a2 B．（a2）3 C．a•a2 D．a9÷a3 6. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；……；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ） A. 正东方向 B. 正南方向 C. 正西方向 D. 正北方向 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 请写出单项式的一个同类项：_________． 10. 若为正整数，且满足，则_________． 11. 若则_________0．（填、或）． 12. 若，则代数式的值是_________． 13. 如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若△ABC的面积为8，的面积为5，则_________． 14. 如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则=_________. 15. 神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有_________种. 16. 如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_________． 三、解答题（本大题共11小题，合计102分） 17. （本题满分6分）计算：． 18. （本题满分6分）解方程：． 19. （本题满分6分）解不等式组，并写出它的所有负整数解． 20. （本题满分8分）为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为，四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下． 学期初调查数据条形图 学期末调查数据扇形图 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是_________人，并补全条形图； （2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； （3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 21. （本题满分8分）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． （1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_________； （2）转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 22. （本题满分10分）在中，，，的平分线交于点．如图1． （1）求的度数； （2）已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长． 23. （本题满分10分）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 24. （本题满分10分）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 25.（本题满分12分） 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为． （1）求k的值； （2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； （3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标． 26. （本题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围_________； （3）连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 27. （本题满分14分）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为_________，k的值为_________； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $