江苏南通市2025-2026学年高一下学期期中测试数学试卷

高一年级数学测试卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.己知点A(3,4),B(2,6),则AB= A.(1,-2) B.(-1,2) C.(5,10) D.号,5) 2.sin15 cos75 +cos15 sin75 = A.0 B.3 c.⑤ D.1 2 3.在 01B中,AD=B,O死=号O丽,设0A=a,OB=b,则DE= A.20-0 B.a+名b 6 C.a+ 6 D. 4.在 ABC中,BC=2,AC=1+V5,AB=V6,则A= A.45 B.60 C.120 D.135 5.如图,充满气的游泳圈(不考虑壁厚)可以由下面某个图形绕轴旋转而成,这个图形是 A. 令 C. D 6.在 ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosB-bcosA=c,则 ABC的形状为 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 7.已知非零向量a,b的夹角为号,且满足(a-2b)1a,则2a-b与b的夹角为 A,君 B.平 c.3 D. g.已知0<a<t,cos号=-5.则sina-孕= 2 5 A沿 C.32 10 D CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知a,b,c表示空间中三条不同的直线,则下列命题正确的是 A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.若a⊥b,b⊥c,则a∥c C.若a∥b,b⊥c,则a⊥c D.若a,b共面,b,c共面,则a,c共面 10.已知向量a,b满足la=1,b=2,则 A.当ab=-1时,a与b的夹角为 B.当a-=2时,a在b上的投影向量为b C.当a与b的夹角为时,2a-=2 D.a++a-b的最大值为25 11.在锐角 ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=2,c-b=2 bcosA,则 A.A=2B B.号的取值范围是(2,2) C.存在 ABC,其面积为1 D.边AB上的中线长的取值范围是(I,√5) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知向量a=(3,4),写出一个与a垂直的单位向量b= 13.已知cos(a+)=号,cos(a-B)=4,则sinasinB=— 14.在平面凸四边形ABCD中,∠BAC=60 ,AB=2,BC=2√5, BCD的面积为3√5.当 ∠ADB最大时,四边形ABCD的面积为 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知向量a=(2,1),b=(x,-2). (1)若(a+2b)⊥a,求实数x的值: (2)若c=(-2,4),a∥(b+c),求a与b的夹角8的值. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 16.(15分) 如图,在正方体ABCD-AB,CD,中,P为棱BB,的中点. (1)求异面直线D,C与AB所成角的大小: (2)求异面直线DC与BD所成角的大小: (3)作出平面PCD,与正方体ABCD-AB,CD,表面的交线,写出作图过程并说明理由. D B 17.(15分) 已知a,B为锐角,3 sina-cos= sina+2cosa cosa+月)=- 10 (1)求tana的值: (2)求cos2a的值: (3)求a-B的值. 黔 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 18.(17分) 如图,在半径为6、圆心角为号的扇形的半径OA上任取一点P,过P且平行于半径OB的直线 与弧AB交于点2. (1)若P为OA的中点,证明:Q不是弧AB的中点: (2)求 OPQ周长的最大值: (3)作QH⊥OB,垂足为H,求四边形OPQH面积的最大值. H 19.(17分) 在 ABC中,已知D是BC上的点,AD平分∠BAC,AC-CD= (1)证明:织=49 BD DC (2)若AB=2BD=5,求 ABC的面积: (3)若AB+BD=6,求AD. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 南通市高一年级 数学参考答案与评分建议 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。 1 2 4 5 6 7 8 B D B A B c D D 二、 选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。 0 10 11 AC BCD ACD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.(号,引或(-引(写出一个即可) 1、 14.4V5 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解】(1)因为a=(2,1),b=(x,-2),所以a+2b=(2+2x,-3), …2分 因为(a+2b)⊥a,所以(a+2b)a=0. …4分 所以2 2+2)-3=0,解得x=-子 …6分 (2)因为b=(x,-2),c=(-2,4),所以b+c=(x-2,2), 因为(b+c)∥a,a=(2,1),所以(x-2) 1=2 2,解得x=6. …8分 cos0=a.b_ 2 6+1 (-2)=2 1a66+(-2)V22+12 …11分 因为0e[0,),所以6=吾 …13分 16.(15分) 【解】(1)在正方体ABCD-AB,CD,中,有AB∥DC, 则∠DCD,或其补角是异面直线DC与AB所成的角, …2分 由题意知, D,CD为等腰直角三角形,所以∠DCD,=牙, …4分 所以异面直线D,C与AB所成角的大小为牙: …5分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap (2)连接D,B,B,C, 由题意DD,=BB,且DD,∥BB, 所以四边形BDD,B,为平行四边形, D 所以BD∥DB,, 则∠B,DC或其补角是异面直线D,C与BD所成的角, …7分 由题意易知, D,CB为正三角形,所以∠BD,C=骨, …9分 所以异面直线D,C与BD所成的角大小为号. …10分 (3)方法一:在平面BCCB内延长CP,CB,交于点2, 连接D,2,交AB,于点M,连接MP. D Ci 则PM,D,C即为所求作交线: …13分 理由:因为Q∈B,C且B,Cc平面AB,CD, D 所以Q∈AB,C,D,. 又因为D,∈AB,C,D,所以D2c平面AB,C,D. …15分 方法二:取AB中点M,连接CP,PM,D,M, 则PM,D,C即为所求作交线. …13分 C 理由:连接AB, 由题意知AD=BC,且AD,∥BC, 所以四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥D,C 在R1 AB,B中,M为AB,的中点,P为BB,的中点,所以PM∥AB 由基本事实4得,PM∥D,C. 由推论3得,P,M,D,C四点共面. …15分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 17.(15分) 【解】(1) 因为3sina-cosa=1 sina+2cosa 所以15sina-5cosa=sina+2cosa,即14sina=7cosa. …3分 由于cosa=0显然不合题意,所以tana=方: …5分 (2)方法-:os2a=cos32a-sina=ocg:mg=上ame-1-分 号,10分 cosa+sina1+tana1+(分卫 方法二:由(1)知ana=分,且a为锐角,所以sina=5 ……7分 5 所以cos2a=1-2sina=1-2x(95>-号 …10分 2 分 ③)方法-由D知ma方则m2a=2儡器2 3 …11分 因为a、B为锐角,则a+Be(O, ),所以sin(a+)>0, 又因为aa+=语,所以e+m=-语=2识 所以tan(a+)=-7. …12分 an2a-ae+A、手-( -7) 所以amla-)=aml2a-(a+]=1+m2aama+历1+号x(-7列 =-1 因为a、B为锐角,则a-Be(-受,所以a-B=-平, …15分 方法二:由(2)知cos2a=号,且a为锐角,所以sin2a=号 …11分 又因为cose+)=-将,所以sna+m=-(将-语 …12分 所以sin(a-B)=sin[2a-(a+)】=sin2acos(a+)-cos2asin(a+B) 号x(将)- -9 因为a、B为锐角,则a-Be(-),所以a-B=-牙 …15分 18.(17分) 【解】(1)方法一:假设卫为弧AB的中点,所以∠PO=∠BO2=石. 又因为Poll oB,所以∠PQ0=∠BO2=君, CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 所以∠PO0=∠PO0=晋.所以P2=P0=3. 所以PQ+P0=3=O0与P2+PO>O0矛盾.所以假设不成立. 所以Q不是弧AB的中点. …4分 方法二:过2作OMLOB-于M,所以QM=OPsin60 =3y5 所以血∠0w-8器-票+号 所以<00M￥号 所以Q不是弧AB的中点. …4分 (2)因为PO//OB,∠AOB=号,所以∠OP= 3 在 OPQ中,由余弦定理得0Q=P0+PQ-2P0 POcos∠0Pg, …6分 即6=(P0+PO2-2P0.Pg-2P0P2cos号。 即(P0+P2)2-36=P0.P2. 由基本不等式得,P0.P2s(P0牛P巴,当且仅当P0=P2时取等号.…8分 2 所以(P0+Pgy-36s(P0+P巴, 2 所以(P0+P2)3≤48,则P0+P2≤4V5, 所以P0+PQ+OQ≤45+6, 所以当PO=PQ时, OP2的周长的最大值为4V5+6. …10分 (说明:设角法参照评分) (3)设∠00H=8,8∈(0,), P 所以在Rt QHO中,OH=6cos0,QH=6sin0, 过P作PN⊥OH于N, 所以PN=QH=6sin0. N H 所t以RAOP中,ON=PY=5x6sin9=25n9 tan 3 3 所以PQ=NH=OH-OW=6cos0-2√3sin0. …13分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 所以=P2+0-QH -(6cs0-2sin@+6cos0)-6sin@ =6cns0-sm0-5sm30=60sn20+9csg29-9 =6sin(29+p)-5)=3W39sin(20+p)-35 …15分 其中m0=互,p为锐角,所以p<20+p<要+0, 6 3 当20+p=时取得最大值,S边Eoem的最大值为3√39-3V5, …17分 19.(17分) 【解】(1)证明:方法:在 BD中,由正弦定理,得n2DB BD sin∠BAD …① …2分 在 4CD中,由正弦定理,得nDc而2D' CD …② …4分 因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD, 由∠ADB+∠ADC= ,得sin∠ADB=sin∠ADC, 由得,是器 …5分 方法二:因为在 ABC中,AD平分LBAC, 所以g如= LAB.AD.sin∠BAD AB SAACD AC …2分 AC.AD sin∠CAD 2 BD h 设 MBC边BC上的高为h,所以 0= BD …4分 CD.h CD' 2 所以是-器 …5分 (2)设cD=x,由4C-CD=号,得4C=x+ 又8=20-5,是=所以5,解得x= …7分 x+ 3 所以AC=3,BC=BD+CD=4. 所以AB2=AC2+BC2,所以 ABC为直角三角形. …9分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 所以Sc=4C,BC=6. …10分 (3)方法-:设BD=m,DC=m,则AB=6-m,AC=n+2 6-m=四 由(1)知, 是=股,所以+2 n,即2mn=6n-号m …12分 在 ADB中,cOS∠ADB=AD+DB-AB2 2AD DB 在 ADC中,cos∠ADC=AD+DC-AC …14分 2AD.DC 因为∠ADB+∠ADC= ,所以cOS∠ADB=-coS∠ADC, 所以4D+DBAB=-4D+DC-4C 2AD DB 2AD.DC 所以A0=4-CD-BD-8 4C-BD-CDBD是+36n-9m CD+BD m+n 将mn=3n-m代入上式,得AD:=m+m=9.所以AD=3. …17分 4 m+n 方法二:由(1)可设是=器-k>0,则B=4C,8D=kcD. [AC+CD=5, 又AB+BD=6,且AC-CD=号,所 k lAc-CD-3. 所以AB=12+3k,4C=12+k,BD=12-3k,CD=12-3k 4k 4 4k …12分 4 在 MBD中,由余弦定理,得(2:=AD+24-21D.124cos∠BMD 4 即12+3k.AD.cos∠BAD=AD'+9k …① 2 在 MCD中,由余弦定理,得2=AD+2-24D.l2装些cas∠CMD 4k 即12+3k.AD.cos∠CAD=kAD'+9 …② 2 由①②,得kAD2+9=AD2+9k, 所以(k-1)(AD-9列=0,所以k=1或AD=3. …15分 当k=1时,AB=AC=,BD=CD=},此时AD=3 综上可得AD=3. …17分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App