圆锥曲线：三角形面积问题、四边形面积问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

圆锥曲线：三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 圆锥曲线：三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 考点目录 三角形面积问题 四边形面积问题 考点一 三角形面积问题 例1．（2026·山西太原·二模）已知椭圆的离心率为，点分别为的左､右焦点，过点的直线交于点，且的周长为8. (1)求椭圆的方程； (2)设和的面积分别为，且，求直线的方程. 例2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 例3．（2026·浙江宁波·二模）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，斜率为的直线与椭圆交于两点.当的面积最大时，求直线的方程. 变式1．（25-26高二下·四川成都·月考）已知椭圆的左顶点，上顶点. (1)求椭圆的方程. (2)过点的直线交于，两个不同的点（其中，点在第二象限），直线，分别交轴于，两个不同的点，点，点分别在线段，上. （ⅰ）证明：，的横坐标之和是定值； （ⅱ）已知当直线的斜率为时，的面积为，求此时与的面积之和. 变式2．（2026·重庆·模拟预测）以离心率为的椭圆的顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线交C于两点，为坐标原点，求的面积． 变式3．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知椭圆（）的离心率，且椭圆过点，左､右焦点分别为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 考点二 四边形面积问题 例1．（2026·四川南充·二模）已知椭圆的离心率，. (1)求椭圆的方程； (2)过点作两条斜率存在且不为零的直线，，分别交于，和，，且满足. （ⅰ）证明：直线，的斜率之和为定值； （ⅱ）求四边形面积的最大值. 例2．（2026·重庆·模拟预测）已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条直线交于两点，交于两点，且． ①求证：为定值； ②求四边形面积的最小值． 例3．（25-26高三下·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，设动点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)设点为直线上一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、． ①证明：直线过定点； ②若直线与以点为圆心的圆相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积． 变式1．（2026·四川成都·二模）如图，已知椭圆，点在椭圆上且，，分别经过的左、右焦点，，且，． (1)若，求点的坐标； (2)证明：是定值，并求出的值； (3)求四边形面积最大值． 变式2．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）已知平面上一动圆P与圆相内切（其中圆P的半径小于圆F的半径），且圆P经过点F关于原点的对称点，记圆心P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)记C与x轴的两个交点分别为，（在的右侧），直线l与C相交于点M，N（异于点，），且直线的斜率恰好是直线的斜率的7倍． （i）直线l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； （ii）求四边形的面积S的最大值． 变式3．（25-26高三下·辽宁·月考）已知双曲线：的离心率为2，且经过点. (1)求的方程； (2)若直线：与交于，两点. （i）若直线与轴交于点，与线段交于点，且， 证明：直线过定点； （ii）设为坐标原点，若上存在不同于，的点，使， 求四边形的面积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 圆锥曲线：三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 考点目录 三角形面积问题 四边形面积问题 考点一 三角形面积问题 例1．（2026·山西太原·二模）已知椭圆的离心率为，点分别为的左､右焦点，过点的直线交于点，且的周长为8. (1)求椭圆的方程； (2)设和的面积分别为，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知椭圆离心率，三角形周长，以及建立等式，求解即可； （2）联立方程组，利用韦达定理，距离公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）如图所示： 因为椭圆的离心率为，所以，① 又的周长为8，所以，② 且，③ 联立①②③解得：，所以椭圆的方程为. （2）如图所示： 由（1）得，设直线的方程为， 联立消去得：， 由， 设，则， 所以， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 例2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆过得，再利用得，即可写出椭圆方程； （2）设直线方程并联立方程组，用韦达定理结合斜率之和的条件求出斜率，再用弦长和距离公式即可求出面积. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以，即， 又因为以长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且，即， 所以，故椭圆的方程为. （2）由（1）知，设过点的直线的方程为，设， 联立方程组，代入化简得：， 由韦达定理：， 又因为直线的斜率为：，直线的斜率为：， 且 所以， 解得，此时直线：， 方程变为， 判别式满足题意，且， 此时弦长， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 例3．（2026·浙江宁波·二模）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，斜率为的直线与椭圆交于两点.当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据离心率公式，可得a，b的关系，则，代入点坐标，求出b值，进而可得a值，即可得答案. （2）设出直线l的方程，与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，根据弦长公式，可得的表达式，根据点到直线的距离，可得点P到直线AB的距离，即可得的面积S的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）因为椭圆的离心率， 所以，则， 因为点在椭圆上，所以，解得. 所以椭圆的方程为. （2）设直线， 联立，化简得， ，解得. 由韦达定理得， 则， 所以， 又因为， 所以. 当时，即时，的面积取到最大值， 此时，直线或. 变式1．（25-26高二下·四川成都·月考）已知椭圆的左顶点，上顶点. (1)求椭圆的方程. (2)过点的直线交于，两个不同的点（其中，点在第二象限），直线，分别交轴于，两个不同的点，点，点分别在线段，上. （ⅰ）证明：，的横坐标之和是定值； （ⅱ）已知当直线的斜率为时，的面积为，求此时与的面积之和. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【分析】（1）由左顶点，上顶点，直接得的值，从而得到椭圆的方程； （2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，联立椭圆与直线的方程，并表示出方程，得坐标，利用韦达定理可求得横坐标之和为定值，并得到与的面积之比为定值，并由的面积为，求得与的面积之和. 【详解】（1）由椭圆的左顶点，上顶点，得，， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）当过点的直线斜率不存在时，直线与椭圆只有1个交点，即左顶点，不合题意，所以直线的斜率存在； 设直线的方程为，设，， 由，消去整理得， 所以，解得， ，， 因为，所以直线的方程为 令，得， 同理可得. 所以. 又因为， ，所以 （ⅱ）由（ⅰ）知为，的中点，得， 所以 所以与的面积之比为. 所以当的面积为时， 与这两个三角形的面积之和是为定值，为. 变式2．（2026·重庆·模拟预测）以离心率为的椭圆的顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线交C于两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）讨论直线的斜率是否存在的情况，并与椭圆联立方程，结合韦达定理求出，再求出原点到直线AB的距离，从而求得的面积． 【详解】（1）由题意： 又 联立 ∴椭圆的方程是：. （2）当直线的斜率不存在时，不合题意， 当直线的斜率存在时，令， 联立，得：， ， ，解得， 经检验：符合题意， 原点到直线AB的距离， . 变式3．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知椭圆（）的离心率，且椭圆过点，左､右焦点分别为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据条件求的值，可得椭圆的标准方程. （2）设直线方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理表示出，，进而得到，再利用表示出的面积，最后结合换元法和不等式思想求其最大值. 【详解】（1）由题意，. 所以椭圆的标准方程为：. （2）如图： 因为直线的斜率不为0，故可设. 将直线方程代入椭圆方程，可得， 整理得：. 由韦达定理得， . 令. 当，即时取等号. 考点二 四边形面积问题 例1．（2026·四川南充·二模）已知椭圆的离心率，. (1)求椭圆的方程； (2)过点作两条斜率存在且不为零的直线，，分别交于，和，，且满足. （ⅰ）证明：直线，的斜率之和为定值； （ⅱ）求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明过程见解析. （ii）. 【分析】（1）由椭圆中，再结合已知条件可求得椭圆方程. （2）设过的直线方程，与椭圆联立，（i）中利用韦达定理和弦长公式分别写出与， 由即可证明直线，的斜率之和为定值. （ii）将四边形面积表示为（为两条直线夹角），结合基本不等式可求出最值. 【详解】（1）由题意可知解得： 椭圆的方程为. （2）（i）设斜率为，斜率为，，，，， 直线过，直线方程为， 代入椭圆方程整理得： ， 由弦长公式可知： 计算得： ，同理可得： 由题设， 整理得，即. 因（两条不同直线），故. 即斜率之和为定值. （ii）设，两条直线夹角为，四边形对角线为， 面积为 计算得： ， ， 设两直线倾斜角为，，则， ， 化简可得： ， 令，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 进一步化简得： 令，则，这是关于的开口向下二次函数， 对称轴，故在（即）时取最大值， 因此四边形面积的最大值为. 例2．（2026·重庆·模拟预测）已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条直线交于两点，交于两点，且． ①求证：为定值； ②求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由点在曲线上，求得，再由，利用抛物线的定义，列出方程，求得的值，即可求解; （2）①设的斜率为，得到的斜率为，得到和的方程，联立方程组，利用弦长公式分别求得，代入运算，即可得证; ②由，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由抛物线 , 可得焦点 , 准线为 , 因为点 , 可得 , 解得 , 又因为 , 由抛物线的定义, 可得 , 解得 ,所以抛物线 的方程为 . （2）①由(1)知 , 由题可知直线 斜率均存在且不为 , 否则必有一条直线与抛物线 只有一个交点, 不符合题意. 设 的斜率为 , 因为 , 则 的斜率为 , 则 的方程为 , 联立方程组 整理得 , 设 , 则 , , 则 同理可得: , 所以 所以 为定值 . ②因为，所以四边形的面积为， 由①知：， 所以， 令，则， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为288. 例3．（25-26高三下·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，设动点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)设点为直线上一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、． ①证明：直线过定点； ②若直线与以点为圆心的圆相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)① 证明见解析；②21或 【分析】（1）利用双曲线的定义可知动点轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹方程； （2）①先证明过双曲线上一点的切线方程为,设点的坐标为，切点，由切线方程结论及特征法求得直线的方程即可证明结论； ②分两种情况讨论：情况1：直线轴时，将四边形的面积拆分为与的面积和即可； 情况2：直线不垂直于轴时，的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理可得点的坐标，由，结合向量化简可得，从而得到，求出点和点到直线的距离，由四边形的面积为与的面积和：，即可求解. 【详解】（1）根据双曲线的定义，动点满足， 因此轨迹为双曲线的右支， 由得；由焦点得， 根据双曲线的基本关系，可得， 因此，曲线的方程为； （2）①先证明引理：过双曲线上一点的切线方程为． 当切线斜率存在时，设过双曲线上一点的切线方程为， 联立双曲线方程消去，得． 因为直线与双曲线相切，故，化简得切线斜率， 将代入点斜式并整理，得， 将代入得． 当切线斜率不存在时，切线为，代入上述方程得，等式成立； 综上所述，过双曲线上一点的切线方程为． 设点的坐标为，切点， 由引理，知双曲线在切点处的切线方程为， 由于点在切线、上，因此满足：， 上述两式表明，点、均在直线上，整理得直线的方程， 令，解得（与无关），故直线恒过定点． ②分两种情况讨论：情况1：直线轴时，的方程为（过定点）， 将其代入双曲线方程得， 即、，中点， 由直线的方程，令得，即， 将四边形的面积拆分为与的面积和，因此，总面积为； 情况2：直线不垂直于轴时，的方程为，联立双曲线方程，消去并整理，得， 设，中点， 由韦达定理得， 因此，中点的坐标为，， 由，向量，向量的方向向量为， 故，代入，并化简， 即，即， 又，代入，得，，因此，． 当时，由直线的方程与等价， 得，即，点到直线的距离为， 则，同理，点到直线的距离为，则， 四边形的面积为与的面积和：， 代入数值化简； 当时，由对称性，知面积仍为． 综上所述，四边形的面积为21或． 变式1．（2026·四川成都·二模）如图，已知椭圆，点在椭圆上且，，分别经过的左、右焦点，，且，． (1)若，求点的坐标； (2)证明：是定值，并求出的值； (3)求四边形面积最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）借助向量线性运算可表示出点坐标，结合、点在椭圆上可得、点坐标满足关系，计算即可得解； （2）借助向量线性运算可用、表示出点、点坐标，再利用、、点在椭圆上可得、点坐标满足关系，则可用表示出、，再求和即可得解； （3）利用三角形面积公式可得，则，再计算出面积后，利用、间的关系，结合基本不等式即可得解. 【详解】（1），，则， 由，则，故， 故，化简得，又， 则，解得，则， 故或（负值舍去），即点的坐标为； （2）由，，则， 故，则有， 化简得， 由，则， 整理得， 则或（负值舍去）； ，则，由，则， 故，则有， 化简得， 由，则， 整理得， 则或（负值舍去）； 故， 故是定值，且； （3），， 则 ， 则， 由，，则， 又， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故四边形面积最大值为. 变式2．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）已知平面上一动圆P与圆相内切（其中圆P的半径小于圆F的半径），且圆P经过点F关于原点的对称点，记圆心P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)记C与x轴的两个交点分别为，（在的右侧），直线l与C相交于点M，N（异于点，），且直线的斜率恰好是直线的斜率的7倍． （i）直线l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； （ii）求四边形的面积S的最大值． 【答案】(1) (2)（i）直线恒过定点；（ii） 【分析】（1）根据圆的位置关系，得到为定值，结合椭圆的定义即可求解； （2）（i）设直线方程，联立结合韦达定理得到，再由直线、斜率的关系构建方程化简即可； （ii）由（i）得到，结合，再根据换元法求最值． 【详解】（1）圆，即, 所以圆心，半径， 因为是关于原点的对称点，所以， 设动圆的半径为，因为动圆与圆相内切，所以， 又因为圆经过点，所以，则， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，则， 所以曲线的方程为； （2）（i）曲线的方程，则， 由题可知直线斜率不为零，则设直线， ，， ， ， 又直线的斜率恰好是直线的斜率的倍，即， 即，整理得， 即， 即， ，解得， 时，， ，直线的方程为，即直线恒过定点； （ii）由（i）知，则， 则四边形的面积， ， ， 令， 则， 当，即时取等， 即四边形的面积S的最大值为． 变式3．（25-26高三下·辽宁·月考）已知双曲线：的离心率为2，且经过点. (1)求的方程； (2)若直线：与交于，两点. （i）若直线与轴交于点，与线段交于点，且， 证明：直线过定点； （ii）设为坐标原点，若上存在不同于，的点，使， 求四边形的面积. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（2）（i）因为，所以，则， 整理得，将直线的方程与双曲线C的方程联立，消去，韦达定理求出，代入上式即可求解 （ii）设， 由，得 将点代入，化简整理得， 将，代入上式，表示出，再求出点到直线的距离，即可求解，又，所以， 所以，得解. 【详解】（1）由题意可知 解得，，故的方程为. （2）由条件可知，设，， 联立整理得， 则即， 且，，. （i）证明：因为，所以，则， 又，所以 即， 所以， 则， 整理得，所以直线的方程为， 故直线过定点. （ii）设，则，， 因为，所以，即 将点代入，得， 整理得， 又，在上，所以，， 代入上式得， 又，均在直线上， 所以，， 则， 整理得， 将，代入上式，得， 则， 所以 . 又点到直线的距离， 故的面积为. 又，所以， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $