精品解析：重庆市长寿中学校2025-2026学年下学期第二次学科素养测试数学卷

2025-2026春期第二次学科素养测试数学卷 一、单选题（共40分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列消防标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 4. 如图，已知与位似，位似中心为O，且与的面积之比是，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种有1个碳原子和4个氢原子，第2种有2个碳原子和6个氢原子，第3种有3个碳原子和8个氢原子，…，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 6. 运算的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 7. 年中国建成全球最大碳纤维生产基地，实现了碳纤维国产化，碳纤维的价格由元/公斤经过连续两次降价后，价格为元/公斤，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，以点为圆心、为半径画弧，分别交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，为整数，且．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5； ②若，则满足条件的A共有5个； ③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共24分） 11. 2024年9月25日，中国向太平洋公海试射了一枚洲际导弹，不仅准确地击中预定海域，而且导弹射程达到了惊人的12000千米．其中12000用科学记数法表示为_________． 12. 若正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数是_________． 13. 若实数m，n同时满足，，则的值为________． 14. 为培养学生的科技意识，某校举办科技文化节，设置了“航天”“环保”“人工智能”“生命科学”四个项目．若八年级每个班随机选择一个项目参加，则班和班选择同一项目的概率是________． 15. 如图，四边形内接于，连结，为的直径，是的中点．过点作的切线，交的延长线于点，且，，，则的长为________，的长为________． 16. 对于一个四位自然数，若它的千位数字是个位数字的2倍还多1，十位数字比百位数字多1，称为“腾跃数”．则最大的“腾跃数”为___________，若一个“腾跃数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若与均为整数，则符合条件的的值为___________． 三、解答题（共86分） 17. 求不等式组：的所有非负整数解． 18. 如图，在平行四边形中，是边上一点，连接． （1）用尺规完成以下操作：作的角平分线交的延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ①______，，． ∵， 在和中 ∴ ②______， ， ． ， ． ∵且， 四边形是平行四边形． 平分， ③______ ∵， ． ． ④______， 四边形是菱形． 19. 今年3月25日，是第29个“全国中小学生安全教育日”．为进一步推进学生交通安全宣传教育工作，增强中小学生交通安全意识和自我保护能力，某校开展全国中小学生安全教育日“知危险 会避险”交通安全主题宣传活动．为了解活动效果，对全校学生进行安全知识问卷测试，得分采用百分制．现从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，单位：分，且得分为整数，共分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 七年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，55，62，63，66，68，70，74，74，79，82，84，86，87，88，88，88，90，93，95； 八年级被抽取的学生测试得分中，C组包含的所有数据为72，75，77，78，79． 七、八年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 七年级 77 a 80.5 八年级 77 89 c 八年级被抽取的学生测试得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中： _________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为该校哪个年级的学生对安全知识掌握更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有学生800人，估计该校八年级的学生测试得分在C组的人数一共有多少人？ 20. 先化简，再求值，其中． 21. 重庆动物园“四喜丸子”火爆全网，为迎接即将到来的端午节旅游热，重庆一玩具加工厂计划安排甲车间加工熊猫玩偶1000个．甲车间工作一周后还未加工完，于是从乙车间借调了一些工人，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多40个，又加工了3天才完成了任务． （1）求甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数； （2）由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排甲，乙车间共同加工生产该熊猫玩偶3000个，在加工完成一半后，改进了加工技术，两个车间每天均比改进技术前多加工，结果比原计划提前2天完成任务，求改进技术前乙车间每天加工玩偶的个数． 22. 如图，菱形的对角线与交于点O，其中，，．动点P从点B出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点D时停止运动．同时，动点Q以每秒个单位长度的速度从点A出发，沿方向匀速运动，至点C停止．过点Q作交于点M．设运动时间为x秒，的面积为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出、关于x的函数表达式，并标注自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 周日早上，爷爷和小明约定到公园去锻炼身体，公园在小明家A的正东方向的处，但是由于AE道路施工，爷爷先沿正北方向走了300米到达处，再从处沿北偏东方向行走300米到达处，从处沿正东方向走了150米到达处，最后沿方向到达处，已知点在点的南偏东方向．爷爷先出发3分钟后小明从家选择另一路线步行前往处，已知点在点的南偏东方向，且点在点的正南方向． （1）求AE的长度（结果保留根号）； （2）若爷爷步行速度为50米/分，小明步行速度为70米/分，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？（参考数据：；） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，点为轴上一动点，点为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）连接，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 25. 在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，与交于点F，连接，在的延长线上有一点H，连接，若，求证：； （3）在D点的运动过程中，连接，若，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026春期第二次学科素养测试数学卷 一、单选题（共40分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 下列消防标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 3. 若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于常数k，先求出k的值，再代入B点坐标计算得到a的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； ∵点在该反比例函数图象上， ∴， 解得． 4. 如图，已知与位似，位似中心为O，且与的面积之比是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：已知与位似， 则, ∵与的面积之比是， 则与的相似比是， 则． 5. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种有1个碳原子和4个氢原子，第2种有2个碳原子和6个氢原子，第3种有3个碳原子和8个氢原子，…，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可． 【详解】解：第1种有4个氢原子，， 第2种有6个氢原子，， 第3种有8个氢原子，， …… 以此类推，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是． 6. 运算的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照先算乘法再算加减的顺序，利用二次根式乘法法则计算，化简后合并即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式乘法法则为（，）， ∴， ∴原式． 7. 年中国建成全球最大碳纤维生产基地，实现了碳纤维国产化，碳纤维的价格由元/公斤经过连续两次降价后，价格为元/公斤，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为，，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意，得，， 解得， ∴每次降价的百分率为． 8. 如图，中，，，，以点为圆心、为半径画弧，分别交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，平行四边形的性质，含的直角三角形，勾股定理，明确题意，熟知知识点是解决本题的关键． 过点作交于点，由勾股定理，可求出的长度，再利用的面积减去扇形、扇形的面积即可得出答案． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： ∵，， ∴， 得， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积为， 扇形的面积为， 的面积为， ∴阴影部分面积为， 故选D． 9. 如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可通过正方形性质、翻折变换的性质，结合角度推导与三角形相似来求解．先利用正方形对角线性质证明 及相关角相等，再通过角度计算得到角的等量关系，最后证明三角形相似，结合边长比例求出 的值． 【详解】解：连接、， ∵ 四边形 是正方形， ∴ ，， 垂直平分 ，， ∴ ，， ∴， ∵, ∴, ∴． ∵ 沿 翻折得到 ， ∴ ，，． 设 , 则 ， ∴， ∴, ∴, 又 ， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ ． 10. 已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，为整数，且．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5； ②若，则满足条件的A共有5个； ③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的定义、系数绝对值和的性质以及二次函数与x轴交点的条件． 对于说法①，考虑三项式时n的最小值及系数绝对值的最小值；对于说法②，枚举时所有可能的整式A；对于说法③，在，的条件下，枚举所有二次函数并与判别式条件结合． 【详解】解：说法①， 整式为三项式， 当三项式的系数绝对值为1，且最小时，最小， 即，且，，， ，说法①正确； 说法②， ，，，n为自然数， 分情况讨论：（1）当时，，， ，符合条件的有1个； （2）当时，，； （i）时，，， 或，符合条件的有2个； （ii）时，，， ，符合条件的有1个； （3）当时，，， ，，，，，， ，符合条件的有1个； （4）当时，，，与说法②矛盾，没有符合条件的情况； 综上分析，符合条件的A共有个，说法②正确； 说法③， 当，时，，即，， 二次函数与x轴有交点，即， 分情况讨论：（1）当时，， （i），时，，，， 当时，，符合条件的有1个； （ii），时，，，， 当，时，，符合条件的有2个； （iii），时，，，，符合条件的有2个； 当时，符合条件的共个； （2）当时，， （i），时，，，， 当时，，符合条件的有1个； （ii），时，，，，符合条件的有2个； 当时，符合条件的共个； （3）当时，，，函数为与x轴交于原点，符合条件的有1个； 综上分析，符合条件的A共有个，说法③正确； 故选：D． 二、填空题（共24分） 11. 2024年9月25日，中国向太平洋公海试射了一枚洲际导弹，不仅准确地击中预定海域，而且导弹射程达到了惊人的12000千米．其中12000用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为比原数整数位数少1的整数，确定a和n的值即可解题． 【详解】解：． 12. 若正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数是_________． 【答案】10 【解析】 【分析】任意多边形的外角和都为，正多边形每个外角都相等，根据该性质计算即可得到边数． 【详解】解：这个正多边形的边数为． 13. 若实数m，n同时满足，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将化简为，再分情况求出，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 则，， 当时，，无解； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，与矛盾，故无解； 当时，，无解； 综上，，则． 14. 为培养学生的科技意识，某校举办科技文化节，设置了“航天”“环保”“人工智能”“生命科学”四个项目．若八年级每个班随机选择一个项目参加，则班和班选择同一项目的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及班和班恰好选择同一项目的结果数，再根据“概率等于所求情况数与总情况数之比”求解即可． 【详解】解：设“航天”、“环保”、“人工智能”、“生命科学”四个项目分别用A、B、C、D表示，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中班和班恰好选择同一项目的结果有种， ∴班和班恰好选择同一项目的概率为． 15. 如图，四边形内接于，连结，为的直径，是的中点．过点作的切线，交的延长线于点，且，，，则的长为________，的长为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由勾股定理可求的长，由圆周角定理可求，可得，证明，可得，，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于，连接， ∴， 又∵对着圆周角和， ∴，即， ∵，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等角对等边，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16. 对于一个四位自然数，若它的千位数字是个位数字的2倍还多1，十位数字比百位数字多1，称为“腾跃数”．则最大的“腾跃数”为___________，若一个“腾跃数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若与均为整数，则符合条件的的值为___________． 【答案】 ①. 9894 ②. 7893 【解析】 【分析】根据“腾跃数”定义得数位关系：千位，十位，其中为个位数字，为百位数字，所有数位均为整数，可得，，即最大为，最大为，可得最大的“腾跃数”，分别化简与，可得为5的整数倍，为19的整数倍，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，，其中，，，所有数位均为整数， ∴，， ∴，，即最大为，最大为， 此时，， ∴最大的“腾跃数”为：； 根据题意得：与均为整数， ∵，，， ∴ ， ∵为整数， ∴为整数，即为5的整数倍， 为整数，即为19的整数倍， ∴当，时，满足条件，此时，， ∴符合条件的为． 三、解答题（共86分） 17. 求不等式组：的所有非负整数解． 【答案】，， 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再写出其中的非负整数解即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 将不等式①和②的解集表示在数轴上为： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的所有非负整数解为：，，． 18. 如图，在平行四边形中，是边上一点，连接． （1）用尺规完成以下操作：作的角平分线交的延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ①______，，． ∵， 在和中 ∴ ②______， ， ． ， ． ∵且， 四边形是平行四边形． 平分， ③______ ∵， ． ． ④______， 四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）；；； 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，菱形的判定，平行四边形的性质与判定； （1）根据题意作的角平分线交的延长线于点，连接； （2）根据平行四边形的性质得出，进而证明得出，进而证明得出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，即可得出，即可得证． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，，． ∵， 在和中 ∴ ， ， ． ， ． ∵且， 四边形是平行四边形． 平分， ∵， ． ． ， 四边形是菱形． 故答案为：；；；． 19. 今年3月25日，是第29个“全国中小学生安全教育日”．为进一步推进学生交通安全宣传教育工作，增强中小学生交通安全意识和自我保护能力，某校开展全国中小学生安全教育日“知危险 会避险”交通安全主题宣传活动．为了解活动效果，对全校学生进行安全知识问卷测试，得分采用百分制．现从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，单位：分，且得分为整数，共分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 七年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，55，62，63，66，68，70，74，74，79，82，84，86，87，88，88，88，90，93，95； 八年级被抽取的学生测试得分中，C组包含的所有数据为72，75，77，78，79． 七、八年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 七年级 77 a 80.5 八年级 77 89 c 八年级被抽取的学生测试得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中： _________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为该校哪个年级的学生对安全知识掌握更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有学生800人，估计该校八年级的学生测试得分在C组的人数一共有多少人？ 【答案】（1）88，25，77.5 （2）从平均数来看，两个年级的平均数相同；从众数来看，七年级众数为88分，八年级众数为89分，相差不大；从中位数来看， 七年级的中位数比八年级的中位数高，即七年级比八年级的高分多．因此七年级的学生对安全知识掌握的更好． （3）200人 【解析】 【分析】（1）七年级这20个数据中出现次数最多的即为众数，由此可得a的值．八年级至20个数据中，C组由5个数据，由此可求得b的值．求出八年级各个组的人数．先求出八年级各组的人数，由此可得八年级的中位数应该在C组，根据中位数的定义即可求出c的值． （2）可以从平均数，众数，中位数三个方面分析． （3）根据总人数乘以C组所占的百分比，即可求出八年级的学生测试得分在C组的人数． 【小问1详解】 七年级这20个数据中88出现的次数最多，出现了3次，因此众数为88，即． 八年级这20个数据中，C组有5个数据， ， ， 因此B组所占百分比为：， 因此A组有人， B组有人， C组有人， D组有人， E组有人， ∵，， 中位数为第10位和第11位的平均数， ∴中位数在C组， ∴， 故答案为：88，25，77.5 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人） ∴估计该校八年级的学生测试得分在C组的人数一共有200人． 【点睛】本题考查了数据的代表：平均数、中位数、众数．熟练掌握平均数、中位数、众数的定义，并且能够从平均数、中位数、众数不同的角度分析对比两组数据是解题的关键． 20. 先化简，再求值，其中． 【答案】 ； 【解析】 【分析】先根据整式乘法运算法则和分式混合运算法则化简，再利用特殊三角函数值和负整数幂求出的值，代入计算即可． 【详解】解： ； ∵ ， ∴原式 ． 21. 重庆动物园“四喜丸子”火爆全网，为迎接即将到来的端午节旅游热，重庆一玩具加工厂计划安排甲车间加工熊猫玩偶1000个．甲车间工作一周后还未加工完，于是从乙车间借调了一些工人，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多40个，又加工了3天才完成了任务． （1）求甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数； （2）由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排甲，乙车间共同加工生产该熊猫玩偶3000个，在加工完成一半后，改进了加工技术，两个车间每天均比改进技术前多加工，结果比原计划提前2天完成任务，求改进技术前乙车间每天加工玩偶的个数． 【答案】（1）88个 （2）62个 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设甲车间增加工人前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个，再利用“一共加工熊猫玩偶1000个”建立方程求解即可； （2）设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后两个车间每天加工玩偶的个数为个，根据“结果比原计划提前2天完成任务”建立分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设甲车间增加工人前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意得：， 解得：， 答：甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为88个； 【小问2详解】 设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后两个车间每天加工玩偶的个数为个， 由题意得：， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意； 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为62个． 22. 如图，菱形的对角线与交于点O，其中，，．动点P从点B出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点D时停止运动．同时，动点Q以每秒个单位长度的速度从点A出发，沿方向匀速运动，至点C停止．过点Q作交于点M．设运动时间为x秒，的面积为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出、关于x的函数表达式，并标注自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2）画图见解析，当时，随着x的增大而增大（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，分两种情况讨论：点P在上；点P在上，过点P作于H，根据相似三角形的性质求出，然后根据三角形的面积公式求出即可；证明，根据相似三角形的性质求出即可； （2）根据函数关系式画出函数图象，然后结合的图象写出其性质即可； （3）由函数图象即可得解结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， 当点P在上，即， 过点P作于H， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 当点P在上，即， 过点P作于H， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：画出函数图象如图所示： 由图象可得，当时，随着x的增大而增大； 【小问3详解】 解：由图象可得，当时，x的取值范围为． 23. 周日早上，爷爷和小明约定到公园去锻炼身体，公园在小明家A的正东方向的处，但是由于AE道路施工，爷爷先沿正北方向走了300米到达处，再从处沿北偏东方向行走300米到达处，从处沿正东方向走了150米到达处，最后沿方向到达处，已知点在点的南偏东方向．爷爷先出发3分钟后小明从家选择另一路线步行前往处，已知点在点的南偏东方向，且点在点的正南方向． （1）求AE的长度（结果保留根号）； （2）若爷爷步行速度为50米/分，小明步行速度为70米/分，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？（参考数据：；） 【答案】（1）AE的长度为米 （2）小明先到达公园，理由见解析 【解析】 【分析】（1）延长AB、DC交于点，过点作于点．易得四边形是矩形，则有；在中，可求得，进而求得；在中可求得，由即可求解； （2）在中，可求得（米），在中，由含30度角直角三角形的性质及勾股定理可求得，则可求得爷爷与小明到达公园所用时间，再比较即可． 【小问1详解】 解：延长AB、DC交于点，过点作于点． 则， ∴四边形是矩形， ∴； 由题意得，米，米，，． 在中，米，， ∴， 米，由勾股定理得：米， 米； 在中，， ∴， 米， 米； 答：AE的长度为米． 【小问2详解】 解：在中，，米， （米）， 在中，，米， ∴， 由勾股定理得：米， ∴米， 爷爷到达所用时间： （分钟）， 小明到达所用时间： （分钟）， ， 小明先到达公园． 【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，矩形的判定与性质，理解题意，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，点为轴上一动点，点为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）连接，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为，的最小值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，连接，，作点关于轴的对称点，连接，设点的坐标为，先求出直线的函数解析式为，则点的坐标为，使用割补法表示出的面积，得到关于的关系式，求出的面积最大时，点的坐标，从而得到点的坐标．由轴对称的性质可得，，，因此．根据两点之间，线段最短，可得当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值，使用勾股定理计算即可； （3）根据题意可得，抛物线由抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到，则．当点在直线下方时，作射线交轴于点，容易证明，则点的坐标为，求出的函数解析式，再与抛物线联立，求出点的坐标．当点在直线上方时，作，且，容易证明，从而得到点的坐标为，经过分析可得，点即为所求的点． 【小问1详解】 解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴的平行线，交于点，连接，，作点关于轴的对称点，连接，设点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， ∴点的坐标为， 由轴对称的性质可得，，， ∴ 由线段公理可得，， ∴当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：①当点在直线下方时，如图，作射线交轴于点，设点平移到点处，作，垂足为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由题意可知，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴抛物线由抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为； ②当点在直线上方时，如图，作，且， ∴射线与抛物线的交点即为点， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴点坐标为， 将代入，得， ∴点在抛物线上， ∴点即为所求的点， ∴点坐标为； 综上所述，点坐标为或； 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，函数的平移规律，解一元二次方程，轴对称的性质，线段和最值问题，熟练掌握相关知识是关键． 25. 在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，与交于点F，连接，在的延长线上有一点H，连接，若，求证：； （3）在D点的运动过程中，连接，若，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3）2 【解析】 【分析】（1）过点D作于点P，利用等腰直角三角形的性质及已知条件得出，通过解直角三角形求得，进一步得出的值； （2）过点D作交于点M，利用等腰直角三角形的性质得出，，由旋转的性质得出，证明出，，得出相关线段之间的关系，最后利用线段的和差关系即可得出结论； （3）先确定出点E的轨迹是与的夹角为的定直线l，再过点B作关于直线l的对称点，连接，与直线l交点，连接，得出的最小值，紧接着以为斜边作等腰直角三角形，点在上，通过等腰直角三角形的性质及勾股定理得出相关线段的值，并最终求得的面积． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点P， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在 中，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，过点D作交于点M， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵点D为上的动点，绕着D点逆时针方向旋转得到， 如图，当点A与点D重合时，将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图，当点D在中点，即点时，将绕点逆时针方向旋转得到，此时点C和点重合， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，即与的夹角始终为， ∴点E的轨迹为定直线l， 如图，过点B作关于直线l的对称点，连接，与直线l交点，连接， ∴， ∴的最小值为， 如图，以为斜边作等腰直角三角形，点在上， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，利用轴对称求最短距离，全等三角形的判定与性质及勾股定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $