第01讲 因式分解（知识解读+例题精讲+随堂检测）2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理因式分解知识体系，从定义、公因式到提公因式法、公式法、综合运用及十字相乘法层层递进，用要点解析呈现公因式构成三要素、提公因式步骤及公式法公式，明确重点为提公因式与公式法，难点在公因式判断与分解规范。 讲义亮点在于“典例+变式”分层练习设计，如“已知因式分解结果求参数”题型培养推理意识，“有理数简算中的因式分解应用”提升应用意识。每个知识点配步骤指导，基础生可掌握方法，优秀生能深化综合运用，助力学生自主复习，也为教师提供精准教学支持。

第01讲 因式分解 考点1：因式分解的定义 考点2：公因式的定义 考点3：提公因式分解 考点4：公式法分解 考点5：提公因式与公式法分解因式综合 考点6：十字相乘法分解因式 重点：掌握提公因式法和公式法进行因式分解。 难点★：准确判断公因式、灵活选用公式，分解彻底且规范。 1.理解因式分解的概念，明确与整式乘法的互逆关系。 2.掌握提公因式法、公式法（平方差、完全平方）的基本步骤。 3.能正确、规范地对多项式进行因式分解，培养运算能力。 知识点1：因式分解的定义 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫作把这个多项式因式分解。 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。 3.弄清因式分解与整式乘法的内在关系。 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。 【题型1 判断是不是因式分解】. 【典例1】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A选项是整式乘法，结果为和的形式，不是因式分解； B选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解； C选项，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义，是因式分解； D选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解. 【变式1】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式，不是乘积形式，不是因式分解； B、，等式右边是差的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解； D、，不是整式，等式右边不是整式乘积，不是因式分解． 【变式2】下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式和的形式，不是因式分解； B、，结果是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，结果是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； D、，将多项式化为两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义，是因式分解. 【变式3】下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、左边是单项式，不是多项式，不符合定义； B、是整式乘法，结果为多项式和的形式，不是整式的积，不符合定义； C、左边是多项式，右边是整式的积，符合因式分解的定义； D、右边是和的形式，不是几个整式的积，不符合定义． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 【典例2】若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 【变式1】若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．19 D．21 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的逆运算，解题的关键是得出，的值．将展开，得到，的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式2】若多项式可分解为，则a的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘以多项式法则，先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，再根据已知条件求出答案即可． 【详解】解： ， 把多项式分解因式，得， ， 故选：B． 【变式3】若，那么k的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式把所给等式右边展开即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解与完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键． 知识点2：公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫作这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【题型3 公因式】 【典例3】在多项式中，各项的公因式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键，根据公因式的定义即可得到结果． 【详解】解：多项式 的每一项都含有因式，且的最低次数为， 各项的公因式是． 【变式1】把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式为． 【变式2】多项式的公因式是__________． 【答案】 【分析】当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数，字母取各项相同的字母，且各字母的指数取次数最低的，据此求解即可． 【详解】解：先求系数部分的最大公因数，和的最大公因数是． 再确定字母部分，两项共有的相同字母为和，的最低次数是，的最低次数是，仅出现在第二项，不属于公因式部分，即多项式的公因式是． 【变式3】多项式中各项的公因式是_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的概念，掌握多项式中各项都含有相同的数字因数，相同的字母，相同字母的指数也相同是解题的关键．观察多项式的数字因数，字母，根据一个因式能同时整除几个多项式，这个因式叫做这几个多项式的公因式，即可求解． 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 故答案为：． 知识点3：提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式。 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项。 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。 【题型4 提公因式法分解因式】 【典例4】因式分解：______． 【答案】 【分析】根据提公因式法进行因式分解即可. 【详解】解：原式. 【变式1】因式分解：______． 【答案】 【分析】观察多项式的各项，找出公因式后提取即可完成因式分解. 【详解】解：. 【变式2】因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，提取公因式即可求解． 【详解】解： ． 【变式3】因式分解： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】根据多项式的结构特征，运用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：(1) ； (2) 知识点4：公式法分解 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【题型5 平方差公式分解因式】 【典例5】将因式分解为____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 【变式2】分解【变式1】因式：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 观察表达式，发现符合平方差公式的形式，应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 故答案为：． 【变式3】分解因式：_____，_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的几种常用方法． 利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：； ， 故答案为：；． 【题型6 完全平方公式分解因式】 【典例6】因式分解：__________． 【答案】 【分析】原式符合完全平方公式的结构特征，利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 【变式1】分解因式的结果是____________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式2】分解因式：_______． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3】分解因式： （）______； （）______； （）______； （）______． 【答案】 【分析】（）利用完全平方公式因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：（）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：． 知识点5：提公因式与公式法结合 （1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 （2）公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 【题型7 综合提公因式和公式法分解因式】 【典例7】因式分解：___________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式 【详解】解： 【变式1】因式分解：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解： ． 【变式2】因式分解：_________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至因式不能再分解． 【详解】解： ． 【变式3】分解因式：____． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，直至分解彻底． 【详解】解： ． 【题型8 因式分解在有理数简算中的应用】 【典例8】利用因式分解计算：_____． 【答案】36 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算，正确计算是解题的关键． 观察表达式，发现其符合完全平方公式的形式，通过完全平方公式进行因式分解简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式1】______． 【答案】246 【分析】本题考查利用平方差公式进行简算，逆用乘法分配律和平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：246 【变式2】计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3】若，，则计算的结果为___________． 【答案】2022.5 【分析】先提公因式，再用平方差公式进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：2022.5． 【点睛】本题主要考查了利用平方差公式因式分解进行简便运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 知识点6：十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  (x+p )(x+q ) 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ． 【题型9 十字相乘法】 【典例9】阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解的方法有提公因式法和公式法，对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，看作由得到；第二步，去括号，和对比发现，二次项系数为，二次项由和相乘得出， （为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数的积为，和为，就不难凑出．检验一下：．换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： 分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，进一步推理后又可凑得，即可得到答案； （2）根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，进一步推理后又可凑得，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴可凑数． 故． （2）解：由题意得， ∴可凑数， 则， 又可凑数． 故． 【点睛】本题考查了新定义“凑数法”因式分解，正确理解阅读材料中的思维方法是解题关键． 【变式1】【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： (1)________________________； (2)_________________________； (3)________________________； (4)________________________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解法，（1）根据题意进行因式分解即可； （2）根据题意进行因式分解即可； （3）根据题意进行因式分解即可； （4）根据题意进行因式分解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：； （4）解：， 故答案为：． 【变式2】某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 【变式3】阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可； 理解阅读材料，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵常数项，一次项系数， ∴； （2）∵常数项，一次项系数， ∴； （3）①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 【题型10 分组分解法】 【典例10】分解因式：___________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1】分解因式：________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，运用拆添项分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【变式3】分解因式： ___________． 【答案】 【分析】本题考查了分组分解法分解因式．首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可． 【详解】解： 故答案为：． 【题型11 因式分解的应用】 【典例11】已知，，代数式的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 【变式1】若，则_____． 【答案】4 【分析】利用平方差公式对原式进行因式分解，再代入已知条件化简计算，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式2】已知x，y满足，则______． 【答案】7 【分析】根据，得出，再把代入求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】长宽分别为、的长方形，其周长为，面积为，则的值为 ______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解-提公因式法，正确将原式变形是解题关键． 根据题意得出，，然后因式分解为，整体代入求解即可． 【详解】解：∵长宽分别为、的长方形，周长为，面积为， ∴，， ∴， ， 将，代入，得． 故答案为：． 1．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将多项式分解因式，应提取的公因式是． 2．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵ 因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式 ∴ A选项 结果为，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解； B选项，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； C选项 ，是整式乘法运算，是将乘积化为多项式，不属于因式分解； D选项 结果为，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解． 3．分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，直接利用平方差公式分解因式即可解答． 【详解】解：． 故选：D． 4．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式的结构特点：两数的平方和，加上或减去这两数乘积的2倍，是解题的关键；逐项判断是否符合完全平方公式即可． 【详解】解：A、，常数项为负数，不符合完全平方公式的特点，故不能用完全平方公式进行分解因式； B、，符合完全平方公式的特点，故能用完全平方公式进行分解因式； C、，有两数的平方和，一次项不等于这两个数乘积的2倍，故不能用完全平方公式进行分解因式； D、，只有两项，一个完全平方公式必须有三项，故不能用完全平方公式进行分解因式； 故选：B． 5．如图，边长为，的长方形，它的周长为16，面积为10，则的值为（   ） A．40 B．70 C．80 D．160 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的求值，因式分解的运用，理解题意，得到，再运用因式分解得到，代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵， ∴原式， 故选：C ． 6．因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解，需分解至不能再分解为止． 【详解】解： ． 7．多项式因式分解的结果是，则p的值为_____． 【答案】 【详解】解： ， ∵多项式因式分解的结果是， ∴， ∴． 8．已知，则的值为_____． 【答案】 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，再将已知条件整体代入，逐步化简即可求出结果． 【详解】解：， ∴ ． 9．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 10．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式直接提取公因式即可； （2）原式提取公因式后，再运用平方差公式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．如图，把、、三个电阻串联起来，线路上的电流为I，电压为U，则．当，时，求的值． 【答案】88 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练掌握提公因式法因式分解．根据电压计算公式直接代值计算求解即可． 【详解】解：，，， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 因式分解 考点1：因式分解的定义 考点2：公因式的定义 考点3：提公因式分解 考点4：公式法分解 考点5：提公因式与公式法分解因式综合 考点6：十字相乘法分解因式 重点：掌握提公因式法和公式法进行因式分解。 难点★：准确判断公因式、灵活选用公式，分解彻底且规范。 1.理解因式分解的概念，明确与整式乘法的互逆关系。 2.掌握提公因式法、公式法（平方差、完全平方）的基本步骤。 3.能正确、规范地对多项式进行因式分解，培养运算能力。 知识点1：因式分解的定义 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫作把这个多项式因式分解。 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。 3.弄清因式分解与整式乘法的内在关系。 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。 【题型1 判断是不是因式分解】. 【典例1】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 【典例2】若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【变式1】若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．19 D．21 【变式2】若多项式可分解为，则a的值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式3】若，那么k的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 知识点2：公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫作这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【题型3 公因式】 【典例3】在多项式中，各项的公因式是______． 【变式1】把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【变式2】多项式的公因式是__________． 【变式3】多项式中各项的公因式是_______________． 知识点3：提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式。 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项。 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。 【题型4 提公因式法分解因式】 【典例4】因式分解：______． 【变式1】因式分解：______． 【变式2】因式分解：______． 【变式3】因式分解： （1）______； （2）______． 知识点4：公式法分解 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【题型5 平方差公式分解因式】 【典例5】将因式分解为____． 【变式1】因式分解：________． 【变式2】分解【变式1】因式：________． 【变式3】分解因式：_____，_____． 【题型6 完全平方公式分解因式】 【典例6】因式分解：__________． 【变式1】分解因式的结果是____________． 【变式2】分解因式：_______． 【变式3】分解因式： （）______； （）______； （）______； （）______． 知识点5：提公因式与公式法结合 （1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 （2）公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 【题型7 综合提公因式和公式法分解因式】 【典例7】因式分解：___________． 【变式1】因式分解：______． 【变式2】因式分解：_________． 【变式3】分解因式：____． 【题型8 因式分解在有理数简算中的应用】 【典例8】利用因式分解计算：_____． 【变式1】______． 【变式2】计算：___________． 【变式3】若，，则计算的结果为___________． 知识点6：十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  (x+p )(x+q ) 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ． 【题型9 十字相乘法】 【典例9】阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解的方法有提公因式法和公式法，对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，看作由得到；第二步，去括号，和对比发现，二次项系数为，二次项由和相乘得出， （为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数的积为，和为，就不难凑出．检验一下：．换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： 分解因式： (1)． (2)． 【变式1】【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： (1)________________________； (2)_________________________； (3)________________________； (4)________________________． 【变式2】某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【变式3】阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【题型10 分组分解法】 【典例10】分解因式：___________． 【变式1】分解因式：________． 【变式2】因式分解：______． 【变式3】分解因式： ___________． 【题型11 因式分解的应用】 【典例11】已知，，代数式的值为______． 【变式1】若，则_____． 【变式2】已知x，y满足，则______． 【变式3】长宽分别为、的长方形，其周长为，面积为，则的值为 ______ ． 1．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 4．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，边长为，的长方形，它的周长为16，面积为10，则的值为（   ） A．40 B．70 C．80 D．160 6．因式分解：________． 7．多项式因式分解的结果是，则p的值为_____． 8．已知，则的值为_____． 9．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 10．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 11．如图，把、、三个电阻串联起来，线路上的电流为I，电压为U，则．当，时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $