精品解析：上海市静安区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

上海市静安区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 从某多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形是（ ） A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的对角线．根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得，， 解得：， 即这个多边形是八边形， 故选∶B． 2. 在平面直角坐标系中，点A在第二象限，距离轴2个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，结合第二象限点的符号特征求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A距离x轴2个单位长度， ∴， ∴， ∵点A距离y轴3个单位长度， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴点A的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴，即点A的坐标为． 3. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意， C、∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 4. 下列命题，是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断命题真假即可． 【详解】解：A、∵对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴A是假命题． B、∵对角线相等的平行四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，∴B是假命题． C、∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴C是假命题． D、∵菱形的对角线互相垂直平分，若对角线相等，则该四边形既是菱形又是矩形，满足正方形的判定条件，∴对角线相等的菱形是正方形，D是真命题． 5. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（　　） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，进而结合已知证明，由等腰三角形的判定和性质得到，，再根据勾股定理求出． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，即， 在中，． 6. 如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G，连接 ． ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ， ∴， ，即N是的中点． ∴是的中位线． ． ∵点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，，， ∴，，． 在中， ． ． 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 七边形的内角和是________度． 【答案】900 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：七边形的内角和， 故答案为：900． 8. 已知点，，则线段的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两点之间的距离公式：已知在平面直角坐标系中有两点，则这两点间的距离公式为，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可得． 【详解】解：∵点，， ∴． 故答案为：． 9. 点与点关于轴对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出，，再计算的值即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 10. 如果一个四边形的两条对角线的长都是，那么顺次联结这个四边形的各边中点所得的四边形的周长等于___________． 【答案】8 【解析】 【分析】此题主要是三角形中位线定理的运用．根据三角形的中位线定理即可求得所得四边形的各边长度都是原四边形的对角线的一半，从而求解． 【详解】解：如图所示，分别是四边的中点，， ∴分别是的中位线， ∴， ∴顺次连接这个四边形各边的中点所得四边形的周长等于． 故答案为：8． 11. 矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则较长的边长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，根据矩形的性质得出，根据得出是等边三角形，即可证明，利用勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，矩形的对角线交于点，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 12. 如图，矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，若∠AOD＝110°，则______°. 【答案】55 【解析】 【详解】试题解析：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∵∠AOD=110°，∠AOD=∠OAB+∠OAB， ∴∠OAB=∠OBA=55°. 13. 如图，在菱形中，，对角线，过点A作，垂足为E，则的长为____________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据勾股定理得，再结合菱形的性质，得，然后代入数值解得，最后由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵于点E， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴． 14. 如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求得，进而可得，结合已知可得，根据，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为，对角线，交于点， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 的长为． 15. 如图，在中，，点是的重心，如果，那么点与点的距离为___________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，连接，延长交于，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，再利用重心的性质求． 【详解】解：连接，延长交于， ∵点是的重心， 是的中点，， ，， ， ， ∴点与点的距离为． 16. 如图，中，，F是边的中点，，那么的长是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过延长构造全等三角形，得出线段关系，再利用中位线定理求解． 延长交于点，先证，得到的长度，利用勾股定理求得的长度，再结合为中点，是中点，利用中位线定理求． 【详解】延长交于点， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ， 为的中点， 又 F是边的中点， ， 故答案为：1． 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得到，设 ，利用两点间距离公式求出点的坐标，再根据中点公式得到点的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 平行于轴，， 纵坐标都是． 设 ， ， ， ， 解得， ∴． ∵， 设， 由中点公式：，， ，， ． 18. 如图，在正方形中，，M是对角线所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形为平行四边形，且，则的值为 ____________________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】由平行四边形的性质，得对角线与互相平分，交点为中点O，即O是中点，且．过O作于H，先在等腰直角中求出；再在中，由勾股定理算出．分类讨论当M在线段上时，当在延长线上时即可解答． 【详解】解：依题意有以下两种情况： ①当点M在对角线上时，设交于点O，过点O作于点H，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形，且，为对角线， ∴，，， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：， ∵四边形为平行四边形，， ∴，， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴． ②当点M在的延长线上时，设交于点O，过点O作于点H，如图所示： 同理可得：，，， 在等腰直角中，， 在中，由勾股定理得： ∴， ∴， 综上所述：的值为或． 三、解答题（本大题共7题，第19～21题，每题8分，第22～24题，每题10分，第25题12分，共66分） 19. 若一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，那么这个多边形的边数是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】根据任意多边形外角和恒为，边形内角和公式为列出方程，求解即可得到多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为，已知多边形外角和为，内角和为， 根据题意得， 解得． 20. 在平面直角坐标系中，点，，，通过计算判断的形状． 【答案】是等腰直角三角形 【解析】 【详解】解：∵点，，， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接． （1）写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． （2）在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，四边形的面积为12 （2）存在，点E坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用平移方式求出点、的坐标，根据平移的性质可得四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式求解面积即可； （2）根据的面积是面积的3倍求出，然后分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：根据平移方式可得，点的坐标为即，点的坐标为即， ， 点，的坐标分别是，， ， 由平移的性质知，四边形是平行四边形， 四边形的面积为； 【小问2详解】 解：由题知， ，． 因为的面积是面积的3倍， 所以， 则． 因为点B坐标为， 则， 所以点E坐标为或． 22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AB＝CD ∴∠DAE＝∠AEB ∵AE平分∠BAD ∴∠BAE＝∠DAE ∴∠BAE＝∠AEB ∴BE＝AB ∴BE=CD （2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE ∴AF＝EF 在△ADF和△ECF中 ∴△ADF≌△ECF ∴DF＝CF 又∵AF＝EF ∴四边形ACED是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，∠DAE＝∠AEB，利用AE平分∠BAD，推出∠BAE＝∠AEB，得到BE=AB，即可得到结论； （2）根据BE＝AB，BF平分∠ABE，得到AF＝EF，证明△ADF≌△ECF，推出DF＝CF，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键． 23. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 【答案】 (1)证明:∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． (2)OE=5，BG=2. 【解析】 【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形； (2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2． 【详解】解：(1)略 (2)∵点E为AD的中点，AD=10， ∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4， ∴在Rt△AEF中，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=10， ∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG=OE=5， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2． 故答案为：OE=5，BG=2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握． 24. 综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． （1）折纸：如图，在一张长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图）． 问题：重叠部分的的形状________（是、不是）等腰三角形． 问题：若，，则重叠部分的面积为________． （2）折纸：如图，长方形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长． 【答案】（1）问题：是；问题： （2）的长为或 【解析】 【分析】（1）据折叠得，据长方形对边平行得，故，进而证明等腰三角形；根据等腰三角形三线合一，作，由勾股定理算出，然后计算三角形面积； （2）分两种情况讨论，当在外部：由垂直平分线、折叠得，再根据角相等，推得正切值相等，列方程求；当在内部：由垂直平分线、折叠得，进而求得，然后由勾股定理列方程求． 【小问1详解】 问题1：解：是，理由如下． 如图，根据折叠的性质，可得， 纸片为长方形， ， ， ， 故是等腰三角形． 故答案为：是． 问题2：解：如图，过点作交于点， ， ， ， 为中点， ，， ， ， 的面积为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，点在矩形外部，的中垂线交于点，交于点，则，， 根据折叠的性质，，， ， ， ， ，， ，， ， ， 设，则， ， 解得，即， 则； 如图，点在矩形内部，的中垂线交于点，交于点，则，，， 根据折叠的性质，可知，， ， ， 设，则，， 在中，， 可得， 化简得， 解得，即． 综上，或． 答：的长为或． 【点睛】本题考查长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理的应用，明确折叠前后对应边相等、对应角相等，运用分类讨论思想是解题关键． 25. 已知在四边形中，，，平分，交边于点． （1）如图，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； （2）如果，， ①如图，时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）①；②或 【解析】 【分析】（）先证明四边形是矩形，进而根据即可求证； （）①过点作于点，可得四边形是矩形，得，再利用勾股定理得 ，即得是等腰直角三角形，得到，再根据角平分线的定义即可求解；②分和两种情况，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ①解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴； ②当时，如图所示，过点作的延长线于点， ∵ ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ， 解得， ∴； 当时，如图所示，过点作于点， 设，则 ，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴是 的角平分线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上，当是直角三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市静安区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 从某多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形是（ ） A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形 2. 在平面直角坐标系中，点A在第二象限，距离轴2个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题，是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 对角线相等的菱形是正方形 5. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（　　） A. 3 B. 4 C. D. 6. 如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 七边形的内角和是________度． 8. 已知点，，则线段的长为________ 9. 点与点关于轴对称，则_____． 10. 如果一个四边形的两条对角线的长都是，那么顺次联结这个四边形的各边中点所得的四边形的周长等于___________． 11. 矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则较长的边长为_______． 12. 如图，矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，若∠AOD＝110°，则______°. 13. 如图，在菱形中，，对角线，过点A作，垂足为E，则的长为____________________ ． 14. 如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 15. 如图，在中，，点是的重心，如果，那么点与点的距离为___________________ ． 16. 如图，中，，F是边的中点，，那么的长是________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 18. 如图，在正方形中，，M是对角线所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形为平行四边形，且，则的值为 ____________________ ． 三、解答题（本大题共7题，第19～21题，每题8分，第22～24题，每题10分，第25题12分，共66分） 19. 若一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，那么这个多边形的边数是多少？ 20. 在平面直角坐标系中，点，，，通过计算判断的形状． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接． （1）写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． （2）在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 23. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 24. 综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． （1）折纸：如图，在一张长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图）． 问题：重叠部分的的形状________（是、不是）等腰三角形． 问题：若，，则重叠部分的面积为________． （2）折纸：如图，长方形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长． 25. 已知在四边形中，，，平分，交边于点． （1）如图，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； （2）如果，， ①如图，时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $