2026年九年级数学中考二轮专题训练：二次函数压轴题（面积问题）

2026年九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（面积问题） 1.如图，以N(1,-1为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过原点，直线l:y=kx-k交抛物线 于点A、C(点A在点C左侧)，交x轴于点F,点P为直线AC下方抛物线上一动点. 备用图 (1)求抛物线表达式： (2)当 C下=4时，求当△PAC面积最大值时点P的坐标； (3)定义：线段AC中点D的轨迹为抛物线y=ax2+bx+c的“伴生曲线U.直线y=mr+n经 过(2)中的点P且与“伴生曲线U”有且只有一个交点，求出m的值. 2.如图，抛物线的顶点为D,其坐标为1,4)，抛物线交x轴于A,B两点，交y轴于点C, 已知0C=3. B (1)求抛物线的表达式： (2)连接CD,BD,判断△BCD的形状； (③)若点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE,求△BCE面积的最大值，并求出 取得最大值时E点坐标， 3.如图1，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(-1,0)、B两点，交y轴于点C, 3 对称轴为直线x=马 2 试卷第1页，共3页 M 6 图1 图2 ()求二次函数的解析式； (2)如图1，点D是BC上方抛物线上一点，连接AD交BC于点E,设△ACE的面积为S, DE的面积为S,当S,-S=时，求点D的坐标 (3)如图2，已知点T(0,)t>2),TF与抛物线有唯一交点F(点F在y轴左侧)，点P在第 一象限的抛物线上，射线TP与抛物线另一个交点为Q,连接FP、F?,分别交y轴于M N.当FM=3PM时，探究FN与NQ的数量关系，并说明理由 4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线 y=-x2+bx+c经过A、B两点，并且与x轴交于另一点C(点C在点A的右侧)，点P是抛 物线上一动点. B (1)求抛物线的解析式： (②)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD∥y轴交AB于点D,设点P的 横坐标为t,请用含t的代数式表示出PD的长度： (3)在(2)的条件下，当三角形ABP的面积为6时，求点P的坐标. 5.如图，抛物线y=x2+m的图象与一次函数y=x+1的图象交于A,B两点，其中A点在x 轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点. 试卷第1页，共3页 y=x2+m B y=x+1 (1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标： (②)连接A,B,C三点，求ABC的面积； (3)直接写出不等式x2+m>x+1的解集， 6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点B(2,0)和点C(-1,0), 与y轴交于点A(0,4).D为第一象限的抛物线上一点. VA CO BCO B 备用图 (1)求抛物线的函数表达式； (2)求△ADB面积的最大值； (3)过点D作DE⊥AB,垂足为点E,求线段DE长的取值范围； (④)若点F、G分别为线段OA、AB上的点，且四边形AFGD是菱形，直接写出点D的坐标. 7.如图，在直角坐标系x0y中，抛物线的顶点为24 39 经过原点，且与x轴交于另一 点A. (1)求这个二次函数的解析式，并把它化成一般式： (2)若在第一象限内的抛物线上有一点B,使AOB的面积等于6，求点B的坐标； 试卷第1页，共3页 (③)在(2)的条件下，在此抛物线上是否存在点P,使POB为以OB为直角边的直角三角 形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 8.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(6,0),B(-2,0), C(0,4). B (备用图) (1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式： (②)点P在第一象限的抛物线上，当△ACP的面积最大时，求点P的坐标： (3)在(2)的条件和结论下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△APQ是以AP为斜 边的直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 9.如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A,B(点B在点A左侧)，A点坐标 为3,0)，对称轴为直线x=1,顶点为C,连接AC,BC. VA (1)点B的坐标是_： (2)求二次函数的解析式； (3)求ABC的面积， 10.已知抛物线y=x2+bx+c经过点(-2，-3)和3,12). 试卷第1页，共3页 y B 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： (2)该抛物线与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. ①若点P是该抛物线的对称轴上的一动点，如图1，求PB+PC的最小值和此时点P的坐标； ②如图2，若抛物线的顶点为D,点M是位于x轴上方的抛物线上一点，是否存在点M使 S.=10 S。4CD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 3 11.抛物线y=-x2+3x+4与x轴相交于A,B两点，与y轴相交于点C. 图1 图2 (I)如图1，点D是抛物线第一象限的一点，连接AC,BC,AD,BD，,且AC与BD交于点E, ①求ABC的面积； ②设ADE的面积为S,△BCE的面积为S2,当S,-S2=5时，求点D的坐标： (2)如图2，将抛物线y=-x2+3x+4向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到新的抛 物线y,在新抛物线y对称轴上找一点P,坐标平面内有一点Q,使得以点A,C,P,Q为顶 点且AC为对角线的四边形是矩形，请求出点Q的坐标. 12.如图，在直角坐标系中有Rt△A0B,0为坐标原点，A(0,3),B(-1,0),将此三角形绕 原点0顺时针旋转90°，得到RtaC0D,二次函数y=ax2+br+c的图象刚好经过A,B, C三点.且过定点Q的直线I:y=x-k+3与二次函数图象相交于M,N两点，P为该二次 试卷第1页，共3页 函数的顶点 备用图 (I)若SAPw=2,求k的值； (2)证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形： (③)当直线1绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线 的表达式 13.如图，已知二次函数y=ax-2)+7(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点 B,C(点B在点C的左侧). B (1)求该二次函数的解析式： (2)求由A,B,C三点构成的ABC的面积. 14.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A,B两点，其中点A的坐标为(-3,0)，且点 (2,5)在抛物线y=x2+bx+c上. x=-1y4 (1)求抛物线的解析式： (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值. 试卷第1页，共3页 ②点P在抛物线上，且S.Poc=4SBoc,求点P点坐标. 15.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A(-1,0),点 B(3,0,与y轴相交于点C(0,3),点P是抛物线上的一点 备用图 (1)求出该二次函数的表达式； (2)若S。BP=4,求点P的坐标； (3)当点P在第一象限内时，设点P关于直线BC对称点为点P,当线段PP'最大时，求此时 点P的坐标，以及PP'的最大值 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)y=x2-2x (2)点P的坐标为 1,-7 4-16 (3)m1= -6-5V2 -6+5V2 2 ,m2= 2 【分析】(1)己知抛物线顶点为N(1,-1)且过原点，设顶点式y=a(x-1)2-1,将(0,0)代入， 解得a=1,故抛物线表达式为y=x2-2x; (2)由直线y=x-k得F(1,0),证aAFM∽aCFN得x4=5-4xc,结合根与系数的关系求 :得到直线AC解析式：再用割补法表示△PAC的面积，转化为二次函数 (3)设AC中点D(x,y),用中点公式表示k=2(x-1),代入直线得“伴生曲线U”: y=2x2-4x+2:根据直线过P点得n=-7m,联立后令判别式△=0，解得 164 m=-6±5V2 2 【详解】(1)解：：V(1,-1为抛物线y=ax2+bx+c的顶点， :设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-1, 将原点(0,0)代入得，0=a(0-1-1 解得a=1, :抛物线的解析式为y=(x-1)2-1=x2-2x; (2)解：在y=c-k中，当y=0时，kx-k=0 kx=k 解得x=1, F(1,0, 过A,C分别作x轴的垂线，垂足为M,N,如图， 答案第1页，共2页 N .AM⊥MN,CN⊥MN, :AM∥CN, :aAFM∽aCFN, 微4 设Ax4,y4),C(xc,yc), :FM =1-x FN =xc-1, .1-x4=4,即x4=5-4xe, i xc-1 联立P=红k (y=x2-2x .x2-2x=-k x2-2x-+k=0 x2-(2+k)x+k=0, ..x+xc=2+k,Xc=k, 将x4=5-4xe代入x4+c=2+k中， 得5-4xc+xc=2+k 解得k=3-3xc, 将x4=5-4x和k=3-3xc代入xxc=k中， 得5-4xc）xc=3-3xc 4xc2-8xc+3=0 解气成无分 答案第1页，共2页 由图可得，xc>xr, 又：F(1,0), 3 xe-2' .k=3-3xg =3-3x3 2 直线AC的解析式为y=2女了 2 由题意得，设Pm,m2-2m), 过P作PQ∥y轴交AC于点Q,连接PA,PC,如图， A MO 33） :0m,2 m+ 2 (33) .P0= m+ (22 -(m2-2m 3.3 m+ -m2+2m 2 2 1 3 =-m2+二m+ 2 2 由图可得，SA△PHc=S△PaO+S△PcO ·Pg(m-xa)+PQ(xc-m 2 3P0e-小， xc-x4为定值， 答案第1页，共2页 1 当m=二时，PQ最大，此时aPAC面积最大， 4 :点P的坐标为 17 4169 (3)解：设D(x,y), 由(2)知x4+xc=2+k, D为AC中点， =+=2+ 2 2 .k=2x-1, :点D在直线AC上， .将k=2(xo-1)代入得，y=2x-1x-2(x-1 =2x2-2x-2x+2 =2x2-4x+2, :伴生曲线U为y=2x2-4x+2, 直线+过石) =-m+n 164 解得n=-了m 164 .y=mx- 7 m 1641 联立直线与伴生曲线得，m-7-m=2x2-4+2 164 2x2-4x+2-mx 7m=0 十一 164 m+39） 2r-(m+4到x+(4+i60, :直线与伴生曲线有且只有一个交点， .△=(m+4)2-4×2x m,39 =0, 416 m2+8m+16-2m 39=0 2 答案第1页，共2页 2+6m-7=0 2m2+12m-7=0 解得m=-6-5V -6+5√2 ,m2= 2 2 【点晴】本题是二次函数综合题，核心是将几何关系转化为代数方程：用顶点式求抛物线解 析式，通过相似与韦达定理确定直线方程，利用二次函数性质求面积最值，再结合轨迹思想 与判别式法解决“伴生曲线”的交点问题，体现了数形结合与转化思想. 2.(1)y=-x2+2x+3 (2)△BCD是直角三角形 (⊙8CE面积的最大位名。此时点E的坐标为}) 2’4 【分析】(1)把解析式设为顶点式，求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2)求出点B的坐标，可证明CD+BC2=BD,据此可得结论； (3)过点E作EF∥y轴交BC于点F,求出直线BC的表达式为y=-x+3;设 Em,-m2+2m+3,则F(m,-m+3,则EF=-m2+3m,可求出 S.0CE=S.CEP+S.WEF= 3m-3+27,据此根据二次函数的性质求解即可. m- 28 【详解】(1)解：设抛物线的表达式为y=a(x-1)2+4(a≠0)， :0C=3, C(0,3, .3=a(0-1)2+4, .a=-1, 抛物线的表达式为y=-(x-1)+4=-x2+2x+3; (2)解：在y=-(x-1)+4中，当y=0时，-(x-12+4=0, 解得x=-1或x=3, A-1,0,B3,0: C(0,3,D(1,4), CD2=(1-0)+(4-3=2,BD2=(3-1+(0-4)=20, 答案第1页，共2页 BC2=(3-0)2+(0-32=18, .CD2+BC2=BD2, .△BCD是直角三角形； (3)解：如图所示，过点E作EF∥y轴交BC于点F, B 3k+b=0 设直线BC的表达式为y=kx+bk≠0)，则 b=3 k=-1 b=3' 直线BC的表达式为y=-x+3; 设Em,-m2+2m+3,则F(m,-m+3, .EF=-m2+2m+3--m+3=-m2+3m, ∴SACE=SACEF+SAEr 号F(-+F(- =LEF-(xg-xc) 2 -w+3 8 :-3<0, 2 答案第1页，共2页 :当m=多时，Sc有最大值，最大值为8： 27 2 则-m2+2m+3 +2x3+3=15, 即此时点E的坐标为 3 3.(1)二次函数的解析式为：y= 1 2+号x+2 2 (2)点D的坐标为1,3)或2,3) (3)QW=3FN,理由见解析 【分析】(1)根据待定系数法求解即可； (2)过点D作DH上08于以，根据抛物线的发称性求出84.0，设Dd+d+2 ，根据S2-S1=2,得出SABD-S△4Bc=2,则 台[4-小×++[4-明2-号解方程背4=1,4=2，即可求解， (3)结合T(0,可求直线TF的解析式y=kx+t,联立直线TF与抛物线可得 x2+(2k,-3)x+21-4=0,结合T℉与抛物线有唯一交点F,可求出xF=2t-4,同法求出直 线TP的解析式为y=k2x+t,联立直线TP与抛物线可得x2+(2k2-3)x+2t-4=0,进而 x,。=21-4,得出2=三，过点P作PI1y轴于，过点F作F1y轴于J,过点Q作 m尔，进而求出女：-」 K1y轴于K,证明△MPIn△MFI,得出PM-P 出3，同理得出 FN FK 进而求出 ON xo X a-b+2=0 【详解】(1)解：由题意可得： b=3 .2a2 a=- 2 解得： 3 b= 2 12 3 二次函数的解析式为：y=-一x2+。x+2; 2 2 (2)解：过点D作DH⊥OB于H, 答案第1页，共2页 D 幽物线y+,+2交y轴于点C10,2》 :4-10叭、B关于宜线：对称， .B4,0. 2 :5,-5=2' .5 (S,+SaE)-(S+S)=2,即S4m-5c= [-++[-2- 2 2 整理得：d2-3d+2=0, 解得：d,=1,d2=2, 点D的坐标为1,3)或(2,3). (3)解：FN与NQ的数量关系为：QN=3FN. 理由如下：设直线TF的解析式为：y=kx+b, 把T(0,代入可得，b=t, .y=kx+t y=kx+t, 联立直线TF与抛物线得， +x+2 3 y= 2 2 1 3 .-5x2+2x+2=kx+t, 2 整理得x2+(2k,-3)x+2t-4=0. 答案第1页，共2页 :T℉与抛物线有唯一交点F, .x1=X2=xF. :x1x2=2t-4, .x2=21-4. 设直线TP的解析式为：y=k2x+b2, 把T(0,t代入可得，b,=t, .y=kx+t. y=kx+t, 联立直线TP与抛物线得， y=21 2r+2 -1x+ 3 2+2+2=x+1, 1 整理得x2+(2k-3)x+2t-4=0. .x=2t-4,p=2t-4, XF=xpXo, Xp=Xr XF Xo 过点P作PI⊥y轴于I,过点F作F⊥y轴于J,过点Q作QK⊥y轴于K, 则PI∥FJ, .△MPI∽△MFJ. PM IP ·FMF FM =3PM 答案第1页，共2页 PM Xp ÷3PMx' p1 -3’ 。1 XE 3 同理可得： FN FK ON OK ·oNxe XE .ON =3FN. 4.(1)y=-x2-3x+4 (2)PD=-12-4 (3)P(-1,6)或(-3,4) 【分析】(1)先求出点A、B的坐标，然后代入二次函数解析式，求出b、c的值即可； (2)如图，设Pt,t2-3t+4,则D(,1+4),然后根据PD=yp-yo求解即可； (3根锅5m方01xD=4xPD=2--4创=6列式求解即可。 【详解】(1)解：对于y=x+4, 当x=0时，y=4；当y=0时，x=-4, .A(-4,0),B(0,4), 代入抛物线y=-x2+bx+c,得 0=-16-4b+c 4=c b=-3 解得 (cs4, .y=-x2-3x+4 (2)解：设P(t,-t2-3t+4,D,1+4), PD=yp-yo=-2-3t+4-(t+4)=-2-41 (3)解：如图，连接AP,BP, 答案第1页，共2页 y个 B =)x0AxPD=,×4×PD=2-2-4=6, SMBP 解得1=-1或t=-3, 故P(-1,6)或(-3,4) 5.(1)y=x2-1;B(2,3 (2)S△MBc=3 (3)x<-1或x>2 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与一次函数的交点问题， 熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键 对于(1)，先求出点A的坐标，再将其坐标的代入二次函数关系式可得答案，然后将两个 函数关系式联立，求出解可点B坐标； 对于（2，先求出CD,再根据Sc=5o+5amCD小+CD-,可得答案： 对于(3)，根据二次函数的图象在一次函数图象的上方时的自变量的取值范围即为答案。 【详解】(1)解：当y=0时，0=x+1, 解得x=-1, 点A(-1,0). :抛物线y=x2+m经过点A(-1,0), .1+m=0, 解得m=-1, .抛物线的关系式为y=x2-1. 将两个函数关系式联立，得 y=x2-1 (y=x+1 答案第1页，共2页 x=2 解得 =-1'则=3， .点B(2,3): (2)解：当x=0时，y=-1, .点C(0,-1). 当x=0时，y=1, 点D0,1), .CD=1-(-1)=2, Se=5a+5m0D+5cD-% =1×2×1+2)=3. (3)解：当x<-1或x>2时，x2+m>x+1. 6.(1)y=-2x2+2x+4 (2)2 得0DFs6 ④点D坐标为832 1195 【分析】(1)设y=ax-2)(x+1,将点A(0,4代入，待定系数法求解析式即可求解； (2)过点D作DM⊥x轴于点M,直线AB的解析式为y=-2x+4,设点 D(m,-2m2+2m+4,则点N(m,-2m+4,得出DN=-2m2+4m,进而根据三角形的面积 公式，得出关于m的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； (3)过点D作DM⊥x轴于点M,交AB于点N,同(2)得出DN=-2m2+4m,证明 4EDN:081,得出DE=号5(m-广+号5，根据=二次函数的性质即可求解： (4)设D(t,-22+2t+4,G(,-21+4),表示出AD,DG,根据勾股定理列出方程，解方 程即可求解。 【详解】(1)解：：抛物线与x轴交于点B(2,0),C(-1,0), :设y=ax-2)(x+1),将点A0,4)代入， 得：-2a=4, 解得：a=-2, 答案第1页，共2页 y=-2x-2)x+1=-2x2+2x+4, :该抛物线的函数表达式为y=-2x2+2x+4: (2)解：如图所示，过点D作DM⊥x轴于点M,交AB于点N, 设直线AB的解析式为y=c+b, A0,4),B2,0), 「2k+b=0 b=4 [k=-2 解得： 1b=4’ :直线AB的解析式为y=-2x+4, 设点Dm,-2m2+2m+4,则点N(m,-2m+4, DN=-2m2+2m+4--2m+4=-2m2+4m, .DVx08 1 =5×2×-2m2+4m) 2 =-2(m-1)2+2, 当m=1时，△ADB面积的最大值为2； (3)解：如图，过点D作DM⊥x轴于点M,交AB于点N, C可M 设直线AB的解析式为y=x+b, 答案第1页，共2页 A0,4),B2,0, [2k+b=0 b=4 [k=-2 解得： b=4, ：直线AB的解析式为y=-2x+4, 设点Dm,-2m2+2m+4,则点N(m,-2m+4, DN=-2m2+2m+4--2m+4) =-2m2+4m, 在RtaA0B中，AB=VOA2+0B2=25, :DE⊥AB,DM⊥x轴， :∠DEN=LDMB=90°， '∠DNE=∠MNB, :ZEDN ZABO, 又：∠DEN=∠A0B=90°， △EDN AOBA, DE DN ，即DE.-2m+4m OB AB 225 D 5m5m 5m-+号5， :当m=1时，DE取得最大值为子5， 0<DEs号5： (4)解：设D1,-22+21+4,G(1,-21+4), ∴DG=-22+21+4)-(-2t+4) =-2t2+4t, :四边形AFGD是菱形， .AD DG, 答案第1页，共2页 2+-22+21+4-42=（-2r2+4), 解得：1=042=8’ 11 借 【点晴】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与 判定，菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 7.(1)y=x2-3x (2)4,4) (3)(2,-2)或(-2,10) 分析】Q①设抛物线的解折式为y=ax-,7 9, 再将原点坐标代入求得a的值，即可 得出了抛物线的解析式： (2)过点B作BD⊥x轴于点D,根据(1)得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也 就求出了OA的长，根据AOB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点 纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标： (3)根据B点坐标由勾股定理可求BD,分两种情况讨论：当∠POB=90°时；当 ∠OBP,=90°时，分别求解即可. 【详解】(1)解：：抛物线的顶点为 39Y 24 3)29 :设抛物线的解析式为y=ax- 2 4 抛物线经过原点， 解得a=1, 329 .y=x-2 -2=x2-3x (24 这个二次函数的解析式为：y=x2-3x; 答案第1页，共2页 (2)解：假设存在点B,过点B作BD⊥x轴于点D, A D :AOB的面积等于6， 1 ·2A0BD=6, 当0=x2-3x, x(x-3=0, 解得：x=0或3， .A0=3, .BD=4, .4=x2-3x, 解得：x=4或x=-1(舍去)， .点B的坐标为：(4,4)； (3)解：：点B的坐标为：(4,4， .0B=0D, .∠B0D=LDB0=45°， 分以下两种情况讨论： B PN、 答案第1页，共2页 当∠POB=90°时，过P作PE⊥x轴于E, ∠POE=∠POB-∠D0B=45°， ∠P0E=∠EP0=45°， :PE=OE, 设P点横坐标为：x,则纵坐标为：x2-3x,则PE=-x2+3,OE=x, 即-x=x2-3x, 解得x=2或x=0（舍去)， .在抛物线上存在一点P（2,-2); 当∠OBP,=90°时，则BP∥OP, 设直线OP的解析式为y=x, 将P2,-2)代入y=得，2k=-2, 解得k=-1, .直线OP的解析式为y=-x, .设直线BP的解析式为y=-x+b, 将B(4,4代入y=-x+b,得-4+b=4, 解得b=8, 直线BP的解析式为y=-x+8, 令x2-3x=-x+8, 解得x=-2,x2=4, 将x=-2代入y=-x+8,得y=10, ∴在抛物线上存在一点P2（-2,10): 综上所述：抛物线上是否存在点P,使POB为以OB为直角边的直角三角形，点P的坐标 为2，-2)或(-2,10). 【点晴】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识.利用已 知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键 答案第1页，共2页 4 8.(0y=-3+3x+4 (2)P(3,5 (3)点Q的坐标为2,1)或(2,4) 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数的性质、 坐标与图形性质、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意设出点的坐标并列出方程求解 (1)将A、B、C三点代入，可求得抛物线的解析式： 2)设Pm3m44m +3m+4先求出AC的解析式，从而得出点E的坐标，进而得出PE 的长，从而求得用m表示的PCA的面积，最后根据二次函数的性质，求出最值： (3)设点Q的坐标为2，m),根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出4Q、 PQ、AP2,利用勾股定理求解即可. 【详解】(1)解：把A6,0),B(-2,0),C(0,4)代入y=ax2+bx+c, 1 0=36a+6b+c a-3 0=4a-2b+c,解得：b= 4 得： 3 4=c c=4 4 抛物线的解析式为y=一x+?x+4 (2)解：作PE∥x轴交AC于E. B 4 设Pm,3” .二m2+-m+4 31 设直线AC的解析式为y=+d [0=6k+d 将点A和点C的坐标代入，得 4=d 答案第1页，共2页 2 k=- 解得： 3 d=4 2 .直线AC的解析式为y=- +4, 3 2 .Em,-m+4 3 PB=-m+4m+4- 4 2 m+4= m2+2m, 3 3 3 11 :S.PAC= -XI -。m2+2m×6=-m2+6m=-(m-32+9, 23 .-1<0,0<m<6, .当m=3时，△PAC的面积最大， 此时-m2+ m+4=- 4 3×32+4 3+4=5, 点P坐标为3,5)； 4 (3)解：：4(6,0)，P3,5列，抛物线y=-x+ +3+4的对称轴为直线x= 3 =2 3 2× 3 .可设点Q的坐标为2，m), AQ2=(2-6)+(m-0)=16+m2, P02=(2-32+(m-5)2=m2-10m+26, AP2=(6-3+(0-5)2=34, 要使△APQ是以AP为斜边的直角三角形，只需AQ+PQ2=AP2, .16+m2+m2-10m+26=34, 整理，得m2-5m+4=0, 解得m=1或m=4, 点Q的坐标为2,1或(2,4). 9.(1)-1,0 (2)y=-x2+2x+3 (3)8 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴交点，能根据点A坐标及抛 答案第1页，共2页 物线的对称轴求出抛物线的函数解析式是解题的关键. (1)根据轴对称的性质求解即可； (2)根据点A坐标和对称轴，可求出抛物线的函数解析式，进而可解决问题； (3)根据(2)得出C点坐标为1,4)，由A3,0),B(-1,0),得出AB=4,再结合C(1,4) 以及面积公式列式计算，即可解决问题 【详解】(1)解：A点坐标为3,0)，对称轴为直线x=1, B点坐标为-1,0). 故答案为：（-1,0). (2)将A点坐标代入函数解析式得， 9a+3b+3=0①， 抛物线的对称轴为直线x=1, -b-1@. 2a 由①②解得， a=-1,b=2. .抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. (3)解：将x=1代入函数解析式得，y=-1+2+3=4, C点坐标为1,4)， A3,0,B-1,0), .AB=3--1=4, 1 :Sac=2X4x4=8. 10.(1)y=x2+2x-3 (2)①PB+PC的最小值3√2，此时点P的坐标为(-1，-2)；②存在，点M的坐标为-4,5)或 (2,5) 【分析】(1)将点(-2，-3)和(3,12)代入y=x2+bx+c,得到方程组，解方程组即可； (2)①连接AC,交对称轴于点P,连接BP,此时，PB+PC的值最小，由抛物线解析式 答案第1页，共2页 可以求得A、C的坐标，利用待定系数法求得直线AC的解析式，再把x=-1代入即可求解： ②设点M的坐标为(m,m+2m-3),则Sw=2×4xm+2m-3)=2m+4m-6,可计算出 S。4CD=3,则2m2+4m-6=10,即可求得点M的坐标。 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+bx+c经过点(-2，-3和3,12)， [4-2b+c=-3 b=2 (9+3b+c=12’解得 c=-3 抛物线的函数表达式为y=x2+2x-3; (2)解：当y=0时，x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1, :点A在点B的左侧， .点A-3,0)，点B1,0); 当x=0时，y=x2+2x-3=-3, 点C(0,-3). ①y=x2+2x-3=(x+102-4, .抛物线的对称轴为直线x=-1, :点A,点B关于抛物线对称轴对称， 连接AC交直线x=-1于点P,如图，此时PB+PC的值最小， -3a+k=0 设直线AC的表达式为y=ax+k,根据题意得 k=3，解得 a=-1 k=-3 .直线AC的表达式为y=-x-3, ∴.PB+PC的最小值=AC=V32+32=3√2，此时点P的坐标为-L,-2): B 图1 答案第1页，共2页 10 ②存在点M使S。4BM= SAcD· 3 :抛物线的顶点坐标为(-1，-4)，由①知抛物线的对称轴与直线AC的交点为-1，-2)， 1 54m-2×2×2+2x2×1=3, :点M是位于x轴上方的抛物线上一点，SBM 10..c 0 :S.ABM= ×3=10, 3 设点M的坐标为(m,m2+2m-3), +2m-引=0，整理得m+2m-8=0,解得 点M的坐标为-4,5)或(2,5). 【点晴】本题主要考查了二次函数的综合应用.熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，求 一次函数解析式，二次函数的图象和性质，轴对称性质，二次函数与面积综合，分类讨论是 解题的关键。 11.(1)①10；②D1,6),D2（2,6 34-V31 22 【分析】(1)①先求出y=-x2+3x+4与x轴交点为A4,0),B(-1,0),再根据 S,=4B-0C求出面积即可。 ②设点Dx,y),由S,-S2=5,即S,=S2+5,可得S,+SA4BE=S2+5+S△4BE,即 Sa40B=SaAc+5,得)×5xy=10+5,再求出点D的坐标即可. 2 (2)先求出y=-x2+3x+4平移后的新的抛物线为y'=-x2+5x+1,抛物线y的对称轴为 心太)与x轴交于S,作CH上对称轴于H,作ON上x继于点N,可证明 aCa0AS,得H=0N,=w-4ow-设Pe[号，待 m+n=4,作QT⊥PS于点T,TQ=1,PT=m-n,在Rt△PTQ中，根据 P02=PT2+QT2，得m-n=±√31，再求出的值即可. 【详解】(1)解：①由题可知：y=-x2+3x+4与x轴相交于点A,B, 答案第1页，共2页 -x2+3x+4=0, 解之得：x=4,x2=-1, 即A4,0),B(-1,0), 当x=0时，y=4, C(0,4), 5=)×[4--]x4=10. 2 O ②设抛物线y=-x2+3x+4上的点D的坐标为x,y), S1-S2=5, .S1=S2+5, S+SAABE=S2+5+SBE 即SAADB=SAABC+5, 25xy10+5 y=6, .-x2+3x+4=6, =1,x2=2, D(1,6),D22,6) ②)解=++4化为顾点式y=-(:+至 向平移1个单位，再向上平移1个单位，行新的抛物线=（-}-广+ 即y'=-x2+5x+1, 答案第1页，共2页 :抛物线y的对称轴为x=与x轴交于S, 2 如图，作CH⊥对称轴于H,作ON⊥x轴于点N, .∴∠PHC=∠ANQ=90°， y 07 :四边形PCQA是矩形 ∴∠APC=∠PAQ=∠AQC=90°，∠PSA=90°， ∠APS+∠CPH=∠APS+∠PAS=90°， ∠CPS=∠PAS,同理：∠PAS=∠AQN, ∴.∠CPS=∠AQN,PC=AQ, aCPH≌aAQN(AAS), .PH=ON,CH=AN=5 0 .PH =ON,m-4=0-n,m+n=4, :AC=PQ,作QT⊥PS于点T,TQ=1,PT=m-n, 在Rt△PT0中，PQ2=PT2+QT2,即(42=PT2+QT2, 32=m-n2+12, m-n=±31， 又：m+n=4, 解之得n=4+5工或n-4- 2 2 答案第1页，共2页 34+V31 34-V31 2’2 022 【点晴】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了抛物线的平移，求与抛物线有关的三角 形面积，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等.作垂线构造全等三角形是解 决问题的关键。 12.(1)k=±2√5 (2)见解析 (3)y=-2x2+4x+1 【分析】(1)根据旋转变换的性质求出0C,利用待定系数法求出二次函数的解析式，利用 配方法把一般式化为顶点式，求出顶点P的坐标，再设M(x,),N(x2,y2),根据题意求出 PQ=1,根据三角形的面积公式得到x,-x,=4,根据一元二次方程根与系数的关系解答即 可； 2》根据正切的定义得到an<PME=1-,a∠FPN=,进而证明∠PME=∠FPN ,据此证明结论； (3)用k表示出MN的中点坐标，计算即可. 【详解】(1)解：：A(0,3,B(-1,0 ∴.OA=3,OB=1, 根据旋转的性质可得：OC=OA=3, C(3,0), 把A(0,3)、C(3,0、B(-1,0)分别代入解析式，得 c=3 a-b+c=0 9a+3b+c=0 a=-1 解得： b=2, c=3 :二次函数的解析式为y=-x2+2x+3, 答案第1页，共2页 “y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 顶点坐标为P1,4); 设M(x,),N(x2,y2), :y=kx-k+3=k(x-1+3 直线1：y=kc-k+3过定点Q(1,3), ·PQ=1,PQ∥y轴，如图： Sm=Sw+5aw号P0-0=2. BO :x2-x=4, 联立y=-2+2x+3 y=kx-k+3 得x2+(k-2)x-k=0, x1+x2=2-k,x1·x2=-k, ·(x2-x)2=(x1+x2)2-4xx2=k2+4=16, :k=±2√5； (2)证明：过点P作PG⊥x轴，垂足为G,分别过点M,N作PG的垂线，垂足分别为 E、F, B O G 设M(x,),N(x2,y2). 答案第1页，共2页 :M,N在二次函数y=-x2+2x+3图象上， y1=-x12+2x+3,y2=-x22+2x2+3. P(1,4, ·PE=4-片=4+x2-2x-3=(x1-1)2，ME=1-x，PF=4-y2=4+x22-2x2-3=(x2-1)2 ,NF=x2-1, am∠PME=PE-玉=1-x, PF 1-x tan∠FPw=FW-&-l 1 PF(x2-12-1' 由①可知x1+x2=2-k,x2=-k, x1+X2=2+xx2, (1-x)x2-1)=1, :1-龙s1 3-1” tan 2PME=tan∠FPN, :∠PME=∠FPN, :∠PME+∠MPE=90°， :∠FPN+∠MPE=90°，即∠MPN=90°， :无论k为何值，△PMN恒为直角三角形： (3)解：：aPMN恒为直角三角形，∠MPN=90°， .△PMN外接圆圆心是线段MN的中点； 设线段MN的中点(x,y), x1+x2=2-k,x2=-k,y1=-x2+2x1+3,y2=-x22+2x2+3. 片+y2=-x2+x)+2(x+x2)+6=-(x1+x2)+2xx2+2(x1+x2)+6 =-(2-k)2-2k+2(2-k)+6 =-k2+6 答案第1页，共2页 2-k-k2+6 .MN的中点为 、2,2 〔2-k x= 2 -k2+6’ 化简，得y=-2x2+4x+1, :抛物线的表达式为y=-2x2+4x+1. 【点晴】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、直角三角形的判定、 正切的概念、一元二次方程根与系数的关系，特殊三角形的外接圆的圆心，灵活运用二次函 数与一元二次方程的关系是解题的关键， 13.(1)y=-(x-22+7 (2)3√万 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数 法求函数解析式及二次函数的图象与性质. (1)将点A(0,3)代入y=a(x-2)+7a≠0)，求得a=-1,即可得二次函数表达式； (2)先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解可得. 【详解】(1)解：：二次函数y=a(x-2)+7(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,3, .3=4a+7 解得：a=-1 该二次函数的解析式为y=-(x-2)+7: (2)当y=0时，-(x-2)+7=0, 解得：x1=2-√7，x2=2+√7， B2-V7,0,C2+7,0), .BC=2√7， A0,3, .0A=3, 答案第1页，共2页 :ABC的面积=BC0A=x2万x3=3V万. 1 2 14.(1)y=x2+2x-3 9 (2)①0D的最大值为；②P(4,21)或(-4,5列 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用 数形结合思想解决问题是本题的关键， (1)利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； (2)①求出直线AC解析式为y=-x-3,设点Q(m,-m-3)(-3≤m≤0)，则点 D(m,m2+2m-3,根据二次函数的最值求法，可求QD的最大值； ②由抛物线解析式求解B的坐标，可求△BOC的面积，根据S.Poc=4S。oc,可求P点坐标. 【详解】(1)解：：y=x2+bx+c过点(-3,0)，(2,5) 9-3b+c=0 4+2b+c=51 b=2 解得： c=-3' .抛物线的解析式为y=x2+2x-3; (2)解：①y=x2+2x-3, 当x=0时，y=-3, 点C(0,-3, 设直线AC解析式为y=kx+b', :直线AC过点A(-3,0),C(0,-3, -3k'+b'=0 6=-3 ,「kK=-1 解得6=3 .直线AC解析式为y=-x-3, 设点Q(m,-m-3)(-3≤m≤0)，如图， 答案第1页，共2页 D 则点Dm,m2+2m-3), o0-列-m2a-功=+ :当m=多时，QD的最大值为4 ②抛物线为y=x2+2x-3, 当y=0,则x2+2x-3=0, 解得：x=1,x2=-3, B(1,0),即0B=1, :点A-3,0),点C0,-3, .0A=0C=3, 5c08xoc 2 设P(x,x2+2x-3, -0c-3x i.S.poc S.Poc =4S.Boc, 3 x=±4， P(4,21或(-4,5). 15.(1)y=-x2+2x+3; (21+V2,2或1-V2,2或1+V6,-2或1-V6,-2 答案第1页，共2页 8点P的坐标为[}时、PP最大为经万 (315 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数 的性质是解题关键 (1)利用待定系数法求解即可得； (2)根据Sm4B×,4,可得y,=2或y=-2,即可求解： (3)连接PB、PC,设PP'交BC于D,则PP'=2PD,即当线段PP'最大时，PD也最大， 可得当PD最大时，SPc的值最大，过P作PE∥y轴交BC于E,设P(t,-+2t+3,求出 直线BC的解析式为y=-x+3,可得Et,-t+3),从而得到PE=-2+3t,进而得到 -+再限界次至数的性质可得当-大然后根据 8CPD-号可为PD-名5.从而料到PP=2PD-是点，博可求样 【详解】(1)解：：A-1,0)、B(3,0),C(0,3), a-b+c=0 [a=-1 ∴9a+3b+c=0,解得b=2, c=3 c=3 二次函数的表达式是：y=-x2+2x+3; (2)解：连接PA、PB. :A-1,0、B(3,0), AB=4, 5w-4Bx小=4 2×4x=4, 。1 yp=2或yn=-2. 当-x2+2x+3=2,解得：x=1±V2, 点P1+2,2、B1-2,2: 当-x2+2x+3=-2,解得：x=1±√6， :点P1+6,-2、P1-V6,-2: 答案第1页，共2页 综上所述，点P的坐标为1+V2,2)或1-√2,2或1+V6,-2或1-V6,-2 (3)解：连接PB、PC. P、P关于BC对称， BC垂直平分PP', 设PP'交BC于D, PP'=2PD,即当线段PP'最大时，PD也最大， B(3,0、C0,3, ·BC=3V2, .当PD最大时，S。Pc的值最大， 过P作PE∥y轴交BC于E,设Pt,-+2t+3), 设直线BC的解析式为y=kx+b, 把B(3,0)、C(0,3代入，得： [3k+b=0 k=-1 h=3 ，解得： b=3’ .直线BC的解析式为：y=-x+3, E(6,-1+3), PE=-t2+21+3-（-1+3=-12+31, E+刘=-+ :0<1<3, 当=Sm最大- 8, BC.PD=27, 8 答案第1页，共2页 x3√2.PD= 27 2 8 PD=92, 8 Pp'=2PD=22, 2 4 综上所选，点P的坐发为[)时，PP最大为子5. 答案第1页，共2页