圆锥曲线：重心相关的证明与计算问题、内心相关的证明与计算问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

圆锥曲线：重心相关的证明与计算问题、内心相关的证明与计算问题专项训练 圆锥曲线：重心相关的证明与计算问题、内心相关的证明与计算问题专项训练 考点目录 重心相关的证明与计算问题 内心相关的证明与计算问题 考点一 重心相关的证明与计算问题 例1．（2026·四川遂宁·三模）已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． (1)求抛物线C的方程； (2)，为上两点，的重心在直线上． （i）证明：直线的斜率为定值； （ii）设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】第（1）问利用抛物线定义，先由已知点到焦点的距离求出参数，从而写出抛物线方程. 第（2）问先设弦端点坐标，借助重心条件求出两点纵坐标和为定值，从而证明直线的斜率为定值；再由定斜率设出直线方程，与抛物线联立并结合韦达定理求出中点坐标，证明相关辅助直线恒过定点，最后由垂足所成直角推出轨迹为定圆. 【详解】（1）抛物线的准线方程为． 根据抛物线定义，，所以． 因此抛物线的方程为． （2）（i）设，，易知； 则的重心为， 由题意知，，则． 所以直线的斜率，为定值．. （ii）因为直线的斜率不为零， 所以设直线的方程为．设，． 联立，整理得．所以.. 设为的中点， 则，， 即． 直线与轴交于点，，则中点． 由于，所以．所以． 直线的斜率， 直线的方程，整理得. 令，代入方程，解得， 因此，直线经过定点． 因为，于，所以在以为直径的圆上， 圆心为，半径为，所以圆的方程为； 因此在以为直径的定圆上． 例2．（2026·广东茂名·二模）已知，M是抛物线与的公共点，O为坐标原点，． (1)求p的值； (2)（在最左侧）是上不同于M的三点，直线与相切，切点分别为，点为的重心． （ⅰ）证明：在轴上，且； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）8 【分析】（1）设，根据题意，联立方程组，求得，结合，即可求得的值； （2）（ⅰ）设，求得直线方程，与的方程组，求得，同理可得，进而得到，，求得，结合函数的性质，即可得证； （ⅱ）由（ⅰ）得到和，求得和，化简，列出方程，求得，结合，得到，得出，设点到直线的距离为，结合重心的性质，求得点到直线的距离，即可求解. 【详解】（1）设，其中，， 因为M是抛物线：与：的公共点， 可得，解得，则， 又因为，所以， 则，可得， 因为，可得； （2）（ⅰ）证明：由（1）知，， 设，，， 因为， 所以直线方程为， 联立直线与的方程，消去x得，，① 因为直线与相切，所以由，可得， 同理，所以，为关于x的方程的两根， 故，，即，，② 设的重心，则，所以G点在y轴上， 而， 因为点P在最左侧，由②知：，且，否则， 则，，从而，矛盾； 设，，则在区间上单调递减， 故，则． （ⅱ）由，即的面积是的面积的4倍， 由①②知，，同理， 则， ， 所以 ， 所以，得，解得， 而直线AB斜率为， 直线DE斜率为 ， 因此，所以，于是，即AB为的中位线， 设点到直线的距离为，则由为的重心及中位线的性质， 可知点到直线的距离为，且点到直线的距离为, 因此与的面积之比为． 例3．（2026·黑龙江吉林·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)设，，均为椭圆上的动点． （ⅰ）若直线、直线分别过的左右焦点，记直线、、的斜率分别为，，，当，，成等差数列时，求点的坐标； （ⅱ）若的重心是坐标原点，证明：的面积是定值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析； 【分析】（1）根据椭圆的离心率、短轴长、的关系列方程组求解的值，可得椭圆的方程； （2）（ⅰ）设，则根据斜率关系可得，设，，，，其中，，联立直线与椭圆确定交点坐标关系，再由，，成等差数列，得，结合斜率的坐标运算列方程即可得的值，从而得所求；（ⅱ）若的重心是坐标原点，讨论直线的斜率不存在与存在两种情况，当直线的斜率存在时结合点差法得，从而得直线的方程，联立直线与椭圆，利用的面积公式得，结合三角形重心性质即可证得结论. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 所以椭圆方程为； （2）（ⅰ）设，则，， 所以， 设，，，，其中，， 由，消去，得， 则 从而， 同理，可得，， 则， 由，，成等差数列，得，即， 解得，，或（舍），（舍）， 所以点的坐标为． （ⅱ）证明：设，，， 当直线的斜率不存在时，易得，直线的方程为，或，直线的方程为， 将代入椭圆的方程，可得， 所以的面积， 当直线的斜率存在时，有的中点，则， 因为，在椭圆上，则，相减得， 整理得，所以可得， 所以直线的方程为， 即， 令，可得直线在轴上的截距为，则， 将代入椭圆的方程，得， 即，则，， 所以， 所以， 又因为是的重心，所以， 综上，的面积是定值． 例4．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知P，Q两点分别在x轴，y轴上运动，，点M满足，记M的轨迹为 (1)求E的方程； (2)设A是E上一动点，过A作两条直线，分别交E于B，C两点，若A的横坐标为1，的重心恰为原点O，求直线BC的方程； 【答案】(1) (2)或 【分析】通过得到，假设，再根据联立方程求解； 假设和，通过的重心恰为原点O得到，，利用点差法求解直线斜率，进而求直线方程即可. 【详解】（1）设，，因为，所以， 设动点，则，， 因为，所以， 所以，， 所以动点M的轨迹E的方程为. （2）如图示，因为A在曲线上，当时，， 所以或， 当时，设和， 因为的重心为原点O， 所以， 即，， 因为， 两式相减得，， 所以， 即直线的斜率为， 因为的中点为， 所以直线BC的方程为， 同理，可得，BC的中点为 所以直线的方程为， 故直线的方程为或.    变式1．（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知椭圆的短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，点P、Q分别是和的中点，、分别是和的重心． (1)若，求椭圆C的方程； (2)在（1）的条件下，过点并垂直于x轴的直线交椭圆C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足成等差数列，求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围； (3)若总成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知可知，将代入椭圆方程，即可求解； （2）设,，,，中点,，利用弦长公式，分别求出，，再利用点差法整体代入，根据点在椭圆内部，即可求解； （3）根据重心性质及面积公式得，再结合，构造不等式组求得，根据函数单调性可得的范围，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求解即可． 【详解】（1）椭圆 短轴长为2，则有，故椭圆， 将代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆C的方程为； （2）由题可得，进而可得，. 设中点，由弦长公式 ， ，， 同理，代入可得， 当AD斜率存在时两式作差可得， ，∴ 弦AD的中垂线方程为， 当时，纵截距，即AD的中垂线的纵截距. 在椭圆内，，得，且. 当AD斜率不存在时，AD的中垂线为轴，在轴上的截距为． 综上所述，即弦AD的中垂线的纵截距的取值范围为. （3）点分别为的重心，设， 设点， 则根据重心性质及面积公式得，， 而， ∴， , ，即， 则，令， 任取，有， 时，，，， ，即； 时，，，， ，即； 则在上单调递增，在上单调递减， ，， 可得，即， 设直线，则联立椭圆方程得， 消元化简得，， ， ， 对任意的恒成立， 即，故实数的取值范围为. 变式2．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知椭圆（）的焦距是，点在上. (1)求椭圆的离心率； (2)若直线交椭圆于两点，且坐标原点是△的重心，求△外接圆的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的焦距与椭圆上一点集合椭圆的定义求解椭圆方程即可得椭圆离心率； （2） 设点，，的中点为，结合点差法确定直线的方程，从而与椭圆相交得坐标，结合正弦定理求解外接圆半径或者利用集合性质求解圆心或者利用圆的方程用待定系数法求解外接圆，从而得所求. 【详解】（1）方法1：因为，所以， 因为，所以，将点代入方程， 得，解得或， 因为，所以，所以，， 所以椭圆的离心率为. 方法2：因为，所以，所以焦点坐标和， 因为点在上，由椭圆定义可得 ，即. 所以椭圆的离心率为. （2）因为，所以椭圆的方程为， 设点，，的中点为， 因为是的重心，所以， 所以点的坐标为， 又因为，， 两式相减，可得， 设直线的斜率为，所以，得， 所以直线的方程为，即， 将代入， 得，，， 将其代入，可解得两点坐标，不妨设，； 方法1：因为轴，且， 所以，， 设外接圆的半径为， 由正弦定理可得，所以. 所以外接圆的面积为. 方法2：设的中点为， 又因为直线的斜率等于， 所以线段的垂直平分线方程为， 即， 又因为线段的垂直平分线方程为， 由可解得， 所以外接圆圆心坐标为， 设外接圆的半径为， 则， 所以外接圆的面积为. 方法3：设外接圆的方程为， 则，解得， 所以外接圆的方程为， 即， 所以外接圆的面积为. 变式3．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知椭圆：的右焦点为，短轴长为.    (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的右顶点，过点的直线与交于、两点（均异于），直线、分别交直线于、两点，证明：、两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值； (3)记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点的直线与交于、两点，点在上，并使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在的右侧，设、的面积分别为、，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意求出，即得椭圆方程； （2）先考虑直线的斜率不存在时，求出点的坐标，进而写出的方程，令，即可求得点的坐标即得定值；再设直线：，与椭圆方程联立，写出韦达定理，同法求出点的坐标，化简计算即得定值； （3）依题先求出抛物线的方程，记点，直线的方程为，与抛物线方程联立，求出，再由的重心在轴上，求得和，由直线的方程求得，列出的表达式，利用基本不等式即可求得其范围. 【详解】（1）依题意，得，则， 故椭圆的方程为. （2）    由椭圆的方程可知. 若直线的斜率不存在，则直线，易得，， 直线的方程为， 的方程为 令，易得，，此时、两点的纵坐标之积为. 若直线的斜率存在，则可设直线：， 由消去可得. 设，，则，， ∵直线的方程为令，易得点的纵坐标. 同理，点的纵坐标. 所以 . 综上，、两点的纵坐标之积为定值. （3）由题意，抛物线的方程形如，为其焦点，故， 则抛物线的方程为，设 设，记点， 则直线的斜率为，可设其方程可为， 由消去可得 由韦达定理，，∴，则. ∵的重心在轴上，∴，即， 解得，从而，则得， 由则得. 进一步可得直线的斜率为， 则其方程为：，令，可得， 又在焦点的右侧，∴，即. 因此 当（注意到），即时，取等号， 即有，当时， 故的取值范围为. 变式4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·月考）如图， 是抛物线 上一点，过点 的直线 与 轴分别交于 两点，且 是线段 的中点．    (1)证明：直线 是抛物线 的切线； (2)若点 是抛物线 上异于点 的动点， ， 分别在线段 ， 上，且 ， 交 于点 ． ①证明： 点 是 的重心； ②若直线 过点 ，求 的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）设点的坐标，根据中点坐标公式得点的坐标，进而得直线的方程，与抛物线的方程联立，消元后得一元二次方程，计算得，即证明直线是抛物线的切线； （2）①由三点共线，设，再结合，可得，由是线段的中点，得，进而得，即可证明是的重心； ②设直线的方程，与抛物线方程联立，可得，进而可得点的坐标，根据两点间的距离公式可得的表达式，构造函数，利用导函数求的最小值，即可得的最小值. 【详解】（1）设，因为是线段的中点，所以. 则，所以直线的方程为，即. 联立，整理得，所以， 因此，直线是抛物线的切线. （2）①因为三点共线，所以. 又因为，设，则， 所以， 所以， 因为是线段的中点，所以，即， 所以，所以是的重心. ②设直线，. 联立，整理得，所以，则， 由，，，得， 所以 令， 则， 因此，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，取最小值，最小值为， 所以当时，取最小值. 考点二 内心相关的证明与计算问题 例1．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，过点且与直线垂直的直线和线段的垂直平分线相交于点，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线与曲线交于异于坐标原点的两点，若的外心在直线上， （i）求证：直线过定点： （ii）设是的内心，若直线与轴交于点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据抛物线的定义求得抛物线方程； （2）（i）根据直线与曲线交于异于坐标原点的两点，结合的外心在直线上，证明直线过定点： （ii）设直线与交于，结合角平分线定理和两直线联立计算得到结果； 【详解】（1）连接，由垂直平分线性质知， 由抛物线的定义知，动点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 设其方程为，所以，即，所以轨迹的方程为；    （2）（i）由题知，直线斜率存在，设的方程为， 设，联立，得， 所以，， 所以 因为的外心在直线上，所以， 所以，，所以， 解得或0（不合题意，舍去）， 所以，直线过定点； （ii）设直线与交于，因为是的内心，所以MI平分， 由角平分线定理知，， 因为，所以直线MI的方程为， 联立，得， 不妨设，则， 因为为焦点，所以由焦半径公式知，， 所以，， 所以，， 由（i）有，所以， 所以，， 解得（不合题意，舍去）．    例2．（25-26高三上·河南新乡·月考）已知双曲线过点，且离心率． (1)求双曲线C的方程； (2)设，分别为双曲线C的左、右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），M，N分别为，的内心． ①证明：M，E，N三点共线； ②设直线AB的倾斜角为，用表示，并求出的取值范围． 【答案】(1) (2)① 证明见解析；②， 【分析】（1）将点坐标代入C中，可得，根据离心率，可得，根据a，b，c的关系，联立求解，即可得答案. （2）①设的内切圆与，，分别切于，，，根据内心的性质及双曲线的定义，化简可得，，由题意可得，，所以与重合，所以的横坐标为，同理可证的横坐标也为，即可得证；②设直线的倾斜角为，则，，代入可得的表达式，根据题意，可得的范围，代入求解，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）由双曲线过点，得， 又因为离心率，所以，结合，解得，， 所以方程为． （2）①证明：如图，设的内切圆与，，分别切于，，， 所以，，， 所以， 又，所以，， 又，，所以与重合，所以的横坐标为， 同理可得的横坐标也为，所以，，三点共线. ②设直线的倾斜角为，则，， 则 ， 当时，， 当时，由题知，，，，则， 所以渐近线的斜率为，则渐近线的倾斜角为和， 因为，两点在双曲线的右支上，所以，且， 所以或，所以，且， 则， 综上所述，． 例3．（25-26高三上·湖北·月考）在抛物线中，过点的直线交抛物线于两点．当直线的斜率为1时，． (1)求抛物线的标准方程； (2)设抛物线的焦点为，直线上有一动点，其横坐标为． （i）若且直线经过的内心，求直线的方程； （ii）对任意满足题设条件的直线，是否存在动点，使得直线经过的内心且同时与相切？若存在，则加以证明．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）存在，证明见解析 【分析】（1）根据直线与抛物线相交的弦长的值，再结合根与系数关系可得抛物线方程； （2）（i）将直线经过的内心这一条件转化为，再用坐标表示并结合根与系数关系可得直线方程；（ii）先根据直线经过的内心可得，再用导数求分别过A，B两点的切线方程，进而求切线的交点，可得，所以重合，故存在所求点. 【详解】（1）由题可知直线的斜率存在，设 （1）当直线的斜率为1时，，如图： 联立，消去得，， . 所以 化简得，所以或（舍） 所以求抛物线的标准方程为. （2）（i）由（1）的方程知，，所以，如图： 因为直线经过的内心，所以，即， ，，即. 又代入上式得，，，得， 而，所以，即直线的方程为． （ii）假设存在满足经过的内心，则，而 所以，，又代入上式得， ，，而，所以，所以． 联立，所以 抛物线的标准方程为，所以，点处的切线为， 而，代入得，即. 故，同理点处的切线为 设与交点为，由，，解得， 即，． 所以重合，即存在满足条件的对任意直线都成立． 例4．（25-26高三上·河北石家庄·月考）在平面直角坐标系中，设双曲线的左、右焦点分别为，，一条过的直线交双曲线的右支于P，Q两点，M为线段的中点. (1)若M在直线上，求. (2)设是的内心，求证：O，I，M共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）联立直线和双曲线方程，利用韦达定理以及中点坐标公式得出，进而由弦长公式得出； （2）由韦达定理得出，由内心的性质结合定义、弦长公式得出，进而得出点的坐标，利用斜率相等证明O，I，M共线. 【详解】（1）由题意知直线斜率不为，， 设，直线的方程为， 由，得. 则，解得. 由韦达定理得， ，解得. 经检验，当时，直线交双曲线于右支两点 此时. （2）设，直线的倾斜角为， ，则. 因为内心I是角平分线交点，， 所以由切线长定理可知，的内切圆切边于点. 设内心，内切圆半径为， 的面积. 即，则. 整理得， ， 所以，即三点共线.    变式1．（25-26高三上·陕西汉中·月考）已知椭圆C：（）过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意建立关于，的方程组，再求解即可得到椭圆C的标准方程； （2）设，，联立直线和椭圆C的标准方程，得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理证明，进而即可得出结论． 【详解】（1）依题意有，解得， 所以椭圆C的标准方程为． （2）设，， 联立，消整理得， 则，解得， 可得，， 所以， 所以， 所以， 又， 所以恒成立，则的平分线总垂直于x轴， 所以的内心在定直线上．    变式2．（25-26高三上·福建福州·月考）已知为坐标原点，双曲线的离心率为． (1)求的渐近线方程； (2)若的实轴长为2，，分别是双曲线的左、右焦点，为右顶点，过的直线与的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为与的内心． （ⅰ）证明：点三点共线； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据离心率求出，即可求出渐近线； （2）（ⅰ）先求出双曲线的方程，设的内切圆与，，分别切于点，根据双曲线的定义及切线长定理可求得，进而可求出点的坐标，进而可得出结论； （ⅱ）设直线的倾斜角为，因为直线与双曲线右支交于两点，则，连接，，则，，求出的表达式，进而可得出答案. 【详解】（1）双曲线的离心率，即， 所以的渐近线方程为； （2）（ⅰ）由的实轴长为2，可得的方程为， 设的内切圆与，，分别切于点，如图， 所以，，， 则， 设点，则，即， 所以点与点重合，同理的内切圆与的切点也与点重合， 因此点三点共线； （ⅱ）设直线的倾斜角为，因为直线与双曲线右支交于两点，则， 如图，连接，，则，， 则 ， 当时，； 当时，， 因为且， 则或，则， 因此． 综上，． 变式3．（25-26高三上·山东东营·月考）已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点． (1)求的取值范围； (2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的内心恒在一条定直线上，该直线为 【分析】（1）联立方程，根据题意结合韦达定理列式求解； （2）根据（1）中的韦达定理证明，即可得结果. 【详解】（1）设， 联立方程，消去y得：， 由题意可得，解得， 故的取值范围为. （2）内心恒在一条定直线上，该直线为， ∵，即点在椭圆上， 若直线过点，则，解得， 即直线不过点，故直线的斜率存在， 由（1）可得：， 设直线的斜率分别为，则， ∵ ， 即，则的角平分线为， 故的内心恒在直线上. 变式4．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知双曲线与直线有唯一的公共点． (1)点在直线l上，求直线l的方程； (2)设点分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为的内心． ①点M的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由． ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①是定值为1；② 【分析】（1）代入根据判别式等于0即可； （2）①根据双曲线定义即可得到定值；②设，再通过化简得到斜率之和表达式，再求出范围即可. 【详解】（1）联立方程得； 得：， ； ；又， ，即. （2）①P为的内切圆与x轴的切点，由定义知： ， 与E重合，， 同理：. ②设， ． 下求的范围, 当直线AB斜率不存在时，满足题意， 当直线AB斜率存在时，设为， 即代入（1）中求的， ， 或，， 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：重心相关的证明与计算问题、内心相关的证明与计算问题专项训练 圆锥曲线：重心相关的证明与计算问题、内心相关的证明与计算问题专项训练 考点目录 重心相关的证明与计算问题 内心相关的证明与计算问题 考点一 重心相关的证明与计算问题 例1．（2026·四川遂宁·三模）已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． (1)求抛物线C的方程； (2)，为上两点，的重心在直线上． （i）证明：直线的斜率为定值； （ii）设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动． 例2．（2026·广东茂名·二模）已知，M是抛物线与的公共点，O为坐标原点，． (1)求p的值； (2)（在最左侧）是上不同于M的三点，直线与相切，切点分别为，点为的重心． （ⅰ）证明：在轴上，且； （ⅱ）若，求的值． 例3．（2026·黑龙江吉林·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)设，，均为椭圆上的动点． （ⅰ）若直线、直线分别过的左右焦点，记直线、、的斜率分别为，，，当，，成等差数列时，求点的坐标； （ⅱ）若的重心是坐标原点，证明：的面积是定值． 例4．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知P，Q两点分别在x轴，y轴上运动，，点M满足，记M的轨迹为 (1)求E的方程； (2)设A是E上一动点，过A作两条直线，分别交E于B，C两点，若A的横坐标为1，的重心恰为原点O，求直线BC的方程； 变式1．（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知椭圆的短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，点P、Q分别是和的中点，、分别是和的重心． (1)若，求椭圆C的方程； (2)在（1）的条件下，过点并垂直于x轴的直线交椭圆C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足成等差数列，求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围； (3)若总成立，求实数a的取值范围． 变式2．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知椭圆（）的焦距是，点在上. (1)求椭圆的离心率； (2)若直线交椭圆于两点，且坐标原点是△的重心，求△外接圆的面积. 变式3．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知椭圆：的右焦点为，短轴长为.    (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的右顶点，过点的直线与交于、两点（均异于），直线、分别交直线于、两点，证明：、两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值； (3)记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点的直线与交于、两点，点在上，并使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在的右侧，设、的面积分别为、，求的取值范围. 变式4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·月考）如图， 是抛物线 上一点，过点 的直线 与 轴分别交于 两点，且 是线段 的中点．    (1)证明：直线 是抛物线 的切线； (2)若点 是抛物线 上异于点 的动点， ， 分别在线段 ， 上，且 ， 交 于点 ． ①证明： 点 是 的重心； ②若直线 过点 ，求 的最小值． 考点二 内心相关的证明与计算问题 例1．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，过点且与直线垂直的直线和线段的垂直平分线相交于点，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线与曲线交于异于坐标原点的两点，若的外心在直线上， （i）求证：直线过定点： （ii）设是的内心，若直线与轴交于点，求直线的斜率. 例2．（25-26高三上·河南新乡·月考）已知双曲线过点，且离心率． (1)求双曲线C的方程； (2)设，分别为双曲线C的左、右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），M，N分别为，的内心． ①证明：M，E，N三点共线； ②设直线AB的倾斜角为，用表示，并求出的取值范围． 例3．（25-26高三上·湖北·月考）在抛物线中，过点的直线交抛物线于两点．当直线的斜率为1时，． (1)求抛物线的标准方程； (2)设抛物线的焦点为，直线上有一动点，其横坐标为． （i）若且直线经过的内心，求直线的方程； （ii）对任意满足题设条件的直线，是否存在动点，使得直线经过的内心且同时与相切？若存在，则加以证明．若不存在，请说明理由． 例4．（25-26高三上·河北石家庄·月考）在平面直角坐标系中，设双曲线的左、右焦点分别为，，一条过的直线交双曲线的右支于P，Q两点，M为线段的中点. (1)若M在直线上，求. (2)设是的内心，求证：O，I，M共线. 变式1．（25-26高三上·陕西汉中·月考）已知椭圆C：（）过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上． 变式2．（25-26高三上·福建福州·月考）已知为坐标原点，双曲线的离心率为． (1)求的渐近线方程； (2)若的实轴长为2，，分别是双曲线的左、右焦点，为右顶点，过的直线与的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为与的内心． （ⅰ）证明：点三点共线； （ⅱ）求的取值范围． 变式3．（25-26高三上·山东东营·月考）已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点． (1)求的取值范围； (2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 变式4．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知双曲线与直线有唯一的公共点． (1)点在直线l上，求直线l的方程； (2)设点分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为的内心． ①点M的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由． ②求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $