第01讲 一次函数的概念（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）

本初中数学讲义聚焦一次函数的概念这一核心知识点，先通过正比例函数（y=kx，k≠0）的定义建立基础，再延伸至一次函数（y=kx+b，k≠0）的概念，明确正比例函数是特殊的一次函数（b=0时），构建从基础到拓展的学习支架。 资料通过典例与变式题结合的题型设计，如正比例函数识别、一次函数参数求解及实际情境建模（如汽车行驶路程与时间关系），培养学生的抽象能力、推理意识和模型意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识，查漏补缺。

第01讲 一次函数的概念 考点1：正比例函数的定义 考点2：一次函数的定义 重点： 一次函数与正比例函数的概念、识别方法，参数求解及解析式的简单应用 难点： 理解一次函数中(k≠0）的限制条件，从实际情境中抽象出一次函数模型。 知识点1：正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k≠0）函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数。 【题型1 正比例函数的定义】 【典例1】下列函数中，为正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】下列关于的函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】正比例函数（k为常数，）的图像过点，则k的值是（　　） A．2 B． C． D． 【变式3】下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 知识点2：一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫作一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【题型2 识别一次函数】 【典例2】下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在下列函数中，不属于y关于x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 【典例3】已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 【变式1】若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 【变式2】若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 【典例4】变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【变式1】点在一次函数的图像上，则的值为（   ） A．9 B．1 C． D． 【变式2】无论取何值，一次函数的图像一定经过点（   ） A． B． C． D． 【题型5 列一次函数解析式并求值】 【典例5】一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧，那么电阻欧表示为温度t℃的函数关系为（    ） A．. B． C． D． 【变式1】汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 【变式3】拖拉机开始工作时，油箱中有油升，如果每小时耗油升，那么油箱中的剩余油量（升）和工作时间（时）之间的函数关系式是_____，自变量x必须满足_____。 1.下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 2.以下点在函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 3.已知点在一次函数的图像上，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.一次函数的k是（  ） A． B．3 C．2 D． 5.已知正比例函数的图像经过点，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 6.已知一次函数，当自变量增加3时，相应的函数值增加（   ） A．10 B．9 C．8 D．3 7.点在函数的图像上，则代数式的值等于（    ） A． B． C．3 D．5 8.气象探测小组在探测气象时，将探测气球从距离地面处释放，探测气球距离地面的高度与上升时间之间的关系式为，已知这种探测气球上升的高度为时会自行爆裂，则此时该探测气球上升的时间为（   ） A． B． C． D． 9.是一次函数，则m的取值范围为______。 10．在一次函数上有一点，则________。 11.加密术是保障数据安全的一种方式，历史久远。综合实践小组模仿“凯撒密码”设计加密方式，将英文字母依次赋值，然后按照一次函数（，且为整数）的方式将信息加密（其中，加密前字母对应的数值为“”，加密后密文字母对应的数值为“”）。根据这一加密规则，一个英文单词加密后的密文为“”，则这个英文单词为___________。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 一次函数的概念 考点1：正比例函数的定义 考点2：一次函数的定义 重点： 一次函数与正比例函数的概念、识别方法，参数求解及解析式的简单应用 难点： 理解一次函数中（k≠0）的限制条件，从实际情境中抽象出一次函数模型。 知识点1：正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k≠0）函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数。 【题型1 正比例函数的定义】 【典例1】下列函数中，为正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一判断选项即可。 【详解】解：A中，含有常数项，不符合正比例函数的形式； B中，的最高次数为2，不符合正比例函数的形式； C中，分母中含自变量，不符合正比例函数的形式； D中，符合（为常数且）的形式，是正比例函数。 【变式1】下列关于的函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，含有常数项，不是正比例函数，该选项不符合题意； B.，是正比例函数，该选项符合题意； C.，不是正比例函数，该选项不符合题意； D.，不是正比例函数，该选项不符合题意。 【变式2】正比例函数（k为常数，）的图像过点，则k的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知点坐标代入正比例函数解析式即可求出k的值。 【详解】解：将点满足解析式，得， 解得． 【变式3】下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义为形如（为常数且）的函数，据此判断各选项是否符合定义。 【详解】解：∵正比例函数的形式为（）， A.，可写为，含项，不符合形式，不符合题意； B.，即形式，且，符合定义，符合题意； C.，含常数项，不符合形式，不符合题意； D.，含常数项，不符合形式，不符合题意； 故选：B． 知识点2：一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫作一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【题型2 识别一次函数】 【典例2】下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知形如 （、为常数，且）的函数是一次函数是解题的关键。 根据一次函数的定义逐项判断即可。 【详解】解：①化简得，是一次函数，符合题意； ②不是一次函数，不符合题意； ③是一次函数，符合题意； ④不是一次函数，不符合题意； ⑤是一次函数，符合题意。 综上，一次函数有①③⑤，共3个。 故选：C． 【变式1】下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的一般形式（、为常数，）。 根据一次函数的定义逐项判断即可。 【详解】解：A、，其中的次数是2，不是一次函数，不符合题意； B.，符合一次函数的一般形式，是一次函数，符合题意； C.，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意； D.，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意。 故选：B． 【变式2】在下列函数中，不属于y关于x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，掌握定义是关键；根据一次函数的定义，形如的函数是一次函数，其中 x 的次数必须为 1. 分别对各选项判断即可。 【详解】解：∵一次函数的一般形式为， 对于选项 A：，表达式是分式，不是整式，故不符合定义； 对于选项 B：，即，符合定义； 对于选项 C：，即，符合定义； 对于选项 D：，即，符合定义。 ∴不属于一次函数的是 A． 故选：A． 【变式3】函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如（、为常数，）的函数是一次函数，逐一判断各函数即可，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键。 【详解】解：①中，未指定，故不一定是一次函数； ②，符合形式，，是一次函数； ③中分母含有，不是整式，故不是一次函数； ④，符合形式，，是一次函数； ⑤，是二次函数，不是一次函数； ∴是一次函数的有②和④，共2个， 故选：B． 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 【典例3】已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数需满足两个条件：x的次数为1，且一次项系数不为0，据此列等式和不等式计算即可得到m的值。 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解，得，即或， 又∵，即， ∴． 【变式1】若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键。 根据一次函数的定义，列出关于m的方程与不等式，求解即可得到m的值。 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴, 由得，或， 又∵，即， ∴, 故选：A． 【变式2】若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如，进行列式计算，即可作答。 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ∴ 即 故选：C 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 【典例4】变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【详解】解：当时，． 【变式1】点在一次函数的图像上，则的值为（   ） A．9 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将点的横坐标代入解析式即可求出纵坐标的值。 【详解】解：点在一次函数的图像上， ． 【变式2】无论取何值，一次函数的图像一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数解析式整理为关于k的式子，根据无论k取何值等式都成立，令含k项的系数为0，即可求出定点坐标。 【详解】解：∵， ∴整理得， ∵无论取何值，一次函数图像一定经过该定点，等式恒成立， ∴, 解得 ， ∴一次函数图像一定经过定点． 【题型5 列一次函数解析式并求值】 【典例5】一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧，那么电阻欧表示为温度t℃的函数关系为（    ） A．. B． C． D． 【答案】B 【分析】温度每增加1℃，电阻增加欧，那么温度从℃到t℃，电阻增加欧，进而可得答案。 【详解】解：∵一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧， ∴电阻欧表示为温度t℃的函数关系为； 故选：B. 【点睛】本题考查了列出实际问题中的一次函数关系式，正确理解题意、弄清函数关系是解题的关键。 【变式1】汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据汽车距天津的距离＝总路程−已行驶路程列函数关系式，再根据总路程判断出t的取值范围即可。 【详解】解：∵汽车行驶的路程为：， ∴汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系为：， ∵, ∴自变量t的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了列一次函数关系式，解决本题的关键是理解剩余路程的等量关系。 【变式2】已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L，进而得出余油量与行驶路程之间的函数关系式即可。 【详解】解：∵汽车油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L， ∴汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式为： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，表示出油箱内余油量是解题关键。 【变式3】拖拉机开始工作时，油箱中有油升，如果每小时耗油升，那么油箱中的剩余油量（升）和工作时间（时）之间的函数关系式是_____，自变量x必须满足_____。 【答案】 ； ． 【分析】本题主要是考查根据实际问题列一次函数关系式，根据余油量原有油量用油量，时间应≥0，用油量不能超过原有油量得出，读懂题意，找到所求量的等量关系是解题的关键。 【详解】解：依题意得， 时间应，用油量不能超过原有油量， ∴，解得， ∴, 故答案为：，． 1.下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义。判断函数是不是一次函数或正比例函数的步骤：（1）等号两边是否为整式，（2）是否具有（k，b为常数，且）的形式，若是，则为一次函数，否则不是一次函数。当时，则为正比例函数。 【详解】解：A项等号右边是关于的二次式，不符合一次函数要求； B项等号右边不是整式，不符合一次函数要求； C项符合一次函数要求，符合题意； D项等号右边是关于的二次式，不符合一次函数要求。 2.以下点在函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把代入，，则不在函数图像上； 把代入，，则不在函数图像上； 把代入，，则不在函数图像上； 把代入，，则在函数图像上。 3.已知点在一次函数的图像上，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】点在函数图像上，则点的坐标满足函数解析式，将点的横坐标代入解析式即可求出的值。 【详解】解：∵点在一次函数的图像上， ∴将代入得：． 4.一次函数的k是（  ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】该题考查了一次函数的一般形式，根据一次函数的一般形式，是的系数进行解答即可。 【详解】解：中，． 故选：A． 5.已知正比例函数的图像经过点，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将点坐标代入函数解析式，即可求出k的值。 【详解】解：∵正比例函数的图像经过点， ∴, ∴． 故选：C 6.已知一次函数，当自变量增加3时，相应的函数值增加（   ） A．10 B．9 C．8 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，设出自变量并表示出增加后的自变量，然后代入函数解析式进行计算即可，比较简单。理解题意是解题的关键。 设自变量为，然后表示出增加后的自变量为，最后代入函数解析式进行计算即可得解。 【详解】解：设自变量为，则增加后的自变量为， 相应的函数值增加 ． 故选：B． 7.点在函数的图像上，则代数式的值等于（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，点在函数图像上，则，代入代数式计算即可。 【详解】解：∵点在函数图像上， ∴, ∴． 故选：D． 8.气象探测小组在探测气象时，将探测气球从距离地面处释放，探测气球距离地面的高度与上升时间之间的关系式为，已知这种探测气球上升的高度为时会自行爆裂，则此时该探测气球上升的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握根据函数值求自变量的值是解题的关键。将气球爆裂时的高度代入关系式，求解上升时间。 【详解】解：中，当时， 故选：． 9.是一次函数，则m的取值范围为______。 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数定义得一次项的系数不为零，由此可得出答案。 【详解】解： 是一次函数， , , 故答案为：． 10．在一次函数上有一点，则________。 【答案】2025 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，将点P的坐标代入一次函数解析式，得到b与a的关系，再代入所求表达式进行计算。 【详解】解：因为点在直线上， 所以． 则， 所以． 故答案为：2025． 11.加密术是保障数据安全的一种方式，历史久远。综合实践小组模仿“凯撒密码”设计加密方式，将英文字母依次赋值，然后按照一次函数（，且为整数）的方式将信息加密（其中，加密前字母对应的数值为“”，加密后密文字母对应的数值为“”）。根据这一加密规则，一个英文单词加密后的密文为“”，则这个英文单词为___________。 【答案】 【分析】本题考查了由一次函数的函数值求自变量的值，解题的关键是正确理解加密方式的转换。 根据加密规则，密文字母对应数值，通过函数解出原始字母数值x，再转换为字母即可。 【详解】解：密文“”对应数值y分别为26，24，22． 由，得， 分别计算得， ∴对应字母． 故原始单词为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $