上海市进才中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

上海市进才中学2025学年第二学期期中考试 (时间120 分钟，满分150 分) 高一数学试卷 (2026年4月) 命题教师袁洁 审题教师戴经纬 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分) 1.已知 $$\cos x = - \frac { 1 } { 3 } ，$$ 且 x 为第三象限的角，则 tanx= . 2.已知扇形的半径为3，圆心角为 $$\frac { 2 \pi } { 3 } ，$$ ，则扇形的面积为 函数 $$f \left( x \right) = \sin \left( 2 x - \frac { \pi } { 6 } \right)$$ 的初始相位为. 4.已知向量 $$\overrightarrow { a } = \left( 1 ， m \right)$$ 与向量 $$\overrightarrow { b } = \left( n ， 1 \right)$$ 平行 (m，n∈R)， ，则 m⋅n 的值为. 5.已知复数 z 满足 z(1+i)=3-4i (其中i为虚数单位)，则z=. 6.记等差数列 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 的前n项和为 $$S _ { n } ，$$ ，若 $$a _ { 3 } + a _ { 7 } = 6 ， a _ { 1 2 } = 1 7 ，$$ $$S _ { 1 6 } =$$ 7.关于 x 的方程 $$\sin \left( 2 x + \frac { \pi } { 3 } \right) = \frac { 1 } { 2 } ， x \in \left[ 0 ， \pi \right]$$ 的解为 8.若1-i是实系数一元二次方程 $$x ^ { 2 } + p x + q = 0$$ 的一个根，则 p⋅q= . 9.已知正方形 ABCD 的边长为2，点 M 满足 $$2 \overrightarrow { A M } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } ，$$ 则 $$\overrightarrow { M B } \cdot \overrightarrow { M D } =$$ . 10.在 △ABC 中， AB=AC=5，BC=8，P 为 △ABC 内的一点.若P为 △ABC 的重心，且 $$\overrightarrow { A P } = x \overrightarrow { A B } + y \overrightarrow { A C } ，$$ 则 2x x+y=. 11.已知函数 $$f \left( x \right) = \sqrt 3 \sin \omega x - \cos \omega x \left( \omega > 0 \right)$$ 在区间 $$\left[ - \frac { \pi } { 3 } ， \frac { 3 \pi } { 4 } \right]$$ 上严格增，且在区间 [0，π] 上只取得 一次最大值，则 ω 的最小值是 12.已知 k+2 个两两互不相等的复数 $$z _ { 1 } 、 z _ { 2 } 、 \cdots 、 Z _ { k } 、 W _ { 1 } 、 W _ { 2 }$$ 满足 $$\overline { w _ { 1 } } - \overline { v _ { 2 } } = \frac { 4 } { v _ { 1 } - w _ { 2 } } ， 若 | v \left( v _ { 0 } - z _ { 0 } \right) \in \left( 1 ， 3 \right)$$ (其中 {=1，2；a=1、2、⋯，k)， ，则正整数k的最大值为. 1 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16每题5分） 13.若a,6是向量，则“a=6”是@的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.函数f(y)=x+cosx的部分图象大致是【) 15,已知z为复数，则下列命题不正确的是（ A,若z=z,则z为实数 B若z2<0,则z为纯数 C若z==,则z=士1，i D.若z3=1,则z2=z 16。设S,是一个无穷数列{a,}的前n项和，若一个数列满足对任意的正整数m,不等式<S恒成立， nn+l 则称数列{an}为和谐数列.给出两个命题：①若对任意的正整数n均有an<an1,则数列{an}为和谐数列； ②若等差数列{an}为和谐数列，则Sn一定存在最大值， 以下说法正确的是（) A.①错②对 B.①对②错 C.①②都对 D.①②都错 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）》 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分 已知向靂ā=(2,3)，6=(x,-1),c=(2,1) (1)若a、b所成角为钝角，求x的取值范围； (2)若ā⊥(-b),求ā在6方向上的投影向邀（结果用坐标表示）. 2 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 己知复数3，=a+i,z2=1-i（a∈R,i是虚数单位) (1)若乙-z2在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； 2)若2，是实系数一元二次方程￥-Q+1x+m=0的根，记z=上+上，求2-的值. 31z2 19.(本题满分4分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态察赋和市场需求， 深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已揽索出以虹敛、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖 场计划在如图所示的扇形区域ONW内修建矩形水池ABCD,矩形一边AB在OM上，点C在圆弧MN上， 点D在边oN上，且∠MON=于，OM=60米，设∠COM=a. D a BM (1)若a=异，求0D的长： (2)若矩形ABCD的面积为S(a),当a为何值时，S(a)取得最大值，并求出这个最大值. 3 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数f)=2si加(@x+p-爱(@>0,0<g<)为奇函数，且f心)图象的相邻两对称轴间的 距离为号 (1)求f(x)的解析式及严格减区间； (2)将函数(x)的图象向右平移下个单位长度，再把横坐标缩小为原来的】（纵坐标不变），得到函数 6 y=g(x)的图象.当x∈ -工，时，求函数g)的值域： 12'6 (3)对于第2)问中的函数8《，记方程8-号在x[爱]上的根从小到大依次为：，·试 确定n的值，并求+2x2+2x+…+2x-1+xn的值. 21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 定义向量OM=(a,b)的“伴随函数”为f(x)=asin x+bcosx, 函数f(x)=asinx+bcosx的“伴随向量”为OM=(a,b). (1)写出OM=(1,2)的“伴随函数”f(x),，并直接写出f(x)的最大值： (2)写出函数f()=s如x-写引+s血x的伴随向量”为O丽，并求O网， (3)已知OM=N=1,OM的“伴随函数”为f(x),ON的“伴随函数”为g(x),设 OP=OM+uON(亿>0,4>0)，且OP的伴随函数为h(x),其最大值为p.若元=μ=1，求P的取值范 围