精品解析：江西省萍乡市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

萍乡市2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人的准考证号､姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，监考员将试题卷､答题卡一并收回. 第Ⅰ卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若满足，则的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. 25 C. D. 20 4. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 5. 在中，若，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 6. 在矩形中，为的中点，为的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于函数的说法，不正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 点为其图象的一个对称中心 D. 定义域为 8. 已知在等腰中，，点为的中点，于，点为线段的中点，点为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则满足不等式成立的的集合有（ ） A. B. C. D. 10. 已知的内角所对的边分别为，其面积为，若，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则有两组解 B. 若，则有一组解 C. 若，则边的中线长为 D. 若，则边的中线长为3 11. 在三角形中有如下结论：已知的内角所对的边分别为，点为内任意一点，则.根据上述结论，下列说法正确的有（ ） A. 若是的重心，则 B. 若是的内心，则 C. 若，则 D. 若是的外心，且，则 第II卷 注意事项： 第Ⅱ卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量.则__________；在上的投影向量的坐标为__________. 13. 萍乡是秋收起义策源地，1927年毛泽东在安源主持召开秋收起义军事会议，并于9月9日亲自发动和领导了秋收起义，第一次高举起工农革命军的旗帜.如图，两点相距36米，与秋收起义纪念碑（底部不可到达）的底部在同一水平直线上，利用高为0.3米的测角仪器，在两点测得纪念碑的顶点的仰角分别为和，则该纪念碑的高度__________米. 14. 若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）化简； （2）若，求. 16. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，向量与共线，求的值. 17. 已知函数图象的一条对称轴和与其相邻的一个对称中心之间的距离为，且的图像过点. （1）若是奇函数，求的最小值； （2）令，记在区间上的零点从小到大依次为，求的值. 18. 如图，游客从萍乡武功山旅游景区的金顶处下至处有两种路径：一种是先从沿索道乘缆车到，再从沿直线步行到；另一种是从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从金顶处下山，甲沿匀速步行，速度为：在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，，，. （1）乙在到达之前，乘缆车出发多少分钟时，与甲的距离最短？ （2）若，为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义运算“”：. （1）若向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，若，用表示，并化简：若点，求的值； （3）若向量，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萍乡市2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人的准考证号､姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，监考员将试题卷､答题卡一并收回. 第Ⅰ卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若满足，则的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据各象限三角函数的符号判断即可得答案. 【详解】由可知的终边在第三象限或第四象限或y轴负半轴上， 由，可知的终边在第一象限或在第三象限， 则的终边在第三象限， 故选：C. 2. 已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意先求出扇形半径，再求扇形面积即可. 【详解】设扇形的半径为，依题意，，解得， 则该扇形的面积为. 故选：B. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. 25 C. D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】先由求得参数的值，再利用向量模长的坐标计算公式即得. 【详解】由可得，解得，则， 于是， 则. 故选：A. 4. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】运用函数图象平移规律“左加右减”即可解决. 【详解】因为， 所以只需将函数的图象上各点向右平移个单位长度，即可得到函数的图象. 故选：C 5. 在中，若，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得，而， 则，解得，， 所以的面积为. 故选：D 6. 在矩形中，为的中点，为的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形利用向量的加减数乘运算将所求向量用基底表示即可. 【详解】 如图， . 故选：C. 7. 下列关于函数的说法，不正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 点为其图象的一个对称中心 D. 定义域为 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的性质，对各选项的内容逐一判断即可. 【详解】对函数： 由，，，所以函数的定义域为：； 由，所以函数的最小正周期为； 由，，， 所以函数在，上单调递增，当时，单调增区间为； 因为，所以点为函数的一个对称中心. 综上可知：D是错误的. 故选：D 8. 已知在等腰中，，点为的中点，于，点为线段的中点，点为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算建立函数关系，进出求出最值即可. 【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 在等腰中，，则， 令，则，， ，当时分别取得最大值和最小值， 所以的最大值与最小值的差为. 故选：A 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则满足不等式成立的的集合有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先解给出的不等式，再根据集合之间的关系进行选择. 【详解】因为，所以. 由或或， 所以所给不等式的解集为. 所给的4个选项中，只有AD两个集合是的子集，所以只有AD能使不等式成立. 故选：AD 10. 已知的内角所对的边分别为，其面积为，若，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则有两组解 B. 若，则有一组解 C. 若，则边的中线长为 D. 若，则边的中线长为3 【答案】BC 【解析】 【分析】用余弦定理解三角形，求边的长度，可判断AB的真假；用向量表示边的中线，利用余弦定理和平面向量数量积的运算可求中线的长，判断CD的真假. 【详解】因为， 根据三角形的面积公式，可得. 由正弦定理得：， 因为为三角形内角，所以，，所以. 当，由余弦定理：得：， 所以，又，所以， 即只有一组解，可知A错误，B正确； 因为. 由余弦定理：. 设中点为，如下图所示： 则. 所以， 所以，即边的中线长为，可知C正确，D错误. 故选：BC 11. 在三角形中有如下结论：已知的内角所对的边分别为，点为内任意一点，则.根据上述结论，下列说法正确的有（ ） A. 若是的重心，则 B. 若是的内心，则 C. 若，则 D. 若是的外心，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角形重心的性质，可判断A的真假；结合三角形内心与三角形面积之间的关系，可判断B的真假；确定点位置，可判断C的真假；结合三角形外接圆的性质与三角形的面积公式可判断D的真假. 【详解】对A：若为的重心，则，结合，所以，故A正确； 对B：若为的内心，设内切圆半径为，则，，， 所以，故B错误； 对C：如图： 因为，所以，，延长交于点， 则, 因为三点共线，所以. 设，则，，, 所以，故C正确； 对D：如图： 因为为的外心，且，设外接圆半径为， 则，，，， 所以，同理，， 结合， 可得. 又，所以，故D正确. 故选：ACD 第II卷 注意事项： 第Ⅱ卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量.则__________；在上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由条件结合向量的模的坐标表示求，根据向量的模与数量积的关系由条件求，再由投影向量的定义求在在的投影向量的坐标. 【详解】由. 又. 所以在上的投影向量的坐标为：. 故答案为：； 13. 萍乡是秋收起义策源地，1927年毛泽东在安源主持召开秋收起义军事会议，并于9月9日亲自发动和领导了秋收起义，第一次高举起工农革命军的旗帜.如图，两点相距36米，与秋收起义纪念碑（底部不可到达）的底部在同一水平直线上，利用高为0.3米的测角仪器，在两点测得纪念碑的顶点的仰角分别为和，则该纪念碑的高度__________米. 【答案】 【解析】 【分析】根据仰角概念解三角形求得，利用直角三角形求出，即可确定长. 【详解】如图，依题意，，， 故，则， 在中，， 故米. 故答案为：. 14. 若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由余弦型函数在给定区间上的零点问题转化为函数与函数在上的交点问题，借助于余弦函数的图象列出不等式求解即得. 【详解】 由，可得， 设，当时，， 依题意，要使函数在区间上恰有5个零点， 需使函数与函数在上有5个交点， 结合余弦函数的图象，可得，即得， 即的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）化简； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式进行化简整理.（2）整体配凑角即可求解 【小问1详解】 因为. 【小问2详解】 由. 所以. 16. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，向量与共线，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由代入向量坐标计算得到，结合角的范围求出的值； （2）由向量与共线列方程，推出，结合角的范围求得，利用坐标化简后代值计算即得. 【小问1详解】 由可得， 因，则，故， 则得，故. 【小问2详解】 由题意，， 因向量与共线，故，即， 两边取平方，， 因，解得， 则 . 17. 已知函数图象的一条对称轴和与其相邻的一个对称中心之间的距离为，且的图像过点. （1）若是奇函数，求的最小值； （2）令，记在区间上的零点从小到大依次为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意依次求得，，推得，根据是奇函数，得到，即可求得的最小值； （2）根据函数与方程的思想，将在区间上的零点个数即函数与函数在区间上的交点个数，通过作出余弦函数的图象，确定的值，利用图象对称性得到，将代入整理即可求得. 【小问1详解】 依题意，函数的最小正周期满足，即，解得， 把点代入中，可得，因，则， 故函数解析式为. 因是奇函数，故， 则有，解得， 故当 时，取得最小值. 【小问2详解】 由 ，可得， 设，由可得， 则在区间上的零点个数即函数与函数在区间上的交点个数. 作出其图象如下： 由图知，两者共有6个交点，即，这些交点的横坐标依次为， 根据图象的对称性，可知， 则， 因，代入可得： ， 解得， 即. 18. 如图，游客从萍乡武功山旅游景区的金顶处下至处有两种路径：一种是先从沿索道乘缆车到，再从沿直线步行到；另一种是从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从金顶处下山，甲沿匀速步行，速度为：在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，，，. （1）乙在到达之前，乘缆车出发多少分钟时，与甲的距离最短？ （2）若，为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】（1） （2）（单位：） 【解析】 【分析】（1）设乙在到达之前，乘缆车出发分钟时，与甲的距离为，利用余弦定理列方程，结合二次函数的性质求得的最小值； （2）先由正弦定理求得，再设乙步行的速度为，根据“两位游客在C处互相等待的时间不超过5min”列不等式，解之即得乙步行的速度的范围. 【小问1详解】 设乙在到达之前，乘缆车出发分钟时，与甲的距离为，则，即， 由余弦定理，， 即， 因二次函数的对称轴为，开口向上， 故当时，甲乙两游客之间的距离最短. 【小问2详解】 因，则为锐角，则， 在中，由正弦定理，，则， 依题意，乙从出发时，甲已走了，还需要走才能到达， 设乙步行的速度为，由题意可得：，解得， 所以为了使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：）范围之内. 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义运算“”：. （1）若向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，若，用表示，并化简：若点，求的值； （3）若向量，求的最小值. 【答案】（1）4； （2），0； （3）25. 【解析】 【分析】（1）利用向量夹角公式及新定义求解. （2）利用向量的夹角公式，结合新定义求得，由此求出. （3）由（2）的结论求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【小问1详解】 由，得，又，则， 而，则， 所以. 【小问2详解】 由，得， 则， ， 所以； 由，得， 所以. 【小问3详解】 向量，， ， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是25. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $