第9章 因式分解基础过关自测卷2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

**基本信息** 聚焦因式分解基础与应用，适配单元复习，通过情境化问题与分层设计，培养数学抽象、推理能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|公因式提取、因式分解定义、公式法（平方差/完全平方）|结合几何图形验证（第7题）、AI工具辨错题（第8题）| |填空题|4/12|公因式确定、代数式求值、拼图与公式应用|融入实践情境（第14题拼图）| |解答题|7/58|分解因式、简便计算、材料阅读（配方法/整体思想）、证明与应用|设置密码编译（第10题）、整除证明（第18题），体现创新意识与应用能力|

第9章 因式分解基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．将多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B．y C． D．x 2．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．把多项式分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．因式分解，该过程用到的运算律是（    ） A．加法结合律 B．乘法交换律 C．分配律 D．乘法结合律 5．下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．多项式 可分解为 ，则 的值是（    ） A． B．5 C． D．6 7．如图，两条线段把正方形分割出边长分别为a、b的两个小正方形，则利用该图形可以验证因式分解成立的是（   ） A． B． C． D． 8．在借助某AI工具命制如下①~④四道试题时，小聪发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（    ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 9．已知，，，则的值为（    ） A．与值有关 B．4 C．8 D．16 10．小航是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别表示我、爱、中、华、河、山．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱中华 B．中华河山 C．我爱河山 D．河山中华 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。） 11．因式分解___________． 12．多项式的公因式是_____． 13．已知，则__________． 14．如图，在综合实践课上，嘉淇用9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是___________（用含的式子表示）． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（9分）分解因式： (1) (2) (3) 16．（7分）利用因式分解简便计算： (1)； (2)． 17．（7分）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：．即：． 根据以上材料，将式子进行因式分解． 18．（8分）证明：任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 19．（8分）已知实数a、b满足，， (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 20．（8分）材料：多项式：因式分解后的结果是，当取时，各个因式的值是，根据每个因式运算结果从小到大排序就可以把“018162”作为一个六位数密码． 任务一： （1）分解因式： 任务二： （2）当取时，请确定产生的六位数密码？ 21．（10分）先阅读材料，再解答问题： 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式， 再将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 因式分解基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．将多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B．y C． D．x 【答案】B 【分析】本题主要考查公因式的确定．先利用提公因式法分解因式，然后再确定公因式即可． 【详解】解：， 即公因式为． 故选：B 2．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，据此判断各选项是否符合定义． 【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 3．把多项式分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵多项式的各项公因式为， ∴提取公因式得. 4．因式分解，该过程用到的运算律是（    ） A．加法结合律 B．乘法交换律 C．分配律 D．乘法结合律 【答案】C 【分析】提取公因式是乘法分配律的逆用，据此判断即可． 【详解】解：∵因式分解 采用提取公因式法， ∴该变形是乘法分配律的逆应用， ∴该过程用到的运算律是分配律． 5．下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构特征，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A、∵不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，故 A错误． B、不符合完全平方公式结构，无法用完全平方公式因式分解，故B错误． C、的一次项不是两个平方项底数乘积的倍，不符合完全平方公式结构，故C错误． D、，符合完全平方和公式结构，可分解为，故 D正确． 6．多项式 可分解为 ，则 的值是（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的运用，根据题意，按照整式乘法运算展开，对应求值即可 ． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故选：D ． 7．如图，两条线段把正方形分割出边长分别为a、b的两个小正方形，则利用该图形可以验证因式分解成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，按照两种方法计算图形面积，根据面积相等，即可解答． 【详解】解：图形的面积为：或：， ∴， 故选：B． 8．在借助某AI工具命制如下①~④四道试题时，小聪发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（    ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【答案】A 【分析】能够分解因式的关键是多项式可以化为两个平方项且符号相反的形式，据此逐一判断即可． 【详解】解：对于①，的两个平方项符号相同，无法写成平方差的形式，故①不能按要求分解； 对于②， 符合平方差形式，故②可以按要求分解； 对于③， ，符合平方差形式，故③可以按要求分解； 对于④， ，符合平方差形式，故③可以按要求分解． 综上可知，不能按要求分解因式的是①题． 9．已知，，，则的值为（    ） A．与值有关 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的应用，将两个已知等式相减，利用平方差公式及的条件求出的值，再将所求式子转化为完全平方形式代入计算即可． 【详解】解：∵①，② ∴得 ∴ 又∵，即 ∴， ∴． 故选：D． 10．小航是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别表示我、爱、中、华、河、山．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱中华 B．中华河山 C．我爱河山 D．河山中华 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先提取公因式，然后分别分解和 为最简因式，得到四个因子，对应密码手册中的词，匹配选项A的顺序． 【详解】解：∵ ， 对应密码：表示我，表示华，表示中，表示爱 因乘法交换律，顺序可调整为“我、爱、中、华”，即“我爱中华”． 故选：A． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。） 11．因式分解___________． 【答案】 【详解】解：． 12．多项式的公因式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的确定方法．解题的关键是找到系数的最大公因数以及相同的字母． 先找出各项系数的最大公因数，再找出各项都含有的相同字母，最后确定相同字母的最低次幂，将这几部分组合起来就是公因式． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为． 最大公因数是3． 多项式的每一项都含有字母y，y在各项中的次数都是1次， 综合系数的最大公因数3和相同字母y的最低次幂y， 所以该多项式的公因式是． 故答案为：． 13．已知，则__________． 【答案】/2.25 【分析】本题考查了因式分解以及整体代入求值，将原式因式分解是解决本题的关键． 先将原式进行因式分解，再由题目已知整体代入求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴上式． 故答案为： ． 14．如图，在综合实践课上，嘉淇用9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是___________（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，拼成的大正方形面积等于9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片的面积之和，因此求出9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片的面积之和，再利用完全平方公式把面积的表达式分解因式即可得到答案． 【详解】解：， ∴拼成的大正方形的边长为， 故答案为：． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（9分）分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 16．（7分）利用因式分解简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)200 (2)10000 【分析】（1）利用平方差公式分解后计算即可； （2）先变形为完全平方公式的形式，分解后计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 17．（7分）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：．即：． 根据以上材料，将式子进行因式分解． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式进行配方，再利用平方差公式进行因式分解即可. 【详解】解： ． 18．（8分）证明：任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 【答案】见解析 【分析】本题先将任意个位是5的整数表示为含整数n的代数式，再对该式平方展开，提取公因式25后，根据整除的定义即可证明结论． 【详解】证明：∵任意个位数是5的整数都可以写成的形式，其中为整数， ， 又∵为整数， ∴为整数， ∴是25的整数倍， 即任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 19．（8分）已知实数a、b满足，， (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)28 (2)96 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先将变形为，然后把已知条件代入计算即可； （2）先将变形为，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， 由（1）得， ∴ ． 20．（8分）材料：多项式：因式分解后的结果是，当取时，各个因式的值是，根据每个因式运算结果从小到大排序就可以把“018162”作为一个六位数密码． 任务一： （1）分解因式： 任务二： （2）当取时，请确定产生的六位数密码？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）代入到（1）中的各个因式，即可得出答案． 【详解】解：（1） ； （2）当取时， ， ， ， 所以这六位数密码为101525． 21．（10分）先阅读材料，再解答问题： 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式， 再将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的相关知识及整体思想的应用．具体包括完全平方公式、平方差公式的灵活运用，以及通过换元法将多项式转化为可直接因式分解的形式，体现了整体思想在简化问题中的重要作用．同时，第三问还考查了利用因式分解解决实际几何问题（求长方形周长）的能力，强调了代数知识与几何应用的结合． （1）把看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解； （2）先把前三项利用完全平方公式变形，再利用平方差公式继续分解； （3）先对给定的等式进行变形，通过因式分解求出的值，进而求出长方形的周长． 【详解】（1）解：因式分解， 设，则原式可化为， 则． 再把代回，得到原式． （2）解：因式分解， 先把前三项进行变形，则． 此时原式变为， 又因为， 则． （3）解：已知， 先把变形为， 则原式变为， 设，则， 则，即，解得． 因为长方形的周长， 把代入，得到． 1 学科网（北京）股份有限公司 $