二次函数综合问题（面积问题）专项练 2026年中考数学一轮复习备考

二次函数综合问题（面积问题）专项练 1．如图，已知抛物线（为常数）的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点左侧），与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标． (2)抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，过点作轴，垂足为点，交线段于点．连接、，若的面积是面积的倍，求点的坐标； 2．如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值，并求出取得最大值时E点坐标． 3．如图，以为顶点的抛物线经过原点，直线交抛物线于点、（点在点左侧），交轴于点，点为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线表达式； (2)当时，求当面积最大值时点的坐标； (3)定义：线段中点的轨迹为抛物线的“伴生曲线U”．直线经过（2）中的点且与“伴生曲线U”有且只有一个交点，求出的值． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，并且与轴交于另一点（点在点的右侧），点是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，设点的横坐标为，请用含的代数式表示出的长度； (3)在（2）的条件下，当三角形的面积为6时，求点的坐标． 5．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、两点（点在的左侧），与轴交于点，且过点． (1)求的值和点，点的坐标； (2)如图2，点是抛物线第四象限上的点，且，直线交轴于点，连结，过点作交轴于点，连结，求面积的最大值． 6．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．       (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接．连接，当的面积为10时，求点的横坐标； (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、． (1)求的面积； (2)点为直线上方抛物线上一动点，过点作交于点，连接、、，求的最大值． 8．已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点， (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第一象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，若是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，在平面内找一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标． 9．如图，抛物线与x轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点． (1)求点、点的坐标； (2)求的面积； (3)为第二象限抛物线上的一个动点，当的坐标是什么时，面积有最大值，是多少？ 10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，其中点，其对称轴． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若为第一象限内抛物线上一点，连接、，求面积的最大值，及此时点的坐标． (3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请直接写出M点坐标，若不存在，说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点. (1)求的值及点、的坐标； (2)连接、、，求四边形的面积. 12．如图，抛物线 与x轴交于点A和点,与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)D是抛物线的顶点，连接，直线交抛物线的对称轴于点M，若P是直线上方抛物线上一点，且，请直接写出点 P 的坐标． 13．已知二次函数，与x轴交于点，与y轴交于点， (1)求该函数的表达式； (2)若点P是二次函数图象上第四象限内的点，，求点P的坐标； (3)若该函数在的范围内的最小值为，则实数m的值． 14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与坐标轴交于A，B，三点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求该二次函数的表达式及点的坐标． (2)点的坐标为，为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接，，以，为邻边作．设的面积为，求的最大值． 15．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧）、与一次函数的图象交于A，C两点． (1)求b的值； (2)求△ABC的面积； (3)根据图象，直接写出当时x的取值范围； (4)在y轴上是否存在一点P，使得最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数综合问题（面积问题）专项练2026年中考数学一轮复习备考》参考答案 1．(1)抛物线的解析式，点的坐标为； (2)点的坐标为． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的应用——面积问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由抛物线对称轴是直线，得，解得：，求出抛物线的解析式，然后令，解出方程即可； （）先求出点的坐标为，直线解析式为，则有，，所以，又的面积是面积的倍，所以，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴是直线， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式， 当时，， 解得：，， ∴点的坐标为； （2）解：如图， 由（）得，点的坐标为，抛物线的解析式， 当时，， ∴点的坐标为， ∴， 设直线解析式为， ，解得：， ∴直线解析式为， ∵抛物线上一点在直线上方，其横坐标为， ∴，， ∴， ∴，， ∵的面积是面积的倍， ∴，整理得：， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为． 2．(1) (2)是直角三角形 (3)面积的最大值，此时点E的坐标为 【分析】（1）把解析式设为顶点式，求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点B的坐标，可证明，据此可得结论； （3）过点E作轴交于点F，求出直线的表达式为；设，则，则，可求出，据此根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，， 解得或， ∴； ∵，， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：如图所示，过点E作轴交于点F， 设直线的表达式为，则， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 则，即此时点E的坐标为． 3．(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）已知抛物线顶点为且过原点，设顶点式，将代入，解得，故抛物线表达式为； （2）由直线得，证得，结合根与系数的关系求得，得到直线解析式；再用割补法表示的面积，转化为二次函数求最值，得； （3）设中点，用中点公式表示，代入直线得“伴生曲线U”：；根据直线过点得，联立后令判别式，解得． 【详解】（1）解：∵为抛物线的顶点， ∴设抛物线的解析式为， 将原点代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时， 解得， ， 过A，C分别作轴的垂线，垂足为M，N，如图， ∴， ， ， ， 设， ∴， ∴，即， 联立， ∴ ， ，， 将代入中， 得 解得， 将和代入中， 得 解得或， 由图可得，， 又∵， ， ∴ ， 直线的解析式为． 由题意得，设， 过作轴交于点，连接，如图， ∴， ∴ ， 由图可得， ， ∵为定值， ∴当时，最大，此时面积最大， ∴， 点的坐标为； （3）解：设， 由（2）知， 为中点， ， ∴， 点在直线上， ∴将代入得， ， 伴生曲线U为， ∵直线过， ∴ 解得， ∴， 联立直线与伴生曲线得， ， ∵直线与伴生曲线有且只有一个交点， ∴， 解得． 【点睛】本题是二次函数综合题，核心是将几何关系转化为代数方程：用顶点式求抛物线解析式，通过相似与韦达定理确定直线方程，利用二次函数性质求面积最值，再结合轨迹思想与判别式法解决“伴生曲线”的交点问题，体现了数形结合与转化思想． 4．(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后代入二次函数解析式，求出b、c的值即可； （2）如图，设，则，然后根据求解即可； （3）根据列式求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，；当时，， ∴，， 代入抛物线，得 ， 解得， ∴ （2）解：设，， （3）解：如图，连接， ， 解得或， 故或． 5．(1)1，， (2)15 【分析】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、三角形的面积等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可，然后令，求出方程的解，即可求出A、B的坐标； （2）分别求出直线、直线的解析式，根据可得的解析式，可得出、的坐标，即可得线段的长度，然后根据三角形的面积公式求出，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 解得，， ∴，； （2）解：， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， 同理得：直线的解析式为， ∵， 设的解析式为， ， ，解得， 的解析式为， ， 线段的长度为， ∴， ∴随m的增大而增大， 又 当时，有最大值为， 即面积的最大值为15． 6．(1)抛物线解析式为； (2)的面积为时，点的横坐标为或； (3)点的坐标为或． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，则，然后利用三角形的面积公式并解方程即可求解； （）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到 ，，，利用勾股定理当和，时，列出关于的方程，解答即可得到满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴ ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， 根据题意得的面积为10， ∴ ， 解得：，， ∴的面积为时，点的横坐标为或； （3）解：点的坐标为，，，，理由如下: ∵抛物线， ∴对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，，， ∵以为直角边的直角三角形， ∴如图，当， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 如图，当， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 综上可得：点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的性质，二次函数的应用——面积问题，线段周长问题，求抛物线与轴的交点坐标，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 7．(1)5 (2)4 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）先求得，，的坐标，再利用三角形面积公式即可求解； （2）由求得，得到，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，利用三角形面积公式得到，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 令，则， 解得：，， ∴，， ， ∴； （2）解：连接，过点作轴交于点， 由于，所以， 因为，， 设直线的解析式为：， 将代入得，， 解得， 所以直线的解析式为：， 设，则， ∴ ． ∵， ∴的最大值为4． 8．(1) (2) (3)点G的坐标为或或 【分析】本题考查求二次函数的解析式与一次函数的解析式，二次函数与一次函数的性质，一元二次方程，二元一次方程组，菱形的性质，勾股定理中两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）由抛物线经过点和，得到二元一次方程组，求解即可； （2）先求出，设点，求出直线的解析式为得到，分别求出，，列方程求解即可； （3）先求出直线的解析式为，设，分类讨论：①当为对角线时，②当为边，为边时，③当为边，为对角线时，有，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴ 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线与x轴交于A、B两点， 令，得， ∴解得或， 即． 设点，其中 ∵直线过点， ∴设直线的解析式为，将代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 令，得 ， ∴， 即． ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 即， ， 解得或2或， ∵， ∴， 当时，， ∴． （3）设直线的解析式为， 将分别代入，得 ， ∴直线的解析式为， ∵F在直线上， ∴设， ①当为对角线时，如图 ∵四边形是菱形，且在y轴上， ∴F、G关于y轴对称， ∴点F的纵坐标为， 解得， 即， ∴； ②当为边，为边时，如图 ∵四边形是菱形，且在y轴上， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时，， ∴， 则， ∴． 当时，， ∴， 则， ∴． 如图所示 ∴点G的坐标为或； ③当为边，为对角线时，有，如图 此时点F与点B，E重合，不符合题意， 或此时点F与点C，E重合，不符合题意，如图所示 综上所述，点G的坐标为或或． 9．(1)点的坐标是，点的坐标是； (2)； (3)当点的坐标是，的面积有最大值，最大值是． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与几何的综合． 解方程，即可求出抛物线与轴交点的坐标； 分别求出点、、的坐标，根据点的坐标可得、，根据三角形的面积公式求解即可； 过点作轴，交于点，利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标是，根据，可得，根据二次函数的性质求出点的坐标和面积的最大值． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，， 点在点的左侧， 点的坐标是，点的坐标是； （2）解：当时， 可得：， 点的坐标是， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， ； （3）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式是， 把点和点代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是，则点的坐标是， ， ， ， 整理得：， 当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 点的坐标是， 当点的坐标是，的面积有最大值，最大值是． 10．(1) (2)最大值；点P的坐标为 (3)M 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）由二次函数的对称轴公式以及过点，待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，过点作轴，交于点，则，设点为，则点为，求出的长度，利用三角形面积列出函数解析式，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，进一步即可求出点的坐标； （3）可求抛物线对称轴为直线，连接，，，根据对称性得出，则，故当A、M、P三点共线时，最小，则的周长最小，根据待定系数法求出直线的解析式为，然后把代入求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，其对称轴为， ∴， 解得：， ∴； （2）解：由， 当时，， 则， 设直线的解析式为，则把点、代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为； 过点作轴，交于点，如图： 设点P 为，则点D为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最大值； ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， 连接，，， ∵A、B关于直线对称， ∴， ∴， ∴当A、M、P三点共线时，最小，则的周长最小， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴． 11．(1)，， (2)10 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，与面积综合问题． （1）由待定系数法求出函数解析式，再令，解一元二次方程求出抛物线与轴交点坐标； （2）先求出顶点坐标，再由即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴解析式为， 当，则 解得或， ∴，； （2）解：如图， 由可得 ∴ 12．(1) (2)P 的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，直线的平移，求一次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）过点作直线交轴于点，在点上方取点使，过点作直线交抛物线于点，则，然后求出直线的解析式，利用平移求出点的坐标，即可得到点L的坐标，求出直线的解析式，联立解方程组求交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于点A和点,与y轴交于点 ∴， 解得， ∴解析式为； （2）解：， ∴，抛物线的对称轴为直线， ∵ ∴， 过点作直线交轴于点，在点上方取点使，过点作直线交抛物线于点，则，所以此时点为所求点， 设直线的解析式为，点，坐标代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为. ∵， ∴设直线的解析式为， 代入点，则， 解得 则点， 则， ∴，即点， ∵， ∴直线的解析式为， 联立上式和抛物线的解析式得， 解得或， 即点的坐标为或． 13．(1) (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质、二次函数与几何图形面积的计算，掌握待定系数法求解析式，二次函数与几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）把点代入，然后运用待定系数法求解即可； （2）如图：连接，设点，由代入计算即可求解； （3）把二次函数解析式化为顶点式可得到顶点坐标为，结合题意分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得 ，解得， 这个二次函数的表达式为． （2）解：如图：连接，设点， 根据题意，，点到的距离为，点到的距离为， ∴ ， 由题意得，整理得，，解得：或． 当时，， 当时，， 点的坐标为或． （3）解：， 二次函数图象的顶点坐标为， 二次函数在实数范围内的最小值为， 令，则，解得：， 时，函数值y的最小值为， ∴当时，，解得，； 当时，； 综上所述，或． ∴实数m的值或． 14．(1)该二次函数的表达式为；点的坐标为 (2)的最大值为50． 【分析】（1）将已知点和代入二次函数解析式，通过解方程组求出系数和，再令求出点的坐标； （2）设出点的坐标，利用面积关系求出的面积表达式，再根据平行四边形面积与三角形面积的关系，求出的最大值． 【详解】（1）解：（1）把，分别代入，得： 解得 该二次函数的表达式为． 当时，， 解得，， 点的坐标为． （2）解：如图，连接，，设． ， ， ， ， 当时，的面积有最大值，最大值为25． 四边形为平行四边形， ， 的最大值为50． 【点睛】本题考查二次函数的解析式求解与面积最值问题，掌握利用待定系数法求解析式，结合面积关系和二次函数性质求最值是解题的关键． 15．(1) (2)6 (3)或 (4)存在，，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，包括求函数参数、三角形面积、不等式解集以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，结合一次函数的图象与性质进行分析计算． （1）根据函数与方程的关系，当时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与轴的两个交点，然后将点代入一次函数解析式即可确定的值； （2）先求两个函数的交点的坐标，把代入中，求解一元二次方程，即可确定点的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可； （3）结合函数图象直接写出时的取值范围； （4）利用轴对称找最短路径，求点坐标． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ∵二次函数的图象与轴交于点（在的左侧）， ∴抛物线与轴交于，， ∵直线经过点， ∴， 解得：； （2）解：由上可得直线解析式为：， 把代入中得：， 整理得， 解得：(舍)，， 把代入， 得， ∴， ∴； （3）解：结合函数图象，二次函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的取值，即为时的取值范围． 由联立方程的解和可知， 当或时，； （4）解：存在，理由见解析 作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点， ，则， 当共线时，最短 设直线的解析式为，将代入，得： 解得． 将代入，得，即，解得． 直线的解析式为． 令，得， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $