二次函数综合问题（线段周长问题）专项练 2026年中考数学一轮复习备考

**基本信息** 聚焦二次函数与线段周长综合问题，以“基础求解—中档计算—综合探究”分层设计，覆盖从解析式到动点最值的完整路径，适配一轮复习巩固与提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数解析式求解|每道题（1）题，如求抛物线表达式，强化待定系数法，培养抽象能力| |进阶层|线段长度计算、简单最值|每道题（2）题，如线段最大值，训练坐标转化与函数性质应用，发展运算能力| |综合层|动点轨迹、图形存在性探究|每道题（3）题，如等腰三角形存在性，培养分类讨论与几何直观，提升推理能力|

二次函数综合问题（线段周长问题）专项练 1．在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 2．如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，，，抛物线上点D的横坐标为1，点E在线段上，且，连接，，． (1)求a，b的值及线段的长； (2)求证：点A在直线上； (3)射线与抛物线相交于点F，点M，N分别在线段和线段上，它们的横坐标分别为，，且，点P，Q在抛物线上，且轴，直线与线段相交于点G，若，求与的数量关系，并直接写出的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标，交y轴负半轴于点C，C点坐标． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，若抛物线上有一点D，，求点D的坐标； (3)如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线与抛物线交于另外一点Q．连接、，分别交y轴于M、N两点．若，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，P是抛物线上的任意一点，设点P的坐标为，过点P作轴于点M，作轴于点N． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当时，是否存在一点P，使得的长度最大？若存在，求出m的值及的最大值；若不存在，请说明理由． (3)若在矩形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而增大，请直接写出m的取值范围． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点为抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式 (2)连接，点Q为直线上方抛物线上一点，过点Q作轴于点E，作轴交BC于点F，求的最大值及此时点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点D，点M是新抛物线对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 8．如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为D．过O作射线．过顶点D平行于x轴的直线交射线于点在x轴正半轴上，连结． (1)求该抛物线的解析式； (2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点P运动的时间为．问：当t为何值时，四边形为直角梯形？ (3)若，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为，连接，当t为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长． 9．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 10．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上第三象限内的一个动点，连结、，若，求点P的坐标； (3)如图3，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接交于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值． 11．如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； (3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 12．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为第一象限抛物线上一点，过点作轴，垂足为点交直线于点，设点的横坐标为长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，直线经过点，且与轴交于点．点为线段上的一点，连接交轴正半轴于点，当时，求点的坐标． 13．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），设点的横坐标为．若，且线段与抛物线有交点，求的取值范围． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 15．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点是抛物线的顶点，连接和． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点P在第一象限对称轴右侧的抛物线上，过点P作的垂线，垂足为E，设的长为d，点P的横坐标为t，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，的延长线交于Q，过点P作x轴的平行线与的延长线交于点F，连接，当时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数综合问题（线段周长问题）专项练2026年中考数学一轮复习备考》参考答案 1．(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）用待定系数法即可解答； （2）求出直线解析式，设，则， 根据轴于点D，点C为中点，列出等式，即可解答； （3）①先求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，再进行分类讨论即可；②根据①中的解析式，结合二次函数的增减性进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∵轴于点D，点C为中点， ∴， 解得：（负值舍去）； （3）解：①当时， 解得：（负值舍去）， ∴抛物线交x轴正半轴于点， 设，则， ， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 综上：； ②当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小； 当时，； 开口向上，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小，不符合题意，舍去； 当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当时，d随m的增大而减小． 综上：或． 2．(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 3．(1)， (2)见解析 (3)，，且 【分析】（1）求出点C的坐标，得到的长，则可得到的长，再求出点A和点B的坐标，利用待定系数法求出a、b的值，得到抛物线的解析式，再求出点D的坐标，最后利用两点间的距离公式求出的长即可； （2）利用两点间的距离公式建立方程求出点E的坐标，再求出直线的解析式，把代入直线的解析式中求出对应的函数值即可证明结论； （3）过点G作轴于点R，求出直线的解析式为，可求出，；，由勾股定理得；根据，得到，则可推出，再求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； （2）证明：设， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点在直线上，即点A在直线上； （3）解：如图所示，过点G作轴于点R， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； ∵点M，N分别在线段和线段上，它们的横坐标分别为，， ∴； ∵点P，Q在抛物线上，且轴，直线与线段相交于点G， ∴，， ∴， ； ∵轴于点R， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵点N在线段上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，且； 综上所述，，，且． 4．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过作交于点，作轴于点，证明，可得，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线联立解即可得出的坐标； （3）设，联立直线与抛物线解析式得出，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，可得，得出，进而根据，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 代入可得，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，， 解得：或， ， 如图 1，过作交于点，作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），或， ∴． （3）解：设， 依题意，， 消去得，， ， 如图所示，过点P， Q分别作x轴的垂线，垂足分别为G， F， ， ， ， 即， ， 又， ， 即， ， ． 整理得：． 5．(1) (2)的最大值为，点D的坐标为； (3)线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）如图，过作交于，求解直线的解析式为，设，可得，证明，再进一步求解即可． （3）求解，可得顶点坐标为：，设，当顶点在线段上时，可得， 如图，当在上时，可得：，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作交于， 设直线的解析式为，将代入解析式得， ，解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴， ∴． （3）解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图， 设， 当顶点在线段上时， ∴， 解得：，（舍去）， 如图，当在上时， ∴， 解得：， 综上：线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 6．(1) (2)存在， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出．确定当时，，然后确定，结合二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得出抛物线的对称轴为直线，设点C关于对称轴对称的点为D，则，然后结合函数图象分情况分析即可求解． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）存在．∵点P的坐标为，为抛物线上任意一点， ∴． 令， 解得或． ∴． ∴当时，． ∴． ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点C关于对称轴对称的点为D，则． 如图，分情况讨论： ①当时，此时y随x的增大而增大． ②当时，抛物线不在矩形内部，不符合题意． ③当时，此时y随x的增大而增大． ④当时，抛物线不在矩形内部，不符合题意． ⑤当时，y随x的增大而减小，不符合题意． 综上所述，m的取值范围为或． 7．(1)； (2)的最大值为，； (3)点N的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，设，用表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得新抛物线的对称轴为，分三种情况讨论，利用菱形的性质结合中点坐标公式求得即可． 【详解】（1）解：把，代入得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则， ∴，令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， 代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时， ∴； （3）解：∵，， ∴点向右平移3个单位得到点， ∴向右平移3个单位得到新抛物线， ∵， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 设， ∵，， ①当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 无意义，舍去； ②当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， 当时，， ∴，即， 解得， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴； ③当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 综上，点N的坐标为或或 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 8．(1) (2) (3)当时，的面积最小值为， 【分析】（1）将A的坐标代入，可得a的值，即可得到抛物线的解析式； （2）根据抛物线的解析式易得顶点D的坐标，作轴于E，可得、、的长，根据直角梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案； （3）易证是等边三角形，作轴于F，可得、关于t的关系式，将四边形的面积用含t的代数式表示出来，利用二次函数的性质可求得四边形面积的最小值及此时t的值，进而求得的长． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， 即； （2）解：如图， ∵D为抛物线的顶点， ∴， 作轴于E，则，，， ∴， ∵，轴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， 当时，四边形是直角梯形， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴当t等于时，对应四边形是直角梯形； （3）解：存在某个时刻，能够使四边形的面积最小．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ， ∴； 如图2，作轴于F，则， ∴ ， ∵， ∴当时，， 此时，，，， ∴，， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，直角梯形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形、四边形的面积等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合准确作出辅助线是解题的关键． 9．(1) (2)①，②5 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 10．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）过点作轴，交的延长线于点，待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，根据二次函数的对称性求出，根据题意求出，列出方程式，解方程求出的值，即可求出点的坐标； （3）作于，交于，根据，，表示出的长，根据相似三角形判定和性质即可求出的值，结合二次函数的最值即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点、， ∴ 解得 ∴； （2）解：如图，过点作轴，交的延长线于点， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ∵二次函数的图象与轴交于点、， ∴对称轴为， ∴， 即， 则，， ∵， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图： 作于，交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数的对称性，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 11．(1) (2) (3)①，在抛物线上② 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点的坐标，进而得到点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，求出点的坐标，根据的面积进行求解即可； （3）①根据要求作图即可，连接，作于点，证明，得到，，进而得到为等腰直角三角形，求出点坐标，将点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点是否在抛物线上即可； ②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，斜边上的中线得到，根据，得到当三点共线时，最小，同①可知，，得到点在射线上运动，进而得到当时，即与点重合时，最小，此时最小为，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，易得为等腰直角三角形，求出的长，根据最小为，计算即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得：， ∴； （2）当时，则：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∵点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D， ∴，， ∴， ∴的面积； （3）①由题意，作图如下： 连接，作于点， 由（2）可知：， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 对于，当时，， ∴点在抛物线上； ②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，如图， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， 同①可得，， ∴点在射线上运动， ∴当时，即与点重合时，最小，此时最小为， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键． 12．(1) (2) (3) 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）先求出点B的坐标，然后再运用待定系数法确定直线解析式，设，则，，最后根据即可解答； （3）先求出点D的坐标，再求出的值，过点F作轴于点H，证明可得，再在上取点K，使得，连接，然后说明，再在中运用勾股定理可得；设F，则，根据点N在直线上列式求得t，进而确定点N的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点 ∴，解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线经过点、点B， 令， ∴，解得， ∴ 设直线解析式为 ∵，， ∴，解得： ∴直线解析式为： 设，则， ∴， 即． （3）解：由于直线交y轴于点D，又当时， ∴， 又∵ ∴， ∴， 过点F作轴于点H， ∵轴于点M， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 在上取点K，使得，连接 ∵，， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，解得， 设F，则， ∴， ∵，， ∴， ∴点N的坐标是， 又∵点N在直线上 ∴，解得， 当时，， ∴点N坐标是． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识点，灵活运用相关知识点为解答本题的关键． 13．(1) (2)线段存在最大值，最大值为，此时点的坐标为，理由见详解 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的结合，求线段的长度及最值问题，求自变量的取值范围等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）分析出线段存在最大值时的点位置，求出点坐标，然后借助几何图形和勾股定理求出此时线段的长度； （3）假设，根据线段长度列出一元二次方程进行求解，结合图象即可求出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：线段存在最大值，最大值为，此时点的坐标为，理由如下： 如果过点作直线，那么当直线与抛物线相切时，的值最大， 假设直线的解析式为，将代入解析式得， 解得 ∴直线的解析式为， ∴直线的， 假设直线的解析式为， 联立得 ， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 此时点的坐标为， 直线可以看作直线向上平移了个单位长度得到的， 如果过点作轴的平行线，交直线于一点，此时该点与两点够成了等腰直角三角形， 根据勾股定理得, 解得； （3）解：假设， ∴， 解得或， 结合二次函数和一次函数图象得， 的取值范围为或． 14．(1) (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，设，求出的坐标，进而求出的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，                                   抛物线的函数表达式为； （2）证明：，当时，， ， ∴设直线的解析式为， 把点代入，得：， ∴直线的函数表达式为， 抛物线对称轴交直线于点，对称轴为直线， 当时，， ， 如图，设点， ， 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，则， 直线的函数表达式为， 当时，， ， ． 同理可得，直线的函数表达式为，                      当时，， ， ， ． 为定值． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据顶点坐标可得对称轴，根据对称轴计算公式可得，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，则，．根据题意可得．过作于点交于点．则．可求出．证明，则．则． （3）求出直线的解析式为．可证明．则可求出，则．延长交轴于点．可证明，则．过作于点K．可证明．则．解方程可得．过点作于点．则，，据此由勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ，即． 把代入，得． ， ， ． 抛物线的解析式为． （2）解：对于．当时，即，解得，． ，， ． 当时，， ， ． 在中，， ，． 点在抛物线上， ． 过作于点交于点．则． ，，． ． ． ， ． ， 在中，． ． ． （3）解：设直线的解析式为． 点，在直线上， 直线的解析式为． 轴， ． 点在直线上， ， ， ． 延长交轴于点． ． ，， ， ． ， ． ． 过作于点K． ． ． ． ，（舍）． ． 过点作于点． 则，． 在中，， 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $