专题23.1 一次函数的概念（4大知识点+6大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年人教版八年级数学下学期

专题23.1 一次函数的概念 知识点1：一次函数的概念 1.定义：形如（，为常数，）的函数叫做一次函数，是自变量，是的函数。 2.三个核心条件 自变量的次数为； 一次项系数； 解析式为整式，不含分式、二次项、根式。 知识点2：正比例函数与一次函数的关系 1.正比例函数定义：当一次函数中时，得到（），叫做正比例函数。 2.从属关系 正比例函数是特殊的一次函数； 一次函数不一定是正比例函数。 知识点3：判断一次函数的方法 函数类型 一般形式 要求 要求 次数 一次函数 任意实数 正比例函数 知识点4：列一次函数解析式的步骤 1.审题，确定变量与常量； 2.找等量关系，列出等式； 3.整理成（）的标准形式； 4.注明自变量取值范围（实际问题）。 【基础必考题型】 【题型1】一次函数的识别判断 1.核心知识点 一次函数三要素：次数为1、、整式形式。 2.解题方法技巧 先化简式子，再对照结构；排除、、类式子。 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·河北衡水·期中）下列函数：①；②；③；④中是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式题1-2】.（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·重庆·月考）下列函数中，是一次函数的是（） A． B． C． D． 【题型2】正比例函数的识别判断 1.核心知识点 正比例函数是的特殊一次函数，满足（）。 2.解题方法技巧 看是否无常数项、次数为1、系数不为0。 【例题2】.（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·广西南宁·期中）下列函数中，为正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列函数中是正比例函数的是（　　）． A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列函数中，是的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】根据一次函数定义求参数 1.核心知识点 由次数=1、系数≠0列方程/不等式。 2.解题方法技巧 先令指数=1求参数，必须检验，舍去增根。 【例题3】.（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）若是一次函数，则的值是__________． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）当________时，函数是一次函数． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·上海·期中）若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·重庆·期中）已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 【题型4】根据正比例函数定义求参数 1.核心知识点 满足：次数=1、系数≠0、常数项=0。 2.解题方法技巧 列方程组：，联立求解。 【例题4】.（25-26八年级下·江苏南通·月考）若函数是正比例函数，则的值是_____________ . 【变式题4-1】.（25-26八年级下·上海闵行·期中）如果函数是正比例函数，那么常数的值是___________． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·上海闵行·期中）当_____时，函数是正比例函数． 【变式题4-3】.（2026·河南周口·二模）若函数是正比例函数，则常数m的值为________． 【培优高频题型】 【题型5】简单实际问题列一次函数解析式 1.核心知识点 固定增长/减少模型：。 2.解题方法技巧 提取“初始值+单位变化量”，初始值为，单位量为。 【例题5】.（25-26七年级上·全国·课后作业）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为________． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·陕西西安·月考）汽车开始行驶时，油箱中有油45升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为______． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围） 【变式题5-3】.（24-25八年级上·贵州毕节·期末）一辆货车的油箱中有油，这辆货车每行驶耗油，写出这辆货车的油箱中剩余的油量与行驶的路程之间的关系式及x的取值范围，并判断y是否为x的一次函数． 【题型6】复合正比例关系转化为一次函数 1.核心知识点 与成正比例⇒，整理为。 2.解题方法技巧 先设比例式，展开整理，判断是否为一次函数。 【例题6】.（25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知，且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)计算时，y的值； (3)当时，求的值． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·北京·课后作业）已知与成正比例，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)当时，的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 易错点 1.忽略：求参数时只满足次数为1，忘记系数不为0，导致错解。 2.概念混淆：把、、误判为一次函数。 3.正比例函数漏条件：只看，忘记。 4.化简不彻底：未整理成标准形式就判断。 5.实际问题忘范围：列出解析式后不写自变量取值范围。 重点 1.一次函数、正比例函数的定义与判定。 2.根据定义求参数值。 3.一次函数与正比例函数的从属关系。 4.实际问题、表格、跨学科情境列一次函数解析式。 难点 1.含参数、绝对值、平方的综合定义题。 2.复合正比例关系转化为一次函数。 3.真实情境中提取等量关系并规范建模。 4.分类讨论思想在参数问题中的应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（   ） A． B． C．1 D．5 2．以下点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知点在函数的图象上，则的值为______． 5．一次函数经过定点______． 6．已知函数是一次函数，则a的值是________． 三、解答题 7．已知函数， (1)当时，求函数的值； (2)当x取何值时，函数的值为0． 8．已知函数是正比例函数． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 9．已知函数． (1)用描点法在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)判断点，是否在函数的图象上． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.1 一次函数的概念 知识点1：一次函数的概念 1.定义：形如（，为常数，）的函数叫做一次函数，是自变量，是的函数。 2.三个核心条件 自变量的次数为； 一次项系数； 解析式为整式，不含分式、二次项、根式。 知识点2：正比例函数与一次函数的关系 1.正比例函数定义：当一次函数中时，得到（），叫做正比例函数。 2.从属关系 正比例函数是特殊的一次函数； 一次函数不一定是正比例函数。 知识点3：判断一次函数的方法 函数类型 一般形式 要求 要求 次数 一次函数 任意实数 正比例函数 知识点4：列一次函数解析式的步骤 1.审题，确定变量与常量； 2.找等量关系，列出等式； 3.整理成（）的标准形式； 4.注明自变量取值范围（实际问题）。 【基础必考题型】 【题型1】一次函数的识别判断 1.核心知识点 一次函数三要素：次数为1、、整式形式。 2.解题方法技巧 先化简式子，再对照结构；排除、、类式子。 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义．判断函数是不是一次函数或正比例函数的步骤：（1）等号两边是否为整式，（2）是否具有（k，b为常数，且）的形式，若是，则为一次函数，否则不是一次函数．当时，则为正比例函数． 【详解】解：A项等号右边是关于的二次式，不符合一次函数要求； B项等号右边不是整式，不符合一次函数要求； C项符合一次函数要求，符合题意； D项等号右边是关于的二次式，不符合一次函数要求． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·河北衡水·期中）下列函数：①；②；③；④中是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】一般地，形如（为常数，）的函数叫做一次函数，据此可得答案． 【详解】解：由一次函数的定义可知，函数，是一次函数， 函数和不是一次函数， ∴一次函数有2个． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义判断各选项即可． 【详解】解：A．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误； B．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误； C．中，，，满足一次函数的形式，是一次函数，故此选项正确； D．中的次数为，不是一次函数，故此选项错误． 【点睛】一次函数的标准形式为（，为常数，）． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·重庆·月考）下列函数中，是一次函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的定义为：形如（，是常数，）的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义，逐一判断各选项的函数类型，即可得到正确结果． 【详解】解：A．，不符合一次函数的形式，不是一次函数； B．，的次数为，不是一次函数； C．，其中，，满足且，符合一次函数定义，是一次函数； D．中不是整式，不符合一次函数定义，不是一次函数． 【题型2】正比例函数的识别判断 1.核心知识点 正比例函数是的特殊一次函数，满足（）。 2.解题方法技巧 看是否无常数项、次数为1、系数不为0。 【例题2】.（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义（形如（其中为常数，且）的函数是的正比例函数）对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、符合正比例函数的定义，符合题意； B、是一次函数，常数项不为，不是正比例函数，不符合题意； C、是反比例函数，不符合正比例函数的形式，不符合题意； D、中未说明，当时不是正比例函数，不符合题意． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·广西南宁·期中）下列函数中，为正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一判断选项即可． 【详解】解：A中，含有常数项，不符合正比例函数的形式； B中，的最高次数为2，不符合正比例函数的形式； C中，分母中含自变量，不符合正比例函数的形式； D中，符合（为常数且）的形式，是正比例函数． 【变式题2-2】.（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列函数中是正比例函数的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义：形如（是常数，）的函数为正比例函数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：根据正比例函数的定义进行判断， 选项A：，符合正比例函数的定义，是正比例函数； 选项B：不符合定义，不是正比例函数； 选项C：不符合定义，不是正比例函数； 选项D：不符合定义，不是正比例函数． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列函数中，是的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，关键是根据定义进行判断；根据正比例函数的定义（形如，其中为常数且），对各选项逐一判断. 【详解】解：∵正比例函数的定义为形如（是常数，）的函数， ∴对各选项分析如下： A选项含有常数项，不符合正比例函数定义； B选项含有常数项，不符合正比例函数定义； C选项中自变量的次数为，不符合正比例函数定义； D选项可表示为，其中，符合正比例函数定义； 故答案选：D． 【题型3】根据一次函数定义求参数 1.核心知识点 由次数=1、系数≠0列方程/不等式。 2.解题方法技巧 先令指数=1求参数，必须检验，舍去增根。 【例题3】.（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）若是一次函数，则的值是__________． 【答案】3 【详解】解：函数 是关于的一次函数， 且， 由得， 解得或， 由得， ， 【变式题3-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）当________时，函数是一次函数． 【答案】2 【分析】由一次函数的概念即可求解． 【详解】解：由题得且， 解得． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·上海·期中）若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】先将给定函数整理为一次函数的一般形式，再根据一次函数的定义，要求一次项系数不为，列不等式求出的取值范围即可． 【详解】解： ， ∵函数是关于的一次函数， ∴， ∴． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·重庆·期中）已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数需满足两个条件：x的次数为1，且一次项系数不为0，据此列等式和不等式计算即可得到m的值． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解，得，即或， 又∵，即， ∴． 【题型4】根据正比例函数定义求参数 1.核心知识点 满足：次数=1、系数≠0、常数项=0。 2.解题方法技巧 列方程组：，联立求解。 【例题4】.（25-26八年级下·江苏南通·月考）若函数是正比例函数，则的值是_____________ . 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：，为常数且，自变量的次数为1，即；． 【详解】解：由题意得：， ,而， , 故答案为： ． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·上海闵行·期中）如果函数是正比例函数，那么常数的值是___________． 【答案】2 【分析】正比例函数的解析式的形式为，先将题目给出的函数整理为一般形式，令常数项为0，且一次项系数不为0，即可求出的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·上海闵行·期中）当_____时，函数是正比例函数． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义，先合并同类项化简函数解析式，再根据正比例函数的定义列不等式求解即可. 【详解】解：合并同类项得，由正比例函数定义得， . 【变式题4-3】.（2026·河南周口·二模）若函数是正比例函数，则常数m的值为________． 【答案】0 【分析】根据正比例函数的定义可得常数项为0，一次项系数不为0，即可求解； 【详解】解：函数是正比例函数， 常数项，且一次项系数， ． 【培优高频题型】 【题型5】简单实际问题列一次函数解析式 1.核心知识点 固定增长/减少模型：。 2.解题方法技巧 提取“初始值+单位变化量”，初始值为，单位量为。 【例题5】.（25-26七年级上·全国·课后作业）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数，解题关键是找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数解析式． 【详解】解：设张白纸粘合后的总长度为， ∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， 可得 ∴， 故答案为：． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·陕西西安·月考）汽车开始行驶时，油箱中有油45升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了函数关系式，本题关键是明确油箱内余油量，原有的油量，x小时消耗的油量，三者之间的数量关系，根据数量关系可列出函数关系式． 根据油箱内余油量=原有的油量−x小时消耗的油量，可列出函数关系式． 【详解】解：依题意得，油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为：． 故答案为：． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，找准等量关系是解题关键．先求出钢笔为支，再根据总费用跳绳的单价跳绳的个数钢笔的单价钢笔的个数，由此即可得． 【详解】解：由题意得：购买钢笔的支数为支， 则， 故答案为：． 【变式题5-3】.（24-25八年级上·贵州毕节·期末）一辆货车的油箱中有油，这辆货车每行驶耗油，写出这辆货车的油箱中剩余的油量与行驶的路程之间的关系式及x的取值范围，并判断y是否为x的一次函数． 【答案】，y是x的一次函数 【分析】此题考查了列函数解析式，正确理解题意是解题的关键．剩余油量等于存油减去耗油量即可求出函数解析式，根据一次函数定义进行判断即可． 【详解】解：油箱剩余油量， 当时，， 解得：， ∴， 符合一次函数定义，因此y是x的一次函数． 【题型6】复合正比例关系转化为一次函数 1.核心知识点 与成正比例⇒，整理为。 2.解题方法技巧 先设比例式，展开整理，判断是否为一次函数。 【例题6】.（25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知，且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)计算时，y的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义、求函数解析式，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）根据正比例的定义可设，，再将当时，，当时，代入计算即可得； （2）将直接代入（1）中的结果即可得； （3）将直接代入（1）中的结果即可得． 【详解】（1）解：由题意可设，， ， ， 当时，，当时，， ，解得， ， 即与之间的函数关系式为； （2）解：将代入得：； （3）解：将代入得：， 解得． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例的定义可设，即，然后把时，代入可计算出，从而可确定与之间的函数关系式； （2）把代入（1）的解析式中解方程得出对应的值． 【详解】（1）解：与成正比例， 设， ， 当时，， ， 解得：， 与之间的函数关系式为； （2）解：把代入得， 解得：． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·北京·课后作业）已知与成正比例，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据成正比例的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出的值，从而得到与的函数关系式； （2）利用（1）中的关系式，求出函数值为所对应的自变量的值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入得， 解得， ， 与的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， 的值为． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可设，然后用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式求解即可； （3）把代入（1）中解析式求解即可． 本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求函数关系式，以及求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解： 根据题意可设， ∵当时， ∴， 解得， ∴． （2）当时，， 解得． （3）当时，． 易错点 1.忽略：求参数时只满足次数为1，忘记系数不为0，导致错解。 2.概念混淆：把、、误判为一次函数。 3.正比例函数漏条件：只看，忘记。 4.化简不彻底：未整理成标准形式就判断。 5.实际问题忘范围：列出解析式后不写自变量取值范围。 重点 1.一次函数、正比例函数的定义与判定。 2.根据定义求参数值。 3.一次函数与正比例函数的从属关系。 4.实际问题、表格、跨学科情境列一次函数解析式。 难点 1.含参数、绝对值、平方的综合定义题。 2.复合正比例关系转化为一次函数。 3.真实情境中提取等量关系并规范建模。 4.分类讨论思想在参数问题中的应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【详解】解：当时，． 2．以下点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把代入，，则不在函数图象上； 把代入，，则不在函数图象上； 把代入，，则不在函数图象上； 把代入，，则在函数图象上． 3．下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：形如（、为常数，，自变量的次数为1的整式函数），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：中的最高次数是2，不是一次函数； B选项：，不是整式函数，故不是一次函数； C选项：符合一次函数的形式，是一次函数； D选项：不是整式函数，故不是一次函数； 二、填空题 4．已知点在函数的图象上，则的值为______． 【答案】 【分析】把点代入，然后解关于的方程即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴ ， ∴的值为． 5．一次函数经过定点______． 【答案】 【分析】将一次函数解析式整理为关于参数的多项式形式，根据定点的定义，无论参数取何值，点的坐标都满足解析式，因此令含项的系数为，即可求解得到定点坐标． 【详解】解：将给定一次函数解析式变形得， 因为一次函数经过定点，即无论取任意实数，等式恒成立， 所以令的系数为，即：， 解得 ， 将代入解析式，得 ， 因此该一次函数恒过定点． 6．已知函数是一次函数，则a的值是________． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，确定自变量次数与一次项系数的限制条件，求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解得：． 三、解答题 7．已知函数， (1)当时，求函数的值； (2)当x取何值时，函数的值为0． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将代入，得； （2）解：令，解得． 8．已知函数是正比例函数． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【分析】（1）根据正比例函数的定义列出方程组，解方程组即可； （2）将点的横坐标代入函数解析式，看得到的纵坐标是否与已知纵坐标相等，据此判断即可． 【详解】（1）解：函数是正比例函数， ， 解得， 这个函数的解析式为； （2）解：当时，， 则点不在这个函数的图象上． 9．已知函数． (1)用描点法在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)判断点，是否在函数的图象上． 【答案】(1)见解析 (2)点不在图象上；点在图象上 【分析】（1）分别令、求出两点，画出函数图象即可； （2）分别将，代入函数，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得， 则函数图象如下： （2）解：将代入得：， 由于 则点不在函数的图象上； 将代入得：， 则点在函数的图象上． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $