精品解析：2025年江苏省连云港市中考数学试题

数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的绝对值是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值的概念，根据绝对值的定义直接求解即可．绝对值表示一个数在数轴上到原点的距离，非负性是其核心性质．对于负数，其绝对值等于它的相反数． 【详解】解：， 因此，的绝对值为5， 故选：A． 2. 2020年12月17日，“嫦娥五号”返回器携带月球样品顺利返回地球，我国科学家通过研究证明了月球在年前仍存在岩浆活动．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值大于 与小数点移动的位数相同． 【详解】解： 故选：C． 3. 若在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：D． 4. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交 、 于点D、E，的垂直平分线分别交、 于点F、G，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得， ，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵ 垂直平分 ，垂直平分， ∴， ， ∴的周长为， 故选：C． 6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过 天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为 天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 7. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时， 的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时， 的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的 的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点 的横坐标为， ∴点 的横坐标为 ， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时， 的取值范围是或， 故选：C． 8. 如图，在 中， ，， 平分，，E为垂足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出 的长，勾股定理求出 的长，等角的正弦值相等，得到，求出 的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， 设，则：， ∵ 平分， ， ∴点 到的距离相等均为 的长，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：_______． 【答案】2a 【解析】 【分析】根据合并同类项原理：系数相加减字母不变即可解题. 【详解】解：. 【点睛】本题考查了整式的加减,属于简单题,熟悉合并同类项的原理是解题关键. 10. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 如图， ，直线 与射线 相交于点．若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质得出，再利用邻补角的性质求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 13. 如图， 是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得，再结合弧长公式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴劣弧， 故答案为：． 14. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，________Pa． 【答案】16000 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，然后把代入，进行求解计算，即可作答． 【详解】解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数． ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 15. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中 是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与 轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为： ． 16. 如图，在菱形 中，，， 为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，由 为线段上的动点，可知 、 运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作 是定线段，菱形 在方向上水平运动，过点 作 的平行线 ， 过点 作关于线段 的对称点，由对称性得，则，当且仅当、 、 依次共线时，取得最小值，此时，设与 交于点，交 于点 ，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵ 为线段上的动点， ∴可以看作 是定线段，菱形 在方向上水平运动， 则如图，过点 作 的平行线 ， 过点 作关于线段 的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当、 、 依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与 交于点，交 于点 ，延长交延长线于点， ∵菱形 中，，， ∴，， ， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹） 17. 计算． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行乘法，开方，零指数幂的运算，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式． 18. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．利用解分式方程的步骤求解即可，注意验根． 【详解】解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 19. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 20. 一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_______； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，正确的画出树状图，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，共有个球，搅匀后从中任意摸出1个球，有4种等可能的结果，其中摸到红球的情况只有1种， ∴摸到红球的概率是； 【小问2详解】 根据题意，红球用A表示，3个白球分别用B，C，D表示，画出如下的树状图： 由图可知，共有16种等可能结果，其中2次都摸到白球的结果有9种， 所以2次都摸到白球的概率为． 21. 为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表． 体重情况统计表 组别 体重 频数（人数） 类 类 类 类 根据以上信息，解答下列问题： （1）_______，________； （2）在扇形统计图中， 类所对应的圆心角度数是_______°； （3）若该校八年级共有名学生，估计体重在及以上的学生有多少人? 【答案】（1）， （2） （3）人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，频数统计表，样本估计总体，熟练掌握利用扇形统计图和频数统计表得出相关数据是解题的关键． （1）利用 类的频数和占总体百分比求出被抽取的总人数，再利用 类占总体百分比求出 类的频数，最后即可求出 类的频数； （2）利用 类占总体百分比乘以即可； （3）利用样本估计总体即可求出． 【小问1详解】 解：由题意得被抽取的总人数为（人）， ∴ 类的频数为（人）， ∴ 类的频数为（人）， 故答案为：， ； 【小问2详解】 解： 类所对应的圆心角度数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：估计体重在及以上的学生有（人）． 22. 如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． （1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? （2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】（1）恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个 （2）至少需要134张正方形硬纸片 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可． 【小问1详解】 解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． 【小问2详解】 解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则． 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为34． 即当时，． 答：至少需要134张正方形硬纸片． 23. 如图，港口 位于岛 的北偏西方向，灯塔 在岛 的正东方向，，一艘海轮 在岛 的正北方向，且 、 、 三点在一条直线上，． （1）求岛 与港口 之间的距离； （2）求． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）过点 作，垂足为 ，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数即可求解； （2）在中，利用三角函数求出 ，利用，得出，则可求出 ，再在中利用三角函数即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点 作，垂足为 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 得：， 在中，由， 得． 答：岛 与港口 之间的距离为； 【小问2详解】 解：在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，． 24. 已知二次函数， 为常数． （1）若该二次函数的图像与直线有两个交点，求 的取值范围； （2）若该二次函数的图像与 轴有交点，求 的值； （3）求证：该二次函数的图像不经过原点． 【答案】（1） （2） （3） 证明：当 时，， 所以二次函数的图像不经过原点． 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与 轴的交点问题，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由二次函数的图像与直线有两个交点，知函数的最小值小于，列式计算即可； （2）根据图像与x轴有交点，，列式计算即可； （3）根据当 时，，即可证明． 【小问1详解】 解：因为二次函数中，， 所以二次函数的图像开口向上， 因为二次函数的图像与直线有两个交点， 所以函数的最小值小于， 则， 即， 解得． 【小问2详解】 解：因为二次函数的图像与 轴有交点， 所以， 所以， 又因为， 所以， 解得 ． 【小问3详解】 略 25. 一块直角三角形木板，它的一条直角边 长，△ABC的面积为． （1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； （2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与 的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 【答案】（1）图1的正方形面积较大 （2）在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：∵，△ABC的面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形 是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得． ∵， ∴图1的正方形面积较大． 【小问2详解】 解：∵四边形 是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 26. 已知 是 的高，是 的外接圆． （1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作 的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，若的半径为，求证：； （3）如图3，延长 交于点 ，过点 的切线交的延长线于点 ．若 ，，，求 的长． 【答案】（1） 如图所示，为所求： （2） 证明：如图2，作的直径 ，连接 ， ∴，， ∵ 是 的高， ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，切线的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解． （2）作的直径 ，连接 ，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，根据 为的切线，得出，进而证明是等边三角形，得出，在，中分别求得 ，根据（2）的结论求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3，连接， ∵ 为的切线， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴． 在中，，，， ∴，， 在中，， 在中，， 代入，得， 即． 27. 综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板 的边 、 上分别取点 、 ，且， 交 于点．连接，过点 作，垂足为，连接、， 交于点 ，交 于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）过点作于 ，过点作分别交 、 于 、 ， ∵四边形 是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于 ，过点作分别交 、 于 、 ， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点 作于点，设的半径为，过点 作于 ，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当 、 、依次共线，且时，最小，此时，点 与重合，再进行计算即可． 【详解】解：（1）相等，垂直； （2）略 （3）在正方形 中，由 ，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点 作于点，设的半径为，过点 作于 ， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形 中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当 、 、依次共线，且时，最小， 此时如图，点 与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的绝对值是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 2020年12月17日，“嫦娥五号”返回器携带月球样品顺利返回地球，我国科学家通过研究证明了月球在年前仍存在岩浆活动．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 5. 如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交 、 于点D、E， 的垂直平分线分别交 、 于点F、G，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过 天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时， 的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 如图，在 中， ，， 平分 ，，E为垂足，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：_______． 10. 分解因式：_______． 11. 如图，，直线 与射线 相交于点 ．若，则_______． 12. 如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m． 13. 如图， 是 的内接三角形，．若 的半径为2，则劣弧的长为_______． 14. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，________Pa． 15. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中 是铅球离初始位置的水平距离， 是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度 为，则铅球掷出的水平距离为________． 16. 如图，在菱形中，，， 为线段 上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹） 17. 计算． 18. 解方程． 19. 解不等式组 20. 一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_______； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率． 21. 为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表． 体重情况统计表 组别 体重 频数（人数） 类 类 类 类 根据以上信息，解答下列问题： （1）_______，________； （2）在扇形统计图中， 类所对应的圆心角度数是_______°； （3）若该校八年级共有名学生，估计体重在及以上的学生有多少人? 22. 如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． （1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? （2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 23. 如图，港口 位于岛 的北偏西方向，灯塔 在岛 的正东方向，，一艘海轮 在岛 的正北方向，且 、 、 三点在一条直线上，． （1）求岛 与港口 之间的距离； （2）求． （参考数据：，，） 24. 已知二次函数， 为常数． （1）若该二次函数的图像与直线有两个交点，求 的取值范围； （2）若该二次函数的图像与 轴有交点，求 的值； （3）求证：该二次函数的图像不经过原点． 25. 一块直角三角形木板，它的一条直角边 长，△ABC的面积为． （1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； （2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与 的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 26. 已知 是 的高， 是 的外接圆． （1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作 的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，若 的半径为，求证：； （3）如图3，延长 交 于点 ，过点 的切线交 的延长线于点 ．若 ，，，求 的长． 27. 综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边 、 上分别取点 、 ，且，交 于点 ．连接 ，过点 作，垂足为 ，连接、， 交 于点 ，交于点 ． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $