精品解析：上海市实验学校2025-2026学年度第二学期高二数学学科期中考试试卷

上海市实验学校2025-2026学年度第二学期高二数学学科期中考试试卷 （考试时间，90分钟） 一、填空题（本大题满分40分，共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分） 1. 函数在区间上的平均变化率等于______． 【答案】6 【解析】 【分析】由平均变化率的定义计算． 【详解】所求平均变化率为． 故答案为：6． 2. 在的展开式中，含项的系数为__________（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为， 令可得：， 故含项的系数为. 3. 等6人在某博物馆前排成一列进入馆内参观，其中相邻，则不同的排队方法有__________种.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】借助捆绑法计算即可得. 【详解】两人看作一个整体，内部有种排法， 整体和剩下4人，构成5个元素全排列有种排法， 故共有种， 故相邻，则不同的排队方法有240种. 4. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则______． 【答案】2 【解析】 【详解】由图象及导数的几何意义，得，而， 所以. 5. 某校开设5门知识类选修课和4门技能类选修课.学生需从中选修3门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有______种.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得不同的选课方案共有. 6. 盒子里装有大小与质地相同的红球与白球，从中任取个球.设事件表示“个球中有个红球、个白球”，事件表示“个球中有个红球、个白球”.已知，.则“个球中既有红球又有白球”的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】记事件为“个球中既有红球又有白球”，则它包含事件和事件，而且事件是互斥的，根据互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】由题可知事件是互斥的，记事件为“个球中既有红球又有白球”， 所以， 代入已知​，，​ 得. 7. 函数的极小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先求导，再根据导数正负判断单调性确定极值即可． 【详解】易得， 故当时，，单调递减； 时，，单调递增． 故的极小值为． 故答案为：3． 8. 函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由图象分析出的正负，利用符号法解不等式即可得到答案. 【详解】由函数的图象可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 即当时，，当时，. 因为可化为或， 结合函数图象解得， 所以不等式的解集为. 9. 已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】等价转化为函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以在处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 则实数的取值范围为. 10. 如图，在上海某公园中有一块边长为2百米的菱形空地，其中．现计划在该空地种植一片观景区：①地块是以为圆心，1百米为半径的扇形地块，在扇形地块内种植郁金香；②地块内种植樱花；③地块内规划建造人工湖；④计划建设观光走道，其中点为上任意一点，；⑤各地块前的空隙以及走道的宽度忽略不计.当观光走道与的长度之和最小时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，求得直线表达式，进而利用坐标运算求，而的长度可通过弧长公式计算，得与的长度之和的表达式，构造函数求导可得与的长度之和最小时的大小. 【详解】以点为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，则， ，直线的方程为. 因，则，代入上式得：，即， 于是，而的长度为. 因此与的长度之和为. 记， 求导得 因此的单调情况如下： 单调递减 最小值 单调递增 因此当取最小值时，. 二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11. 投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”； ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大； ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19． 其中正确的见解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率的概念和随机事件的概念逐一判断. 【详解】①掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是，故①正确； ②“出现1点”是随机事件，故②错误； ③概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故③错误； ④连续掷3次，每次都出现最大点数6时三次出现的点数之和为18， 所以连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19，故④正确． 故选：B． 12. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】m函数值的正负排除D，求出导函数确定函数的单调性，用排除法得正确结论． 【详解】，当时，，，排除D． 则， 单调递减，单调递增，排除BC， 故选：A. 13. 曲线过坐标原点的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由 ，得 . 设切点为 ，则切线斜率 . 切线方程为 . 将原点 代入得 ， 即 ，因为，所以，解得 . 所以切线斜率 ，切线方程为 . 故所求切线方程为 . 14. 我校期中考试要将教室按照六行六列进行布置，但考试当天发生意外，现急需将其中一个考场最后加上一个座位，如表所示.现将甲、乙等37位考生安排在该考场，则甲与乙既不前后相邻，也不左右相邻的概率为（ ） 讲台 前门 1 12 13 24 25 31 2 11 14 23 26 32 3 10 15 22 27 33 4 9 16 21 28 34 5 8 17 20 29 35 6 7 18 19 30 36 37 后门 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算总基本事件数与甲乙相邻的事件数，再用对立事件求解概率. 【详解】总座位数为37个，甲乙两人随机就座的总排列数为 . 甲乙相邻分两类： ①左右相邻：每行有5对左右相邻的座位，共6行，所以有对， 所以甲乙两人在这些座位上左右相邻的坐法有种； ②前后相邻：前5列每列有5对前后相邻的座位，共对， 第6列有6对前后相邻的座位（包括座位36和37）， 所以共有对， 所以甲乙两人在这些座位上前后相邻的坐法有种. 所以甲乙相邻的概率为： 因此，甲乙既不前后相邻也不左右相邻的概率为： . 三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 15. 已知在处的切线与垂直， （1）求实数的值； （2）求在区间上的单调区间. 【答案】（1）2 （2）单调递减区间，单调递增区间. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据两直线垂直的性质即可求得a的值； （2）利用求导，判断函数的单调性即可. 【小问1详解】 由求导得， 则在处的切线的斜率为，因切线与垂直， 故，解得. 【小问2详解】 由（1）可得 ， 因，则当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 16. 为了让青少年德智体美劳全面发展，在常规教学外，我校计划利用拓展课时间增设“经纬华夏”、“戏剧表演”、“中国史传文学选读”、“生成式人工智能创意实践”、“声乐的艺术”、“电影中的心理学”六门体验课程. （1）若体验课程连续开设六周，每周一门，每门课程排一次，第一周不排“戏剧表演”，求所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数. 【答案】（1） （2）360 （3）540 【解析】 【分析】（1）先安排第一周，剩下5周全排列即可； （2）特殊的先排，再用分步乘法； （3）先分组后分配. 【小问1详解】 第一步，先从另外五门课程中选一门排在第一周，有种情况； 第二步，剩下五门全排列，有种情况； 所以共有种； 【小问2详解】 第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. 【小问3详解】 ①将6个科目分成1、1、4三组，然后分给三名教师：种情况； ②将6个科目分成1、2、3三组，然后分给三名教师：种情况； ③将6个科目分成2、2、2三组，然后分给三名教师：种情况； 综上，所有的课程安排共有种情况. 17. 已知函数. （1）当时，求的展开式中所有系数的和； （2）若，且. ①求的最大值. ②利用导数求的值； 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）通过赋值法即可求解； （2）①根据，解不等式组可得结果； ②根据通项公式可求得的值，通过求导可得结果. 【小问1详解】 当时，， 令，得， 故的展开式中所有系数的和为； 【小问2详解】 ①由题意得，，通项为， 当时，， ∵，∴，解得， ∵，∴，故， 所以的通项为， ∴. 设为中的最大值， 则，故，解得， ∵，∴， ∴的最大值为. ②∵， ∴对关于求导得， 令，得. 18. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在（0，1）的曲率； （2）求曲线曲率的最大值； （3）函数，若不存在曲率为0的点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据曲率公式求解即可； （2）根据曲率公式求解函数曲率的最大值； （3）根据不存在曲率为0的点，得到在无实数解，令，通过多次求导，求得函数的最小值,进而得到的取值范围. 【小问1详解】 因为，则，， 所以 【小问2详解】 因为，则，， 所以， 令 则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，所以曲率最大值为. 【小问3详解】 ， ， 因为不存在曲率为0的点，所以在无实数解， 令， ， 令，求导得， 故函数在上单调递增， 而，则存在，使， 即，此时， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 由，得， 则， 所以的取值范围是. 四、附加题 19. 将一个平面边形的每个顶点赋值0或1两个数中的一个，同时染红或蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同，称边形“点亮”. （1）在中，已知赋值0且染红色，求所有“点亮”的方法个数； （2）现对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或蓝色，求四边形“点亮”的概率； （3）求边形的所有“点亮”的方法个数（结果用表示）. 【答案】（1）7种； （2） （3）当为奇数时，有种；当为偶数时，有种. 【解析】 【分析】（1）应用列举法结合新定义解题； （2）结合新定义应用乘法原理及古典概型计算求解； （3）应用新定义结合乘法原理及组合数计算分为奇数时及为偶数时分别计算求解. 【小问1详解】 表示染红色，列举满足条件的“点亮”：，，，，，，，共7种； 【小问2详解】 对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或染蓝色，每个顶点有4种方法， 四边形共有种方法， 其中能“点亮”的有84种，故； 【小问3详解】 对于边形，若相邻两个顶点上所赋值的数字不同，则在它们所在的边上标上； 若颜色不同，则标上；若数字和颜色都相同，则标上. 于是，对于给定的点上的设置（共有4种）， 按照边上的字母可以依次确定点，，…，上的设置. 为了使得最终回到时的设置与初始时相同，标有和的边都是偶数条. 所以，“点亮”的方法数等于在边上标记、、使得标有和的边都是偶数条的方法数的4倍. 设标有的边有（）条，标有的边有（）条. 选取条边标记的有种方法，在余下的边中取出条边标记的有第种方法，其余的边标记. 由乘法原理知共有种标记方法. 对、求和，“点亮”的方法数为.① 这里，约定. 当为奇数时，，此时，.② 代入式①中得. 当为偶数时，若，则式②仍然成立；若，则边形的所有边都标记， 此时，只有一种标记方法. 于是，能“点亮”的方法数为. 综上，“点亮”的方法数是：当为奇数时，有种；当为偶数时，有种. 20. 已知函数f（x）＝，g（x）＝． （1）求f（x）在内的单调性； （2）若存在，使得f（x）－ag（x）≥0，求实数a的取值范围； （3）已知，方程f（x）＝g（x）在内的根从小到大依次为，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）在单调递增，在单调递减 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）先对求导，再分析导函数在内的符号，根据导数与单调性的关系得出结论； （2）先将不等式变形为关于的不等式，再分析在该区间的符号，构造新函数，通过求导判断新函数在区间内的最值，进而确定的取值范围； （3）构造函数，分析的周期性相关性质，再结合的区间特点，通过比较与的大小，利用函数单调性得出结论. 【小问1详解】 对求导得：， 恒成立，令，得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 题目等价于：存在，使得成立，即， 设， 求导化简得：， 因此在上单调递减，最大值为：， 故的取值范围为； 【小问3详解】 对任意，令， 代入方程得：， 记， 求导得在恒成立， 故单调递减，且， 因此方程在每个内有且只有一个根，该根可表示为，其中， 对任意，有， 又单调递减，， 因此：，即是递增数列， ， 由得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市实验学校2025-2026学年度第二学期高二数学学科期中考试试卷 （考试时间，90分钟） 一、填空题（本大题满分40分，共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分） 1. 函数在区间上的平均变化率等于______． 2. 在的展开式中，含项的系数为__________（用数字作答） 3. 等6人在某博物馆前排成一列进入馆内参观，其中相邻，则不同的排队方法有__________种.（用数字作答） 4. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则______． 5. 某校开设5门知识类选修课和4门技能类选修课.学生需从中选修3门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有______种.（用数字作答） 6. 盒子里装有大小与质地相同的红球与白球，从中任取个球.设事件表示“个球中有个红球、个白球”，事件表示“个球中有个红球、个白球”.已知，.则“个球中既有红球又有白球”的概率是__________. 7. 函数的极小值为______． 8. 函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为__________. 9. 已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为______. 10. 如图，在上海某公园中有一块边长为2百米的菱形空地，其中．现计划在该空地种植一片观景区：①地块是以为圆心，1百米为半径的扇形地块，在扇形地块内种植郁金香；②地块内种植樱花；③地块内规划建造人工湖；④计划建设观光走道，其中点为上任意一点，；⑤各地块前的空隙以及走道的宽度忽略不计.当观光走道与的长度之和最小时，__________． 二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11. 投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”； ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大； ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19． 其中正确的见解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 13. 曲线过坐标原点的切线方程为（ ） A. B. C. D. 14. 我校期中考试要将教室按照六行六列进行布置，但考试当天发生意外，现急需将其中一个考场最后加上一个座位，如表所示.现将甲、乙等37位考生安排在该考场，则甲与乙既不前后相邻，也不左右相邻的概率为（ ） 讲台 前门 1 12 13 24 25 31 2 11 14 23 26 32 3 10 15 22 27 33 4 9 16 21 28 34 5 8 17 20 29 35 6 7 18 19 30 36 37 后门 A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 15. 已知在处的切线与垂直， （1）求实数的值； （2）求在区间上的单调区间. 16. 为了让青少年德智体美劳全面发展，在常规教学外，我校计划利用拓展课时间增设“经纬华夏”、“戏剧表演”、“中国史传文学选读”、“生成式人工智能创意实践”、“声乐的艺术”、“电影中的心理学”六门体验课程. （1）若体验课程连续开设六周，每周一门，每门课程排一次，第一周不排“戏剧表演”，求所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数. 17. 已知函数. （1）当时，求的展开式中所有系数的和； （2）若，且. ①求的最大值. ②利用导数求的值； 18. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在（0，1）的曲率； （2）求曲线曲率的最大值； （3）函数，若不存在曲率为0的点，求实数的取值范围. 四、附加题 19. 将一个平面边形的每个顶点赋值0或1两个数中的一个，同时染红或蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同，称边形“点亮”. （1）在中，已知赋值0且染红色，求所有“点亮”的方法个数； （2）现对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或蓝色，求四边形“点亮”的概率； （3）求边形的所有“点亮”的方法个数（结果用表示）. 20. 已知函数f（x）＝，g（x）＝． （1）求f（x）在内的单调性； （2）若存在，使得f（x）－ag（x）≥0，求实数a的取值范围； （3）已知，方程f（x）＝g（x）在内的根从小到大依次为，试比较与的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $