黑龙江哈尔滨市五常市雅臣中学校2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试卷

**基本信息** 高二下学期月考数学卷，聚焦导数、概率、排列组合等核心知识，通过重庆旅游、医院选医生等真实情境，考查数学眼光观察、数学思维推理及数学语言表达能力，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选题|8|导数定义、排列组合、二项式定理、概率计算|基础巩固，如导数定义直接应用（题1）| |多选题|3|条件概率、二项式系数、函数极值|能力辨析，如结合函数奇偶性与导数解不等式（题8）| |填空题|3|二项式系数和、条件概率、单调区间|简洁应用，如条件概率计算（题13）| |解答题|5|二项式定理应用、排列组合实际问题、导数单调性与最值、概率综合、导数切线与恒成立|综合创新，如医院选医生多条件排列（题16）、导数与不等式恒成立（题19）|

五常市雅臣中学高二下学期第二次月考数学试卷 一、单选题 1．如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，则至少有1名女生当选的不同的选法有（    ） A．27种 B．48种 C．21种 D．24种 3．已知二项式（其中且）的展开式中与的系数相等，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知，，，则（   ） A．0.2 B．0.375 C．0.75 D．0.8 5．央视评价重庆是“最宠游客的城市.”现有甲､乙两位游客慕名来到重庆旅游，准备从洪崖洞､磁器口､长江三峡､大足石刻和天生三桥五个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事件A为“甲和乙至少一人选择洪崖洞”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 6．若是函数的极小值点，则实数（   ） A．6 B．3 C．2 D．4 7．将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有（    ）种 A．10 B．16 C．22 D．28 8．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某商场开业期间举办抽奖活动，已知抽奖箱中有30张奖券，其中有5张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，记表示甲中奖，表示乙中奖，则（    ） A． B． C． D． 10．若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数存在三个不同的零点 B．函数既存在极大值又存在极小值 C．若时，，则t的最小值为2 D．当时，方程有且只有两个实根 三、填空题 12．的展开式各项系数的和是，则__________. 13．袋子中有7个大小相同的小球，其中4个红球，3个黄球，每次从袋子中随机摸出1个小球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是___________. 14．已知函数，则的单调递增区间为______． 四、解答题 15．已知的展开式中的所有二项式系数之和为64. (1)求的值； (2)求展开式中的系数. 16．某医院呼吸内科有3名男医生、2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；感染科有2名男医生、2名女医生，其中张雅（女）为科室主任．现在院方决定从两科室中选4人参加培训． (1)若至多有1名主任参加，则有多少种派法？ (2)若呼吸内科至少有2名医生参加，则有多少种派法？ (3)若至少有1名主任参加，且有女医生参加，则有多少种派法？ 17．已知函数，且 (1)若的最小值为，求的值； (2)讨论的单调性. 18．某公司生产了两箱产品，甲箱的产品中有4个正品和3个次品，乙箱的产品中有5个正品和3个次品． (1)从甲乙箱中各取1个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 19．已知函数在处的切线方程为． （1）求实数，的值 （2）已知关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《五常市雅臣中学高二下学期第二次月考数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A A C B A D AC AD 题号 11 答案 BD 1．C 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】因为函数在处的导数为1， 所以， 故选：C 2．D 【分析】根据题意至少有1名女生当选包括1名女生当选，2名女生当选两类，从而可得出答案. 【详解】解：分为两类： ①1名女生当选，有种选法； ②2名女生当选，有种选法， 故至少有1名女生当选的不同选法有（种）． 故选：D. 3．A 【分析】利用二项式定理的通项公式建立等量关系可求答案. 【详解】因为且，由题意知， 得，求得， 故选：. 4．A 【分析】根据全概率公式和对立事件的概率公式求值即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 故选：A. 5．C 【分析】根据条件概率的计算公式即可求得答案. 【详解】由题意知事件A：“甲和乙至少一人选择洪崖洞”包含种情况， 事件：“甲和乙选择的景点不同，且恰有一人选择洪崖洞”包含种， 所以， 故选：C 6．B 【分析】求出函数的导数，由题意得出，求出实数的值，并验证为函数的极小值点，得解. 【详解】易得，则，解得． 当时，， 所以当和时，， 当时，，故是的极小值点，符合题意． 所以. 故选：B. 7．A 【分析】分没有空盒和有1个空盒，求放置的方法. 【详解】①如果没有空盒，则小盒的球数是1,2,3，或是2,2,2，共有种方法， 若是有一个空盒，则小盒的球数是3,3，首先选盒，再放小球，共有种方法， 所以不同的放法共有7+3=10种方法. 故选：A 8．D 【分析】令，求出单调性和奇偶性，将不等式转化为求解即可． 【详解】解：令，则， 因为当时，，所以在上单调递增． 不等式可变形为，即． 因为是偶函数，所以也是偶函数． 等价于， 原不等式等价于，即， 解得 故选：D. 9．AC 【分析】根据题意直接计算出，，，即可. 【详解】由题意可知，则A正确； ，则B错误； ，则C正确； ，则D错误； 故选：AC. 10．AD 【分析】A选项，根据等式右边的系数为1求出；B选项，求出中的系数为，中的系数为，求出；CD选项，赋值法求解各项系数和与，从而判断CD选项 【详解】因为等式右边的系数为1，所以，A正确； 中的系数为，中的系数为，所以，B错误； 中，令得： ，所以， 令得：， 所以，C错误； 中，令得： ， 即，而， 所以，，D正确. 故选：AD 11．BD 【分析】利用导数判断出函数的单调性，作出函数的草图即可判断各选项的真假． 【详解】，令，解得或， 当或时，，故函数在，上单调递减，当时，，故函数在上单调递增， 且函数有极小值，有极大值，当趋近负无穷大时，趋近正无穷大，当趋近正无穷大时，趋近于零，故作函数草图如下，    由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2． 故选：BD． 12． 【分析】采用赋值法，令，根据展开式各项系数的和即可求得答案. 【详解】由题意令，则的展开式各项系数的和是， 故答案为： 13．/0.5 【分析】利用条件概率的公式计算即可. 【详解】记事件第1次摸到红球，事件第2次摸到红球， 第1次摸到红球的事件种数， 在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的事件种数， 则. 故答案为：. 14． 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可． 【详解】解：的定义域是， ， 令，解得：， 故在递增， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题． 15．(1) (2)20 【分析】（1）根据二项式系数和公式即可求解， （2）根据二项式展开式的通项特征即可求解 【详解】（1）由题意可得，. 解得； （2）， 二项展开式的通项为. 由，得. 展开式中的系数为. 16．(1)105； (2)105； (3)87. 【分析】（1）分无主任参加和只有1名主任参加两种情况，再根据组合的方法求得答案； （2）分2名医生、3名医生和4名医生参加三种情况，再根据组合的方法即可求得答案； （3）考虑张雅参加和不参加两种情况，如果张雅不参加则李亮必须参加，进而根据组合的方法即可求得答案. 【详解】（1）若无主任参加，则有种派法，若只有1名主任参加，则有种派法，故不同的派法共有（种）. （2）由题意，可分为三类考虑： 第一类，呼吸内科有2名医生参加，则共有种派法； 第二类，呼吸内科有3名医生参加，则共有种派法； 第三类，呼吸内科有4名医生参加，则共有种派法． 所以呼吸内科至少有2名医生参加的派法共有（种）． （3）张雅既是主任，也是女医生，属于特殊元素，优先考虑，所以以张雅是否参加来分类． 第一类，张雅参加，则有种派法， 第二类，张雅不参加，则李亮必须参加，则有种派法． 所以至少有1名主任参加，且有女医生参加的派法共有（种）． 17．(1)2或 (2)见详解. 【分析】（1）的最小值为也就是从极小值出发，求出的值；（2）利用导数的符号来讨论的单调性. 【详解】（1）函数定义域为 ，且的最小值为，则 ，且 所以，或 当 时，令 ，解得 ; 令 ，解得 . 的增区间为 ；减区间为 ;满足题意； 当 时，令 ，解得 ； 令 ，解得 ， 的增区间为 ，减区间为 ，满足题意. 综上，的值为2或； （2）函数定义域为 ， 当 时，令 ，解得 ; 令 ，解得 . 当 a=0时， 恒成立，所以 只有增区间 . 当 时，令 ，解得 ； 令 ，解得 综 上: 当 时， 的增区间为 ；减区间为 ; 当 时， 增区间 ，无减区间； 当 时， 的增区间为 ，减区间为 18．(1) (2) 【分析】（1）利用古典概型的概率求解； （2）设事件“从乙箱中取1个正品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是次品”，由 求解. 【详解】（1）解：从甲箱中取1个产品的事件数为，取1个次品的事件数为；从乙箱中取1个产品的事件数为，取1个次品的事件数为． 所以2个产品都是次品的概率为 （2）设事件“从乙箱中取1个正品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件、事件、事件彼此互斥． ，，， ，，， 所以， . 19．（1），；（2）． 【分析】（1）利用导数的几何意义，求实数的值；（2）首先利用导数，求函数的最小值，再利用放缩法，即得，即得实数的取值范围. 【详解】（1），， 切点代入得：，∴，． （2）由（1）得：，， ，则在上是增函数， 又，， 所以，存在，使得，即① ∴时，，时，， ∴在单减，在单增 ，将①代入得： ∵在单减，∴， ∴时，， 当且仅当时取等，所以等号不成立，则， ∴在上恒成立时，． 【点睛】关键点到点睛：本题第二问考查利用导数求函数的最值与含绝对值问题的综合应用，本题的关键是结合导数以及不等式放缩得到时，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $