河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年度第二学期高三年级大练习数学试题

**基本信息** 高三数学模拟卷聚焦核心素养，覆盖统计、数列、导数等知识，通过概率与数列结合（如第19题）、立体几何证明与体积计算（如第16题）等分层设计，提升数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选+多选）|11题/58分|统计（平均数）、数列（等差）、复数（方程根）|数学眼光分析数据（第1题）、逻辑推理（第7题充要条件）| |填空题|3题/15分|几何最值（矩形）、导数几何意义（切线）|数学思维解决动态问题（第12题最值）| |解答题|5题/77分|解三角形（面积周长）、立体几何（体积）、概率统计（分布列与数列）|数学语言综合表达（第19题概率与数列结合）|

河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年度第二学期高三年级大练习数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下： 甲：7  8  10  9  8  8  6 乙：9  10  7  8  7  7  8 则下列判断正确的是（   ） A．甲射击的平均成绩比乙好 B．乙射击的平均成绩比甲好 C．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数 D．甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数 2．已知：，：，若是的既不充分又不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知为等差数列，其前n项和为则（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 4．在的展开式中常数项为6，则（   ） A． B．1 C． D．6 5．已知抛物线的焦点为，准线为为上位于第一象限的点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（） A． B． C． D． 6．若为奇函数，当时，，则（    ） A．10 B． C．12 D． 7．已知函数 . 设甲: ；乙: 是偶函数，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 8．已知关于复数的方程的四个互异复根在复平面上顺次连接构成一个凸四边形．若这四个顶点恰好共圆，则当该圆的半径最小时a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．当时， D．的极大值为 10．已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（   ） A．曲线E为中心对称图形 B．O为坐标原点，的最小值为2 C．的最大值为2 D．曲线E的渐近线方程为 11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：于M，N两点，下列结论正确的是（    ） A．实数a越大，椭圆C越圆 B．若，且，则 C．当时，过的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且，则的斜率 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知矩形的边，，点P，Q分别在边上，若则的最小值为________. 13．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程为__________． 14．已知，且，若存在，使成立，则实数的取值范围为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，的面积为，为边上一点，满足， ①求的周长； ②求的长. 16．如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点． (1)若，证明：平面； (2)已知，平面和平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积． 17．设函数. (1)求的极值； (2)若对任意，有恒成立，求的最大值. 18．已知函数. (1)若在定义域上恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程的根为， ①求证: ； ②判断数列中是否存在连续三项按某种顺序构成等比数列，并证明你的判断. 19．甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立． (1)当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望． (2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为． （ⅰ）证明：为等比数列． （ⅱ）求的最大值以及对应n的值． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年度第二学期高三年级大练习数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A C D C C BCD BCD 题号 11 答案 BD 1．D 【分析】利用平均数、众数、中位数的定义分别求出甲乙两人射击环数的平均数、众数、中位数，然后比大小即可. 【详解】由题意得，甲射击的平均成绩为，众数为8，中位数为8； 乙射击的平均成绩为，众数为7，中位数为8； 故甲射击的平均成绩等于乙射击的平均成绩，故A B错误； 甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，故C错误； 甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数，故D正确； 故选：D． 2．C 【详解】解，得， 因为是的既不充分又不必要条件，所以和互不包含， 所以，所以的取值范围是. 3．B 【分析】通过等差数列的通项公式将已知等式转化为关于首项和公差的式子，化简得到中间项的值，再利用前项和与中间项的关系求出. 【详解】将转化为：， 展开得：， 合并同类项：， 化简得：，即. 前5项和，由等差数列性质知，， 故. 故选：B 4．A 【分析】写出展开式通项，令的指数为0即可求解. 【详解】展开式通项 ，令 得. 所以常数项为，解得. 5．C 【分析】根据题意可得，轴，进而可求各线段的长和各点的坐标，进而可求直线的方程. 【详解】设抛物线的准线与轴的焦点为，此时， 因为抛物线的焦点为等边三角形， 所以轴，所以， 因为，所以， 所以，此时， 所以， 因为，所以 的倾斜角为 所以， 可得直线的方程为， 即． 故选：． 6．D 【分析】由奇函数性质结合题意可得答案. 【详解】因为为奇函数，时，, 所以. 故选：D 7．C 【分析】分别由和是偶函数求解，再结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】由， 代入得： ， 展开整理：， 消去同类项后得，即， 解得：， 由是偶函数，即对任意恒成立， 代入得： ， 展开整理得：，对任意恒成立， 因此，解得：，甲和乙推出的完全等价， 因此甲是乙的充要条件. 8．C 【分析】先求出复数的方程的四个互异复根，在复平面用坐标表示，再根据四点共圆设出圆的方程和半径，借助列出等式，最终用表示半径，利用均值不等式求出半径最小时的值. 【详解】原方程为，解得，， 对应复平面上的点为，. 四个点关于x轴对称，因此若四点共圆，圆心在轴上， 设圆心为，半径为R ， ，得 ， 整理得，因此半径平方. 由基本不等式，等号成立当且仅当： ， 因为，故，此时圆半径最小. 9．BCD 【分析】本题可根据奇函数的性质以及函数极值的求法，对选项逐一进行分析即可判断． 【详解】函数是定义在上的奇函数，则，故A错误； 当时，，则 ， 根据奇函数的性质 ，故B正确； 当时，，则有， 又因为是奇函数，即， 所以 ，故C正确； 当 时， ， 令，即 ，解得； 当时，单调递减；当 时， 单调递增. 所以是在上的极小值点，. 当 时，可得：， 令，解得. 当时，单调递增；当 时， 单调递减. 所以是在上的极大值点， ，即 的极大值为 ，故D正确. 10．BCD 【分析】首先对分类讨论，从而得到其完整图形，再将点关于原点的对称点代入曲线方程即可判断A；分段求出最值即可判断B；利用基本不等式即可判断C；根据双曲线渐近线公式即可判断D. 【详解】对A，如图所示，当时，，图象为椭圆 在第一象限内及坐标轴正半轴上的部分； 当时，，图象为双曲线在第二象限内部分； 当时，，图象为双曲线在第四象限内部分； 在曲线上任取一点，则满足， 关于原点的对称点，代入， 故曲线不关于原点对称，故A错误； 对B，，当时，由得， 故，当时，最小值为2， 当时，由得，故， 当时，由得，故， 故最小值为2，故选项B正确； 对于选项C，当时，， 即，当且仅当时，取最大值为； 当或时，，故的最大值为，故选项C正确； 对于选项D，双曲线与双曲线均有渐近线，由图象可知选项D正确， 11．BD 【分析】A选项，根据离心率得到越大，越大，椭圆C越扁； B选项，根据，得到，又因为，得到方程，求出，，得到离心率； C选项：设出的方程，联立椭圆方程得到两根之和，两根之积，结合求出的值，从而求出直线斜率； D选项，表达出，，从而得到方程，求出，进而表达出，即可判断D； 【详解】A选项，因为，所以，此时，故椭圆的离心率为， 越大，越大，椭圆C越扁，A错误； B选项：因为，则， 又因为，则，故， 又因为， 解得，，故，B正确； C选项：当时，椭圆C： 且， 当过的直线斜率为0时，此时A在轴上，不符合要求，舍去， 设过的直线的方程为， 因为点A在轴的上方，且，所以直线的斜率大于0， 联立得，，设，， 则，，所以， 解得，负值舍去， 所以直线的方程的斜率为，C错误； D选项：设，则，所以， 则 ， 同理可得，由，得， 故，则， 又因为，， 故 ，D正确； 故选：BD. 【点睛】椭圆的焦半径公式： （1）椭圆上一点，其中椭圆左右焦点分别为，，则，. （2）椭圆上一点，其中椭圆上下焦点分别为，，则，. 12． 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，表示出，用基本不等式求最小值. 【详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，． 设，则，， 则，，． 因为 ． 当且仅当，即时，“＝”成立， 所以的最小值为． 故答案为：. 13． 【分析】首先根据导数的几何意义求出切线方程，然后求出和坐标轴的交点，最后利用几何法求圆的方程. 【详解】将曲线化为，求导得，在点的切线斜率， 由点斜式得切线方程：，整理为. 切线与坐标轴的交点为、，围成的三角形三个顶点为、、， 中，直角三角形的外接圆直径为斜边. 斜边的中点为，即圆心，，半径， 因此外接圆的标准方程为：（或展开为）. 14． 【分析】由基本不等式求得的最小值，再解一元二次不等式即可求解. 【详解】，，且， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为15， 由，解得或． 所以实数的取值范围为. 故答案为： 15．(1) (2)①的周长为,② 【分析】（1）结合正弦定理和三角形的内角和定理以及两角和与差的正弦公式，可求角. （2）①先根据三角形的面积公式及余弦定理求得，可得为等边三角形，进而求得周长； ②根据余弦定理求. 【详解】（1）由， 可得，，即， 即，又， 则，即. （2）①因为，所以. 由余弦定理：， 则，即，则， 所以，即为等边三角形， 则的周长为. ②由，所以， 在中，由余弦定理得， ， 所以. 16．(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）利用线面垂直得到直角三角形，利用直角三角形的性质和线面垂直的判定定理可证结论； （2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用平面夹角得出的长，结合条件公式可得答案. 【详解】（1）因为平面，平面，所以，是直角三角形， 因为是的中点，所以，因为，所以，可得， 因为平面，，所以， 因为，，，平面，，所以平面； （2）设，因为两两垂直，以为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系， 有， 设平面的法向量为，由， 有， 取，可得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，由， 有， 取，可得平面PCD的一个法向量为， 又由，， 有，又由平面和平面的夹角的余弦值为，有， 解得， 故，所以．    17．(1)极小值，无极大值； (2). 【分析】（1）求导，判断函数单调性即可确定极值; （2）分离参数并构造新函数，求导，判断函数单调性求出最小值即可求解. 【详解】（1）. 令，得，令，得. 故在单调递减，在单调递增. 在处取得极小值，无极大值. （2）对恒成立，即对恒成立. 令，则只需即可. . 易知均在上单调递增， 故在上单调递增且. 当时，单调递减； 当时，单调递增. .故，故的最大值为. 18．(1) (2)①证明见解析；②不存在，证明见解析 【分析】（1）转化问题为对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （2）①结合（1）可得，，当且仅当时等号成立，进而得到，可得当时，，进而利用裂项相消法求证即可； ②先假设存在，先得到，再结合成等比数列，得到，再由，得到推出矛盾即可求证. 【详解】（1）由，， 则对于恒成立， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 所以实数的取值范围为. （2）①由（1）知，当时，，， 即，，当且仅当时等号成立， 因为方程的根为，所以，且， 则，即， 当时，， 则, 当时，也满足，则. ②数列中不存在连续三项按某种顺序构成等比数列，证明如下： 由，，则， 当时，，则函数在上单调递增， 结合题意，方程有唯一的根为，即， 而， 则，即， 假设成等比数列，则其公比，且， 又，则，， 所以，则， 即，所以， 则，由于， 则，即， 则，则， 由，， 两式相减得， 则，即，这与矛盾， 故数列中不存在连续三项按某种顺序构成等比数列. 19．(1)分布列见解析，1 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）当时，取到最大值为 【分析】（1）由已知可得X的可能取值，分别求解概率即可得分布列和期望； （2）（ⅰ）根据等比数列的定义证明即可；由（ⅰ）可证为等比数列，可得，结合不等式的性质和函数的单调性即可求解. 【详解】（1）X可以取0，1，2，3，4， 每次回答A类问题且回答正确的概率为， 回答A类问题且回答不正确的概率为， 每次回答B类问题且回答正确的概率为， 回答B类问题且回答不正确的概率为， ， ， ， ；， X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ； （2）（ⅰ），， 由题意得甲累计得分为n分的前一轮得分只能为分或分， 故当时，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （ⅱ）根据（ⅰ）可知，①， 易得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， 令②－①可得， 所以， 经检验，时均满足上式，故， 所以， 而显然随着n的增大而减小， 故， 又因为，所以当时，取到最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是深入理解游戏得分的规则，找出累计得分分与分，分之间的概率递推关系，从而得到与，的关系式. 答案第14页，共16页 答案第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $