解三角形：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

解三角形：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 解三角形：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 考点目录 爪型三角形中的解三角形问题 四边形中的解三角形问题 考点一 爪型三角形中的解三角形问题 例1.(25-26高三上·浙江温州·月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 (c-2a)cosB=b(2cos4-3sinc) B (1)求B; ②若D是边4C上靠近A的三等分点，a=2,BD=25,求ABC的面积： 3 ③)若BD是∠ABC的角平分线，a=2,BD=2W5,求b的长 3 例2.(25-26高三下·江苏扬州开学考试)已知ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 3c tan A+tan B acos B (1)求角A的大小： (2)若边b=1,c=2,边BC上存在一点D,满足BD=2DC,求AD的长 解三角形：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 2526高三上江西商月)图，在ABC中，cos乙ABC6,BC=4,点D在4C上，2 3 ，BD=2. B A- (1)求CD2; (2)求AB 例4.(24-25高三上湖南长沙·月考)己知ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b-√3c=2 acosC. (1)求A: (2)若ABC的面积为43，sinB=1+cosC,点D为边BC上靠近B的四等分点，求AD的长 解三角形：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 变式1.(23-24高一下·湖南长沙期中)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 asin C=√3c, (1)求角A的大小： (②若a=2,D为BC的中点，ABC的面积为35，求4D的长. 8 变式2.(24-25高三上湖北武汉·开学考试)已知ABC的三个内角A,B,C满足(1-tanA)(1-tanB)=2 (1)求角C: (2)若BC边上的高等于号BC,求cosA. 解三角形：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 变式3.(25-26高三上浙江绍兴月考)在ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,C,且AC=2AB,D为 BC边上的动点 (I)若D为BC的中点，AD=√5，√5sinA+cosA=2,求边BC; (2)若AD平分∠BAC,BC=3,AD=AB,求ABC的面积 变式4.(25-26高三上·重庆荣昌月考)在ABC,AC=2AB,AE为BC边上的中线，点E在BC边上，设 AE =tAB. Q)当∠BAC=2严时，求的值： 3 (2)若AD为∠BAC的角平分线，且点D在BC边上，求 DE 的值： BC (3)在(2)的条件下，若S。DE=1,求BC最小值？ 解三角形：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 考点二 四边形中的解三角形问题 例1.(2026山东济南模拟预测)如图，己知平面四边形ABCD中，AB=BC=2√2，CD=2,AD=4. B D (1)若A,B,C,D四点共圆，求AC; (②)求四边形ABCD面积的最大值， 例2.(25-26高三上·重庆月考)平面四边形ABCD中，AB=1,AD=2,∠ABC+LADC=元，∠BCD=T 3 (1)求BD: (2)求四边形ABCD周长的取值范围； (3)若E为边BD上一点，且满足CE=BE，SARCE=2 SACDE,求△BCD的面积. 5 解三角形：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 3.2026山东德州·二模)在凸四边形ABCD中，已知AB=V5,BC=4,CD=5,an∠BC三-)，cos/ 5 (I)求tanZACB的值； (2)求cos∠CDA的值， 例4.(25-26高三上江苏宿迁·月考)在平面凸四边形ABCD中，AB=10,CD=6. (1)若BC=5,AD=3,A+C=π. ①求BD的长； ②求四边形ABCD的面积； ②若AB⊥BC,DC1BC,∠ADB-年求BC的长. 6 解三角形：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 变式1.(2026河北沧州一模)如图，四边形ABCD中，已知AC,BD交于点O, 40=OC=2BD=2.Z40B= 4 D B ()若Q=?,求4D-|BC的值； (2②)证明：当∠OAB=工时，D位于ABC外接圆的内部. 6 变式2.(2026·福建福州模拟预测)在四边形ABCD中，BC=1,AC=CD,AC平分 LBCD.B+ACi-BC=2AC-BC AC (I)求∠ACB; ②当BD取最大值时，求4C. AB 解三角形：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 变式3.(2026·湖南岳阳模拟预测)如图，在平面四边形ABCD中，已知AC,BD交于O,A0=OC=√2， BD=2,∠AOB= F4,且D0>B0,令LCD0=a,LBA0=B. 2 A B (I)判断：AB=CD是否成立？请说明理由； (2)求cosa-B的值； ③)证明：当B=工时，D位于ABC外接圆的内部. 6 变式4.(2026·云南昭通模拟预测)如图，已知在平面四边形ABCD中，AB=4,CD=6,AD=BC=2. D A B (1)设∠BAD=a,∠BCD=B,若a=120°，求B; (2)是否存在BD,使得BD平分∠ABC,若存在，求BD的长；若不存在，说明理由解三角形：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 解三角形：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 考点目录 爪型三角形中的解三角形问题 四边形中的解三角形问题 考点一 爪型三角形中的解三角形问题 例1．（25-26高三上·浙江温州·月考）在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若是的角平分线，，，求的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得； （2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可； （3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； （2）解：因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； （3）解：已知平分，且，故， 由 得； 将 ，代入得 ，解得 ∵ ∴ 例2．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边，，边上存在一点，满足，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式，同角关系式求解. （2）法一：由得到，两边平方求出；法二：由余弦定理得到，从而得到.利用正弦定理得到， 由利用三角形面积公式求出. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以，所以. （2）法一： 在边上，且，所以. ， ，， ， 所以， 法二： 由余弦定理得，所以，所以. 因为，所以， 所以，在直角三角形中，. 在和中，分别由正弦定理得： ， 因为，，，所以， 又因为均为三角形的内角，所以， 因为，所以. 由， 得， 即， ，，，， ， . 例3．（25-26高三上·江西南昌·月考）如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和差余弦公式可求得，根据余弦定理可求得结果； （2）利用两角和差正弦公式可求得，采用面积桥，结合三角形面积公式可构造方程求得结果. 【详解】（1），，， ， . （2）由（1）得：； ，， 即，解得：. 例4．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若的面积为，，点D为边上靠近B的四等分点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合余弦定理角化边得，接着由余弦定理即可得解. （2）先由和求出角，接着由正弦定理形式的面积公式求出，再由余弦定理 即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理可得，整理得.     所以由余弦定理可得， 又，所以. （2）因为，， 所以， 即，         又，故，则， 所以，所以.       所以，所以，   所以在中，，，由余弦定理可得 ，即. 变式1．（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，D为BC的中点，的面积为，求AD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解， （2）根据面积公式可得值，结合（1）的结论可得，进而根据向量的模长即可求解． 【详解】（1）由正弦定理可得, 由于，所以，故， 因为，所以． （2）因为，，的面积为， 所以， 由（1）知，可得， 因为， 所以， 解得，可得的长为． 变式2．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知的三个内角满足. (1)求角； (2)若边上的高等于，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将转化可得，然后由两角和的正切公式求出，即可求出角； （2）设BC边上的高，则，，令，然后利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由，得， 即，所以， 因为为的三个内角，所以，所以. （2）设BC边上的高，在中，，则， 又因为，则， 令，易得：， 所以. 变式3．（25-26高三上·浙江绍兴·月考）在中，角，，所对边分别为，，，且，为边上的动点. (1)若为的中点，，，求边； (2)若平分，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式求得角，结合平面向量加法法则得，再由余弦定理求解； （2）设，由根据题意，利用余弦定理求解的值，从而得解. 【详解】（1），， 为的中点，则， 平方得：， 又，， 由余弦定理得：，； （2）设， 若平分，，易得， 又，得，， 平分，， 即 在中，， 变式4．（25-26高三上·重庆荣昌·月考）在，为边上的中线，点在边上，设． (1)当时，求的值； (2)若为的角平分线，且点在边上，求的值； (3)在(2)的条件下，若，求最小值？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，平方后整理即可. （2）由角平分线性质可得，结合为的中点求解即可. （3）由余弦定理及三角形面积公式可得，结合三角恒等变换及基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意可得：， 所以，即， 所以. （2） 由角平分线性质定理可得，， 又因为为的中点， 故，所以. （3） 由题（2）可知，由可得，设， ，则（※）， 由余弦定理可得：， 代入（※）式，得：， 令， 则， 当且仅当时，即时，长度最小，此时. 考点二 四边形中的解三角形问题 例1．（2026·山东济南·模拟预测）如图，已知平面四边形中，. (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）在、中分别利用余弦定理表示出，再由四点共圆得到，即可求出；； （2）由（1）可得，再由面积公式得到，将两式平方再相加得到，结合余弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）在中，由余弦定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为四点共圆，所以，因此， 上述两式相加得：，所以（负值已舍去）. （2）由（1）得：， 化简得， 则①， 四边形的面积 ， 整理得， 则② ①②相加得：， 即， 由于， 所以当且仅当时，取得最小值， 此时四边形的面积最大，由，解得， 故四边形面积的最大值为. 例2．（25-26高三上·重庆·月考）平面四边形中，，，，． (1)求； (2)求四边形周长的取值范围； (3)若为边上一点，且满足，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出，再由余弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可求出的范围，即可求出四边形周长的取值范围； （3）依题意可得，即可求出、、，再由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为，，所以， 在中由余弦定理 ； （2）在中， 即， 所以，所以，当且仅当时取等号， 又， 则，即，所以， 所以， 即四边形周长的取值范围为； （3）因为，所以，又， 所以，，又，所以， 在中由余弦定理， 即 在中由余弦定理， 即， 又，所以， 所以， 又，所以， 即，所以， 所以，所以， 所以. . 例3．（2026·山东德州·二模）在凸四边形中，已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）过分别作直线的垂线，垂足分别为，结合解直角三角形可求的值； （2）利用勾股定理求出的长，再由余弦定理可求的值. 【详解】（1） 过分别作直线的垂线，垂足分别为，易知， 因为，所以，所以， 在直角中，. （2）在直角中，由勾股定理知. 在直角中，因为， 所以. 于是有， 在中，由余弦定理可知. 所以的值为. 例4．（25-26高三上·江苏宿迁·月考）在平面凸四边形中，． (1)若． ①求的长； ②求四边形的面积； (2)若，求的长． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】（1）第①小问用两次余弦定理即可，第②小问直接用面积公式即可. （2）设，用表示各边，再对用余弦定理即可. 【详解】（1）①，，即 由余弦定理得， 代入得：， 化简得：，解得. ②设四边形的面积为，， . （2）如下图，过点作垂线交于，设， ， 四边形是矩形，， 对用勾股定理得：， 对用勾股定理得：， 对用余弦定理得：， 即，化简得 两边平方得：， 再化简得：， 解得或4，，或2， 又是锐角三角形，， 即，得，. 变式1．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形中，已知交于点，．    (1)若，求的值； (2)证明：当时，位于外接圆的内部． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出相关线段长度，进而求解； （2）利用正弦定理结合已知条件求出，再利用四点共圆的性质求出，比较的大小判断的位置． 【详解】（1），， 在中，由余弦定理得 ， ， 同理， ， ． （2）在中，由正弦定理得， ， ， 设为射线上一点，且四点共圆，则，   ，解得， ，位于外接圆的内部． 变式2．（2026·福建福州·模拟预测）在四边形中，平分． (1)求； (2)当取最大值时，求． 【答案】(1) (2)=1 【分析】（1）解法一：将原式变形，再利用余弦定理并结合角的范围即可求出； 解法二：将原式变形，并利用正弦定理与余弦定理并结合角的范围化简求解． （2）利用余弦定理将两边的平方用表示出来，再利用均值不等式确定取得最大值时的大小. 【详解】（1）解法一 ：因为， 所以，则， 在中，由余弦定理得 因为，所以． 解法二 ：因为，所以， 在中，由正弦定理和余弦定理得， 所以， 因为，代入上式整理得， 由题意可得， 所以， 因为，所以． （2）由（1）可得，因为平分，所以， 因为，则在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 此时取最大值，即取最大值， 故当取最大值时，． 变式3．（2026·湖南岳阳·模拟预测）如图，在平面四边形中，已知，交于，，，，且，令，． (1)判断：是否成立？请说明理由； (2)求的值； (3)证明：当时，位于外接圆的内部． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据余弦定理计算判断即可； （2）利用正弦定理可得，然后判断即可； （3）根据（2）的条件直接证明即可. 【详解】（1）成立，理由如下； 由题可知：，，设， 所以， 所以 所以 （2）在中，， 在中，， 由（1）可知，，所以， 则或， 当，即时，所以； 当时，所以，则，所以与矛盾， 所以 （3）要证明位于外接圆的内部，即证明 由（2）可知，所以 变式4．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，已知在平面四边形中，． (1)设，若，求； (2)是否存在，使得平分，若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）在中，利用余弦定理，求得，再在中，求得，即可求解； （2）由平分，可得，利用余弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理得， 可得， 在中，因为，可得， 因为，所以． （2）假设存在，因为平分，可得， 由余弦定理，可得，解得， 所以， 但此时，所以假设不成立，不存在BD符合题意. 2 学科网（北京）股份有限公司 $