10.1二元一次方程组的概念 同步练习- 2025--2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组概念，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合概念辨析、规律探究与实际应用，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|5|二元一次方程（组）概念、解的判定|如第5题残缺方程组补全，强化解的应用| |填空题|5|参数问题、解的性质、表格数据关联|第10题结合表格数据求方程组解，体现数学眼光| |解答题|6|概念判断、规律探究、实际应用|第15题规律猜想培养推理意识，第16题实际问题解决发展模型意识|

10.1二元一次方程组的概念 一、单选题 1．下列属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．二元一次方程的正整数解的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 4．若关于，的二元一次方程有一个解是，．则的值为（） A．5 B．4 C．3 D．2 5．小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 二、填空题 6．已知是关于，的二元一次方程，则______． 7．若是关于的方程的一个解，则的值是___________． 8．已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为______． 9．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，请你帮他找回这两个数，________，________． 10．已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为______． （2）关于，的二元一次方程组的解为______． 三、解答题 11．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 12．已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 13．已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 14．如图，是线段的一点，是线段的中点．已知图中所有线段的长度之和是厘米，线段的长度与线段的长度都是整数，则线段的长度为多少厘米． 15．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 16.综合与实践 【问题情境】 我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出它的正整数解，通过观察法，容易求出其正整数解为① ． 【实践探究】 但类似方程，因未知数的系数较大，用观察法不易求出其正整数解，此时，我们可以运用辗转相除法逐步缩小系数，解题过程如下： 由，得 ∵x，y是正整数， 也是正整数， ∴可用观察法，得 ② ； ∴原方程的正整数解为：③ ． 阅读以上材料，解决下列问题： (1)请补充上述探究过程中①②③所缺的内容； (2)一个正整数与23的和是5的倍数，与23的差是6的倍数．请结合以上探究方法，求满足条件的最小正整数． 参考答案 一、单选题 1．C 解：A项：中含未知数的项的次数为2，不符合定义，不是二元一次方程，故A错误； B项：只含有1个未知数，不符合定义，不是二元一次方程，故B错误； C项：整理得，是整式方程，含有两个未知数x，y，且含未知数的项的次数都是1，符合定义，是二元一次方程，故C正确； D项：中是分式，方程不是整式方程，不符合定义，不是二元一次方程，故D错误． 2．D 解：A. 第二个方程含，次数为2，不符合一次方程要求； B. 含三个未知数，不符合二元条件； C. 第二个方程含二次项，次数为2； D. 两个方程均为一次整式方程，且仅含，符合定义． 故选：D． 3．A 解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，不符合， 所以，二元一次方程的正整数解的个数是． 故选：． 4．A 解：是方程的解， ， 解得， 故选：A． 5．A 解：设●，※两处分别代表的是，， ∵， ∴， 解得． 二、填空题 6．4 解：是关于，的二元一次方程， ， 解得． 7．4 解：∵是方程的一个解， ∴代入方程得：， 即， 移项得：， ， 解得：． 故答案为：4． 8． 解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解， 可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解， ∴方程组的解为， 故答案为：． 9． 4 解：∵的解为， ∴， 解得：． 10． 解：（1）根据表格可知，当时，中，中， ∴关于，二元一次方程组的解为， 故答案为； （2）∵关于，二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为． 三、解答题 11．解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组． 12．解：由题意，得， 解得或， 又， ， ，的值分别为，． 13．（1）解：将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； （2）解：将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； （3）解：两方程的公共解为， 则方程组的解为． 14．解：是线段的中点， ， 设，， 则依题意得：， 即， 得， 线段的长度与线段的长度都是整数， 则最大为，此时为小数，不符合题意； 时，，符合题意； 时，为小数，不符合题意． ． 15．解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 16.（1）解：∵，且x、y都是正整数， ∴； ∵是正整数， ∴当时，， 当时，； 当时，，不符合题意； ∴原方程的正整数解为： 或； 故答案为：；3或10； 或 （2）解：设这个正整数为m，（k为正整数）， ∴， ∵m与23的差是6的倍数， ∴可设， ∴， ∴是整数，且要保证， ∴当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； ∵k随n增大而增大，m随k增大而增大， ∴m的最小值即为17． 学科网（北京）股份有限公司 $