精品解析：广东佛山市新质高中联盟2025-2026学年第二学期高二年级期中联考试卷数学学科

2025—2026学年第二学期新质高中联盟高二年级期中联考试卷 数学学科 考试范围：选择性必修第二册、集合、复数、平面向量、立体几何 注意事项： 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、考号填写在规定的位置. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色墨水签字笔或钢笔作答，字体工整、笔迹清楚. 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持答题卡清洁、完整，不得折叠.严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液和修正带. 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（ ） A. 4 B. 8 C. -4 D. -8 5. 若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（ ）项. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则（ ）． A. 1.00025 B. 1.00005 C. 1.0025 D. 10005 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导计算中，错误的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A. B. C. 为等差数列 D. 为等比数列 11. 已知函数，，则（ ） A. 在上单调递增 B. 当时，有且只有一个极值点 C. 若有两个极值点，则 D. 若有两个极值点，，则 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，且，则__________. 13. 设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是______． 14. 已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 16. 已知数列中，，. （1）求证：数列为等差数列； （2）令的前项和为，求证：. 17. 如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，． （1）求证：平面平面； （2）已知点满足，，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）等差数列满足，对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围； （3）若数列，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列是等差数列． 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，判断的零点个数，并证明结论； （3）不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期新质高中联盟高二年级期中联考试卷 数学学科 考试范围：选择性必修第二册、集合、复数、平面向量、立体几何 注意事项： 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、考号填写在规定的位置. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色墨水签字笔或钢笔作答，字体工整、笔迹清楚. 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持答题卡清洁、完整，不得折叠.严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液和修正带. 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因式分解得；可得， 故集合； 因为且，所以，解得. 所以的取值范围是. 2. 已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得， 则共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 3. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 4. 已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（ ） A. 4 B. 8 C. -4 D. -8 【答案】A 【解析】 【详解】由数列是首项为4，公比为的等比数列，得， 由成等差数列，得，即， 则，而，解得， 所以. 5. 若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意且，即可得到方程组，从而求出、的值，再利用导数求出函数的单调递增区间. 【详解】因为，所以， 由已知得 ，解得， 所以，所以， 由，解得，所以函数的单调递增区间是. 故选：C． 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域，由已知可得函数为奇函数.然后得到时，，根据导函数求得的单调性，并且可得极大值点，即可得出答案. 【详解】由题意可知，函数的定义域为. 又， 所以，函数为奇函数. 当时，， 则. 设，则在上恒成立， 所以，在上单调递增. 又，， 所以，根据零点存在定理可得，，有， 且当时，有，显然， 所以在上单调递增； 当时，有，显然， 所以在上单调递减. 因为，所以C项满足题意. 故选：C. 7. 已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（ ）项. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】将题目所给递推式变形为，利用累加法和裂项相消法求出，进而求出，最后利用不等式组法求出数列的最大项. 【详解】由可得， 当时， ， 当时，，，也满足，所以，， ， 由， 即， 解得， 又因为，所以，则数列的最大项为第8项. 8. 借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则（ ）． A. 1.00025 B. 1.00005 C. 1.0025 D. 10005 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，求出切线，以直代曲计算即可. 【详解】设，可得，， 曲线在点处的切线对应的函数为， 因为与之间的距离比较小，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算， ， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导计算中，错误的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的运算法则和求导法则逐项求导判断. 【详解】对于A：若，则，A正确； 对于B：若，则，B错误； 对于C：若，则，C正确； 对于D：若，则，D错误. 10. 记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A. B. C. 为等差数列 D. 为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量运算求出首项与公差，进而求得其通项，再根据选项代值检验，利用等差（比）数列的定义逐一判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，由题意可得，解得，故. 对于A，由通项易得，故A正确； 对于B，因，而，即，故B错误； 对于C，因，则，由，可得数列为等差数列，故C正确； 对于D，因，则，由，可得为等比数列，故D正确. 11. 已知函数，，则（ ） A. 在上单调递增 B. 当时，有且只有一个极值点 C. 若有两个极值点，则 D. 若有两个极值点，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数的正负来判断单调性和极值点，而极值点可以利用导数的零点来研究，对于，可用极值点偏移来证明即可. 【详解】对于A，由得：， 当时，，所以在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，由，则， 再令，则， 由此可知：当时，，则在上递增，即， 可得：在上也递增， 当时，，则在上递减，即， 可得：在上也递增， 则判断是单调递增函数，没有极值点，故B错误； 对于C，由有两个极值点，则有两个零点， 即， 则等价于函数与的图象有两个交点， 可设曲线过点的切线方程为： 当直线与切线重合时可知：，解得， 再结合图象， 可知：当，直线与曲线一定有两个交点， 且这两个交点满足原函数有两个极值点的条件，故，故C正确； 对于D，由有两个极值点， 则有两个零点，则， 要证明，只需要证明，即证明， 由上面可知，则， 而当时，，则在上递增， 所以只需要证明，由， 所以只需要证明，即证：， 构造函数 ， 则 又令，则， 则在上递减，即， 所以当时，， 即在上递减， 因为所以， 则得证，即，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： （1）判断含参函数的极值点问题转化为导数的零点问题，然后再利用二阶导数继续分析判断或用构造直线与曲线相交问题，数形结合来研究参数的范围； （2）对于双变量不等式问题，利用极值点偏移方法来证明研究. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，且，则__________. 【答案】39 【解析】 【详解】由等比数列满足， 可得等比数列的公比， 根据等比数列的性质，可得也成等比数列， 即， 得， 解得. 13. 设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得恒成立，运用分离参数求最值即可. 【详解】解：∵定义域为，，在上是单调减函数， ∴恒成立； ∴，， ∵，， ，当且仅当时取等号. ∴， ∴，即：k的取值范围是． 故答案为：. 14. 已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】写出数列的通项公式，观察结构，利用分组求和写出，对于任意，成立，则最小值等于最大值，通过单调性求出最值. 【详解】由题可知，则， ， ==. 设，. ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 则在时取得最大值. 【点睛】数列求和要熟练运用裂项相消和累加法，正确运用对数运算法则避免符号错误，结合函数与导数分析数列的单调性. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解； （2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 由题意可知，，，， 所以，解得，，， 所以函数的解析式为，经检验适合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 令，则，解得，或， 当时，； 当时，； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 当时，取的极大值为， 当时，取得极小值为， 又，， 所以，． 16. 已知数列中，，. （1）求证：数列为等差数列； （2）令的前项和为，求证：. 【答案】（1） 已知 ​，且 ，由递推关系可知 对任意正整数成立， 则该递推关系可整理为 ，又首项， 因此数列是首项为1，公差为2的等差数列. （2） 由（1）可得，所以， 所以， 所以 【解析】 【分析】（1）将已知递推式整理得到为定值，结合首项，即可证明； （2）先根据第一问的结论求出​的通项，代入目标数列通项裂项后，用裂项相消法求出前项和，再对结果放缩即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，． （1）求证：平面平面； （2）已知点满足，，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 等腰梯形中，，，延长，交于，则，，所以为等边三角形， 所以，且，，平面，平面， 所以面， 又因为平面，则平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明面，再证明平面平面. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，计算平面和平面的法向量， 由平面夹角的余弦值得的值，求直线与平面所成的角正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作交于， 以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴， 为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， ， 设平面的一个法向量为 ，则，取，则 取平面的法向量， ，得，因为，所以， 即，， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角正弦值为． 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）等差数列满足，对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围； （3）若数列，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列是等差数列． 【答案】（1），； （2）； （3）证明：对于任意的正整数n，， 当时，，而，则， 当时，， 上式两边同时乘以得：， 因此，， 即，从而有，而也满足上式，则，，， 所以数列是以为首项，公差为 的等差数列. 【解析】 【分析】(1)根据递推公式及()，可得数列是等比数列，计算即可得的通项公式. (2)求出等差数列的通项公式，再结合(1)参数分离出得，构造数列并求其最大值即可得解. (3)已知的递推公式在当时两边同乘，再与运用已知递推公式作差即可得数列的通项公式推理作答. 【小问1详解】 因，即，则当时，，即， 而当，则，即，于是有数列是以为公比，2为首项的等比数列， 因此，， 所以数列的通项公式是：，. 【小问2详解】 数列为等差数列且，则公差，， 对于任意的，恒成立，即，亦即恒成立， 令，则， 当，2时，，当时，， 于是得，，则， 所以实数k的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为 的递推关系，再求其通项公式； 二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求 . 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，判断的零点个数，并证明结论； （3）不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，． （2） 只有一个零点，证明：由（1）知，当时，单调递增， 又由，可得，此时在只有一个零点； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 当时，函数取得极大值，极大值为，在没有零点； 当时，函数取得极小值，其中， 在没有零点； 当时，，；又， ，由，必有正根， 当时， 取，显然，有，所以在有一个零点． 综上，命题成立． （3）． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再由导数值的正负情况研究函数的单调性作答. （2）根据函数单调性，结合零点存在性定理即可证明. （3）将给定不等式等价转化，构造函数和，分类探讨其单调性及最值作答. 【小问1详解】 由函数的定义域为，且， 若，令，解得，当时，；当时，， 若，令，解得或， ①若时，即时， 当时，；当时，； ②若时，即时， 当或，；当时，； ③若时，即时，可得，且仅； ④若时，即时， 当或，；当时，； 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时，在内存在唯一的零点， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以，， 因为，所以，， 所以， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围为． 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立，可以转化为函数最值问题，或者转化为一边函数的最小值大于另一边函数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $