精品解析：江西萍乡市2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试卷

萍乡市2025—2026学年度第二学期期中考试 高 一 数 学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式即可得出答案. 【详解】解：由函数， 则最小正周期. 故选：B. 2. 已知为平面内不共线的三点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 3. 已知向量 ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助数量积的坐标公式计算即可得. 【详解】. 4. 已知是锐角三角形的一个内角，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】因为为锐角三角形的一个内角，则，， 由同角三角函数的基本关系得，解得，. 5. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由扇形的弧长为，圆心角为，得该扇形所在圆半径（cm） 所以该扇形的面积为（）. 6. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由，，则，故， 由正弦定理，可得， 又，则，故或， 若，有，符合题意； 若，有，符合题意； 综上：或. 7. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象上各点（ ） A. 向右平移个单位得到 B. 向右平移个单位得到 C. 向右平移个单位得到 D. 向左平移个单位得到 【答案】A 【解析】 【详解】将函数的图象上各点向右平移个单位得到， 即，则，解得，故选项A正确. 8. 函数在区间 恰有三条对称轴与三个对称中心，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到，求解即可. 【详解】因为，所以. 由的性质，要使函数的图象在区间内恰有三条对称轴、三个对称中心， 则，解得，即. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，内角所对的边分别为，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则是等边三角形 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正余弦定理依次进行判断即可. 【详解】对于A，由正弦定理得，其中为外接圆的半径， 由此可得， 因此，故A正确； 对于B，若，由正弦定理，可得， 又因为，所以 ，因此，故B正确； 对于C，若，展开并化简得， 由余弦定理得，由于，所以， 此时角还不能确定，因此不能保证是等边三角形，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，代入余弦定理， 化简得到，故D正确. 10. 如图，点是正八边形的中心，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A选项，由正八边形的几何性质可得，， ，， 故，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，连接、，如下图所示： 因为，，则为、的中点，故四边形为平行四边形， 所以且，由相等向量的定义可得， ，C对； 对于D选项，以、为邻边作平行四边形，则， 又因为，故平行四边形为正方形，所以， 即，D错. 11. 已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点 对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的单调递增区间为 D. 为偶函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由图象信息求出表达式，从而根据对称性即可判断AB；根据单调性结合值域即可判断C；按平移函数图象，求出新的函数解析式，对比即可判断D. 【详解】由图可知，又， 所以，所以， 又函数图象最低点为，所以， 所以，解得， 由题意，所以只能，所以， 所以，但，从而函数的图象关于直线对称，故A选项错误；故B选项正确； ，令，即得， 所以函数的单调递增区间为，故C选项正确； 函数，所以为偶函数，故D选项正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】. 14. 已知在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上靠近点C的四等分点，点F在线段BE上，若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】 因为三点共线，则， 而，故， 整理得， 而，不共线，故，故， 故. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． （1）求的值； （2）求等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数周期，求出即可； （2）列出方程，根据换元法，求出结果即可； 【小问1详解】 由题知，可知，所以，解得； 【小问2详解】 由题知，则或，， 解得或，， 故的解集为或． 16. 已知平面直角坐标系中不同的三点． （1）若，求实数的值； （2）若三点共线，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点坐标写出向量坐标，根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求出结果即可； （2）根据向量共线基本定理，列出方程组，求出参数值即可. 【小问1详解】 由题知， 因为，所以，即，解得； 【小问2详解】 设存在唯一的实数，使得， 即，解得或， 当时，与重合，舍去，故． 17. 已知中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解即得. （2）由（1）的结论，利用余弦定理列式求解. 【小问1详解】 在中，及由正弦定理得， 则，而，所以. 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即， 又，因此，而，解得，， 所以的周长为． 18. 在边长为的等边三角形中，为线段上的动点（不含端点），于点，且交于点． （1）求的值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用数乘运算，再根据数乘的模长计算求解； （2）先建系，再写出点的坐标，最后应用数量积坐标运算结合二次函数计算求解最小值. 【小问1详解】 取的中点，的中点，连接，则， 所以， 则； 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 因为，所以， 已知 ， ，得 ， 设 ，则 ， ， 则， 当且仅当时，取得最小值为． 19. 在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”. （1）设函数，写出的“相伴向量”； （2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的最大值； （3）已知，将（2）中的函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，试问的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考公式： ． 【答案】（1） （2） （3）存在点 使得 【解析】 【分析】（1）根据两角差的正弦公式结合相伴向量的概念即可得结果. （2）首先根据相伴函数的概念求出，进而求出，通过正弦定理将表示成关于的三角函数，进而可得结果. （3）求出，设，由数量积为0列出关于的方程，结合三角函数性质即可得结果. 【小问1详解】 函数， 所以的“相伴向量”为； 【小问2详解】 依题意，，由，得， 又，即，则， 又，由正弦定理，得，， 即， 由，得，则，的取值范围为， 所以有最大值. 【小问3详解】 由（2）知， 则， 设，由，得， 由，得，则， 即，于是． 由，得，则， 而，因此当且仅当时，和同时等于， 所以在图象上存在点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萍乡市2025—2026学年度第二学期期中考试 高 一 数 学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为平面内不共线的三点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量 ， ，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是锐角三角形的一个内角，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象上各点（ ） A. 向右平移个单位得到 B. 向右平移个单位得到 C. 向右平移个单位得到 D. 向左平移个单位得到 8. 函数在区间 恰有三条对称轴与三个对称中心，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，内角所对的边分别为，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则是等边三角形 D. 10. 如图，点是正八边形的中心，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点 对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的单调递增区间为 D. 为偶函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 已知，则__________． 14. 已知在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上靠近点C的四等分点，点F在线段BE上，若，则__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． （1）求的值； （2）求等式的解集． 16. 已知平面直角坐标系中不同的三点． （1）若，求实数的值； （2）若三点共线，求实数的值． 17. 已知中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，且，求的周长． 18. 在边长为的等边三角形中，为线段上的动点（不含端点），于点，且交于点． （1）求的值； （2）求的最小值． 19. 在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”. （1）设函数，写出的“相伴向量”； （2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的最大值； （3）已知，将（2）中的函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，试问的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考公式： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $